ГОСТ Р ИСО 3534-1-2019. Национальный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Общие статистические термины и термины, используемые в теории вероятностей

(утв. и введен в действие Приказом Росстандарта от 05.09.2019 № 636-ст)

ИСТОРИЯ ИЗМЕНЕНИЙ НОРМАТИВНО-ТЕХНИЧЕСКИХ АКТОВ

flowchart LR
  n0["ГОСТ 15895-70"]:::rst
  n1["ГОСТ 16949-71"]:::rst
  n2["ГОСТ 15895-77*"]:::rst
  click n2 "https://bukva.ai/docs/sanitarnye-normy-sanpin-42-123-4540-87-3" "ГОСТ 15895-77*. Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения (введен в действие Постановлением Госстандарта СССР от 23.12.1977 N 3022)"
  n3["ГОСТ Р 50779.10-2000"]:::rst
  click n3 "https://bukva.ai/docs/gost-r-50779-10-2000" "ГОСТ Р 50779.10-2000. Государственный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения (принят и введен в действие Поста"
  n4["ГОСТ Р ИСО 3534-1-2019"]:::doc
  click n4 "https://bukva.ai/docs/standart-gost-r-iso-3534-1-2019" "ГОСТ Р ИСО 3534-1-2019. Национальный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Общие статистические термины и термины... (утв. "
  n3 --> n4
  n2 --> n3
  n0 --> n2
  n1 --> n2
classDef rst fill:#FFEBEB,stroke:#8B0000,color:#000;
classDef doc fill:#EBFFEB,stroke:#006400,color:#000;
classDef notEnt fill:#FFFFEB,stroke:#FF8C00,color:#000;

Утвержден и введен в действие Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 5 сентября 2019 г. № 636-ст

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

СЛОВАРЬ И УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ЧАСТЬ 1

ОБЩИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТЕРМИНЫ И ТЕРМИНЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Statistical methods. Vocabulary and symbols. Part 1. General statistical terms and terms used in probability

(ISO 3534-1:2006, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: General statistical terms and terms used in probability, IDT)

ГОСТ Р ИСО 3534-1-2019

ОКС 01.040.03

03.120.30

Дата введения 1 января 2020 года

Предисловие

1 ПОДГОТОВЛЕН Закрытым акционерным обществом «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (ЗАО «НИЦ КД») на основе собственного перевода на русский язык англоязычной версии стандарта, указанного в пункте 4

2 ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Применение статистических методов»

3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 5 сентября 2019 г. № 636-ст

4 Настоящий стандарт идентичен международному стандарту ИСО 3534-1:2006 «Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Общие статистические термины и термины, используемые в теории вероятностей» (ISO 3534-1:2006 «Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: General statistical terms and terms used in probability», IDT).

Международный стандарт разработан Техническим комитетом ISO/TC 69.

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного международного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ Р 1.5-2012 (пункт 3.5)

5 ВЗАМЕН ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93)

Правила применения настоящего стандарта установлены в статье 26 Федерального закона от 29 июня 2015 г. № 162-ФЗ «О стандартизации в Российской Федерации». Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном (по состоянию на 1 января текущего года) информационном указателе «Национальные стандарты», а официальный текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ближайшем выпуске ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (www.gost.ru)

Введение

В настоящем стандарте использован минимальный уровень математической абстракции, при котором возможно введение последовательных, корректных и лаконичных определений. Термины, представленные в настоящем стандарте, являются основополагающими в теории вероятностей и статистике, вследствие чего они имеют несколько усложненное математическое представление. Работа с другими стандартами по прикладной статистике предполагает обращение к настоящему стандарту для уточнения определений соответствующих терминов, по этой причине некоторые определения представлены менее формально и сопровождены примечаниями и примерами. Данное неформальное представление не заменяет собой формальных определений, но позволяет работать с приведенными терминами и определениями пользователям с различными уровнями подготовки в области теории вероятностей и математической статистики. Примечания и примеры позволяют настоящему стандарту быть более доступным для пользователей.

Корректное и полное определение терминов, используемых в теории вероятностей и математической статистике, важно для разработки и эффективного применения стандартов, содержащих статистические методы. Определения, представленные в настоящем стандарте, являются достаточно точными и имеют необходимый уровень математического представления, что дает возможность разработчикам стандартов на статистические методы избежать неопределенности в представлении информации. Более детальное представление содержания излагаемых концепций и сферы их применения приведено в литературе по теории вероятностей и математической статистике.

В приложениях представлены схемы для каждой группы терминов: 1) общие статистические термины (приложение B) и 2) термины, используемые в теории вероятностей (приложение C). Приведены шесть диаграмм для общих статистических терминов и четыре диаграммы для терминов, связанных с теорией вероятностей. Некоторые термины включены в несколько диаграмм, что обеспечивает связь между представленными концепциями. Приложение D содержит краткое введение в методологию концептуальных диаграмм и их интерпретацию.

Использованные схемы позволяют выявлять взаимосвязи терминов. Они также полезны при переводе терминов на другие языки.

Большая часть терминов и определений, представленных в настоящем стандарте, если не указано иное, дана для одномерного случая без упоминания этого предположения. Это позволяет избежать многократных указаний на размерность в большинстве определений.

Область применения <1>

<1> Разделу не присвоен номер для сохранения идентичности настоящего стандарта.

Настоящий стандарт устанавливает общие статистические термины и термины, используемые в теории вероятностей, которые могут быть использованы при разработке других стандартов.

Приведенные в настоящем стандарте термины подразделены:

a) на общие статистические термины (раздел 1);

b) термины, используемые в теории вероятностей (раздел 2).

Приложение A содержит перечень обозначений и сокращений, используемых в настоящем стандарте.

Термины и определения, представленные в настоящем стандарте, упорядочены в соответствии со схемами, приведенными в приложениях B и C.

1 Общие статистические термины

Пример 2 — Коробка содержит 10 резисторов с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Если из этой коробки случайным образом без замещений выбирают два резистора, пространство элементарных исходов состоит из следующих 45 исходов: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (3, 10), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9), (4, 10), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (5, 10), (6, 7), (6, 8), (6, 9), (6, 10), (7, 8), (7, 9), (7, 10), (8, 9), (8, 10), (9, 10). Выбор пар (1, 2) и (2, 1) считают одним и тем же исходом, т.е. порядок отбора резисторов не важен. В качестве альтернативы можно рассматривать случай, когда выбор пар (1, 2) и (2, 1) считают разными исходами, тогда общее число элементарных исходов пространства элементарных событий будет равно 90.

Пример 3 — Если в предыдущем примере производят отбор с замещением, то в пространство элементарных событий следует включать исходы: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9) и (10, 10). Когда порядок отбора не важен, число возможных исходов пространства элементарных событий равно 55. Если порядок отбора имеет значение, число возможных исходов равно 100.

Примечание 1 — Исходами могут быть результаты реального или гипотетического эксперимента. Множество исходов может быть явно предъявленным списком, счетным множеством, например таким, как положительные целые числа {1, 2, 3, ...} или действительная прямая.

Примечание 2 — Пространство элементарных событий является первым компонентом вероятностного пространства (2.68).

en

sample space

fr

espace d'échantillon

2.2 событие; A: Подмножество пространства элементарных событий (2.1).

Пример 1 — Продолжая пример 1 из 2.1, следующие примеры событий {0}, (0, 2), {5,7}, [7, + \infty) соответствуют описаниям: «батарея разряжена до первого использования», «батарея изначально работала и разрядилась до того, как прошло 2 ч с начала использования», «батарея функционировала точно 5,7 ч» и «после 7 ч использования батарея еще функционирует». Исходы {0} и {5,7} представляют собой множества, состоящие из одной точки; исход (0, 2) — открытый интервал действительной прямой; исход [7, + \infty) — замкнутый слева бесконечный интервал действительной прямой.

Пример 2 — Продолжая пример 2 из 2.1, рассмотрим случай неупорядоченного выбора без замещений. Пусть возможное событие A = {по крайней мере один из резисторов с номерами 1 и 2 включен в выборку}. Данному событию соответствуют 17 элементарных исходов: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9) и (2, 10). Другому возможному событию B = {никакой из резисторов с номерами 8, 9, 10 не включен в выборку}. Данному событию соответствует 21 элементарный исход: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (6, 7).

Пример 3 — В продолжение примера 2 пересечению событий A и B (т.е. случаю, когда по крайней мере один из резисторов, 1 или 2, включен в выборку, и, вместе с тем, ни один из резисторов 8, 9 и 10 не включен) соответствуют 11 исходов: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7).

Объединению событий A и B соответствуют 27 исходов: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7) и (6, 7).

При этом число исходов, соответствующих объединению A и B (т.е. случаю, когда по крайней мере один из резисторов, 1 или 2, включен в выборку, и случаю, когда ни один из резисторов 8, 9 и 10 не включен в выборку), равное 27, может быть получено как 17 + 21 — 11, т.е. оно равно числу исходов, соответствующих событию A, плюс число исходов, соответствующих событию B, минус число исходов, соответствующих пересечению A и B.

Примечание — Предположительно в результате эксперимента произошло некоторое событие, если получен исход, принадлежащий данному событию. События принадлежат сигма-алгебре событий (2.69) - второму компоненту вероятностного пространства (2.68). События естественным образом возникают в контексте азартных игр (покер, рулетка и т.д.), в которых число исходов определяет планы на выигрыш.

en

event

fr

événement

2.3 дополнительное событие; AC; противоположное событие: Все пространство элементарных событий (2.1), за исключением события (2.2).

Пример 1 — В примере 1 из 2.1 дополнительным событием к событию {0} является событие (0, + \infty) , т.е. дополнением к событию «батарея изначально не функционирует». Подобным образом событие [0,3) соответствует тому, что «либо батарея изначально не функционировала, либо она функционировала менее 3 ч». Дополнительное событие [3,\infty) заключается в том, что «батарея работала 3 ч и время ее функционирования составляет более 3 ч».

Пример 2 — В примере 2 из 2.2 число исходов, соответствующих B, может быть легко найдено, если рассматривать событие, дополнительное к событию B, которое состоит в том, что «выборка содержит по крайней мере один из резисторов 8, 9 или 10». Данное событие содержит 7 + 8 + 9 = 24 исхода: (1, 8), (2, 8), (3, 8), (4, 8), (5, 8), (6, 8), (7, 8), (1, 9), (2, 9), (3, 9), (4, 9), (5, 9), (6, 9), (7, 9), (8, 9), (1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10), (5, 10), (6, 10), (7, 10), (8, 10), (9, 10). Так как в данном случае все пространство элементарных событий содержит 45 исходов, событие B содержит 45 — 24 = 21 исход [а именно: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (6, 7)].

Примечание 1 — Дополнительное событие дополняет событие до пространства элементарных событий.

Примечание 2 — Дополнительное событие также является событием.

Примечание 3 — Для события A дополнительное событие часто обозначают символом AC.

Примечание 4 — Во многих случаях легче найти вероятность дополнительного события, чем самого события. Например, событию «в случайной выборке объема 10, отобранной из генеральной совокупности объема 1000, для которой предполагаемый процент дефектов составляет единицу, встречается по крайней мере один дефект», соответствует очень большое число элементарных исходов. Гораздо легче работать с дополнительным событием «не обнаружено ни одного дефекта».

en

complementary event

fr

complémentaire événement

2.4 независимые события: Пара событий (2.2) таких, что вероятность (2.5) пересечения этих событий равна произведению их вероятностей.

Пример 1 — Бросают две игральные кости, красную и белую, таким образом, что число возможных элементарных исходов равно 36, вероятность каждого элементарного исхода равна 1/36. Событие Di состоит в том, что сумма числа точек на выпавших сторонах белой и красной костей равна i. Событие W состоит в том, что на белой кости выпала единица. События D7 и W независимы, в то время как события Di и W не являются независимыми для i = 2, 3, 4, 5 или 6. События, которые не являются независимыми, называют зависимыми событиями.

Пример 2 — Независимые и зависимые события возникают на практике естественным образом. Когда события или обстоятельства зависимые, полезно знать результат связного события. Например, на успешный исход операции на сердце может влиять анамнез пациента: курение и другие факторы риска. Таким образом, смерть от хирургической операции и курение могут быть зависимыми. С другой стороны, смерть от операции, вероятно, не зависит от дня недели, в который родился пациент. В контексте надежности компоненты, имеющие общую причину отказа, не имеют независимые наработки до отказа. Вероятность возникновения трещин топливных стержней в реакторе предположительно мала. Но если на одном из стержней появилась трещина, вероятность появления трещин на соседнем стержне значительно возрастает.

Пример 3 — Пусть в примере 2 из 2.2 отбор произведен с помощью простого случайного отбора, т.е. каждый исход имеет одну и ту же вероятность, равную 1/45. Тогда P(A) = 17/45 = 0,3778; P(B) = 21/45 = 0,4667 и P(A и B) = 11/45 = 0,2444; однако произведение вероятностей P(A)·P(B) = (17/45)·(21/45) = 0,1763 не равно 0,2444; таким образом, события A и B не являются независимыми.

en

independent events

fr

indépendants événements

Примечание - Приведенное определение дано для случая двух событий, но может быть расширено. Для событий A и B условием независимости является P(A \cap B) = P(A)P(B) . Для трех событий A, B и C условиями независимости являются следующие:

P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)

P(A \cap B) = P(A)P(B)

P(A \cap C) = P(A)P(C)

P(B \cap C) = P(B)P(C)

В общем случае, если число событий более двух, события A₁, A₂, ..., An независимы, если вероятность пересечения любого заданного подмножества событий равна произведению вероятностей отдельных событий, данное условие имеет отношение ко всем без исключения подмножествам. Существуют примеры таких ситуаций, когда каждые два события попарно независимы, но три события не являются независимыми (т.е. есть попарная независимость, но общая независимость событий отсутствует).

2.5 вероятность события; A, P(A): Действительное число из замкнутого промежутка [0, 1], приписываемое событию (2.2).

Пример — В примере 2 из 2.1 вероятность события может быть найдена как сумма вероятностей всех элементарных исходов, составляющих событие. Если вероятности всех 45 элементарных исходов совпадают, каждый из них имеет вероятность 1/45. Вероятность события может быть найдена путем подсчета всех соответствующих событию элементарных исходов и последующего деления этого числа на 45.

Примечание 1 — Вероятностная мера (2.70) обеспечивает присвоение действительного числа каждому рассматриваемому событию, заданному на пространстве элементарных исходов. Для отдельного события вероятностная мера задает вероятность, связанную с этим событием. Другими словами, задает полный набор назначений для всех событий, тогда как вероятность представляет собой одно конкретное значение, приписанное отдельному событию.

Примечание 2 — В данном определении вероятность рассматривают как вероятность отдельного события. Вероятность может быть связана с относительной частотой реализации события в длинной серии наблюдений или со степенью уверенности в возможной реализации события. Как правило, вероятность события A обозначают символом P(A). Запись (A) , использующая рукописную букву , применяют в том случае, когда необходимо подробно рассмотреть формальное описание вероятностного пространства (2.68).

en

probability of an event A

fr

probabilité d'un événement A

2.6 условная вероятность; P(A|B): Вероятность (2.5) пересечения событий A и B, деленная на вероятность события B.

Пример 1 — В рамках примера 1 (2.1) пусть событие (2.2) A определено как {батарея функционирует по крайней мере 3 ч}, т.е. ему соответствует интервал [3,\infty) , Пусть событие B определено как {батарея изначально функционировала}, т.е. ему соответствует интервал (0,\infty) . При определении условной вероятности вероятность события A при условии реализации события B учитывает то, что рассматривают только изначально функционирующие батареи.

Пример 2 — В рамках примера 2 (2.1) если проводят выбор без замещения, вероятность отбора резистора два во втором извлечении равна нулю, если он был отобран при первом извлечении. Если вероятность быть отобранным совпадает для всех резисторов, вероятность отбора резистора два при втором извлечении равна с учетом того, что он не был отобран при первом извлечении, 0,1111.

Пример 3 — В рамках примера 2 (2.1) если проводят отбор с замещением и вероятности отбора при каждом извлечении совпадают для всех резисторов, то вероятность отбора резистора два при втором извлечении составляет 0,1 независимо от того, был резистор два отобран при первом извлечении или не был отобран. Таким образом, исходы первого и второго извлечений являются независимыми событиями.

Примечание 1 — Необходимо, чтобы вероятность события B была более нуля. Примечание 2 — Используемое выражение «A при условии B» может быть записано более развернуто: «событие A при условии реализации события B». Вертикальная черта в символе условной вероятности произносится как «при условии».

Примечание 3 — Если условная вероятность события A при условии реализации события B равна вероятности реализации события A, то события A и B независимы. Другими словами, знание о реализации события B не влияет на вероятность события A.

en

conditional probability

fr

probabilité conditionnelle

2.7 функция распределения (случайной величины X); F(x): Функция x, задающая вероятность (2.5) события (2.2) ( - \infty,x] .

Примечание 1 — Полуинтервал ( - \infty,x] представляет собой множество всех значений менее x, включая x.

Примечание 2 — Функция распределения полностью описывает распределение вероятностей (2.11) случайной величины (2.10). Классификация распределений так же, как и классификация случайных величин на дискретные и непрерывные, основана на классификации функций распределения.

Примечание 3 — Так как значениями случайных величин являются действительные числа или упорядоченные наборы k действительных чисел, в определении функции распределения неявно подразумевается, что x является действительным числом или упорядоченным набором из k действительных чисел. Функция распределения многомерного распределения (2.17) задает вероятность (2.5) того, что каждая из случайных величин многомерного распределения менее или равна заданному значению. Многомерную функцию распределения записывают следующим образом: F(x1, x2, ..., xn) = P[X1 <= xi, X2 <= x2, ..., Xn <= xn]. Функция распределения является неубывающей функцией. В одномерном случае функция распределения, определенная как F(x) = P[X <= x], задает вероятность того, что случайная величина X принимает значение менее или равное x.

en

distribution function of a random variable X

fr

fonction de répartition d'une variable aléatoire X

Примечание 4 — Обычно функции распределения подразделяют на функции дискретных распределений (2.22) и функции непрерывных распределений (2.23), хотя это подразделение не исчерпывает все возможные случаи. Так, в примере со временем функционирования батареи, приведенном в 2.1, функция распределения может иметь следующий вид:

При таком задании функции распределения время функционирования батареи принимает неотрицательные значения. С вероятностью 0,1 батарея не будет функционировать при начальном использовании. Если батарея изначально функционировала, то время функционирования батареи имеет экспоненциальное распределение (2.58) с математическим ожиданием, равным 1 ч.

Примечание 5 — Иногда применяют англоязычную аббревиатуру для обозначения функции распределения cdf (англ. «cumulative distribution function» — кумулятивная функция распределения).

2.8 семейство распределений: Множество распределений вероятностей (2.8).

Примечание 1 — Множество распределений вероятностей часто индексируют с помощью параметра (2.9) функции распределения.

Примечание 2 — Математическое ожидание (2.35) и/или дисперсию (2.36) распределения вероятностей часто используют для идентификации семейства распределений или для частичной идентификации, если для описания семейства распределений необходимо использовать более двух параметров. В некоторых случаях математическое ожидание и дисперсия представляют собой не явные параметры семейства распределений, а функции других параметров.

en

family of distributions

fr

famille de distributions

2.9 параметр: Признак семейства распределений (2.8).

Примечание 1 — Параметр может быть одномерным или многомерным.

Примечание 2 — Иногда некоторые параметры называют параметрами положений, особенно в тех случаях, когда параметр непосредственно связан с математическим ожиданием семейства распределений. Некоторые параметры называют параметрами масштаба, особенно если такой параметр равен или пропорционален стандартному отклонению (2.37) распределения. Параметры, не являющиеся параметрами положения или параметрами масштаба, как правило, называют параметрами формы.

en

parameter

fr

paramètre

2.10 случайная величина: Функция, определенная на пространстве элементарных событий (2.1), значениями которой являются упорядоченные наборы k действительных чисел.

Пример — В примере с батареей, введенном в 2.1, пространство элементарных событий состоит из элементарных исходов, приведенных в словесной формулировке («батарея не функционировала изначально», «батарея изначально функционировала и перестала функционировать через x часов работы»). События, представленные подобным образом, не допускается обрабатывать математически, для их проведения естественно указывать каждый исход как время работы батареи, заданное действительным числом. Времени работы батареи, равному нулю, соответствует исход «батарея изначально не функционировала». Значению случайной величины более нуля соответствует то, что батарея изначально функционировала и ее время работы равно данному значению. Такое представление случайной величины позволяет отвечать на вопросы о времени работы батареи, например: «какова вероятность того, что батарея будет функционировать по истечении гарантийного срока, допустим, 6 ч?»

Примечание 1 — Запись (x₁, x₂, ..., xk) — пример упорядоченного набора из k компонент. Другими словами, упорядоченный набор из k данных представляет собой k-мерный вектор (вектор-столбец или вектор-строку).

Примечание 2 — Размерность случайной величины часто обозначают латинской буквой k. Если k = 1, то случайная величина является одномерной или имеет размерность один. При k > 1 речь идет о многомерной случайной величине. Когда размерность задана числом k, случайную величину называют k-мерной.

Примечание 3 — Одномерная случайная величина — это функция, значениями которой являются действительные числа; она определена на пространстве элементарных событий (2.1), которое является одной из составляющих вероятностного пространства (2.68).

en

random variable

fr

variable aléatoire

Примечание 4 — Случайную величину, значениями которой являются упорядоченные пары действительных чисел, называют двумерной. Определение расширяет упорядоченные (пары) действительных чисел упорядоченного набора k-мерных данных.

Примечание 5 — Компонент с номером j k-мерной случайной величины представляет собой одномерную случайную величину (соответствующую только данному компоненту). Для компонента с номером j k-мерной случайной величины вероятностным пространством является пространство, в котором события (2.2) определены только в терминах данного рассматриваемого компонента.

2.11 распределение (вероятностей): Вероятностная мера (2.70), индуцированная случайной величиной (2.10).

Пример — В примере с батареей, введенном в 2.1, распределение времени работы батареи полностью описывает вероятности возникновения установленных значений. Но невозможно с уверенностью определить ни время отказа данной батареи, ни даже то, будет ли она функционировать при начальном использовании. Вероятностное распределение полностью описывает вероятностные свойства неопределенности результата. В примечании 4 к 2.7 приведено одно из возможных представлений распределения вероятностей, а именно функция распределения.

Примечание 1 — Существуют многочисленные, математически эквивалентные представления распределения, к ним относятся функция распределения (2.7), функция плотности распределения (2.27) [если существует] и характеристическая функция. Данные представления с различными уровнями сложности позволяют определять вероятность, с которой случайная величина принимает значения в заданном диапазоне.

Примечание 2 — Так как случайная величина представляет собой функцию, заданную на подмножествах пространства элементарных событий и принимающую значения на действительной оси, то, например, вероятность того, что случайная величина примет некоторое действительное значение, равна единице. В примере с батареей P[X >= 0] = 1. Во многих случаях проще работать со случайной величиной и одним из ее представлений, чем исследовать лежащую в основе представления вероятностную меру. Однако при переходе от одного представления к другому вероятностная мера обеспечивает непротиворечивость этих представлений.

Примечание 3 — Если случайная величина одномерна, то говорят об одномерном распределении вероятностей. Если случайная величина двумерна, говорят о двумерном распределении вероятностей. Если случайная величина имеет более двух компонент, говорят о многомерном распределении вероятностей.

en

probability distribution, distribution

fr

loi de probabilité , distribution

2.12 математическое ожидание: Интеграл функции случайной величины (2.10) по вероятностной мере (2.70) на пространстве элементарных событий (2.1).

Примечание 1 — Математическое ожидание функции g от случайной величины X обозначают E[g(X)] и вычисляют следующим образом:

E[g(X)] = \int_{\Omega} g(X)dP = \int_{R^{k}} g(x)dF(x) ,

где F(x) — соответствующая функция распределения.

Примечание 2 — Латинская буква «E» в обозначении E[g(X] соответствует английскому «expected value» (ожидаемое значение) или «expectation» (ожидание) случайной величины X. Знак E можно рассмотреть как обозначение оператора или функции, отображающей случайную величину в действительное число после необходимых вычислений, представленных выше.

Примечание 3 — Для E[g(X] дано два представления в виде интеграла. В первом интегрирование производят по пространству элементарных событий, что теоретически обосновано, но не используется на практике по причине неудобства работы с самими событиями (например, если они заданы в виде словесных формулировок). Второе представление, где интегрирование производят по Rk, более приемлемо для практического использования.

Примечание 4 — На практике приведенный выше интеграл представляют в более удобной для вычисления форме. Примеры представлены в примечаниях к терминам: момент порядка r (2.34), где g(x) = xr; среднее (2.35), где g(x) = x и дисперсии (2.36), где g(x) = [x — E(X)]2.

en

expectation

fr

mathématique espérance

Примечание 5 — Данное определение не ограничено одномерными интегралами, как можно было бы предположить из приведенных примеров и замечаний. Ситуации более высоких размерностей представлены в 2.43.

Примечание 6 — Для дискретной случайной величины (2.28) второй интеграл, приведенный в примечании 1, заменяют на символ суммирования. Примеры могут быть найдены в 2.35.

2.13 квантиль уровня p; фрактиль уровня p; Xp; xp: Значение x, равное нижней границе множества значений x, таких, что функция распределения (2.7) F(x) равна или превышает значение p при 0 < p < 1.

Пример 1 — Рассмотрим биномиальное распределение (2.46) с функцией распределения вероятностей, представленной в таблице 2. Данное множество значений соответствует биномиальному распределению параметрами n = 6 и p = 0,3. Для данного случая рассмотрены некоторые p-квантили:

x0,1 = 0,

x0,25 = 1,

x0,5 = 2,

x0,75 = 3,

x0,90 = 3,

x0,95 = 4,

x0,99 = 5,

x0,999 = 5.

Дискретность биномиального распределения приводит к тому, что значения p-квантилей также являются дискретными.

Таблица 2

Пример биномиального распределения

en

p-quantile, p-fractile

fr

quantile d'ordre p, fractile d'ordre p

X

P[X = x]

P[X <= x]

P[X > x]

0

0,117649

0,117649

0,882351

1

0,302526

0,420175

0,579825

2

0,324135

0,744310

0,255690

3

0,185220

0,929530

0,070470

4

0,059535

0,989065

0,010935

5

0,010206

0,999271

0,000729

6

0,000729

1,000000

0,000000

Пример 2 — Рассмотрим стандартное нормальное распределение (2.51), в таблице 3 представлены отдельные значения его функции распределения.

Таблица 3

Пример стандартного нормального распределения

P

Значения x такие, что P[X <= x] = p

0,1

-1,282

0,25

-0,674

0,5

0,000

0,75

0,674

0,84134475

1,000

0,9

1,282

0,95

1,645

0,975

1,960

0,99

2,326

0,995

2,576

0,999

3,090

Так как распределение X непрерывно, то вторая колонка таблицы также могла бы иметь заглавие. Значения x такие, что P[X < x] = p.

Примечание 1 — Для непрерывных распределений (2.23) при p, равном 0,5, квантиль уровня 0,5 соответствует медиане (2.14). Для p, равного 0,25, квантиль уровня 0,25 называют нижним квартилем. Для непрерывных распределений 25% распределения лежат ниже уровня квантиля 0,25, а 75% выше его. Для p, равного 0,75, соответствующий квантиль уровня 0,75 называют верхним квартилем.

Примечание 2 — В общем случае p, %, распределения лежат ниже квантиля уровня p, а 100(1 — p)% распределения выше этого квантиля. Существует сложность в определении медианы дискретного распределения, так как несколько значений могут удовлетворять определению медианы.

Примечание 3 — Если F — непрерывная строго возрастающая функция, то квантиль уровня p является решением уравнения F(x) = p. В данном случае слова «нижняя граница» в определении могут быть заменены на «минимум».

Примечание 4 — Если на некотором промежутке функция распределения постоянна и равна p, то все значения данного промежутка являются квантилями уровня p для F.

Примечание 5 — Квантили уровня p определены для одномерных распределений (2.16).

2.14 медиана: Квантиль уровня 0,5 (2.13).

Пример — Для примера с батареей из примечания 4 к 2.7 медиана составляет 0,5878; данное значение найдено как решение относительно x уравнения 0,1 + 0,9[1 — exp(-x)] = 0,5.

Примечание 1 — На практике медиана — наиболее часто применяемый квантиль (2.13). Медиана непрерывного одномерного распределения (2.16) - это такое значение, что половина значений в генеральной совокупности (1.1) более или равна ему, а другая половина значений менее или равна этому значению.

Примечание 2 — Медиана определена для одномерного распределения (2.16).

en

median

fr

médiane

2.15 квартиль: Квантиль уровня 0,25 (2.13) или 0,75.

Пример — Для примера с батареей из 2.14 можно показать, что квантиль уровня 0,25 составляет 0,1823, а квантиль уровня 0,75 — 1,2809.

Примечание 1 — Квантиль уровня 0,25 также называют нижним квартилем, а квантиль уровня 0,75 — верхним квартилем.

Примечание 2 — Квартили определены для одномерного распределения (2.16).

en

quartile

fr

quartile

2.16 одномерное распределение (вероятностей): Распределение (2.11) единственной случайной величины (2.10).

Примечание — Одномерные распределения являются распределениями одной переменной. Примерами таких распределений могут быть биномиальное распределение (2.46), распределение Пуассона (2.47), нормальное распределение (2.50), гамма-распределение (2.56), t-распределение (2.53), распределение Вейбулла (2.63) и бета-распределение (2.59).

en

univariate probability distribution, univariate distribution

fr

loi de probabilité \text{а} une variable, distribution \text{а} une variable

2.17 многомерное распределение (вероятностей): Распределение (2.11) двух или более случайных величин (2.10).

Примечание 1 — Для распределения в точности двух случайных величин прилагательное «многомерное» обычно заменяют на «двумерное». Распределение одной случайной величины, как упомянуто ранее, называют одномерным распределением (2.16). Так как рассматривают распределение одной случайной величины, то, если не указано иное, предполагают, что распределение является одномерным.

Примечание 2 — Многомерное распределение иногда называют совместным распределением.

Примечание 3 — Полиномиальное распределение (2.45), двумерное нормальное распределение (2.65) и многомерное нормальное распределение (2.64) - примеры многомерных распределений, представленных в настоящем стандарте.

en

multivariate probability distribution, multivariate distribution

fr

loi de probabilité \text{а} plusieurs variables, distribution \text{а} plusieurs variables

2.18 частное распределение (вероятностей): Распределение вероятностей (2.11) заданного непустого подмножества множества компонент случайной величины (2.10).

Пример 1 — Для распределения трех случайных величин X, Y и Z существуют три частных распределения для двух случайных величин, а именно: для величин (X, Y), (X, Z) и (Y, Z) три частных распределения для одной случайной величины для X, Y и Z.

Пример 2 — Для двумерного нормального распределения (2.65) пары величин (X, Y) распределение каждой из случайных величин X и Y, рассматриваемых отдельно, является частным распределением; при этом оба одномерных распределения являются нормальными распределениями (2.50).

Пример 3 — Для полиномиального распределения (2.45) распределение (X1, X2) является частным распределением при k > 3. Распределения X1, X2, ..., Xk по отдельности также маргинальные распределения. Частное распределение пары величин представляет собой биномиальное распределение (2.46).

Примечание 1 — Для совместного k-мерного распределения примером частного распределения является распределение вероятностей k-мерного подмножества случайных величин, где k1 < k.

Примечание 2 — Для непрерывного (2.23) многомерного распределения (2.17), заданного его функцией плотности распределения (2.26), функцией плотности распределения частного распределения является интеграл от функции плотности исходного распределения, взятый по области изменения величин, не рассматриваемых в частном распределении.

Примечание 3 — Для дискретного (2.22) многомерного распределения, представленного его функцией распределения (2.24), функцию распределения частного распределения определяют суммированием функции распределения по области изменения величин, не рассматриваемых в частном распределении.

en

marginal probability distribution, marginal distribution

fr

loi de probabilité marginale distribution marginale

2.19 условное распределение (вероятностей): Распределение (2.11), ограниченное непустым подмножеством пространства элементарных событий (2.1) и скорректированное таким образом, что общая вероятность событий на данном подмножестве составляет единицу.

Пример 1 — В примере с батареей, рассмотренном в примечании 4 из 2.7, условное распределение времени работы батареи при условии изначального функционирования батареи является экспоненциальным (2.58).

Пример 2 — Для двумерного нормального распределения (2.65) условное распределение Y при заданном X = x отражает то, как знание X влияет на Y.

Пример 3 — Рассмотрим случайную величину X, отображающую распределение ежегодных расходов по страховым убыткам вследствие ураганов во Флориде. Это распределение имеет ненулевую вероятность отсутствия годовых убытков вследствие того, что в данном году во Флориде могут отсутствовать ураганы. Возможно, интерес представляет условное распределение потерь за годы, в которые возникали ураганы.

Примечание 1 — Например, для распределения двух случайных величин X и Y существуют условные распределения для X и условные распределения для Y. Распределение X при условии, что Y = y является условным распределением X для заданного Y = y, а распределение Y при условии, что X = x, является условным распределением Y для заданного X = x.

en

conditional probability distribution, conditional distribution

fr

loi de probabilité conditionnelle distribution conditionnelle

Примечание 2 — Частное распределение (2.18) следует рассматривать как безусловное распределение.

Примечание 3 — Представленный выше пример 1 иллюстрирует ситуацию, когда одномерное распределение скорректировано условиями, накладываемыми другим одномерным распределением (отличным от первого). Напротив, для экспоненциального распределения условное распределение того, что батарея откажет в следующий час функционирования, при условии, что в течение предыдущих 10 ч она не отказала, также является экспоненциальным с тем же параметром.

Примечание 4 — Условные распределения могут возникать для некоторых дискретных распределений в том случае, когда отдельные исходы являются невозможными. Например, распределение Пуассона может служить моделью распределения числа больных раком среди людей, имеющих опухоли.

Примечание 5 — Условные распределения появляются при ограничении пространства элементарных событий до его конкретного подмножества. Для (X, Y), имеющих двумерное нормальное распределение (2.65), можно рассмотреть условное распределение (X, Y), где множество элементарных исходов ограничено единичным квадратом размером [0,1] x [0,1]. Другим возможным ограничением распределения (X, Y) может быть условие, что (X2 + Y2) <= r. Данный случай соответствует, например, ситуации, когда некоторый показатель достиг определенной границы и необходимо изучить свойства, появившиеся при достижении этой границы.

2.20 кривая регрессии: Набор значений математических ожиданий (2.12) условного распределения (2.19) случайной величины (2.10) Y для заданных значений случайной величины X = x.

Примечание — Кривая регрессии определена в предположении, что (X, Y) имеет двумерное распределение (см. примечание 1 к 2.17). Следовательно, данное понятие отлично от имеющегося в регрессионном анализе, где Y зависит от заданного множества значений.

en

regression curve

fr

courbe de régression

2.21 поверхность регрессии: Набор значений математических ожиданий (2.12) условного распределения (2.19) случайной величины (2.10) Y для заданных значений случайных величин X1 = x1 и X2 = x2.

Примечание — Как и 2.20, поверхность регрессии определена в предположении, что величина (Y, X₁, X₂) имеет многомерное распределение (2.17). Как и понятие кривой регрессии, понятие поверхности регрессии принципиально отличается от поверхности отклика в регрессионном анализе.

en

regression surface

fr

surface de régression

2.22 дискретное распределение (вероятностей): Распределение (2.11), для которого пространство элементарных событий \Omega (2.1) конечно или счетно.

Пример — Примерами дискретных распределений, представленных в настоящем стандарте, являются полиномиальное распределение (2.45), биномиальное распределение (2.46), распределение Пуассона (2.47), гипергеометрическое распределение (2.48) и отрицательное биномиальное распределение (2.49).

Примечание 1 — Термин «дискретное» подразумевает, что пространство элементарных событий может быть задано в виде конечного списка либо в виде начала бесконечного списка, для которого понятен способ получения следующего элемента списка, например количество дефектов может быть представлено рядом 0, 1, 2. Примером распределения, соответствующего конечному пространству элементарных событий {0, 1, 2, ...,}, является биномиальное распределение; примером распределения, соответствующего бесконечному счетному пространству элементарных событий {0, 1, 2, ...,}, — распределение Пуассона.

Примечание 2 — В статистическом приемочном выборочном контроле случаи, когда данные имеют качественную характеристику, свидетельствуют о том, что данные соответствуют дискретному распределению.

Примечание 3 — Областью значений функции распределения (2.7) дискретного распределения является дискретное множество.

en

discrete probability distribution, discrete distribution

fr

loi de probabilité discrete, distribution discrète

2.23 непрерывное распределение (вероятностей): Распределение (2.11), для которого функция распределения (2.7) от x может быть представлена в виде интеграла от неотрицательной функции по интервалу от - \infty до x.

Пример - Фактически любые типы количественных данных, возникающие при анализе данных на производстве, имеют непрерывное распределение.

Примечание 1 — Примеры непрерывных распределений: нормальное распределение (2.50), стандартное нормальное распределение (2.51), t-распределение (2.53), F-распределение (2.55), гамма-распределение, \chi^{2} - \text{распределение} (2.57), экспоненциальное распределение (2.58), бета-распределение (2.59), равномерное распределение (2.60), распределение экстремальных значений первого типа (2.61), распределение экстремальных значений второго типа (2.62), распределение экстремальных значений третьего типа (2.63) и логнормальное распределение (2.52).

Примечание 2 — Неотрицательная функция, упоминаемая в определении, является функцией плотности распределения (2.62). Утверждение, состоящее в том, что функция распределения везде дифференцируема, является чрезмерно ограничительным. Однако при практическом рассмотрении многие часто используемые непрерывные распределения обладают тем свойством, что производная функции распределения является соответствующей функцией плотности распределения.

Примечание 3 — В статистическом приемочном выборочном контроле случаи, когда данные имеют количественную характеристику, свидетельствуют о том, что данные соответствуют непрерывному распределению вероятностей.

en

continuous probability distribution, continuous distribution

fr

loi de probabilité continue, distribution continue

2.24 функция вероятности: (Для дискретного распределения) функция, задающая вероятность (2.5) того, что случайная величина (2.10) равна заданному значению.

Пример 1 — Функция вероятности, описывающая случайную величину X, равную числу выпадения «орлов» при бросании трех «идеальных» монет, имеет вид:

P(X = 0) = 1/8,

P(X = 1) = 3/8,

P(X = 2) = 3/8,

P(X = 3) = 1/8.

Пример 2 — Различные функции вероятности приведены в определении часто встречающихся в приложениях дискретных распределений (2.22). Другие примеры одномерных дискретных распределений включают биномиальное распределение (2.46), распределение Пуассона (2.47), гипергеометрическое распределение (2.48) и отрицательное биномиальное распределение (2.49). Примером многомерного дискретного распределения является полиномиальное распределение (2.45).

Примечание 1 — Функция вероятности может быть задана в виде P(X = xi) = pi, где X — случайная величина, xi — заданное значение и pi — соответствующая вероятность.

Примечание 2 — Функция вероятности введена в примере с квантилем уровня p (пример 1 к 2.13) для биномиального распределения (2.46).

en

probability mass function

fr

fonction de masse de probabilité

2.25 мода функции вероятности: Значение, при котором функция вероятности (2.24) достигает локального максимума.

Пример — Биномиальное распределение (2.46) для n = 6 и p = 1/3 является унимодальным с модой, равной трем.

Примечание — Дискретное распределение (2.22) является унимодальным, если его функция вероятности имеет единственную моду, двухмодальным, если его функция вероятности имеет ровно две моды, и мультимодальным, если число мод функции вероятности более двух.

en

mode of probability mass function

fr

mode de fonction de masse de probabilité

2.26 функция плотности распределения (вероятностей); f(x); плотность распределения: Неотрицательная функция, при интегрировании которой по интервалу от - \infty до x получают функцию распределения (2.7) непрерывного распределения (2.23) в точке x.

Пример 1 — Различные функции плотности распределения приведены в определении часто встречающихся в приложениях распределений. Другие примеры включают нормальное распределение (2.50), стандартное нормальное распределение (2.51), t-распределение (2.53), F-распределение (2.55), гамма-распределение (2.56),

\chi^{2} - \text{распределение} (2.57), экспоненциальное распределение (2.58), бета-распределение (2.59), равномерное распределение (2.60), многомерное нормальное распределение (2.64) и двумерное нормальное распределение (2.65).

Пример 2 — Для функции распределения F(x) = 3x2 — 2x3, где 0 <= x <= 1, соответствующая функция плотности вероятности: f(x) = 6x(1 — x), где 0 <= x <= 1.

Пример 3 — Для примера с батареей из 2.1 не существует функции плотности распределения, соответствующей заданной функции распределения, вследствие положительной вероятности нулевого исхода. Однако для условного распределения, в предположении, что батарея изначально функционировала, функция f(x) = exp(-x) при x > 0 является функцией плотности распределения, соответствующей экспоненциальному распределению.

Примечание 1 — Если функция распределения F непрерывно дифференцируемая, то функцией плотности распределения является f(x) = dF(x)/dx для тех x, в которых существует производная.

en

probability density function

fr

fonction de densite de probabilité

Примечание 2 — Графическое представление f(x) предполагает такие описания, как симметричная, заостренная, имеющая тяжелые хвосты, унимодальная, бимодальная (двухмодальная) и т.п. График f(x), совмещенный с гистограммой, дает визуальное представление о согласованности подобранного распределения и данных.

Примечание 3 — Для функции плотности распределения часто используют английскую аббревиатуру — pdf (англ. «probability density function»).

2.27 мода функции плотности распределения (вероятностей): Значение, где функция плотности распределения (2.26) достигает локального максимума.

Примечание 1 — Непрерывное распределение (2.23) является унимодальным, если его функция плотности распределения имеет одну моду, двухмодальным, если его функция плотности распределения имеет две моды, и мультимодальным, если его функция плотности распределения имеет более двух мод.

Примечание 2 — Распределение, у которого моды составляют связное множество, также называют унимодальным.

en

mode of probability density function

fr

mode de fonction de densité de probabilité

2.28 дискретная случайная величина: Случайная величина (2.10), имеющая дискретное распределение (2.22).

Примечание — В настоящем стандарте рассмотрены дискретные случайные величины, подчиняющиеся биномиальному (2.46), пуассоновскому (2.47), гипергеометрическому (2.48) и полиномиальному (2.45) распределениям.

en

discrete random variable

fr

variable discrète aléatoire

2.29 непрерывная случайная величина: Случайная величина (2.10), имеющая непрерывное распределение (2.23).

Примечание — В настоящем стандарте рассмотрены непрерывные случайные величины, подчиняющиеся нормальному распределению (2.50), стандартному нормальному распределению (2.51), t-распределению (2.53), F-распределению (2.55), гамма-распределению (2.56), \chi^{2} - \text{распределению} (2.57), экспоненциальному распределению (2.58), бета-распределению (2.59), равномерному распределению (2.60), распределению экстремальных значений первого типа (2.61), распределению экстремальных значений второго типа (2.62), распределению экстремальных значений третьего типа (2.63), логнормальному распределению (2.52), многомерному нормальному распределению (2.64) и двумерному нормальному распределению (2.65).

en

continuous random variable

fr

variable aléatoire continue

2.30 центрированное распределение: Распределение (2.11) центрированной случайной величины (2.31).

en

centred probability distribution

fr

loi de centrée probabilité

2.31 центрированная случайная величина: Случайная величина, представляющая собой разность случайной величины (2.10) и ее среднего (2.35).

Примечание 1 — Центрированная случайная величина имеет математическое ожидание, равное нулю.

Примечание 2 — Данный термин применим только к случайным величинам, имеющим среднее. Например, среднее для t-распределения (2.53) с одной степенью свободы не существует.

Примечание 3 — Если случайная величина X имеет среднее (2.35), равное \mu , то соответствующей центрированной случайной величиной является X - \mu , имеющая среднее, равное нулю.

en

centred random variable

fr

variable centrée aléatoire

2.32 стандартизованное распределение: Распределение (2.11) стандартизованной случайной величины (2.33).

en

standardized probability distribution

fr

loi de réduite centrée probabilité

2.33 стандартизованная случайная величина: Центрированная случайная величина (2.31), стандартное отклонение (2.37) которой равно единице.

Примечание 1 — Случайная величина (2.10) автоматически является стандартизованной, если ее среднее равно нулю, а стандартное отклонение — единице. Равномерное распределение на интервале (-30,5, 30,5) имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице. Стандартное нормальное распределение (2.51) является стандартизованным.

Примечание 2 — Если распределение (2.11) случайной величины X имеет среднее (2.35) \mu и стандартное отклонение \sigma , то соответствующей стандартизованной случайной величиной является величина (X - \mu)\sigma .

en

standardized random variable

fr

variable réduite centrée aléatoire

2.34 момент порядка r; r-й момент: Математическое ожидание (2.12) r-й степени случайной величины (2.10).

Пример — Пусть случайная величина имеет функцию плотности распределения (2.26) f(x) = exp(-x) для x > 0. С помощью базовых приемов интегрирования (интегрирование по частям) получаем E(X) = 1, E(X2) = 2, E(X3) = 6 и E(X4) = 24 или в общем случае E(Xr) = r!. Это распределение является экспоненциальным распределением (2.58).

Примечание 1 — В одномерном дискретном случае соответствующая формула имеет следующий вид:

E(X^{r}) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{r}p(x_{i})

для конечного числа исходов n и

E(X^{r}) = \sum_{i = 1}^{\infty} x_{i}^{r}p(x_{i})

для счетного числа исходов. В одномерном непрерывном случае соответствующая формула имеет следующий вид:

E(X^{r}) = \int_{- \infty}^{\infty} x^{r}f(x)dx .

Примечание 2 — Если случайная величина является k-мерной, то ее r-ю степень определяют покомпонентно.

Примечание 3 — Рассмотренные моменты случайной величины используют возведение в степень X. В общем случае могут быть рассмотрены моменты порядка r величин X - \mu или (X - \mu)\sigma .

en

moment of order r, rth moment

fr

moment d'ordre r

2.35 среднее

en

means

fr

moyennes

2.35.1 среднее; момент порядка r = 1; \mu : Для непрерывного распределения момент порядка r, где r равно единице, вычисленный как интеграл от произведения x и функции плотности распределения (2.26), f(x) по множеству действительных чисел.

Пример 1 — Пусть x — непрерывная случайная величина (2.29) с функцией плотности распределения, где f(x) = 6x(1 — x), где 0 <= x <= 1. Среднее x равно \int_{0}^{1} 6x^{2}(1 - x)dx = 0,5 .

Пример 2 — Для примера с батареей из 2.1 и 2.7 среднее равно 0,9, так как с вероятностью 0,1 среднее дискретной части распределения равно нулю и с вероятностью 0,9 среднее непрерывной части распределения равно единице. Это распределение является смесью непрерывного и дискретного распределений.

Примечание 1 — Среднее непрерывного распределения (2.23) обозначают символом E(X) и вычисляют как

E(X) = \int_{- \infty}^{\infty} xf(x)dx .

Примечание 2 — Среднее существует не для всех случайных величин (2.10). Например, если X имеет функцию плотности распределения f(x) = [\pi(1 + x^{2})]^{- 1} , интеграл, соответствующий E(X), расходится.

en

mean, moment of order r = 1

fr

moyenne, moment d'ordre r = 1

2.35.2 среднее; \mu : Для дискретного распределения сумма произведений xi и функции вероятности (2.24) p(xi).

Пример 1 — Пусть дискретная случайная величина X (2.28) представляет собой число выпадений «орлов» при бросании трех «идеальных» монет. Функция распределения имеет следующий вид:

P(X = 0) = 1/8

P(X = 1) = 3/8

P(X = 2) = 3/8

P(X = 3) = 1/8

Следовательно, среднее X равно

\mu = 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8) = 12/8 = 1,5 .

Пример 2 — См. пример 2 к 2.35.1.

Примечание — Среднее дискретного распределения (2.22) обозначают E(x) и вычисляют по формуле

E(X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}p(x_{i})

для конечного числа исходов или

E(X) = \sum_{i = 1}^{\infty} x_{i}p(x_{i})

для счетного числа исходов.

en

mean

fr

moyenne de probabilité

2.36 дисперсия; V: Момент порядка r (2.34) центрированного распределения вероятностей (2.30) случайной величины (2.10), где r равно 2.

Пример 1 — Для дискретной случайной величины (2.28) из примера 2 к 2.24 дисперсия равна:

\sum_{i = 1}^{3} (x_{i} - 1,5)^{2}P(X = x_{i}) = 0,75 .

Пример 2 — Для непрерывной случайной величины (2.29) из примера 1 к 2.26 дисперсия равна:

\int_{0}^{1} (x_{i} - 0,5)^{2}6x(1 - x)dx = 0,05 .

Пример 3 — В примере с батареей из 2.1 дисперсия может быть определена с помощью представления дисперсии X в эквивалентном виде E(X2) — [E(X)]2. Из примера 3 к 2.35 E(X) = 0,9. С помощью аналогичных преобразований можно получить, что E(X2) = 1,8. Таким образом, дисперсиях X — это 1,8 — (0,9)2, что составляет 0,99.

Примечание — Эквивалентным определением дисперсии является «математическое ожидание (2.12) квадратичной случайной величины и ее среднего (2.35)». Дисперсию случайной величины X обозначают символом V(X), где V(X) = E{[X — E(X)]2.

en

variance

fr

variance

2.37 стандартное отклонение; \sigma : Положительный квадратный корень из дисперсии (2.36).

Пример — Для примера с батареей из 2.1 и 2.7 стандартное отклонение равно 0,995.

en

standard deviation

fr

écart — type

2.38 коэффициент вариации; CV: Для положительной случайной величины стандартное отклонение (2.37), деленное на среднее (2.35).

Пример — Для примера с батареей из 2.1 и 2.7 коэффициент вариации равен 0,99/0,995 = 0,99497.

Примечание 1 — Обычно используют представление коэффициента вариации, выраженного в процентах.

Примечание 2 — Данный термин заменяет ранее используемый термин «относительное стандартное отклонение».

en

coefficient of variation

fr

coefficient de variation

2.39 коэффициент асимметрии; Y1: Момент порядка 3 (2.34) стандартизованного нормального распределения (2.32) случайной величины (2.10).

Пример — Для примера с батареей из 2.1 и 2.7, где распределение является смесью непрерывного и дискретного распределений, с учетом примера к 2.34

E(X) = 0,1(0) + 0,9(1) = 0,9

E(X2) = 0,1 (02) + 0,9(2) = 1,8

E(X3) = 0,1(0) + 0,9(6) = 5,4

E(X4) = 0,1(0) + 0,9(24) = 21,6.

При вычислении коэффициента асимметрии следует отметить, что E{[X — E(X)]3} = E(X3) — 3E(X) E(X2) + 2[E(X)]3 и, учитывая, что стандартное отклонение равно 0,995 (см. 2.37), коэффициент асимметрии составляет [5,4 — 3(0,9) (1,8) + 2(0,9)3]/(0,995)3 = 1,998.

Примечание 1 — Эквивалентное определение основано на математическом ожидании (2.12) третьей степени величины (X - \mu)\sigma , что выражают как E[(X - \mu)^{3}\sigma^{3} .

Примечание 2 — Коэффициент асимметрии является мерой симметрии распределения (2.11), его иногда обозначают как \sqrt{\beta} . Для симметричных распределений коэффициент асимметрии равен нулю (при условии существования соответствующих моментов). Примеры распределений с нулевым коэффициентом асимметрии: нормальное распределение (2.50), бета-распределение (2.59) при условии \alpha = \beta и t-распределение (2.53) при условии существования моментов.

en

coefficient of skewness

fr

coefficient d'asymétrie

2.40 коэффициент эксцесса; \beta_{2} : Момент порядка 4 (2.34) стандартизованного распределения (2.32) случайной величины (2.10).

Пример — Для примера с батареей из 2.1 и 2.7, учитывая, что

E{[X — E(X)]4} = E(X)2 — 4E(X)E(X3) + 6[E(X)]2E(X2) — 3[E(X)]4

коэффициент эксцесса составляет

[21,6 — 4(0,9)(5,4) + 6(0,9)2(2) — 3(0,9)4]/(0,995)4 = 8,94.

Примечание 1 — Эквивалентным определением является математическое ожидание (2.12) четвертой степени (X - \mu)\sigma , т.е. E[(X - \mu)^{4}\sigma^{4} .

Примечание 2 — Коэффициент эксцесса является мерой тяжести хвостов распределения (2.11). Для равномерного распределения (2.60) коэффициент эксцесса составляет 1,8; для нормального распределения (2.50) коэффициент эксцесса равен 3; для экспоненциального распределения (2.58) коэффициент эксцесса равен 9.

Примечание 3 — При рассмотрении значений эксцесса нужна осторожность, так иногда из значения, вычисленного в соответствии с определением, вычитают тройку (эксцесс нормального распределения).

en

coefficient of kurtosis

fr

coefficient d'aplatissement

2.41 смешанный момент порядков r и s: Среднее (2.35) произведения r-й степени одной случайной величины (2.10) и s-й степени другой случайной величины при их совместном распределении вероятностей (2.11).

en

joint moment of orders r and s

fr

moment combiné d'ordres r et s

2.42 центральный смешанный момент порядков r и s: Среднее (2.35) произведения r-й степени одной центрированной случайной величины (2.31) и s-й степени другой центрированной случайной величины при их совместном распределении вероятностей (2.11).

en

joint central moment of orders r and s

fr

moment centré combiné d'ordres r et s

2.43 ковариация; \sigma_{XY} : Среднее (2.35) произведения двух центрированных случайных величин (2.31) при их совместном распределении (2.11).

Примечание 1 — Ковариация является центральным смешанным моментом порядков 1 и 1 (2.42) двух случайных величин.

Примечание 2 — Ковариация имеет вид — E[(X - \mu_{X})(Y - \mu_{Y}) , где E(X) = \mu_{X} и E(Y) = \mu_{Y} .

en

covariance

fr

covariance

2.44 коэффициент корреляции: Среднее (2.35) произведения двух стандартизованных случайных величин (2.33) в их совместном распределении (2.11).

Примечание - Коэффициент корреляции иногда более кратко называют просто корреляцией. Однако данное употребление накладывается на интерпретацию корреляции как связи между двумя случайными величинами.

en

correlation coefficient

fr

coefficient de corrélation

2.45 полиномиальное [мультиномиальное] распределение: Дискретное распределение (2.22), имеющее функцию распределения (2.24)

P(X_{1} = x_{1},X_{2} = x_{2},...,X_{k} = x_{k}) = \frac{n!}{x_{1}!x_{2}!...x_{k}!} p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}...p_{k}^{x_{k}} ,

где x₁, x₂, ... ,xk — неотрицательные целые числа, такие, что x₁ + x₂ + ... + xk = n с параметрами pi > 0 для всех i = 1, 2, ..., k при p1 + p2 + ... + pk = 1;

k — целое число, большее или равное двум.

Примечание - Полиномиальное распределение дает число реализаций каждого из k возможных исходов в n независимых испытаниях, где каждое испытание в качестве результата имеет одно и то же множество из k возможных взаимоисключающих событий и вероятности событий одинаковы во всех испытаниях.

en

multinomial distribution

fr

loi multinomiale

2.46 биномиальное распределение: Дискретное распределение (2.22) с функцией вероятности (2.24)

P(X = x) = \frac{n!}{x!(n - x)!} p^{x}(1 - p)^{n - x} ,

где x = 0, 1, 2, ..., n с параметрами n = 1, 2, ..., и 0 < p < 1.

Пример — Функция вероятности, описанная в примере 1 к 2.24, является функцией биномиального распределения с параметрами: n = 3 и p = 0,5.

Примечание 1 — Биномиальное распределение представляет собой специальный случай полиномиального распределения (2.45) при k = 2.

Примечание 2 — Биномиальное распределение дает вероятность числа реализации каждого из двух возможных исходов в n независимых испытаниях, где каждое испытание в качестве результата имеет одно из двух возможных взаимоисключающих событий (2.2) и вероятности (2.5) событий одинаковы во всех испытаниях.

Примечание 3 — Среднее (2.35) биномиального распределения равно np. Дисперсия (2.36) биномиального распределения равна np(1 — p).

Примечание 4 — В записи функции вероятности биномиального распределения может быть использован биномиальный коэффициент:

.

en

binomial distribution

fr

loi binomiale

2.47 распределение Пуассона: Дискретное распределение (2.22) с функцией распределения (2.24)

P(X = x) = \frac{\lambda^{x}}{x!} e^{- \lambda} ,

где x = 0, 1, 2, ... и \lambda — параметр распределения \lambda>0 .

Примечание 1 — При n, стремящемся к бесконечности, и p, стремящемся к нулю, таким образом, что np стремится к \lambda , биномиальное распределение (2.46) приближается к распределению Пуассона с параметром \lambda .

Примечание 2 — И среднее (2.35), и дисперсия (2.36) распределения Пуассона равны \lambda .

Примечание 3 — Функция вероятности (2.24) распределения Пуассона дает вероятность числа появлений события в единичный интервал времени при заданных условиях, например при независимости интенсивности появления от времени.

en

Poisson distribution

fr

loi de Poisson

2.48 гипергеометрическое распределение: Дискретное распределение (2.22) с функцией распределения (2.24)

P(X = x) = \frac{(\frac{M!}{x!(M - x)!}) \frac{(N - M)!}{(n - x)!(N - M - n + x)!})}{\frac{N!}{n!(N - n)!})} ( ,

где max(0, M — N) <= x <= min(M, n) и целые параметры:

N = 1, 2, ...

M = 0, 1, 2, ..., N — 1

N = 1, 2, ..., N.

Примечание 1 — Гипергеометрическое распределение (2.11) дает число помеченных объектов в простой случайной выборке (1.7) объема n, взятых без замещения из генеральной совокупности (или партии) объема N, содержащей в точности M помеченных объектов.

Примечание 2 - Таблица 4 содержит информацию об объектах гипергеометрического распределения.

Таблица 4

Гипергеометрическое распределение

en

hypergeometric distribution

fr

loi hypergéométrique

Множество

Отмеченные или неотмеченные объекты

Отмеченные объекты

Неотмеченные объекты

Генеральная совокупность

N

M

N — M

Объекты, попавшие в выборку

N

X

N — x

Объекты, не попавшие в выборку

N — n

M — x

N — n - M + x

Примечание 3 — При определенных условиях (например, n мало по отношению к N) гипергеометрическое распределение может быть приближено биномиальным распределением с n и p = M/N.

Примечание 4 — Среднее (2.35) гипергеометрического распределения равно (nM)/N. Дисперсия (2.36) гипергеометрического распределения равна n \frac{M}{N} (1 - \frac{M}{N}) \frac{N - n}{N - 1} .

2.49 отрицательное биномиальное распределение: Дискретное распределение (2.22) с функцией распределения (2.24)

P(X = x) = \frac{(c + x - 1)!}{x!(c - 1)!} p^{c}(1 - p)^{x} ,

где x = 0, 1, 2, ..., n с параметром c > 0 и параметром p, удовлетворяющим условию 0 < p < 1.

Примечание 1 — При c = 1 отрицательное биномиальное распределение называют геометрическим распределением; оно описывает вероятность (2.5) того, что первое появление события (2.2), вероятность которого равна p, будет иметь место в (x + 1)-м испытании.

Примечание 2 — Функция вероятности может быть записана в эквивалентном виде:

.

Термин «отрицательное биномиальное распределение» является следствием данной записи функции вероятности.

Примечание 3 — Версию записи функции распределения, данную в определении, часто называют «распределение Паскаля» при условии, что c — целое число, более или равное единице. В этом случае функция вероятности описывает вероятность того, что c-е появление события (2.2), вероятность которого равна p, будет иметь место в (x + 1)-м испытании.

Примечание 4 — Среднее (2.35) отрицательного биномиального распределения равно (cp)/(1 — p). Дисперсия (2.36) отрицательного биномиального распределения равна (cp)/(1 — p)2.

en

negative binomial distribution

fr

loi binomiale négative

2.50 нормальное распределение; распределение Гаусса: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-}^{\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}} ,

где - \infty<x<\infty , \mu и \sigma — параметры распределения, - \infty<\mu<\infty и \sigma>0 .

Примечание 1 — Одно из наиболее широко используемых распределений вероятностей (2.11) в прикладной статистике. Из-за формы функции плотности распределения ее неформально называют «колоколообразная» кривая. Данное распределение является предельным распределением выборочных средних (1.15). В статистике данное распределение широко используют как опорное распределение для анализа необычности экспериментальных результатов.

Примечание 2 — Параметром положения \mu является среднее (2.35), параметром масштаба \sigma является стандартное отклонение (2.37) нормального распределения.

en

normal distribution, Gaussian distribution

fr

loi normale, loi de Gauss

2.51 стандартное нормальное распределение; стандартное распределение Гаусса: Нормальное распределение (2.50) с \mu = 0 и \sigma = 1 .

Примечание — Функция плотности распределения (2.26) стандартного нормального распределения:

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- x^{2}2} ,

где - \infty<x<\infty .

В таблицах нормального распределения используют функцию плотности распределения для вычисления площади под графиком f для значений в интервале ( - \infty,\infty) .

en

standardized normal distribution, standardized Gaussian distribution

fr

loi normale centrée réduite , loi de Gauss réduite centrée

2.52 логнормальное распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

f(x) = \frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-}^{\frac{(Inx - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}} ,

где x > 0, \mu и \sigma — параметры распределения,

- \infty<\mu<\infty и \sigma>0 .

Примечание 1 — Если Y подчиняется нормальному распределению (2.50) со средним (2.35) \mu и стандартным отклонением \sigma (2.37), то величине X = exp(Y) соответствует функция плотности распределения, приведенная в определении. Если X подчиняется логнормальному распределению с функцией плотности распределения, указанной в определении, то In(X) имеет нормальное распределение со средним \mu и стандартным отклонением \sigma .

Примечание 2 — Средним логнормального распределения является величина exp[\mu + (\sigma^{2})2] , а дисперсией величина exp(2\mu + \sigma^{2}) \cdot [exp(\sigma^{2}) - 1] . Таким образом, среднее и дисперсия логнормального распределения являются функциями параметров \mu и \sigma^{2} .

Примечание 3 — Логнормальное распределение и распределение Вейбулла (2.63) широко используют при анализе надежности.

en

lognormal distribution

fr

distribution lognormale

2.53 t-распределение; распределение Стьюдента: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

f(t) = \frac{\Gamma[(\nu + 1)2]}{\sqrt{\pi\nu} \Gamma(\nu 2)} \cdot (1 + \frac{t^{2}}{\nu}) - (\nu + 1)2 ,

где - \infty<t<\infty ;

\nu — положительное целое число.

Примечание 1 — На практике t-распределение широко используют при определении оценки выборочного среднего (1.15) в общем случае, когда стандартное отклонение оценивают на основе данных выборки. Выборочную t-статистику можно сопоставлять с t-распределением со степенью свободы n — 1 для определения оценки среднего как оценки истинного среднего генеральной совокупности.

Примечание 2 — t-распределение возникает как распределение двух независимых случайных величин (2.10), при этом величина в числителе имеет стандартное нормальное распределение (2.51), а величина в знаменателе распределена как положительный квадратный корень \chi^{2} - \text{распределения} (2.57) после деления на число степеней свободы. Параметр \nu рассматривают как число степеней свободы (2.54).

Примечание 3 — Гамма-функция определена в 2.56.

en

t distribution; Student's distribution

fr

distribution t; loi de Student

2.54 число степеней свободы; \nu : Число членов суммы минус число связей между членами суммы.

Примечание — Данная идея первоначально имела место в контексте использования n — 1 в знаменателе оценки (1.12) выборочной дисперсии (1.16). Число степеней свободы используют для изменения параметров. Термин «число степеней свободы» также широко использован в ИСО 3534-3, где средний квадрат задают как сумму квадратов, деленную на соответствующее число степеней свободы.

en

degrees of freedom

fr

dégress de liberté

2.55 F-распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения вероятности (2.26)

f(x) = \frac{\Gamma[(\nu_{1} + \nu_{2})2]}{\Gamma(\nu_{1}2)\Gamma(\nu_{2}2)} (\nu_{1})^{\nu_{1}2}(\nu_{2})^{\nu_{2}2} \frac{x^{(\nu_{1}2) - 1}}{(\nu_{1}x + \nu_{2})^{(\nu_{1} + \nu_{2})2}} ,

где x > 0;

\nu_{1} и \nu_{2} — положительные целые числа;

Г — гамма-функция, определенная в 2.56.

Примечание 1 — F-распределение полезно как опорное распределение для анализа отношения независимых дисперсий (2.36).

Примечание 2 — F-распределение возникает как распределение отношения двух независимых случайных величин (2.10), каждая из которых подчиняется \chi^{2} - \text{распределению} (2.57), деленному на число степеней свободы (2.54). Параметр \nu_{1} — число степеней свободы числителя, а параметр \nu_{2} — число степеней свободы знаменателя F-распределения.

en

F distribution

fr

loi de F

2.56 гамма-распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

f(x) = \frac{x^{\alpha - 1}e^{- x\beta}}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} ,

где x > 0;

\alpha , \beta — параметры распределения; \alpha>0 , \beta>0 .

Примечание 1 — Гамма-распределение используют в исследованиях надежности для моделирования наработки до отказа. Оно охватывает экспоненциальное распределение (2.58) как специальный случай, а также другие случаи, когда интенсивность отказов возрастает вследствие старения.

Примечание 2 — Гамма-функцию определяют следующим образом:

\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha - 1}e^{- x}dx .

Для целых значений \alpha , \Gamma(\alpha) = (\alpha - 1)! .

Примечание 3 — Среднее (2.35) гамма-распределения равно \alpha , \beta . Дисперсия (2.36) гамма-распределения равна \alpha , \beta^{2} .

en

gamma distribution

fr

loi gamma

2.57 хи-квадрат-распределение, \chi^{2} - \text{распределение} : Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

f(x) = \frac{x^{\frac{\nu}{2}} {}^{- 1}e^{- x2}}{2^{\nu 2}\Gamma(\nu 2)} ,

где x > 0 и \nu>0 .

Примечание 1 — Для данных, описываемых нормальным распределением (2.50) с известным стандартным отклонением (2.37) \sigma , статистика nS^{2}\sigma^{2} подчиняется \chi^{2} - \text{распределению} с n — 1 степенями свободы. Данный результат является основанием для построения доверительных интервалов для \sigma^{2} . Другим применением \chi^{2} - \text{распределения} является его использование в критериях согласий модели данным наблюдений.

Примечание 2 — Данное распределение при \alpha = \nu 2 и \beta = 2 является частным случаем гамма-распределения (2.56). Параметр \nu представляет собой число степеней свободы (2.54).

Примечание 3 — Среднее (2.35) \chi^{2} - \text{распределение} равно \nu . Дисперсия (2.36) \chi^{2} - \text{распределения} равна 2\nu .

en

chi-squared distribution, \chi^{2}distribution

fr

loi de chi deux, \chi^{2}distribution

2.58 экспоненциальное распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

f(x) = \beta^{- 1}e^{- x\beta} ,

где x > 0 и \beta>0 .

Примечание 1 — Экспоненциальное распределение является базовым в исследовании надежности в случае отсутствия «старения» или отсутствия «памяти».

Примечание 2 — Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения (2.56) при \alpha = 1 и \chi^{2} - \text{распределения} (2.57) при \nu = 2 .

Примечание 3 — Среднее (2.35) экспоненциального распределения равно \beta . Дисперсия (2.36) экспоненциального распределения равна \beta^{2} .

en

exponential distribution

fr

loi exponentielle

2.59 бета-распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

f(x) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha - 1}(1 - x)^{\beta - 1} ,

где 0 <= x <= 1, \alpha , \beta — параметры \alpha , \beta>0 .

Примечание - Бета-распределение очень изменчиво, его функция плотности распределения принимает разнообразные формы (унимодальную, J-образную, U-образную). Данное распределение используют как модель неопределенности, связанную с долями. Например, при моделировании страховых случаев, вызванных ураганами, наблюдаемая доля ущерба, связанного с разрушением определенного вида конструкций при заданной скорости ветра, может составлять 0,40, хотя некоторые сооружения испытывают такой же ущерб при меньшей скорости ветра вследствие накопления разрушений. Бета-распределение со средним 0,40 может служить моделью диспропорции ущерба для данного типа сооружений.

en

beta distribution

fr

loi bêta

2.60 равномерное распределение; прямоугольное распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

f(x) = \frac{1}{b - a} ,

где a <= x <= b.

Примечание 1 — Равномерное распределение с a = 0 и b = 1 лежит в основе типичного генератора случайных чисел.

Примечание 2 — Среднее (2.35) равномерного распределения равно (a + b)/2. Дисперсия (2.36) равномерного распределения равна (b — a)2/12.

Примечание 3 — Равномерное распределение является частным случаем бета-распределения при \alpha = 1 и \beta = 1 .

en

uniform distribution, rectangular distribution

fr

loi uniforme, loi rectangulaire

2.61 распределение экстремальных значений типа I; распределение Гумбеля: Непрерывное распределение (2.23) с функцией распределения (2.7)

где - \infty<x<\infty и параметры $- \infty0.

Примечание — Распределение экстремальных значений является подходящим опорным распределением для распределения крайних порядковых статистик (1.9) X(1) и X(n). При n, стремящемся к \infty , три возможных предельных распределения являются распределениями трех типов экстремальных значений, представленных в 2.61, 2.62 и 2.63.

en

type I extreme value distribution, Gumbel distribution

fr

loi des valeurs extrêmes de type I, loi de Gumbel

2.62 распределение экстремальных значений типа II; распределение Фреше: Непрерывное распределение (2.23) с функцией распределения (2.7)

F(x) = e^{-}(^{\frac{x - a}{b}})^{- k},

где x > a, a, b, k — параметры распределения, $- \infty0, k > 0.

en

en type II extreme value distribution, Fréchet distribution

fr

loi des valeurs extrêmes de type II, loi de Fréchet

2.63 распределение экстремальных значений типа III; распределение Вейбулла: Непрерывное распределение (2.23) с функцией распределения (2.7)

F(x) = 1 - e^{-}(^{\frac{x - a}{b}})^{k},

где x > a, a, b, k — параметры распределения, $- \infty0, k > 0.

Примечание 1 — В дополнение к тому, что данное распределение служит одним из трех возможных предельных распределений экстремальных порядковых статистик, распределение Вейбулла играет важную роль в различных приложениях, особенно в анализе надежности и инжиниринге. Оно дает эмпирическое приближение различных наборов данных.

Примечание 2 — Параметр a является параметром положения в том смысле, что он является наименьшим значением, которого может достигать распределение Вейбулла. Параметр b является параметром масштаба [связан со стандартным отклонением распределением Вейбулла]. Параметр k является параметром формы.

Примечание 3 — При k = 1 распределение Вейбулла охватывает экспоненциальное распределение. Экспоненциальное распределение при параметрах a = 0 и b в степени 1/k является распределением Вейбулла, данным в определении. Другим частным случаем распределения Вейбулла является распределение Рэлея (при a = 0 и k = 2).

en

type III extreme value distribution, Weibull distribution

fr

loi des valeurs extrêmes de type III, loi de Weibull

2.64 многомерное нормальное распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности вероятности (2.26):

f(x) = (2\pi)^{- \pi 2}|\Sigma|^{- n2}e^{-}^{\frac{(x - \mu)^{T}\Sigma^{- 1}(x - \mu)}{2}} ,

где - \infty<x_{i}<\infty для каждого i;

\mu — n-мерный вектор параметров;

\Sigma — матрица параметров размера n x n, симметричная, положительно определенная;

жирным шрифтом выделены n-мерные векторы.

Примечание — Каждое из частных распределений (2.18) многомерного нормального распределения в данном случае имеет нормальное распределение. Однако кроме рассматриваемого распределения существует много других многомерных распределений, имеющих нормальные частные распределения.

en

multivariate normal distribution

fr

loi normale \text{а} plusieurs variables

2.65 двумерное нормальное распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{x}\sigma_{y} \sqrt{1 - \rho^{2}}} exp\{ - \frac{1}{2(1 - \rho^{2})} [(\frac{x - \mu_{x}}{\sigma_{x}})^{2} - 2\rho(\frac{x - \mu_{x}}{\sigma_{x}})(\frac{y - \mu_{y}}{\sigma_{y}}) + (\frac{y - \mu_{y}}{\sigma_{y}})2]\} ,

где - \infty<x<\infty ,

- \infty<y<\infty ,

- \infty<\mu_{x}<\infty ,

- \infty<\mu_{y}<\infty ,

\sigma_{x}>0 ,

\sigma_{y}>0 ,

||\rho|<1 .

Примечание 1 — Согласно приведенной записи для пары (X, Y), имеющей данную функцию плотности распределения (2.26) E(X) = \mu_{x} , E(Y) = \mu_{y} , V(X) = \sigma_{x}^{2} , V(Y) = \sigma_{y}^{2} и \rho — коэффициент корреляции (2.44) между X и Y.

en

bivariate normal distribution

fr

loi normale \text{а} deux variables

2.66 стандартное двумерное нормальное распределение: Двумерное нормальное распределение (2.65), имеющее стандартное нормальное распределение (2.51) компонент.

en

standardized bivariate normal distribution

fr

loi normale centrée réduite \text{а} deux variables

2.67 выборочное распределение: Распределение некоторой статистики.

Примечание — Иллюстрации некоторых выборочных распределений представлены в примечании 2 к 2.53, примечании 1 к 2.55 и примечании 1 к 2.57.

en

sampling distribution

fr

distribution d'échantillonage

2.68 вероятностное пространство; ( \Omega , , ): Тройка, состоящая из пространства элементарных событий (2.1), заданной на нем сигма-алгебры событий (2.69) и вероятностной меры (2.70).

Пример 1 — Пусть пространство элементарных событий состоит из результатов отбора одного из 105 объектов (с номерами от единицы до 105), произведенных оборудованием в конкретный день. Сигма-алгебра событий содержит все возможные подмножества: {отсутствует выбранный объект}, {выбран объект 1}, {выбран объект 2}, ... {выбран объект 105}, {выбраны объекты 1 и 2}, ..., {выбраны все 105 i-объектов}. Вероятностная мера может быть определена как число выбранных объектов, соответствующих наступившему событию, деленное на общее число элементарных исходов. Например, событию {выбраны объекты 4, 27 и 92} соответствует вероятностная мера 3/105.

Пример 2 — Рассматривают время работы батареи. Если батарея попадает в руки уже разряженной, то ее время работы определяют как 0 ч. Если же батарея функционирует некоторое время, то ее время работы подчиняется некоторому распределению (2.11), подобному экспоненциальному распределению (2.58). Общее распределение является смесью дискретного распределения (нулевое время работы изначально разряженных батарей) и непрерывного распределения (ненулевое время работы). Для упрощения примера предпочтительно, чтобы время работы батареи было сравнительно мало по отношению к длительности периода исследования и чтобы измерение проходило непрерывно. На практике может иметь место левое или правое цензурирование времени работы (например, известно, что время жизни не менее 5 ч или батарея разряжается между 3 и 3,5 ч работы), что дает преимущества при дальнейшем анализе. Пространство элементарных событий представляет собой неотрицательную часть действительной прямой. Сигма-алгебра событий содержит все промежутки [0, x) и множество {0}. Также сигма-алгебра включает все счетные объединения и пересечения этих множеств. Вероятностная мера определена как для изначально нефункционирующих батарей, так и для батарей с положительным временем жизни. Детали соответствующих вычислений представлены в выше разобранных примерах. en probability space fr espace de probabilité

2.69 сигма-алгебра событий, \sigma - \text{алгебра} ; сигма-поле; \sigma - \text{поле} ; : Множество событий (2.2) со следующими свойствами:

a) события принадлежат ;

b) если событие принадлежит , то дополнительное к нему событие (2.3) также принадлежит ;

c) если {Ai} — любое множество событий из , то объединение \cup _{i = 1i}^{{}^{\infty}A} или пересечение \cup _{i = 1i}^{{}^{\infty}A} этих событий также принадлежат .

Пример 1 — Если пространством элементарных событий является множество целых чисел, то сигма-алгебра событий может быть множеством всех подмножеств целых чисел.

Пример 2 — Если пространством элементарных событий является множество всех действительных чисел, то сигма-алгебра событий может включать все множества, соответствующие всем интервалам на действительной прямой, их конечные и счетные объединения, а также пересечения этих интервалов. Данный пример может быть расширен на высшие размерности путем рассмотрения k-мерных интервалов. В частности, при размерности два множество интервалов может состоять из областей, определяемых множеством {(x,y):x < s, y < t} для всех действительных значений s и t.

Примечание 1 — Сигма-алгебра — это множество, элементами которого являются множества. Множество всех возможных исходов \Omega — элемент сигма-алгебры событий, что отражено в определении в свойстве a).

Примечание 2 - Свойство c) касается набора операций на коллекции подмножеств (возможно, счетной мощности) сигма-алгебры событий. Его запись указывает на то, что все счетные объединения и пересечения этих множеств принадлежат сигма-алгебре событий.

Примечание 3 — Согласно свойству c) сигма-алгебре событий также принадлежит замыкание конечного объединения или пересечения множеств. Спецификатор сигма используют, чтобы подчеркнуть, что множество замкнуто даже относительно счетного числа операций на множествах.

en

sigma algebra of events, \sigma - algebra sigma field \sigma - field

fr

sigma — algèbre des événements \sigma - algèbre des événements \sigma - algèbre tribu champ sigma \sigma - champ

2.70 вероятностная мера; : Неотрицательная функция, определенная на сигма-алгебре событий (2.69), такая, что:

a) (\Omega) = 1 ,

где \Omega обозначает пространство элементарных событий (2.1);

b) (\cup _{i = 1i}^{{}^{\infty}A})^{=} \sum^{\infty} {}_{i = 1}(A_{i}) ,

где {Ai} — последовательность попарно не пересекающихся событий (2.2).

Пример — В примере со временем работы батареи, представленным в 2.1, некоторое событие состоит в том, что время работы батареи менее 1 ч. Данное событие состоит из пары непересекающихся событий: {батарея изначально не функционировала} и {батарея изначально функционировала, но время функционирования составило менее 1 ч}. Эквивалентная запись событий: {0} и (0,1). Вероятностная мера события {0} равна доле батарей, которые не функционировали изначально. Вероятностная мера события (0,1) зависит от конкретного непрерывного распределения [например, экспоненциального (2.58)], которому подчиняется распределение отказов.

Примечание 1 — Вероятностная мера назначает каждому событию из сигма-алгебры событий число из замкнутого интервала [0, 1]. Значение вероятностной меры, равное единице, соответствует событию, которое обязательно произойдет. Вероятностная мера, приписываемая всему множеству элементарных событий, равна единице. Вероятностная мера невозможного события равна нулю.

Примечание 2 - Свойство b) указывает на то, что при наличии последовательности событий, где каждая пара событий не содержит общих элементарных событий, вероятностная мера объединения данных событий равна сумме вероятностных мер отдельных событий. Данное свойство (как отражено в записи свойства) сохраняется для счетного числа событий.

Примечание 3 — Три компонента вероятности действенным образом связаны через случайные величины. Вероятности (2.5) событий, соответствующие образу (множеству принимаемых значений) случайной величины (2.10), возникают как вероятности событий пространства элементарных событий. Событию, принадлежащему образу случайной величины, назначают вероятность события пространства элементарных событий, это отображение является отображением «на», производимым случайной величиной.

Примечание 4 — Образ случайной величины — множество действительных чисел или множество упорядоченных наборов n действительных чисел (образ случайной величины является отображением «на»).

en

probability measure

fr

mesure de probabilité

Приложение A (справочное)

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Обозначение	Термин	Номер в словаре
A	Событие	2.2
AC	Дополнительное событие	2.3
	Сигма-алгебра событий, \sigma - \text{алгебра} , сигма-поле	2.69
A	Уровень значимости	1.45
\alpha , \lambda , \mu , \beta , \sigma , \rho , \gamma , p, N, M, c, v, a, b, k	Параметр
\beta_{2}	Коэффициент эксцесса (эксцесс)	2.40
E(Xk)	Выборочный момент порядка k	1.14
E[g(X)]	Математическое ожидание	2.12
F(x)	Функция распределения случайной величины	2.7
f(x)	Функция плотности вероятности	2.26
\gamma_{1}	Коэффициент асимметрии	2.39
H	Гипотеза	1.40
H0	Нулевая гипотеза	1.41
HA, H1	Альтернативная гипотеза	1.42
k	Размерность
k, r, s	Порядок момента	1.14, 2.34, 2.41, 2.42
M	Среднее (математическое ожидание)	2.35
\nu	Число степеней свободы	2.54
N	Объем выборки
\Omega	Пространство элементарных событий	2.1
( \Omega , , )	Вероятностное пространство	2.68
P(A)	Вероятность события A	2.5
P(A|B)	Условная вероятность, вероятность события A при условии реализации события B	2.6
	Вероятностная мера	2.70
rxy	Выборочный коэффициент корреляции	1.23
s	Наблюдаемое значение выборочного стандартного отклонения
S	Выборочное стандартное отклонение	1.17
S2	Выборочная дисперсия	1.16
SXY	Выборочная ковариация	1.22
\sigma	Стандартное отклонение	2.37
\sigma^{2}	Дисперсия	2.36
\sigma_{XY}	Ковариация	2.43
\sigma_{\hat{\theta}}	Стандартная ошибка	1.24
	\sigma_{X}	Стандартная ошибка выборочного среднего
\theta	Параметр распределения
\hat{\theta}	Оценка	1.12
V(X)	Дисперсия случайной величины x	2.36
X(i)	i-я порядковая статистика	1.9
x, y, z	Наблюдаемое значение	1.4
X, Y, Z, T	Случайная величина	2.10
Xp, xp	p-квантиль, p-фрактиль	2.13
\overline{X} , \overline{x}	Среднее арифметическое, выборочное среднее	1.15

Приложение B (справочное)

СХЕМЫ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ

Рисунок B.1 — Основные понятия, связанные с выборкой и генеральной совокупностью

Рисунок B.2 — Основные понятия, связанные с выборочными моментами

Рисунок B.3 — Понятия, связанные с получением оценок

Рисунок B.4 — Понятия, связанные со статистическими критериями

Рисунок B.5 — Понятия, связанные с классами и эмпирическими распределениями

Рисунок B.6 — Понятия, связанные со статистическим выводом

Приложение C (справочное)

СХЕМЫ ДЛЯ ТЕРМИНОВ, СВЯЗАННЫХ С ТЕОРИЕЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Рисунок C.1 — Основные понятия теории вероятностей

Рисунок C.2 — Основные понятия, связанные с моментами

Рисунок C.3 — Понятия, связанные с распределениями вероятностей

Рисунок C.4 — Понятия, связанные с непрерывными распределениями

Приложение D (справочное)

МЕТОДОЛОГИЯ РАЗРАБОТКИ СЛОВАРЯ

D.1 Введение

Широкое применение стандартов ИСО требует наличия согласованного понятного словаря, доступного потенциальным пользователям стандартов по прикладным статистическим методам.

Анализ связи между понятиями, используемыми в прикладной статистике, создание диаграмм взаимосвязи между понятиями служат предпосылкой согласованности словаря. Данный анализ использован при разработке настоящего стандарта. Так как диаграммы, используемые при разработке, полезны в информативном смысле, они приведены в D.4.

D.2 Содержание словарных статей и правило подстановки

Понятие образует мультиязыковый модуль. На каждом языке выбран наиболее подходящий термин, делающий определение, представленное на данном языке, доступным для понимания, в связи с чем подход к переводу терминов не является буквальным переводом.

Определения сформированы с учетом только тех характеристик, которые составляют суть понятия. Важная информация, не составляющая суть определения, приведена в примечаниях к определению.

Словарь разработан с учетом того, что в случае замены понятия его определением с минимальным изменением синтаксиса не должен быть изменен смысл текста. Данная замена представляет собой простой метод проверки определений. Однако если определение является сложным в том смысле, что оно содержит в себе несколько понятий, такую подстановку лучше производить для одного или максимум для двух понятий одновременно. Полная замена всех понятий их определениями порождает синтаксические сложности и бесполезна в плане передачи смысла текста.

D.3 Взаимосвязь понятий и ее графическое представление

D.3.1 Общие положения

Терминологически словарь построен таким образом, что соотношения между понятиями основаны на иерархическом формировании характеристик некоторого класса, т.е. краткое описание понятия формируется путем наименования его класса и описания характеристик, отличающих его от родительских понятий или понятий того же уровня.

В данном приложении отражены три основные формы взаимосвязи понятий: общие (D.3.2), разделительные (D.3.3) и ассоциативные (D.3.4).

D.3.2 Общая взаимосвязь

В иерархии понятий подчиненные понятия наследуют все характеристики понятий более высокого уровня и содержат описание данных характеристик вместе с их отличиями от родительских понятий и понятий того же уровня, что и они сами, например соотношение между понятиями «весна», «лето», «осень», «зима» и «время года».

Общая взаимосвязь отображена с помощью «веера» или «дерева» без стрелок (см. рисунок D.1).

Рисунок D.1 — Графическое представление общей взаимосвязи

D.3.3 Разделительная взаимосвязь

В иерархии понятий подчиненные понятия являются составными частями понятия более высокого уровня, например: весна, лето, осень и зима могут быть составными частями понятия «год». В сопоставлении неуместно определять солнечную погоду (одну из возможных характеристик лета) как часть года.

Разделительные взаимосвязи отображают прямыми вертикальными линиями («граблями») без стрелок (см. рисунок D.2). Единственную часть отображают с помощью одной линии, множественные — с помощью двойной линии.

Рисунок D.2 — Графическое представление разделительной взаимосвязи

D.3.4 Ассоциативная взаимосвязь

Ассоциативная взаимосвязь не дает возможности сократить описание, что обеспечивают общая и разделительная взаимосвязи, однако ассоциативная взаимосвязь полезна при определении природы отношений между системой понятий, например: причина и следствие, деятельность и расположение, деятельность и результат, инструмент и функция, материал и продукт.

Ассоциативную взаимосвязь отображают линией со стрелками на каждом конце (см. рисунок D.3).

Рисунок D.3 — Графическое представление ассоциативной взаимосвязи

D.4 Понятийные схемы

На рисунках B.1 - B.5 представлены схемы, на основе которых построен раздел 1. На рисунке B.6 приведена дополнительная схема, отображающая взаимоотношение некоторых понятий, присутствующих ранее на рисунках B.1 - B.5. На рисунках C.1 - C.4 представлены схемы, на основе которых построен раздел 2. Некоторые термины присутствуют более чем в одной диаграмме, таким образом связывая схемы, как указано ниже.

Представленные на рисунке C.4 распределения: нормальное t-распределение, F-распределение, стандартное нормальное, гамма-, бета-, хи-квадрат-распределение, экспоненциальное, равномерное, экстремальных значений I типа, экстремальных значений II типа, экстремальных значений III типа распределения являются примерами одномерных распределений. Многомерное нормальное, двумерное нормальное и стандартное двумерное нормальное — примеры многомерных распределений. Включение одномерного распределения (2.16) и многомерного распределения (2.17) чрезмерно загромождает рисунок.

Алфавитный указатель терминов на русском языке

Алфавитный указатель эквивалентов терминов на английском языке

Алфавитный указатель эквивалентов терминов на французском языке