Рекомендации по учету ползучести и усадки бетона при расчете бетонных и железобетонных конструкций

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ БЕТОНА И ЖЕЛЕЗОБЕТОНА (НИИЖБ) ГОССТРОЯ СССР

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО УЧЕТУ ПОЛЗУЧЕСТИ И УСАДКИ БЕТОНА ПРИ РАСЧЕТЕ БЕТОННЫХ И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Рекомендованы к изданию решением секции конструкций Ученого совета НИИЖБа.

Содержат методику расчета железобетонных конструкций с учетом ползучести и усадки бетона, условий изготовления, а также сроков нагружения конструкций.

Изложены основные положения расчета, приведены значения деформаций ползучести и усадки тяжелых бетонов и другие характеристики, необходимые для расчета. Даны методики определения потерь предварительного напряжения от усадки и ползучести бетона, жесткостей и перемещений изгибаемых и сжатых элементов, величин критических сил для сжатых стержней, а также методика расчета статистически неопределимых систем.

Для инженерно-технических работников проектных и производственных организаций, научных работников, а также студентов строительных вузов.

Табл. 33, ил. 9.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящие Рекомендации содержат положения по учету ползучести и усадки бетона при проектировании бетонных и железобетонных стержневых элементов и составленных из них систем, изготовленных из тяжелого бетона и применяемых в промышленном, гражданском, гидротехническом, транспортном и других областях строительства.

Целью Рекомендаций является внедрение в практику проектирования методов расчета, позволяющих более точно учитывать влияние деформаций ползучести и усадки бетона на напряженно-деформированное состояние бетонных и железобетонных конструкций. Использование в расчетном аппарате статистически обоснованных характеристик бетона, принимаемых в зависимости от состава бетона, его возраста в момент нагружения, длительности действия нагрузки, условий окружающей среды в стадии эксплуатации конструкции и других факторов, позволяет более правильно проектировать бетонные и железобетонные конструкции.

Рекомендации предусматривают возможность применения расчетного аппарата также и при отсутствии в полном объеме исходных данных о составе бетона и некоторых других факторах.

Основными характеристиками бетона, учитываемыми в расчетах, являются прочность и модуль упругости бетона в момент приложения силового или температурно-влажностного воздействия, мера ползучести (характеристика ползучести) бетона, деформация усадки бетона и др.

Рекомендации состоят из 12-ти разделов: в разделах 1 - 3 излагаются основные положения и предпосылки методик расчета, а также приводятся значения прочностных и деформационных характеристик бетона; в разделах 4 - 9 содержится изложение методов расчета бетонных и железобетонных конструкций с учетом ползучести и усадки в предположении линейной зависимости между напряжениями и деформациями; в разделах 10 - 12 приведены методики расчета с учетом нелинейного деформирования бетона при кратковременном и длительном действии нагрузки.

Рекомендации составлены на основе результатов исследований, проведенных в СССР и за рубежом.

Рекомендации разработаны НИИЖБ Госстроя СССР (д-р техн. наук Р.Л. Серых, канд. техн. наук А.В. Яшин), ЦНИИС Минтрансстроя (кандидаты техн. наук Е.Н. Щербаков, Н.Г. Хубова), ВЗИСИ Минвуза РСФСР (д-р техн. наук В.М. Бондаренко, кандидаты техн. наук В.Г. Назаренко, И.М. Сперанский), ОИСИ Минвуза УССР (д-р техн. наук И.Е. Прокопович, кандидаты техн. наук М.В. Штейнберг, А.Н. Орлов), ЛПИ имени М.И. Калинина Минвуза РСФСР (д-р техн. наук П.И. Васильев); НИИСК Госстроя СССР (д-р техн. наук А.Б. Голышев, кандидаты техн. наук В.Я. Бачинский, В.А. Критов).

В разработке отдельных положений Рекомендаций приняли также участие ИСМиС АН ГССР (д-ра техн. наук З.Н. Цилосани, Г.В. Кизирия); ВЗПИ Минвуза СССР (д-р техн. наук Ю.В. Зайцев), ЦНИИС Минтрансстроя (инж. В.Л. Хасин); ДИСИ Минвуза УССР (канд. техн. наук В.А. Пахомов), КАДИ Минвуза УССР (д-р техн. наук Я.Д. Лившиц, ОИСИ Минвуза УССР (кандидаты техн. наук В.И. Барановский, М.М. Застава, инж. М.М. Бакирова), КПИ Минвуза МССР (д-р техн. наук Е.Н. Львовский, инж. Ф.П. Сырбу), ВЗИСИ Минвуза РСФСР (кандидаты техн. наук В.В. Костюков, А.Н. Курбанов, Е.П. Михлин); Ленинградский ИСИ Минвуза РСФСР (канд. техн. наук А.И. Филиппов); ЦНИИпроект Госстроя СССР (канд. техн. наук С.В. Бондаренко).

Все замечания и предложения по содержанию настоящих Рекомендаций просьба направлять в НИИЖБ по адресу: 109389, Москва, 2-я Институтская ул., д. 6.

1. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. Настоящие Рекомендации содержат указания по учету влияния деформаций ползучести и усадки при расчете бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона на цементном вяжущем, выполняемых как без предварительного натяжения арматуры, так и с предварительным натяжением, и предназначенных для эксплуатации в условиях воздействия температур не выше плюс 50 °C и не ниже минус 40 °C и относительной влажности воздуха в пределах от 30 до 100%.

1.2. Материалы Рекомендаций основаны на обширных результатах статистической обработки опытных данных о кратковременном и длительном деформировании бетона, а также экспериментально проверенных теоретических решениях задач теории ползучести. Рекомендации позволяют более точно оценивать влияние ползучести и усадки бетона на несущую способность и перемещения, создают возможности для проектирования более рациональных и экономичных бетонных и железобетонных конструкций.

Для упрощения расчетов помещены таблицы, в которых промежуточные значения определяют по линейной интерполяции.

1.3. Рекомендации распространяются на расчет стержневых элементов бетонных и железобетонных конструкций, а также конструкций, рассчитываемых аналогичными способами, при действии нагрузок и (или) вынужденных деформаций (температурные и влажностные воздействия, смещения опор и т.д.).

Рекомендации не распространяются на расчет массивных конструкций гидротехнических и других сооружений. При наличии данных о величинах деформации ползучести и усадки Рекомендации могут применяться и для расчета конструкций из других видов бетона (на пористых заполнителях, на специальных вяжущих и т.п.).

1.4. При определении внутренних усилий и перемещений расчетные температура и влажность среды устанавливаются заданием на проектирование. При отсутствии в задании необходимых указаний температура и влажность среды определяются по отраслевым техническим условиям.

1.5. В расчетах с учетом ползучести возраст бетона в момент загружения его длительной нагрузкой на ранних стадиях твердения (при t_{\text{о}}<28\text{сут} ) в естественных условиях или после тепловлажностной обработки принимают как приведенную характеристику \overline{t_{\text{о}}} , зависящую от кубиковой прочности бетона в момент загружения R_{b}^{G}(t_{\text{о}}) и определяемую согласно п. 2.5.

1.6. Численные значения характеристик бетона, приведенные в настоящих Рекомендациях, предназначены только для проектирования. Характеристики арматуры, а также другие данные, не нашедшие отражения в Рекомендациях, следует принимать по соответствующим нормативным документам.

1.7. Усилия в статически неопределимых железобетонных конструкциях от нагрузок и вынужденных деформаций при расчете по предельным состояниям первой и второй групп следует, как правило, определять с учетом неупругих деформаций бетона и арматуры, с учетом в необходимых случаях нелинейности деформаций при кратковременном нагружении и деформаций ползучести, наличия трещин, а также деформированного состояния как отдельных элементов, так и конструкций в целом.

1.8. Усилия, возникающие при любом изменении температуры, определяют в предположении однократного и стационарного во времени характера этих температурных воздействий.

1.9. Вынужденные деформации, связанные с неравномерной осадкой опор в статически неопределимых системах, считаются мгновенно зафиксированными или монотонно изменяющимися по законам, регламентированным соответствующими документами или полученным по результатам экспериментальных или натурных наблюдений.

1.10. При расчете конструкций, возводимых методом последовательного наложения связей после частичного или полного загружения, перемещения в направлении этих связей, сформировавшиеся при работе по разрезной схеме, рассматривают как вынужденные перемещения в неразрезной системе, сохраняющиеся после замыкания связей.

1.11. Если статически неопределимая система состоит из конструктивных элементов, бетон которых существенно различается по возрасту, составу или другим показателям, то в расчет системы следует вводить элементы с соответствующими жесткостями, а также параметрами ползучести и усадки.

2. ПРОЧНОСТНЫЕ И ДЕФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БЕТОНА

2.1. Вводимые в расчет класс бетона по прочности на сжатие B и нормативное значение призменной прочности R_{bn} имеют обеспеченность, равную 0,95, и принимаются согласно СНиП 2.03.01-84 для возраста бетона t = 28 сут. Значения модуля упругости E_{b}(t) , предельные значения меры ползучести C^{N}(\infty,28) и деформации усадки є_{s}^{N}(\infty,7) , определяемые по формулам (1), (3) и (4) или по табл. 2 и 4, принимаются среднестатистическими с обеспеченностью 0,5 и соответствуют базовым условиям, принятым по ГОСТ 24452-80 и ГОСТ 24544-81 с изм.

2.2. Для учета в расчетах влияния отклонений фактических условий изготовления загружения и эксплуатации железобетонных элементов от базовых условий (возраста бетона в момент загружения или же начала его высыхания, размеров поперечного сечения элемента, температурно-влажностного режима окружающей среды, тепловлажностной обработки) числовые значения деформационных характеристик E_{b}(t) , C^{N}(\infty,28) , є_{s}^{N}(\infty,7) , полученные согласно п. 2.1, умножают на коэффициенты, приведенные в табл. 5 - 7 и в примечаниях к табл. 2 и 4.

2.3. Значение начального модуля упругости бетона E_{b}(t) при известных характеристиках состава бетонной смеси и ее составляющих определяют по формуле

E_{b}(t) = \frac{400sR_{b}^{G}(t)}{s\rho_{T} + R_{b}^{G}(t)} [] , (1)

где R_{b}^{G}(t) — гарантированное значение кубиковой прочности бетона при сжатии с обеспеченностью 0,95 (согласно СТ СЭВ 1406-78) в возрасте t, МПа; P_{T} — удельное по массе содержание цементного теста в бетонной смеси; s — параметр, характеризующий влияние упругих свойств заполнителя в бетоне и принимаемый по табл. 1.

Примечания. 1. Для бетонов, подвергнутых тепловлажностной обработке, значения C^{N}(\infty,28) и є_{s}^{N}(\infty,7) , вычисленные по формулам (3) и (4) или принятые по данной таблице, следует умножить на коэффициент, равный 0,9.

2. Значения C^{N}(\infty,28) , найденные по формуле (3) или данной таблице, следует кроме того умножить на коэффициент, принимаемый равным: для бетонов, изготовленных на пуццолановом портландцементе, — 1,35; для бетонов, изготовленных на шлакопортландцементе, — 1,15 при загружении их в условиях атмосферной влажности и 0,85 — при загружении во влагонасыщенной среде; для бетонов, изготовленных на крупном заполнителе из известняка, — 0,85.

2.9. Предельные значения меры ползучести C(\infty,28) и относительных деформаций усадки є_{s}(\infty,t_{w}) , используемые в расчетах, вычисляют по формулам:

C(\infty,28) = C^{N}(\infty,28)\xi_{2c}\xi_{3c} ; (5а)

где \xi_{ic} и \xi_{is} — коэффициенты, принимаемые по табл. 5, 6 и 7.

Примечания. 1. Модуль открытой поверхности элемента M_{o} = F/V (F — площадь поверхности элемента, открытой для испарения влаги, м2; V — объем элемента, м3). Для стержневых элементов модуль открытой поверхности M_{o} допускается вычислять по формуле M_{o} = P/A (P — периметр поперечного сечения, соответствующий указанной открытой поверхности, м; A — площадь поперечного сечения элемента, м2).

2. Относительную влажность среды W принимают с учетом указаний п. 1.4. Для конструкций, эксплуатируемых на открытом воздухе, ее устанавливают в зависимости от климатического района расположения сооружения, согласно СНиП 2.01.01-82, как среднюю относительную влажность воздуха наиболее жаркого месяца.

3. Для ТУ климатического района, согласно СНиП 2.01.01-82, относительную влажность воздуха рекомендуется устанавливать как среднемесячную влажность, соответствующую времени загружения (начала высыхания) элементов конструкции.

4. Для элементов типовых конструкций, климатический район эксплуатации для которых неизвестен, допускается принимать коэффициенты \xi_{3\text{с}} и \xi_{3s} равными 1.

2.10. Если воздействие длительной нагрузки на элементы конструкций носит многократно повторный (вибрационный) характер, то предельное значение меры ползучести, вычисленное по формуле (5а), должно быть дополнительно умножено на коэффициент \xi_{\rho} , определяемый по формуле

где \rho = \frac{\sigma_{min}}{\sigma_{max}} — коэффициент асимметрии цикла вибрационного воздействия многократно повторной нагрузки;

\xi_{\rho}^{0} = \omega(\frac{\sigma_{max}}{R_{bn}})e^{8,6 \cdot 10^{- 3}} — коэффициент, учитывающий влияние частоты повторений нагрузки \omega , Гц, и относительного максимального уровня нагружения \sigma_{max}/R_{bn} при \rho = 0 .

2.11. Коэффициент температурной линейной деформации бетона при изменении температуры от минус 40 до плюс 50 °C принимают равным 1 \cdot 10^{- 5}\text{град}^{- 1} .

2.12 Коэффициент Пуассона для бетона принимают в среднем равным 0,2.

3. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ РАСЧЕТА

3.1. Методика расчета бетонных и железобетонных конструкций с учетом влияния ползучести и усадки бетона основывается на феноменологических зависимостях между напряжениями и деформациями.

Полную деформацию принимают равной сумме деформации усадки, мгновенной деформации и деформации ползучести, которые считаются взаимонезависимыми. Мгновенные деформации связаны с напряжениями, действующими в момент приложения нагрузки. Для деформаций ползучести допускается применение принципа наложения воздействий.

3.2. В расчетах бетонных и железобетонных конструкций зависимость между напряжениями и деформациями может приниматься линейной при следующих условиях:

при кратковременном нагружении — независимо от класса бетона по прочности на сжатие при напряжениях, не превышающих 0,80 расчетного значения призменной прочности R_{b} ;

при длительном нагружении — если напряжения в долях от R_{b} не превышают значений, приведенных в табл. 8.

3.4 Деформации бетона, возникающие при каждом изменении температуры в момент времени t, вычисляют по формуле

є_{T}(t) = \alpha_{b\text{т}} \cdot \Delta T(t) , (8)

где \alpha_{b\text{т}} — коэффициент линейной температурной деформации бетона, принимаемый согласно п. 2.11, \text{град}^{- 1} ; \Delta T(t) — приращение температуры бетона в момент времени t, град.

3.5 Деформации усадки бетона в момент времени t вычисляют по формуле

є_{s}(t,t_{w}) = є_{s}(\infty,t_{w})[1 - e^{- \alpha_{s}(t - t_{w})}] , (9)

где є_{s}(\infty,t_{w}) — предельное значение относительной деформации усадки с момента начала высыхания бетонного элемента, определяемое согласно указаниям п. 2.9; \alpha_{s} — параметр, характеризующий скорость нарастания деформаций усадки во времени и принимаемый в зависимости от модуля открытой поверхности элемента по табл. 10.

Примечание. Для конструкций, эксплуатируемых на открытом воздухе в районах, относящихся к IV климатической зоне, указанные в данной таблице значения параметра \alpha_{s} относят к началу усадки в осенний и весенний периоды года (октябрь, апрель); значения параметра \alpha_{s} увеличивают на 30%, если усадка начинается в летнее время года (июль), и уменьшают на 50% при начале усадки в зимнее время года (январь); в промежуточных случаях применяют линейную интерполяцию.

3.6. Меру ползучести бетона к моменту времени t при нагружении его в возрасте t_{\text{о}} принимают в виде:

где C(\infty,28) — предельное значение меры ползучести, принимаемое согласно п. 2.9; \Omega(t_{\text{о}}) — функция, учитывающая влияние старения бетона на меру ползучести; f(t - t_{\text{о}}) — функция, учитывающая нарастание во времени меры ползучести.

3.7 Для функций \Omega(t_{\text{о}}) и f(t - t_{\text{о}}) принимают выражения:

Таблица 12

3.9 Характеристикой ползучести бетона \varphi(t,t_{\text{о}}) называется величина

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В БЕТОННЫХ И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЯХ КАК В СИСТЕМАХ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ОДНОРОДНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

4.1 Усилия в системах, составленных из однородных элементов, могут определяться на основании следующих положений:

а) усилия в плоской стержневой системе M^{*}(t) , Q^{*}(t) и N^{*}(t) , вызванные длительно действующими нагрузками, приложенными после постановки всех связей, тождественно равны усилиям M(t), Q(t) и N(t), вычисленным путем решения упругой задачи;

б) усилия, вызванные длительными вынужденными деформациями (изменение температуры или влажности бетона, неравномерная осадка опор в статически неопределимых системах и т.д.), M^{*}(t) , Q^{*}(t) и N^{*}(t) связаны с усилиями упругой задачи M(t), Q(t) и N(t) посредством интегральных уравнений

\overline{\nu}(t) = 1/[1 + 0,2\varphi(t)] ; (19)

предельную характеристику ползучести \varphi(t) принимают согласно п. 3.9.

Примечание. Здесь и далее усилия упругой задачи M(t), Q(t) и N(t) вычисляют для момента начала действия нагрузки или вынужденных деформаций в предположении, что этот момент совпадает с рассматриваемым моментом времени t; усилия M^{*}(t) , Q^{*}(t) и N^{*}(t) вычисляют с учетом деформаций ползучести за промежуток времени t - t_{0} .

4.2. При длительных стационарных вынужденных деформациях усилия в системе, составленной из однородных элементов, можно определять по формулам:

В формулах (20) M(t_{\text{о}}) , Q(t_{\text{о}}) и N(t_{\text{о}}) — усилия упругой задачи, вычисленные для момента начала действия вынужденных деформаций t_{\text{о}} ; H^{*}(t,t_{\text{о}}) — коэффициент затухания, учитывающий изменение усилий вследствие ползучести бетона (п. 4.4), начиная с момента времени t_{\text{о}} .

Длительные нестационарные вынужденные деформации можно представить в виде сумм стационарных деформаций, действующих начиная с моментов времени t_{\text{о}} , t_{1} ,..., t_{n}<t .

Усилия от каждой из этих стационарных вынужденных деформаций определяются по формулам (20), а затем суммируются.

4.3. Усилия \Delta M^{*}(t) , \Delta Q^{*}(t) и \Delta N^{*}(t) , возникающие в системе при постановке дополнительных связей в момент времени t_{1} после того, как в момент времени t_{\text{о}}<t_{1} была приложена постоянная во времени нагрузка, можно вычислить по формулам:

где коэффициент \beta учитывает перемещения элементов, происходящие за промежуток времени t_{1} - t_{\text{о}} ; M(t_{1}) , Q(t_{1}) и N(t_{1}) — усилия упругой задачи, найденные в предположении, что связи поставлены до приложения нагрузки; H^{*}(t,t_{1}) — коэффициент затухания, учитывающий изменение усилий вследствие ползучести, начиная с момента времени t_{1} (см. п. 4.4).

Усилия, вызванные предварительным обжатием, при расчете систем рассматривают как усилия от внешних, постоянных во времени сил. Для определения этих сил нужно из начального усилия предварительного обжатия P_{\text{о}} вычесть величину 0,5\sigma_{l}A_{s} , где \sigma_{l} — потери предварительного напряжения, определяемые согласно указаниям разд. 5 настоящих Рекомендаций.

4.4. Коэффициенты затухания H^{*}(t,t_{\text{о}}) , учитывающие изменение усилий вследствие ползучести бетона при t_{\text{о}} \geq 28\text{сут} , вычисляют по формулам, приведенным в табл. 13. По этим же формулам с предварительной заменой t_{\text{о}} на t_{1} вычисляют и коэффициенты H^{*}(t,t_{1}) . Входящие в указанные формулы значения \varphi и \varphi(t_{\text{о}}) определяют согласно указаниям п. 3.9, а d, \gamma , \gamma_{1} — из табл. 11 и 12.

t = t_{\text{о}}	t \rightarrow \infty	t>t_{\text{о}}
1	2	3
H^{*}(t,t_{\text{о}}) = \overline{\nu}(t_{\text{о}}) \overline{\nu}(t_{\text{о}}) = 1/[1 + 0,2\varphi(t_{\text{о}})]	\overline{\nu}(\infty) = 1/(1 + 0,1\varphi) ; i = 1, 2, 3,... \zeta(t_{\text{о}}) = \overline{\nu}(t_{\text{о}})d\varphi e^{- \gamma(t_{\text{о}})}	r = \gamma_{1}[1 + 0,5\overline{\nu}(t_{\text{о}})]

Таблица 14

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕРЬ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ПОЛЗУЧЕСТИ И УСАДКИ БЕТОНА

N п. п.	Схемы стержневых элементов	Геометрические характеристики	Дополнительные данные
1		\mu_{p} = (A_{s} + A_{s}\prime)/A ; \rho_{1} = 1	Стержень с поперечным сечением, имеющим две оси симметрии
2		\mu_{p} = A_{s}/A ; \mu\prime_{p} = A_{s}\prime/A ; \rho_{1} = 2Ah_{1}^{2}/J
3		\mu_{p} = A_{s}/A ; \rho_{1} = 1 + Ah_{1}^{2}/J	Стержень с поперечным сечением, имеющим одну ось симметрии
4		\mu_{p} = A_{s}/b ; \rho_{1} = 1/ln \frac{b}{a} A_{s} — площадь сечения арматуры на единицу длины трубы	Труба с кольцевой арматурой
5		\mu_{p} = A_{s}/A_{k} ; A_{k} — площадь поперечного сечения опорного кольца	Сферический купол со скользящим опорным кольцом, армированным по наружному краю
6		\mu_{p} = A_{s}/A ; \mu\prime_{p} = A_{s}\prime/A ; \rho_{1} = 1 + Ah_{1}^{2}/J ; \rho_{2} = 1 + Ah_{2}^{2}/J ; \rho_{12} = 1 - Ah_{1}h_{2}/J	Стержень с двойной арматурой и поперечным сечением, имеющим одну ось симметрии

где \sigma_{b} , \mu_{p} и \rho_{1} находят согласно указаниям п. 5.2 и табл. 15, а коэффициент L определяют по следующим формулам:

при натяжении арматуры на упоры

L = 1 - H_{b}^{*}(\infty,t_{\text{о}}) , (27)

при натяжении арматуры на бетон

L = 1 - H_{b}^{*}(\infty,t_{\text{о}})[1 + 0,2\varphi_{s}(t_{\text{о}})] , (28)

где H_{b}^{*}(\infty,t_{\text{о}}) вычисляют с помощью формул табл. 13 (2-я графа) с заменой \varphi и \varphi(t_{\text{о}}) соответственно на \varphi_{s} и \varphi_{s}(t_{\text{о}}) либо принимают по табл. 16; \varphi_{s} и \varphi_{s}(t_{\text{о}}) вычисляют при помощи выражений:

\varphi_{s} = \overline{\lambda}\varphi;\varphi_{s}(t_{\text{о}}) = \overline{\lambda}\varphi(t_{\text{о}}) , (29)

определяя значение \overline{\lambda} по формуле

\overline{\lambda} = \mu_{p}\rho_{1}\alpha/(1 + \mu_{p}\rho_{1}\alpha) . (30)

Таблица 16

При определении потерь предварительного напряжения за конечный промежуток времени t - t_{\text{о}} значения коэффициента L определяют из следующих выражений:

при натяжении арматуры на упоры

L = 1 - H_{b}^{*}(t,t_{\text{о}}) , (31)

при натяжении арматуры на бетон

L = 1 - H_{b}^{*}(t,t_{\text{о}})[1 + 0,2\varphi_{s}(t_{\text{о}})] , (32)

где H_{b}^{*}(t,t_{\text{о}}) вычисляют с помощью формул табл. 13 (3-я колонка), заменяя \varphi и \varphi(\overline{t_{\text{о}}}) на \varphi_{s} и \varphi_{s}(t_{\text{о}}) . При t => 28 сут значения L — можно также определять по табл. 16. Для этого предварительно необходимо вычислить условное значение \varphi_{s}(t,28) по формуле

\varphi_{s}(t,28) = \overline{\lambda}E_{b}(28)C^{*}(t,28) , (33)

где C^{*}(t,28) определяют по формуле (10), полагая E_{b}(t) = E_{b}(t_{\text{о}}) = E_{b}(28) . Затем по табл. 16, принимая \varphi_{s}(t,28) вместо \varphi_{s} , определяют условное значение H_{b}^{*}(\infty,t_{\text{о}}) и вычисляют L по формулам:

при натяжении арматуры на упоры

L = [1 - 0,2\varphi_{s}(t,28)][1 - H_{b}^{*}(\infty,t_{\text{о}})] , (34)

при натяжении арматуры на бетон

{}^{L = 1 -}{_{sb\text{о}}^{1 - [1 - 0,2\varphi(t,28)][1 - H^{*}(\infty,t)]}}_{s(\text{о })}^{[1 + 0,2\varphi t]} . (35)

В табл. 13 и 16 в качестве t_{\text{о}} принимается приведенный возраст, определяемый согласно п. 3.8, если фактический возраст менее 28 сут; в противном случае в качестве t_{\text{о}} принимается фактический возраст.

5.4. Для учета нелинейной составляющей деформации ползучести величину \varphi , вычисляемую по формуле (17), умножают на коэффициент

f_{e} = 1 + v_{c}[\eta(t_{\text{о}})]^{m_{c}} , (36)

где

\eta(t_{\text{о}}) = 0,78\sigma_{b}/R_{bn}(t_{\text{о}}) , (37)

а значения v_{c} и m_{c} принимают по табл. 9.

При определении потерь с учетом нелинейной составляющей деформации ползучести следует принимать в расчет влияние уменьшения напряжений в бетоне на деформации его ползучести. Для этого величину \varphi дополнительно умножают на коэффициент k_{\sigma} , вычисляемый по формуле:

k_{\sigma} = [1,6 - \eta(t_{\text{о}})] + [0,4k_{t} - \eta(t_{\text{о}})]\varphi_{s} (38)

и принимаемый не более 1.

Здесь k_{t} = 1,5 при t_{\text{о}} \leq 7\text{сут} , k_{t} = 1,0 при t_{\text{о}} \geq 28\text{сут} ; при промежуточных значениях t_{\text{о}} величину k_{t} определяют по линейной интерполяции. В формуле (38) величину \varphi_{s} принимают без учета нелинейной составляющей деформации ползучести бетона не более 0,6.

При определении потерь предварительного напряжения за конечный промежуток времени t - t_{\text{о}} значение \varphi_{s} в формуле (38) следует заменить на величину \varphi_{s}(t,28) , вычисляемую по формуле (33).

5.5. При наличии в сечении ненапрягаемой арматуры ее влияние на величину потерь предварительного напряжения допускается учитывать путем использования вместо \varphi_{s} приведенной характеристики ползучести \varphi_{bs} , вычисляемой по формуле:

\varphi_{bs} = L/(\mu\rho_{2}\alpha) , (39)

где величины \mu = A_{s}/A ; \alpha = E_{s}/E_{b} , L вычисляют как для элемента, имеющего только ненапрягаемую арматуру; \rho_{2} определяют с помощью табл. 15 (поз. 6).

5.6. Для элементов с двойной несимметричной напрягаемой арматурой (табл. 15, поз. 6) предельную (при t \rightarrow \infty ) величину потерь предварительного напряжения от ползучести бетона \sigma_{lc} и \sigma_{l}\prime_{c} в арматуре S и S' вычисляют по формулам:

(40)

где

\overline{\rho_{1,2}} = 0,5\rho_{1}[(1 + \omega) \pm \sqrt{(1 - \omega)^{2} + 4\omega\beta\beta\prime}] ,

v = 1/[\mu_{p}(\overline{\rho_{1}} - \overline{\rho_{2}})];\omega = \rho_{2}\mu\prime_{p}/\rho_{1}\mu_{p};\beta = \rho_{12}/\rho_{1};\beta\prime = \rho_{12}/\rho_{2} . (41)

Величины L и L', входящие в формулы (40), определяют согласно указаниям п. 5.3, причем для нахождения L' в формулах (27), (28), (31), (32), (34), (35) необходимо заменить \overline{\lambda} , \varphi_{s} , \varphi_{s}(t_{\text{о}}) , H_{b}^{*}(\infty,t_{\text{о}}) соответственно на \overline{\lambda}\prime , \varphi_{s}\prime , \varphi_{s}\prime(t_{\text{о}}) , H_{b}\prime^{*}(\infty,t_{\text{о}}) .

\overline{\lambda} = \mu_{p}\overline{\rho_{1}}\alpha/(1 + \mu_{p}\overline{\rho_{1}}\alpha),\overline{\lambda}\prime = \mu_{p}\overline{\rho_{2}}\alpha/(1 + \mu_{p}\overline{\rho_{2}}\alpha) . (42)

В случае если выполняется условие |\rho_{12}| \leq 0,25 (табл. 15, поз. 6): величины \sigma_{lc} и \sigma_{l}\prime_{c} допускается определять без учета взаимного влияния усилий в арматуре S и S'. Значение \sigma_{lc} вычисляют по формуле (26), а \sigma_{l}\prime_{c} — по той же формуле с заменой \sigma_{b} , \mu_{p} , \rho_{1} , L на \sigma_{b}\prime , \mu\prime_{p} , \rho_{2} , L'.

Если по условиям эксплуатации конструкции не требуется определять потери в арматуре S', то в случае, когда |\rho_{12}| \leq 0,5 и \mu\prime_{p}/\mu_{p}<0,3 , потери \sigma_{lc} в арматуре S могут вычисляться, как для элемента с одиночной арматурой.

5.7. Для элементов с двойной напрягаемой арматурой влияние нелинейной составляющей деформации ползучести следует учитывать в соответствии с п. 5.4, вычисляя отдельно коэффициенты \eta(t_{\text{о}}) , f_{c} , k_{\sigma} и \eta\prime(t_{\text{о}}) , f_{c}\prime , k_{\sigma}\prime для бетона, расположенного на уровне центров тяжести арматуры соответственно S и S'.

Влияние ненапрягаемой арматуры на величину потерь предварительного напряжения учитывается также раздельно согласно п. 5.5, для чего необходимо, кроме \varphi_{bs} , вычислить аналогичным образом \varphi_{b}\prime_{s} .

Потери предварительного напряжения \sigma_{lc} и \sigma_{l}\prime_{c} , происходящие за конечный промежуток времени t - t_{\text{о}} , определяют по формулам (40) с учетом указаний п. 5.3. При этом, кроме H_{b}^{*}(\infty,t_{\text{о}}) , необходимо определить также H_{b}\prime^{*}(\infty,t_{\text{о}}) .

5.8. В тех случаях, когда обжатие напрягаемой арматурой и передача части постоянной нагрузки на конструкцию происходит в возрасте бетона t_{\text{о}} , а остальная часть и длительная нагрузка прикладываются в возрасте t_{1}>t_{\text{о}} , потери \sigma_{lc}(t_{\text{о}}) , \sigma_{l}\prime_{c}(t_{\text{о}}) и \sigma_{lc}(t_{1}) , \sigma_{l}\prime_{c}(t_{1}) подсчитывают отдельно, а затем суммируют алгебраически. При вычислении \sigma_{lc}(t_{1}) и \sigma_{l}\prime_{c}(t_{1}) нелинейная составляющая деформации ползучести не учитывается.

5.9. Предельные (при t \rightarrow \infty ) значения потерь предварительного напряжения в арматуре S и S', вызванные усадкой бетона, вычисляют по формулам:

\sigma_{lc} = [\overline{\lambda}E_{b}є_{s}(\infty,t_{w})/\mu_{p}\rho_{1}]L_{s};\sigma_{l}\prime_{s} = [\lambda\prime E_{b}є_{s}(\infty,t_{w})/\mu\prime_{p}\rho_{2}]L_{s}\prime . (43)

Величину є_{s}(\infty,t_{w}) определяют согласно п. 2.10, \overline{\lambda} — по формуле (30), \lambda\prime — по той же формуле с заменой \mu_{p} и \rho_{1} на \mu\prime_{p} и \rho_{2} . Коэффициент L_{s} вычисляют по формуле

{}_{sw}^{L = [208 + 3,7(14,3 - 0,1t)^{2}]/}{_{s\text{о}}^{1000 + \varphi[623 + 4,5(9 - 0,1t)^{2}]}} , (44)

где \varphi_{s} принимается без учета указаний п. 5.4. Для определения L_{s}\prime в (44) следует подставить \varphi_{s}\prime . В формулах (43) и (44) допускается принимать t_{w} = t_{\text{о}} .

5.10. При определении потерь предварительного напряжения \sigma_{1s} и \sigma_{1}\prime_{s} за конечный промежуток времени t - t_{\text{о}} необходимо умножить коэффициенты L_{s} и L_{s}\prime на величину

Пример 1. Определение потерь предварительного напряжения в железобетонном элементе с симметричным армированием.

Дано: элемент нижнего пояса железобетонной фермы; сечение прямоугольное, h = 0,28 м, b = 0,25 м. Бетон тяжелый класса B40, осадка конуса 1 — 2 см; напрягаемая арматура из канатов класса К-7, E_{s} = 1,8 \cdot 10^{5}\text{МПа} , A_{s} = 17,7 \cdot 10^{- 4}\text{м}^{2} ; ненапрягаемая арматура — класса А-III, E_{s} = 2,0 \cdot 10^{5}\text{МПа} , A_{s} = 8,04 \cdot 10^{- 4}\text{м}^{2} . Вся арматура расположена симметрично относительно главных центральных осей сечения. Натяжение производится на упоры, бетон подвергается пропариванию. Передаточная прочность бетона R_{bp}(t_{\text{о}}) = 30\text{МПа} . Напряжения в арматуре к моменту окончания обжатия \sigma_{p} = 938\text{МПа} . Расчетная влажность воздуха 70%. На 90-й день после отпуска натяжных приспособлений к ферме прикладывается эксплуатационная нагрузка, которая вызывает растягивающее усилие в нижнем поясе N = 1,200 МН.

Требуется определить потери предварительного напряжения вследствие ползучести и усадки: 1) через неограниченно большой период времени; 2) на 90-й день после отпуска натяжных приспособлений.

Расчет. Характеристики бетонного сечения: A = 0,0700 м2; периметр — 1,060 м. Модуль открытой поверхности M_{o} = 1,060/0,0700 = 15,1\text{м}^{- 1} , \mu_{p} = 17,7 \cdot 10^{- 4}/0,0700 = 0,0252 ; \mu = 8,04 \times 10^{- 4}/0,0700 = 0,0114 . Согласно табл. 2 с учетом термообработки: E_{b} = E_{b}(28) = 36,0 \cdot 10^{3} \cdot 0,9 = 32,4 \cdot 10^{3}\text{МПа} .

Для напрягаемой арматуры \alpha = 1,8 \cdot 10^{5}/(32,4 \cdot 10^{3}) = 5,56 ; для ненапрягаемой — \alpha = 2,0 \cdot 10^{5}/(32,4 \cdot 10^{3}) = 6,17 . Так как \mu_{p} + \mu>0,03 , приведенную площадь сечений вычисляем, уменьшая площадь сечения бетона за счет сечения арматуры:

Усилие предварительного обжатия и начальные напряжения в бетоне:

P_{\text{о}} = 938 \cdot 17,7 \cdot 10^{- 4} = 1,6603\text{МН} ; \sigma_{b} = 1,6603/0,0822 = 20,31\text{МПа} .

\xi_{1c} = 2 - 30/40 = 1,25 ,

затем по формуле (13)

Для этого возраста при классе бетона B40 по табл. 3 определяем R_{bn} = 21,2\text{МПа} , откуда в соответствии с п. 3.3 \overline{R_{bn}} = 21,2/0,7768 = 27,2\text{МПа} .

По табл. 4, с учетом термообработки, находим

Согласно табл. 5 - 7 для ползучести \xi_{2c} = 0,845 ; \xi_{3c} = 0,87 ; для усадки \xi_{1s} = 1 ; \xi_{2s} = 0,793 ; \xi_{3s} = 0,91 . Отсюда получаем по формулам (5а) и (5б) расчетные предельные значения меры ползучести и относительной деформации усадки:

C(\infty,28) = 53,1 \cdot 0,845 \cdot 0,870 = 39,0 \cdot 10^{- 6}\text{МПа}^{- 1} ;

є_{s}(\infty,t_{w}) = 297 \cdot 10^{- 6} \cdot 1 \cdot 0,890 \cdot 0,870 = 214 \cdot 10^{- 6} .

\varphi = 32,4 \cdot 10^{3} \cdot 39,0 \cdot 10^{- 6} = 1,264 .

Согласно поз. 1. табл. 15 \rho_{1} = 1 . По формулам (30) и (29) вычисляем

\varphi_{s} = 0,1229 \cdot 1,264 = 0,155 .

В соответствии с п. 5.4 учтем влияние нелинейной составляющей деформации ползучести. По табл. 9 находим v_{c} = 1,22 ; m_{c} = 4,00 ; по формулам (37), (36) и (38)

k_{t} = 1,5 ; k_{\sigma} = 1,6 - 0,747 + (0,4 \cdot 1,5 - 0,747)0,155 = 0,830 .

Теперь \varphi = 1,264 \cdot 1,380 \cdot 0,830 = 1,448 .

Согласно п. 5.5 учитывается снижение характеристики ползучести ввиду наличия ненапрягаемой арматуры. Для этой арматуры \mu p_{2}\alpha = 0,0114 \cdot 1 \cdot 6,17 = 0,0703 ; \overline{\lambda} = 0,0703/(1 + 0,0703) = 0,0657 ; \varphi_{s} = 1,448 \cdot 0,0657 = 0,095 . По табл. 16 для 15 \leq M_{o} \leq 30 , \varphi_{s} = 0,095 ; t_{\text{о}} = 28 определяем H_{b}^{*}(\infty,28) = 0,9112 , откуда согласно формуле (27) L = 1 — 0,9112 = 0,0888.

По формуле (39) вычисляем приведенную предельную характеристику ползучести железобетона \varphi_{bs} = 0,0888/0,0703 = 1,262 (отсюда видно, что благодаря ненапрягаемой арматуре характеристика ползучести снизилась на 13%). По этой величине определим согласно формуле (29) скорректированное значение \varphi_{s} = 0,1229 \cdot 1,262 = 0,155 . Затем по табл. 16 найдем H_{b}^{*}(\infty,7) = 0,8263 , а по (27) L = 1 — 0,8263 = 0,1737 и вычислим с помощью (26) потери предварительного напряжения вследствие ползучести при действии усилия предварительного обжатия: \sigma_{lc} = [20,31/(0,0252 \cdot 1)]0,1737 = 140,0\text{МПа} .

Потери предварительного напряжения вследствие усадки находим согласно п. 5.9:

{}_{s}^{L = [208 + 3,7(14,3 - 7)^{2}]/}{^{100 + 0,155[623 + 4,5(9 - 0,17)^{2}]}}^{= 0,779} ;

Для вычисления потерь предварительного напряжения от эксплуатационной нагрузки определяем вызванное ею начальное напряжение в бетоне

\sigma_{b} = - 1,2/0,0822 = - 14,60\text{МПа} .

Суммарное начальное напряжение (п. 5.8): \sigma_{b}(t_{\text{о}}) + \sigma_{b}(t_{1}) = 20,31 - 14,60 = 5,71\text{МПа} .

Для бетона класса B40 R_{b} = 21,5\text{МПа} (табл. 13 СНиП 2.03.01-84); отношение 5,71/21,5 = 0,266, что меньше значений, приведенных в табл. 8. Поэтому нелинейную составляющую деформации ползучести при вычислении потерь от эксплуатационной нагрузки можно не учитывать. Для \varphi = 1,264 ; \varphi_{s} = 0,155 ; t_{\text{о}} = 97\text{сут} находим по табл. 16 коэффициент затухания H_{b}^{*}(\infty,97) = 0,8957 . По формуле (27): L = 1 — 0,8957 = 0,1043, откуда согласно (26) \sigma_{lc} = [ - 14,60/(0,0252 \cdot 1)]0,1043 = - 60,4\text{МПа} . Таким образом, при t \rightarrow \infty суммарная величина потерь предварительного напряжения

\sigma_{l} = 140,0 + 26,3 - 60,4 = 105,9\text{МПа} .

Определим потери, происходящие за промежуток времени 90 сут. По табл. 11 находим \gamma_{1} = 0,0051/\text{сут} ; на основании (10) C^{*}(97;28) = 39,0 \cdot 10^{- 6}[1 - 0,8e^{- 0,005(97 - 28)}] = 16,9 \cdot 10^{- 6} ; по (33) получается: \varphi_{s}(90;28) = 0,1229 \cdot 32,4 \cdot 10^{3} \cdot 16,9 \cdot 10^{- 6} = 0,067 . Аналогично предыдущему вычисляем k_{\sigma} = 1,6 - 0,747 + (0,4 \cdot 1,5 - 0,747) \cdot 0,067 = 0,843 . Величина f_{c} остается равной 1,380. Характеристика ползучести с учетом нелинейности \varphi(97;28) = 32,4 \cdot 10^{3} \cdot 16,9 \cdot 10^{- 6} \cdot 1,380 \cdot 0,843 = 0,638 . Для ненапрягаемой арматуры \overline{\lambda} = 0,0657 , \varphi_{s}(97;28) = 0,638 \cdot 0,0657 = 0,042 . По табл. 16 для \varphi_{s} = 0,042 ; t_{\text{о}} = 28\text{сут} определяем H_{b}^{*}(\infty,28) = 0,9592 , откуда по формуле (34) L = (1 — 0,2 x 0,042)(1 — 0,9592) = 0,0405; по (39) \varphi_{bs}(97;28) = 0,0405/0,0703 = 0,575 . Соответствующее значение \varphi_{s}(97;28) = 0,1229 \cdot 0,575 = 0,071 . По табл. 16 для \varphi_{s} = 0,071 ; t_{\text{о}} = 7 получаем H_{b}^{*}(\infty,7) = 0,9148 . По формуле (34) L = (1 — 0,2 x 0,071)(1 — 0,9148) = 0,0840.

Согласно формуле (26) найдем \sigma_{lc} = [20,31/(0,0252 \cdot 1)] \times 0,0840 = 67,7\text{МПа} . Чтобы определить потери вследствие усадки бетона за то же время, найдем по табл. 10 \alpha_{s} = 0,006 , а затем по формуле (45) q_{s} = 1 - e^{- 0,006 \cdot 90} = 0,417 . Ранее было найдено предельное значение \sigma_{ls} = 26,3\text{МПа} . За 90 сут согласно п. 5.9 \sigma_{ls} = 26,3 \cdot 0,417 = 11\text{МПа} . Суммарные потери за время t - t_{\text{о}} = 97\text{сут} \sigma_{l} = 67,7 + 11,0 = 78,7\text{МПа} . Эти же потери, вычисленные согласно СНиП 2.03.01-84, составляют 150,8 МПа.

Пример 2. Определение потерь предварительного напряжения арматуры железобетонной балки с одиночным армированием.

Дано: балка автодорожного моста, шарнирно опертая, двутаврового сечения; h = 2,100 м, h_{f} = 0,320\text{м} , h\prime_{f} = 0,150\text{м} , b = 0,180 м, b_{f} = 0,600\text{м} , b\prime_{f} = 1,800\text{м} ; a = 0,25 м; расчетный пролет 41,2 м. Бетон класса B30 естественного твердения; осадка конуса 5 — 6 см; напрягаемая арматура класса Вр-II, E_{s} = 2 \cdot 10^{5}\text{МПа} , A_{s} = 0,0066\text{м}^{2} . Натяжение производится на упоры. Усилие предварительного обжатия прикладывается в возрасте бетона 28 сут. Передаточная прочность бетона R_{bp}(t_{\text{о}}) = 22,5\text{МПа} . Напряжение в арматуре к моменту окончания обжатия \sigma_{p} = 902,9\text{МПа} . Нагрузка на балку: собственный вес g = 0,02 МН/м; постоянная и длительная эксплуатационная нагрузка, прикладываемая в возрасте бетона 90 сут, q = 0,00969 МН/м; кратковременная нагрузка p = 0,01131 МН/м. Расчетная влажность воздуха 75%.

Требуется определить потери вследствие ползучести и усадки бетона: 1 — через неограниченно большой период времени; 2 — к моменту приложения эксплуатационной нагрузки.

Расчет. Характеристики бетонного сечения: A = 0,7554 м2, J_{b} = 0,45976\text{м}^{4} ; h_{1} = 0,955\text{м} ; периметр P = 8,64 м; модуль открытой поверхности M_{o} = 11,43\text{м}^{- 1} ; \mu_{p} = 66 \cdot 10^{- 4}/0,7554 = 0,00874 . Согласно поз. 3 табл. 15

\rho_{1} = 1 + (0,7554/0,45976)0,955^{2} = 2,498 .

В соответствии с табл. 2: E_{b} = 32,5 \cdot 10^{3}\text{МПа} ; \alpha = 2 \cdot 10^{5}/(32,5 \cdot 10^{3}) = 6,15 . Характеристики приведенного сечения можно вычислить по формулам:

A_{red} = A(1 + \mu_{p}\alpha) ; y_{sp} = h_{1}/(1 + \mu_{p}\alpha) ;

J_{red} = J_{b}(1 + \mu_{p}\rho_{1}\alpha)/(1 + \mu_{p}\alpha) .

В результате A_{red} = 0,796\text{м} ; y_{sp} = 0,906\text{м} ; J_{red} = 0,49492\text{м}^{4} .

Усилие предварительного обжатия P_{\text{о}} = 902,9 \cdot 66 \cdot 10^{- 4} = 5,959\text{МН} .

По первой из формул (22) получаем \sigma_{b} = 17,37\text{МПа} . Изгибающий момент в середине пролета от собственного веса M = 0,02000 \cdot 41,2^{2}/8 = 4,240\text{МНм} , с помощью формулы (23) находим \sigma_{b} = - 7,76\text{МПа} . Суммарные напряжения в бетоне в момент t_{\text{о}} = 28\text{сут} \sigma_{b} = 17,37 - 7,76 = 9,61\text{МПа} .

По табл. 4 - 7 и формулам (5а) и (5б) получается:

C^{*}(\infty,28) = 84 \cdot 10^{- 6} \cdot 0,784 \cdot 0,800 = 52,7 \cdot 10^{- 6}\text{МПа}^{- 1} ;

є_{s}(\infty,28) = 400 \cdot 10^{- 6} \cdot 0,950 \cdot 0,697 \cdot 0,850 = 225 \cdot 10^{- 6} .

Для класса бетона B30 по табл. 13 СНиП 2.03.01-84 определяем R_{b} = 17,00\text{МПа} .

Уровень напряжений в бетоне 9,61/17,00 = 0,57 < 0,65.

Согласно указаниям п. 3.2 в этом случае можно не учитывать нелинейную составляющую деформации ползучести.

В соответствии с формулами (29) и (28):

\overline{\lambda} = 1/[1 + 1/(0,00874 \cdot 2,498 \cdot 6,15)] = 0,1185 ;

\varphi_{s} = 1,896 \cdot 0,1185 = 0,203 .

Пользуясь табл. 16, для M_{o} = 11,43\text{м}^{- 1} и t_{\text{о}} = 28\text{сут} найдем H_{b}^{*}(\infty,28) = 0,8239 ; по формуле (27) L = 0,1761. С помощью формулы (26) вычисляем потери: при действии усилий предварительного обжатия \sigma_{lc} = (17,37/0,00874 \cdot 2,498)0,1761 = 140,1\text{МПа} ; при действии собственного веса \sigma_{lc} = - 62,6\text{МПа} .

Изгибающий момент от нагрузки,прикладываемой в возрасте t_{1} = 90\text{сут} , составляет 0,01131 \cdot 41,2^{2}/8 = 2,400\text{МН } \cdot \text{м} . С помощью формулы (23) находим \sigma_{b} = - 3,76\text{МПа} . Для M_{o} = 11,43\text{м}^{- 1} , t_{\text{о}} = 90\text{сут} , \varphi_{s} = 0,203 по табл. 16 получаем H_{b}^{*}(\infty,90) = 0,8558 , и по формуле (27) L = 0,1442. Соответствующие потери согласно формуле (26) равны \sigma_{lc} = ( - 3,76/0,00874 \cdot 2,498)0,1442 = - 24,8\text{МПа} . Потери, обусловленные усадкой, находим в соответствии с п. 5.9. При t_{\text{о}} = 28 , \varphi_{s} = 0,203 по формуле (44) получается L_{s} = 0,600 , а по формуле (43) \sigma_{ls} = [0,1185 \cdot 32,5 \cdot 10^{3} \cdot 225 \cdot 10^{- 6}/(0,00874 \times 2,498)]0,600 = 23,8\text{МПа} .

Суммарные потери \sigma_{l} = 140,1 - 62,6 - 24,8 + 23,8 = 76,5\text{МПа} . Для определения потерь, происходящих за промежуток времени от t_{\text{о}} = 28\text{сут} до t = 90 сут, вычисляем по табл. 11 для M_{o} = 11,43\text{м}^{- 1} \gamma_{1} = 0,00431/\text{сут} . Затем согласно формулам (10) и (11), принимая E_{b}(t) = E_{b}(t_{\text{о}}) , находим C^{*}(90;28) = 52,7 \cdot 10^{- 6}[1 - 0,8 \times e^{- 0,0043(90 - 28)}] = 20,4 \cdot 10^{- 6} и по (33) \varphi_{s}(90 - 28) = 0,1185 \times 32,5 \cdot 10^{3} \cdot 20,4 \cdot 10^{- 6} = 0,079 . По табл. 16 для t_{\text{о}} = 28\text{сут} получаем H_{b}^{*}(\infty,28) = 0,9254 , а по формуле (34) L = (1 — 0,2 x 0,079)(1 — 0,9254) = 0,0734. С помощью формулы (26) найдем: при действии усилий предварительного обжатия \sigma_{lc} = 58,7\text{МПа} , при действии собственного веса \sigma_{lc} = - 26,1\text{МПа} . Для нахождения потерь от усадки определяем по табл. 10 \alpha_{s} = 0,0046 , затем на основании формулы (45) \sigma_{ls} = 23,8(1 - e^{- 0,0046 \cdot 62}) = 5,9\text{МПа} .

Суммарные потери, происходящие за 90 — 28 = 62 сут, \sigma_{l} = 58,7 - 26,1 + 5,9 = 38,5\text{МПа} .

Те же потери, вычисленные по СНиП 2.03.01-84, составляют 89,1 МПа.

Пример 3. Определение потерь предварительного напряжения в арматуре железобетонной балки с двойным армированием.

Дано: шарнирно опертая балка двутаврового сечения: h = 1,500 м, h_{f} = 0,250\text{м} , h\prime_{f} = 0,240\text{м} , b = 0,080 м, b_{f} = 0,280\text{м} , b\prime_{f} = 0,360\text{м} ; \alpha = 0,135\text{м} , \alpha\prime = 0,050\text{м} ; расчетный пролет l = 17,500 м. Бетон класса B30, осадка конуса 2 см, напрягаемая арматура из канатов класса К-7, E_{s} = 1,8 \cdot 10^{5}\text{МПа} , A_{s} = 18,4 \times 10^{- 4}\text{м}^{2} , A_{s}\prime = 2,83 \cdot 10^{- 4}\text{м}^{2} . Натяжение производится на упоры, бетон подвергается пропариванию. Передаточная прочность бетона R_{bp}(t_{\text{о}}) = 22,5\text{МПа} . Напряжения в арматуре к моменту окончания обжатия: \sigma_{p} = 985\text{МПа} , \sigma\prime_{p} = 1005\text{МПа} . Нагрузка на балку: собственный вес g = 0,00622 МН/м, постоянная и длительная эксплуатационная нагрузка, прикладываемая на 100-й день после отпуска натяжных приспособлений, q = 0,02116 МН/м, кратковременная нагрузка p = 0,01045 МН/м; расчетная влажность воздуха W = 70%.

Требуется определить потери предварительного напряжения вследствие ползучести и усадки: 1 — через неограниченно большой период времени; 2 — на 100-й день после отпуска натяжных приспособлений.

Расчет. Характеристики бетонного сечения: A = 0,2372 м2, J = 0,06877\text{м}^{4} ; h_{1} = 0,662\text{м} , h_{2} = 0,653\text{м} ; периметр 4,12 м. Модуль открытой поверхности M_{o} = 4,12/0,2372 = 17,4\text{м}^{- 1} ; \mu_{p} = 18,4 \cdot 10^{- 4}/0,2372 = 0,00776 ; \mu\prime_{p} = 2,83 \cdot 10^{- 4}/0,2372 = 0,00119 . Согласно поз. 6 табл. 15:

\rho_{1} = 1 + (0,2372/0,06877)0,662^{2} = 2,512 ;

Согласно табл. 2 E_{b} = 32,5 \cdot 10^{3} \cdot 0,9 = 29,25 \cdot 10^{3}\text{МПа} ; \alpha = 1,8 \cdot 10^{5}/(29,25 \cdot 10^{3}) = 6,15 .

Геометрические характеристики приведенного сечения: A_{red} = 0,2503\text{м}^{2} ; y_{sp} = 0,636\text{м} ; y_{s}\prime_{p} = 0,679\text{м} ; J_{red} = 0,07509\text{м}^{4} . Поскольку |\rho_{12}|>0,25 , вычисляем согласно формуле (41)

\omega = 2,471 \cdot 0,00119/(2,512 \cdot 0,00776) = 0,151 ;

\beta\prime = - 0,491/2,471 = - 0,199 ,

откуда \overline{\rho_{1}} = 2,530 ; \overline{\rho_{2}} = 0,362 ; v = 1/[0,00776(2,530 — 0,362)] = 59,44.

По формулам (42) находим

\overline{\lambda}\prime = 0,00776 \cdot 0,362 \cdot 6,15/(1 + 0,00776 \cdot 0,362 \cdot 6,15) = 0,0170 .

Усилия предварительного обжатия P_{\text{о}} = 985 \cdot 18,4 \cdot 10^{- 4} = 1,8124\text{МН} ; P_{\text{о}}\prime = 1005 \cdot 2,83 \cdot 10^{- 4} = 0,2844\text{МН} . Изгибающие моменты в середине пролета: от собственного веса M_{g} = 0,00622 \cdot 17,5^{2}/8 = 0,2381\text{МН } \cdot \text{м} ; от эксплуатационной нагрузки M_{q} = 0,02116 \cdot 17,5^{2}/8 = 0,8100\text{МН } \cdot \text{м} . По формулам (22) и (23) вычислим начальные напряжения в бетоне: от усилий предварительного обжатия \sigma_{b} = 16,50\text{МПа} , \sigma_{b}\prime = - 0,30\text{МПа} ; от собственного веса \sigma_{b} = - 2,02\text{МПа} ; \sigma_{b}\prime = 2,15\text{МПа} ; от эксплуатационной нагрузки \sigma_{b} = - 6,87\text{МПа} ; \sigma_{b}\prime = 7,32\text{МПа} .

Суммарные начальные напряжения в момент времени t_{\text{о}} :

Согласно указаниям п. 3.8 определяем приведенный возраст: t_{\text{о}} = 7,95\text{сут} . Принимаем t_{\text{о}} = 8\text{сут} .

Из табл. 4 - 7 и формул (5а) и (5б) следует:

C^{N}(\infty,28) = 74 \cdot 10^{- 6} \cdot 0,9 = 66,6 \cdot 10^{- 6}\text{МПа}^{- 1} ; є^{N}(\infty,7) = 330 \cdot 10^{- 6} \times 0,9 = 297 \cdot 10^{- 6} ; C(\infty,28) = 66,6 \cdot 10^{- 6} \cdot 0,886 \cdot 0,87 = 51,3 \times 10^{- 6}\text{МПа}^{- 1} ; є(\infty,t_{w}) = 297 \cdot 10^{- 6} \cdot 0,998 \cdot 0,852 \cdot 0,91 = 230 \times 10^{- 6} . Предельная характеристика ползучести по формуле (17) \varphi = 29,25 \cdot 10^{3} \cdot 51,3 \cdot 10^{- 6} = 1,501 и согласно формуле (29) \varphi_{s} = 1,501 \cdot 0,1077 = 0,162 .

По табл. 3 для класса B30 и t_{\text{о}} = 8\text{сут} находим R_{bn}(t_{\text{о}}) = 15,62\text{МПа} . По формуле (37) \eta(t_{\text{о}}) = 14,48 \cdot 0,78/15,62 = 0,724 . По табл. 9 определяем v_{c} = 1,60 ; m_{c} = 4,00 , и по формуле (36) вычисляем f_{c} = 1,434 . Согласно (38) для t_{\text{о}} = 8\text{сут} k_{t} = 1,48 ; k_{\sigma} = 0,857 .

В результате с учетом нелинейности деформаций ползучести бетона на уровне центра тяжести арматуры S в соответствии с п. 5.4

Ввиду малости величины \sigma_{b}\prime(t_{\text{о}}) поправку на нелинейность для бетона у центра тяжести арматуры S' не вводим и \varphi\prime = 0,0170 \cdot 1,201 = 0,026 .

По табл. 16 для 15\text{м}^{- 1} \leq M_{o} \leq 30\text{м}^{- 1} находим H_{b}^{*}(\infty,8) = 0,7886 ; H_{b}\prime^{*}(\infty,8) = 0,9679 . Отсюда согласно (27) L = 0,2134; L' = 0,0321. По формулам (40) вычисляем потери предварительного напряжения при действии усилий предварительного обжатия:

Потери при действии собственного веса найдем, подставляя в формулы (40) соответствующие напряжения ( \sigma_{b} = - 2,02\text{МПа} ; \sigma_{b}\prime = 2,15\text{МПа} ); получается \sigma_{lc} = - 21,8\text{МПа} ; \sigma_{l}\prime_{c} = 23,3\text{МПа} .

Для определения потерь предварительного напряжения при действии эксплуатационной нагрузки вычисляем \sigma_{b}(t_{\text{о}}) + \sigma_{b}(t_{1}) = 14,48 - 6,87 = 7,61\text{МПа} ; \sigma_{b}\prime(t_{\text{о}}) + \sigma_{b}\prime(t_{1}) = 1,85 + 7,32 = 9,17\text{МПа} . Согласно табл. 13 СНиП 2.03.01-84 R_{b} = 17,0\text{МПа} ; отношения 7,61/17,0 = 0,448 и 9,17/17,0 = 0,539 не превышают величин, указанных в табл. 8, поэтому в соответствии с п. 3.2 нелинейность деформации ползучести в этом случае можно не учитывать. По табл. 16 для \varphi_{s} = 0,162 ; \varphi_{s}\prime = 0,026 , t_{\text{о}} = 8 + 100 = 108\text{сут} находим H_{b}^{*}(\infty,108) = 0,8896 ; H_{b}\prime^{*}(\infty,108) = 0,9811 и по (27) L = 0,1104; L' = 0,0189, откуда в соответствии с формулами (40) \sigma_{lc} = - 38,4\text{МПа} , \sigma_{lc} = 47,5\text{МПа} .

Найдем потери предварительного напряжения вследствие усадки. Вычисляем по (30):

\overline{\lambda}\prime = 0,00119 \cdot 2,471 \cdot 6,15/(1 + 0,00776 \cdot 2,512 \cdot 6,15) = 0,0178 ;

Определяем потери, происходящие за 100 сут. Для этого по табл. 11 найдем \gamma_{1} = 0,00551/\text{сут} , по (12) f(108 - 28) = 1 - 0,8 \cdot e^{- 0,0055(108 - 28)} = 0,485 ; по формуле (10) с учетом замечаний п. 3.9 получаем C^{*}(108;28) = 51,3 \cdot 10^{- 6} \cdot 0,485 = 24,9 \cdot 10^{- 6}\text{МПа}^{- 1} ; по (33): \varphi_{s}(108;28) = 0,1077 \cdot 29,25 \cdot 10^{3} \cdot 24,9 \cdot 10^{- 6} = 0,078 ; \varphi_{s}\prime(108;28) = 0,017 \cdot 29,25 \cdot 10^{3} \cdot 24,9 \cdot 10^{- 6} = 0,012 . По формуле (38) получаем k_{\sigma} = 0,868 ; ранее было найдено f_{c} = 1,434 . С учетом поправки на нелинейность \varphi_{s}(108;28) = 0,078 \cdot 1,434 \cdot 0,868 = 0,098 , для \varphi_{s}\prime(108;28) , как и ранее, этой поправки не требуется. По табл. 16 H_{b}^{*}(\infty,8) = 0,8854 ; H_{b}\prime^{*}(\infty,8) = 0,9846 . По формуле (34) L = (1 — 0,2 x 0,098)(1 — 0,8854) = 0,1124; L' = (1 — 0,2 x 0,0124)(1 — 0,9846) = 0,0154. Подставляя эти значения в формулы (40) (все остальные величины в этих формулах остаются теми же, что и при t \rightarrow \infty ), находим: при действии усилий предварительного обжатия \sigma_{lc} = 94,4\text{МПа} ; \sigma_{l}\prime_{c} = - 0,7\text{МПа} ; при действии собственного веса \sigma_{lc} = - 11,5\text{МПа} , \sigma_{l}\prime_{c} = 11,7\text{МПа} . Потери от усадки за 100 сут вычислим, найдя вначале по табл. 10 \alpha_{s} = 0,007 ; по формуле (45) q_{s} = 1 - e^{- 0,007 \cdot (108 - 8)} = 0,503 , и по (43) \sigma_{ls} = 12,7\text{МПа} ; \sigma_{l}\prime_{s} = 17,7\text{МПа} .

Результаты расчета показаны в табл. 17, там же приведены значения величины, найденные по СНиП 2.03.01-84.

Воздействие на t \rightarrow \infty t = t_{\text{о}} + 100\text{сут} по СНиП конструкцию 2.03.01-84

\sigma_{l}\prime \sigma_{l} \sigma_{l}\prime \sigma_{l} \sigma_{l}\prime \sigma_{l}

обжатие                                                 >   111,2    14,2
Собственный вес       -21,8      23,3    -11,5    11,7 ┘
Эксплуатационная      -38,4      47,5      -         -        -       -

нагрузка

Усадка                 25,3      35,1     12,7     17,7      35       35

Сумма потерь от       143,6     104,6     95,6     27,7     146,2    49,2

ползучести и усадки

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ И ИЗГИБАЕМЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С НАПРЯГАЕМОЙ АРМАТУРОЙ, РАБОТАЮЩИХ БЕЗ ТРЕЩИН, В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ БЕТОНА

6.1. Расчет железобетонных элементов по образованию трещин производится согласно СНиП 2.03.01-84; необходимые для этого потери от ползучести и усадки бетона определяются в соответствии с указаниями разд. 5 настоящих Рекомендаций.

6.2. Кривизна внецентренно сжатого или изгибаемого элемента с напрягаемой арматурой, не имеющего трещин в растянутой зоне, определяется выражением

1/r = (1/r)_{s} + (1/r)_{sl} + (1/r)_{L} , (46)

кривизна от действия кратковременных нагрузок; где M_{s} — суммарный изгибающий момент от этих нагрузок;

(1/r)_{sL} = (M_{L}) - P_{\text{о}}y_{sp} + P_{\text{о}}\prime y_{s}\prime_{p})/E_{b}J_{red} — (48)

кривизна от кратковременного действия постоянных и длительных нагрузок и от усилий предварительного обжатия; где M_{L} — суммарный изгибающий момент от упомянутых воздействий; усилия предварительного обжатия P_{\text{о}} и P_{\text{о}}\prime определяются с учетом первых потерь;

кривизна, обусловленная ползучестью бетона при длительном действии постоянных и длительных нагрузок и усилий предварительного обжатия, а также усадкой, где \sigma_{l} и \sigma_{l}\prime — суммарные потери предварительного напряжения за счет ползучести (при перечисленных выше воздействиях) и усадки. При наличии двойной арматуры y = h_{\text{о}} - \alpha\prime .

Если кривизна (1/r)_{L} определяется от каждого из воздействий в отдельности, то в (49) подставляются потери, соответствующие данному воздействию.

При отсутствии арматуры S' в (49) принимается

а условное значение \sigma_{L}\prime , соответствующее действиям усилий предварительного обжатия, усадки, внешней нагрузки, равно соответственно:

\sigma_{l}\prime = 0;\sigma_{l}\prime = E_{s}є_{s}(\infty,t_{w});\sigma_{l}\prime = \alpha\varphi\sigma_{b}\prime\prime , (51)

N_{L} и M_{L} — усилия от постоянных и длительных внешних нагрузок.

Влияние нелинейной составляющей деформации ползучести на величину \varphi учитывается в этом случае согласно указаниям п. 5.4, где нужно принимать \eta(t_{\text{о}}) = 0,78\sigma_{b}\prime\prime/R_{bn}^{N}(t_{\text{о}}) .

6.3. При определении кривизны участков элементов с начальными трещинами значения, найденные согласно п. 6.2, следует увеличивать в соответствии с указаниями п. п. 4.25 и 4.26 СНиП 2.03.01-84.

6.4. При определении кривизны по формуле (49) и (51) вместо \varphi подставляется: 1) \varphi(t_{\text{о}}) — если t_{\text{о}} \neq 28\text{сут} , а t - t_{\text{о}} \rightarrow \infty ; 2) \varphi(t,t_{\text{о}}) — если промежуток t - t_{\text{о}} ограничен.

Значения \varphi , \varphi(t_{\text{о}}) и \varphi(t,t_{\text{о}}) определяются согласно указаниям п. 3.9.

6.5 Перемещения железобетонных элементов, обусловленные изгибом, вычисляются по формуле

где \overline{M}(x) — изгибающий момент от действия единичной силы, приложенной в месте и в направлении искомого перемещения; 1/r(x) — кривизна, определяемая согласно указаниям п. п. 6.2 - 6.4. Вычисление интеграла (53) выполняется согласно правилам строительной механики отдельно для участков с трещинами и без них.

Если поперечное сечение стержня постоянно по длине, то на каждом участке, в пределах которого изгибающий момент не меняет знака, допускается вычислять кривизну для наиболее напряженного сечения, принимая кривизну для остальных сечений пропорциональной значениям изгибающих моментов.

6.6. Для изгибающих элементов l/h < 10 влияние деформаций сдвига на прогиб учитывается путем добавления к значению прогиба от изгиба f_{m} , найденному по формуле (53), значения прогиба от сдвига f_{q} . Величина f_{q} определяется согласно рекомендациям п. 4.33 СНиП 2.03.01-84, но коэффициент c, учитывающий влияние ползучести бетона, заменяется на \varphi , а в случаях, указанных в п. 6.4, — на \varphi(t_{\text{о}}) или \varphi(t,t_{\text{о}}) .

Пример 1. Определение прогиба железобетонной предварительно напряженной балки с двойным армированием при отсутствии трещин.

Дано: предварительно напряженная балка двутаврового сечения согласно условию примера 3 разд. 5.

Требуется определить прогиб в середине пролета по истечении неограниченного периода времени.

Расчет. В примере 3 разд. 5 было найдено: E_{b} = 29,25 \cdot 10^{3}\text{МПа} ; J_{red} = 0,07509\text{м}^{4} ; y_{sp} = 0,636\text{м} ; y_{s}\prime_{p} = 0,679\text{м} ; P_{\text{о}} = 1,8124\text{МН} ; P_{\text{о}}\prime = 0,2843\text{МН} . Изгибающие моменты в середине пролета: от собственного веса M_{g} = 0,2381\text{МН } \cdot \text{м} ; от эксплуатационной нагрузки M_{q} = 0,8100\text{МН } \cdot \text{м} . Потери предварительного напряжения приведены в табл. 17.

Определяем кривизны в середине пролета от различных воздействий по формуле (46).

Момент в середине пролета от кратковременной нагрузки M_{s} = 0,01045 \cdot 17,5^{2}/8 = 0,4000\text{МН } \cdot \text{м} ; соответствующая кривизна согласно (47)

Кривизны от кратковременного действия постоянных и длительных нагрузок по (48):

от усилий предварительного обжатия

(1/r)_{sb} = ( - 1,8124 \cdot 0,636 + 0,2843 \cdot 0,679)/(29,25 \cdot 10^{3} \cdot 0,07509) = - 4,365 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ;

от собственного веса и эксплуатационной нагрузки

Кривизны, обусловленные ползучестью и усадкой по (49):

при действии усилий предварительного обжатия (при y = 1,45 — 0,135 = 1,315 м; E_{s} = 1,8 \cdot 10^{5}\text{МПа} )

(1/r)_{l} = [( - 1,3 + 35,1) - (178,5 + 25,3)]/(1,8 \cdot 10^{5} \cdot 1,315) = - 7,182 \times 10^{- 4}1/\text{м} ;

(1/r)_{l} = [(23,3 + 47,5) - ( - 21,8 - 38,4)]/(1,8 \cdot 10^{5} \cdot 1,315) = 5,534 \cdot 10^{- 4}1/\text{м}

(величины потерь предварительного напряжения взяты из табл. 17).

Считая согласно п. 6.6, что кривизна изменяется по длине балки пропорционально изгибающему моменту, обозначим через (1/r)_{I} сумму всех кривизн, постоянных по длине (т.е. от усадки и усилий предварительного обжатия), и через (1/r)_{II} — сумму всех кривизн, изменяющихся по закону квадратной параболы (от вертикальных нагрузок).

Для данного примера (1/r)_{I} = ( - 4,365 - 7,182)10^{- 4} = - 11,547 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; (1/r)_{II} = (2,143 + 4,771 + 5,534)10^{- 4} = 12,448 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} .

Прогиб в середине пролета вычислим по формуле

Таким образом, с течением времени в балке сохраняется преимущественно выгиб.

Прогиб, вычисленный по СНиП 2.03.01-84, составляет 0,0069 м.

Пример 2. Определение прогиба железобетонной балки с одиночной напрягаемой арматурой.

Дано: шарнирно опертая балка, рассмотренная в примере 2 разд. 5.

Требуется определить прогиб в середине пролета: 1 — по истечении неограниченного большого промежутка времени; 2 — к моменту приложения эксплуатационной нагрузки (t = 90 сут).

Расчет. На основании данных примера 2 разд. 5 определяем кривизны при t \rightarrow \infty . Для этого, на основании указаний п. 6.2, вычислим по формуле (50) y = 0,955 x 2,498/(2,498 — 1) = 1,593 м. По формуле (52) для случая действия собственного веса находим

Для случая действия эксплуатационной нагрузки получаем аналогично \sigma_{b}\prime\prime = 2,85\text{МПа} . По формуле (51) вычислим условные потери \sigma_{L}\prime\prime . Для случая действия усадки бетона \sigma_{l}\prime = 257 \cdot 10^{- 6} \cdot 2 \cdot 10^{5} = 51,4\text{МПа} ; собственного веса — \sigma_{l} = 6,15 \cdot 1,712 \cdot 5,86 = 61,6\text{МПа} . Чтобы определить соответствующую величину в случае действия эксплуатационной нагрузки, нужно предварительно найти по табл. 11 и 12 \gamma_{1} = 0,00831/\text{сут} ; d = 0,630, откуда с помощью формул (11) и (16) вычисляется \varphi(90) = 1,712(0,5 + 0,630e^{- 0,0083 \cdot 90}) = 1,367 . Затем по формуле (51) находим \sigma_{l}\prime = 6,15 \cdot 1,367 \cdot 2,85 = 24,0\text{МПа} .

С помощью формулы (47) вычислим (1/r)_{s} = 2,400/(0,85 \cdot 0,49492 \cdot 32,5 \cdot 10^{3}) = 1,755 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; по формулам (48) и (49) получаем: от усилий предварительного обжатия (1/r)_{sL} = - 5,959 \cdot 0,906/(32,5 \cdot 10^{3} \cdot 0,49492) = - 3,357 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; (1/r)_{L} = (0, - 140,1)/(2 \cdot 10^{5} \cdot 1,593) = - 4,397 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; от собственного веса — (1/r)_{sL} = 4,240/(32,5 \cdot 10^{3} \cdot 0,49492) = 2,636 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; (1/r)_{L} = (61,6 - ( - 62,6))/(2 \cdot 10^{5} \cdot 1,593) = 3,898 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; от эксплуатационной нагрузки — (1/r)_{sL} = 2,056/(32,5 \cdot 0,49492) = 1,278 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; (1/r)_{L} = [24 - ( - 24,8)]/(2 \cdot 10^{5} \cdot 1,593) = 0,760 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} .

Аналогично примеру 1 находим (1/r)_{I} = ( - 3,357 - 4,397 + 0,76)10^{- 4} = - 6,994 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; (1/r)_{II} = (1,755 + 2,636 + 1,278 + 3,898 + 1,532)10^{- 4} = 11,099 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} . Затем определяем прогиб в середине пролета:

f = 41,2^{2}[ - (1/8)6,994 + (5/48)11,099]10^{- 4} = 0,048\text{м} , что составляет 1/861 пролета.

Для момента времени t = 90 сут определяем на основании данных примера 2: от собственного веса \sigma_{l}\prime = 5,86 \cdot 0,663 \cdot 6,15 = 23,9\text{МПа} ; от усадки на основании (9) є_{s}(90;28) = 257 \cdot 10^{- 6} \cdot [1 - e^{- 0,0046(90 - 28)}] = 63,7 \cdot 10^{- 6} , откуда \sigma_{l}\prime = 12,7\text{МПа} . Далее аналогично предыдущему вычисляем кривизны: от усилий предварительного обжатия (1/r)_{L} = - 1,833 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; от собственного веса (1/r)_{l} = 1,569 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; от усадки (1/r)_{L} = 0,163 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; (1/r)_{I} = ( - 3,357 - 1,833 + 0,163)10^{- 4} = - 5,034 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ; (1/r)_{II} = (1,755 + 2,636 + 1,569)10^{- 4} = 5,960 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} . Прогиб в середине пролета f = -0,001 м. Таким образом, в рассматриваемый момент времени t = 90 сут деформация балки определяется в основном выгибом от усилия предварительного обжатия. Однако, если вычислить прогиб для того же значения t, но после приложения эксплуатационной нагрузки [для этого к (1/r)_{II} следует добавить 1,278 \cdot 10^{- 4}1/\text{м} ], то получается 0,022 м.

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТЕЙ, ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ШИРИНЫ РАСКРЫТИЯ ТРЕЩИН ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ БЕТОНА

7.1. На участках, где в растянутой зоне образуются нормальные к продольной оси трещины, полные кривизны изгибаемых и внецентренно сжатых элементов прямоугольного, таврового и двутаврового (коробчатого) сечения с двойной арматурой определяют по формуле

i_{b} = b\prime_{f}/b <*>; i_{h} = h\prime_{f}/h_{\text{о}} ;

\Psi_{s} — коэффициент, учитывающий работу растянутого бетона на участке с трещинами и определяемый по указаниям п. 4.29 СНиП 2.03.01-84; z_{s} — расстояние между центрами тяжести арматуры s и s'.

<*> Расчетная ширина полки b\prime_{f} назначается в соответствии с п. 3.16 СНиП 2.03.01-84.

При вычислении k_{2} и k_{4} достаточно задаться любым из условий (61); если после вычисления \xi оно окажется невыполненным, следует принять другое условие и повторить вычисления.

Для прямоугольных сечений в формулах (61)

7.3 Относительную высоту сжатой зоны \xi определяют из решения кубического уравнения

d_{1}\xi^{3} + d_{2}\xi^{2} + d_{3}\xi + d_{4} = 0 , (64)

где

k_{5} = 2\psi_{b}\mu\alpha[i_{h}(i_{b} - 1) + (1 + \delta_{2})]/(\psi_{s}\nu) ; (66)

(67)

В расчет принимают корень уравнения (64), находящийся в пределах от 0 до 1. Величину \nu в формуле (66) принимают равной 0,45.

7.4. Кривизну (1/r)_{h} вычисляют согласно указаниям п. 7.2 и 7.3, но в формулы (55) и (67) вместо M_{tot} и N_{tot} подставляют соответственно M_{L} и N_{L} , а вместо e_{cs} подставляют e_{Ls} — эксцентриситет усилия N_{L} относительно центра тяжести арматуры s. Величину \Psi_{s} для этого случая определяют согласно п. 4.29 СНиП 2.03.01-84, исходя из усилий M_{L} и N_{L} .

Для нахождения кривизны (1/r)_{L} нужно пользоваться указаниями пп. 7.2 и 7.3 с учетом замечаний, приведенных выше в настоящем пункте. Кроме того, в N_{L} включают усилия предварительного обжатия с учетом первых и вторых потерь; по формуле (68) при t_{\text{о}} = 28\text{сут} определяют

Затем с помощью п. 4.29 СНиП 2.03.01-84 вычисляют величину \Psi_{s}^{*} , соответствующую длительному действию усилий M_{L} и N_{L} ; по формулам (61), (65) и (66) с заменой \Psi_{s} , \nu на \Psi^{*} , \nu^{*} определяют значения k_{1}^{*} , k_{2}^{*} , k_{3}^{*} , k_{4}^{*} , k_{5}^{*} , d_{1}^{*} , d_{2}^{*} , d_{3}^{*} , d_{4}^{*} . Далее по формулам (64), (57), (60) и (58) вычисляют значения \xi^{*} , x^{*} , u^{*} и z_{b}^{*} соответственно, которые подставляют в формулу (55) для нахождения (1/r)_{L} .

Если t_{\text{о}} \neq 28\text{сут} или если кривизна определяется для конечного промежутка времени t - t_{\text{о}} , в (68) нужно подставить значение характеристики ползучести, найденное в соответствии с указаниями п. 6.4.

7.5. Жесткости элементов таврового сечения с полкой в растянутой зоне и двутаврового (коробчатого) сечения находят, как для элементов соответственно прямоугольного и таврового (с полкой в сжатой зоне) сечения, но значение W_{pL} , необходимое для определения \psi_{s} и \psi_{s}^{*} , вычисляют с учетом действительной формы сечения.

7.6. Входящую в формулу (68) характеристику ползучести \varphi определяют согласно указаниям п. 6.4. Нелинейную составляющую деформации ползучести учитывают путем умножения \varphi на коэффициент f_{c} , вычисленный по формуле (36). Необходимость такого учета проверяется на основании указаний п. 3.2. Напряжения в бетоне \sigma_{b} , нужные для этой проверки, вычисляются согласно п. 7.8. Указанную проверку допускается выполнять приближенно, сравнивая выраженное в процентах отношение M_{z,tot}/M_{zL} с соответствующим числом, приведенным в табл. 8. Здесь M_{zL} — момент относительно оси, проходящей через центр тяжести арматуры s, от постоянных и длительных нагрузок, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, а также от усилий предварительного обжатия; M_{z,tot} — то же от постоянных, длительных и кратковременных нагрузок, умноженных на соответствующие коэффициенты перегрузки, а также усилий предварительного обжатия.

7.7. Если в пределах элемента с напрягаемой арматурой имеются участки, где трещины не возникают, то кривизну этих участков определяют согласно указаниям разд. 6 настоящих Рекомендаций. Если такие участки имеются в пределах элемента с ненапрягаемой арматурой, то их кривизну допускается определять, как в случае поперечного изгиба, согласно указаниям п. 7.12.

7.8. При кратковременном действии всей нагрузки напряжения в бетоне сжатой зоны и в арматуре s и s' вычисляются по формулам:

При кратковременном действии постоянных и длительных нагрузок в формулы (69) подставляют e_{Ls} , M_{L} и N_{L} вместо e_{cs} , M_{tot} и N_{tot} ; величину \xi определяют с учетом указаний п. 7.4.

При длительном действии постоянных и длительных нагрузок в (69) подставляют N_{L} и e_{Ls} , вычисленные с учетом указаний п. 7.4, а также M_{L} . Вместо A_{b} в выражение для \sigma_{b} подставляют значение A_{b}^{*} , которое находят по формуле (59) с заменой величин \xi , k_{2} , k_{3} и k_{4} на \xi^{*} , k_{2}^{*} и k_{4}^{*} вычисленных с учетом указаний п. 7.4.

7.9. Для изгибаемых элементов с сечениями, указанными в п. 7.1, и с ненапрягаемой арматурой криви́зны участков, где образуются трещины, вычисляются в соответствии с п. п. 7.2 - 7.7, а напряжения в бетоне и арматуре — согласно п. 7.8 при N_{tot} = 0 .

Для указанных выше элементов криви́зны , перечисленные в п. 7.1, рекомендуется находить по формулам:

Здесь B — изгибная жесткость элемента с учетом трещинообразования при кратковременном действии всей нагрузки; B_{L} — то же, при кратковременном действии постоянных и длительных нагрузок; B_{L}^{*} — условная длительная жесткость при действии постоянных и длительных нагрузок.

7.10. Для изгибаемых элементов с одиночной ненапрягаемой арматурой и сечением прямоугольным либо тавровым (с полкой в сжатой зоне) при i_{b} \leq 16 ; i_{h} \leq 0,2 ; 0,02 \leq \mu\alpha \leq 0,22 жесткость B вычисляют по формуле

B = k_{b}E_{b}A_{b}h_{\text{о}} \sqrt[2]{\mu\alpha} , (71)

k_{b} = b_{1} + b_{2}\zeta^{2};\zeta = M_{crc}/(M_{s} + M_{L}) , (72)

значения b_{1} и b_{2} определяют по табл. 17; M_{crc} — момент трещинообразования, найденный согласно п. 4.5 СНиП 2.03.01-84.

Жесткость B_{L} вычисляют с помощью формул (71) и (72), но при \xi = M_{crc}/M_{L} . Длительную жесткость B_{L}^{*} в случае, если возраст загружения t_{\text{о}} = 28\text{сут} , а кривизна определяется для t - t_{\text{о}} \rightarrow \infty , находят по формуле

значения \beta_{1} и \beta_{2} определяют по табл. 18.

Таблица 18

\mu\alpha		1 \leq i_{b} \leq 6		6 \leq i_{b} \leq 16
		0 \leq \xi \leq 0,6	0,6 \leq \xi \leq 1	0 \leq \xi \leq 0,6	0,6 \leq \xi \leq 1
0,02 \leq \mu\alpha \leq 0,06	b_{1}			0,086 + 1,80\mu\alpha	0,113 + 1,75\mu\alpha
	b_{2}	0,084 - 6\overline{i}		0,065	0,55 - 2,50\mu\alpha
	\beta_{1}	0,040 + 2,12\mu\alpha		- 0,005 + 2,50\mu\alpha
	\beta_{2}	0,180 + 1,75\mu\alpha		0,220 + 1,50\mu\alpha
			В числитель формулы (73) вместо \xi подставляется \xi_{1} = \xi - 0,5	В числитель формулы (73) вместо \xi подставляется \xi_{2} = \xi + 0,1	В числитель формулы (73) вместо \xi подставляется \xi_{1} = \xi - 0,5
0,06 \leq \mu\alpha \leq 0,22	b_{1}	0,166 - (6 + 44\mu\alpha)\overline{i} + 0,41\mu\alpha		0,159 + 0,45\mu\alpha
	b_{2}	0,173 - (11 - 5\mu\alpha)\overline{i} - 0,60\mu\alpha		0,151 - 0,45\mu\alpha
	\beta_{1}	0,110 + 1,15\mu\alpha		0,100 + i_{b}i_{h}(0,56\mu\alpha - 0,030) + 0,97\mu\alpha
	\beta_{2}	0,310 - 0,75\mu\alpha		0,320 - \mu\alpha(0,720 + 0,09i_{b}i_{h})

Примечание. c_{1} — коэффициент при \xi^{*} в уравнении (78); c_{\text{о}} — свободный член уравнения (78).

Относительную высоту сжатой зоны элементов таврового сечения с полкой в растянутой зоне, а также двутаврового (коробчатого) сечения находят по формулам (76) - (81) с учетом указаний п. 7.5.

7.14. При кратковременном действии всей нагрузки напряжения в сжатой зоне и в арматуре изгибаемого элемента таврового сечения вычисляют по формулам:

\sigma_{b} = (M_{s} + M_{L})/(zA_{b});\sigma_{s} = (M_{s} + M_{L})/(zA_{s}) ; (82)

где

При кратковременном действии постоянных и длительных нагрузок в (82) и (83) заменяют M_{s} + M_{L} на M_{L} и принимают соответствующее значение \xi ; при длительном действии тех же нагрузок величи́ны \sigma_{b}^{*} , \sigma_{s}^{*} , z^{*} вычисляют по тем же формулам с заменой M_{s} + M_{L} , \xi , \overline{k_{3}} , A_{b} на M_{L} , \xi_{<...>} , \overline{k_{3}^{*}} , A_{b}^{*} , где A_{b}^{*} находят по формуле (59) с заменой \xi , k_{2} , k_{4} на \overline{\xi^{*}} , k_{2}^{*} , k_{4}^{*} .

7.15. Перемещения железобетонных элементов или отдельных участков с трещинами в растянутой зоне вычисляют на основании указаний пп. 6.4 и 6.5.

7.16. Для элементов, к трещиностойкости которых предъявляются требования 2-й категории, ширину кратковременного раскрытия трещин определяют для момента времени t_{\text{о}} (как правило, 28 сут):

a_{crc} = a_{crc1} . (84)

Для элементов, к трещиностойкости которых предъявляются требования 3-й категории, ширину кратковременного раскрытия трещин определяют для момента времени t_{\text{о}} по формуле (84); для t \rightarrow \infty — по формуле

a_{crc} = a_{crc1} - a_{crc2} - a_{crc3} . (85)

Для этих элементов ширина длительного раскрытия трещин равна

a_{crc} = a_{crc3} . (86)

В формулах (84), (85) и (86); a_{crc1} — ширина раскрытия трещин от кратковременного действия всех нагрузок, a_{crc2} — то же, от кратковременного действия постоянных и длительных нагрузок, a_{crc5} — то же, от длительного действия постоянных и длительных нагрузок. Значения a_{crc1} , a_{crc2} , a_{crc3} вычисляют по формуле (144) СНиП 2.03.01-84, где нужно принимать: при нахождении a_{crc1} и a_{crc2} — напряжение в арматуре \sigma_{s} , \varphi_{l} = 1 ; при нахождении a_{crc3} — \sigma_{s}^{*} , а \varphi_{l} для конструкций из тяжелого бетона естественной влажности равно 1,3. Значения \sigma_{s} и \sigma_{s}^{*} — соответственно от кратковременного действия всех нагрузок и от длительного действия постоянных и длительных нагрузок определяют согласно указаниям п. 7.8 или 7.14.

Нагрузки, учитываемые при определении ширины раскрытия трещин, назначаются в соответствии с п. 1.16 СНиП 2.03.01-84.

Пример 1. Определение прогиба железобетонной балки с напрягаемой арматурой при наличии трещин в растянутой зоне бетона.

Дано: железобетонная балка с расчетным пролетом l = 5 м, с поперечным сечением в виде тавра (h = 0,35 м, b = 0,095 м, h\prime_{f} = 0,05\text{м} , b\prime_{f} = 0,475\text{м} ); бетон класса B25; E_{b} = 29,75 \cdot 10^{3}\text{МПа} ; напрягаемая арматура класса А-IV с площадью сечения A_{p} = 4,9 \cdot 10^{- 4}\text{м}^{2} ; ненапрягаемая арматура (растянутая и сжатая) класса А-III (E_{s} = 2 \cdot 10^{5}\text{МПа}) с площадью сечения соответственно A_{s} = 0,785 \cdot 10^{- 4}\text{м}^{2} и A_{s}\prime = 0,503 \cdot 10^{- 4}\text{м}^{2} ; a = 0,05 и a'= 0,025 м; усилие предварительного обжатия с учетом всех потерь P_{\text{о}} = 0,08\text{МН} , его эксцентриситет e_{cs} = 0,005\text{м} ; постоянная и длительная нагрузки равномерно распределены по длине, их сумма q = 0,013 МН/м; относительная влажность среды 70%; осадка конуса 1 — 2 см; возраст бетона в момент загружения t_{\text{о}} = 28\text{сут} . Предельно допустимый прогиб в соответствии с п. 1.21 СНиП 2.03.01-84 — 2,5 см.

Требуется определить прогиб в середине пролета.

Расчет. Изгибающий момент в середине пролета M_{tot} = M_{L} = 0,013 \cdot 5,0^{2}:8 = 0,0406\text{МН } \cdot \text{м} ; N_{tot} = P_{\text{о}} = 0,08\text{МН} ; h_{\text{о}} = 0,350 - 0,050 = 0,300\text{м} ; z_{s} = h_{\text{о}} - a\prime = 0,350 - 0,025 = 0,275\text{м} ; A_{b} = 0,05225\text{м}^{2} ; периметр сечения P = 1,65 м; \alpha = 2 \cdot 10^{5}:29,75 \cdot 10^{3} = 6,723 ; \mu = (4,91 + 0,785)10^{- 4}:0,05225 = 0,0109 ; по формулам (67) и (62) получается

\delta_{1} = 0,025/0,3 = 0,083 ; \delta_{2} = 0,05/0,3 = 0,167 ; i_{b} = 0,475/0,095 = 5,000 ;

i_{h} = 0,05/0,3 = 0,167 ; \lambda_{1} = 0,3 \cdot 0,08/0,0406 = 0,591 ; \omega_{1} = 1 + 0,005/0,3 \cdot 0,591 = 1,010 .

Согласно табл. 4 C^{N}(\infty,28) = 8,8 \cdot 10^{- 5}\text{МПа}^{- 1} .

Модуль открытой поверхности M_{o} = 1,65:0,05225 = 32\text{м}^{- 1} .

Согласно табл. 6 и 7 \xi_{2c} = 1,044 , \xi_{3c} = 0,87 .

C(\infty,28) = C^{N}(\infty,28)\xi_{2c}\xi_{3c} = 8,8 \cdot 10^{- 5} \cdot 1,044 \cdot 0,87 = 7,99 \cdot 10^{- 5}\text{МПа}^{- 1} ;

\varphi = E_{b}C(\infty,28) = 2,975 \cdot 10^{4} \cdot 7,99 \cdot 10^{- 5} = 2,38 .

По формуле (68) находим \nu^{*} = 0,53:(1,18 + 1 \cdot 2,38) = 0,149 .

Для бетона класса B25 по табл. 11 СНиП 2.03.01-84 R_{bt,ser} = 1,60\text{МПа} .

Далее по СНиП 2.03.01-84 находим: r = 0,047, M_{r} = 0,0406\text{МН } \cdot \text{м} , M_{rp} = 0,017\text{МН } \cdot \text{м} (п. 4.5), W_{pl} = 0,0057\text{м}^{3} (п. 4.7), \psi_{b} = 0,9 (п. 4.27); \varphi_{l} = 0,8 ; \varphi_{m} = 0,387 ; \varphi_{s}^{*} = 0,0761 (п. 4.29).

В предположении, что граница сжатой зоны расположена в стенке балки (\xi^{*}>i_{h}) , вычисляют по формулам (61) и (66):

k_{1}^{*} = 0,761 \cdot 0,503 \cdot 10^{- 4}/[0,9(4,91 + 0,785)10^{- 4} = 0,0747 ; k_{2}^{*} = 0,167(5 - 1) = 0,667 ;

k_{3}^{*} = 0,167 \cdot 0,667 = 0,112 ; k_{4}^{*} = 1 ;

k_{5} = [2 \cdot 0,9/(0,761 \cdot 0,149)]0,0109 \cdot 6,4[0,167(5,00 - 1) + 1 + 0,167] = 2,032 .

По формулам (65) вычисляем d_{1}^{*} = 1 \cdot 0,591 = 0,591 ; d_{2}^{*} = 2 \cdot 1 \cdot (1,010 - 0,591) = 0,838 ;

d_{4}^{*} = - 2,144[(1 + 0,0747 \cdot 0,083)1,01 - (1 - 0,083)0,083 \cdot 0,0747 \cdot 0,591] = - 2,172 .

Относительную высоту сжатой зоны вычисляем как корень кубического уравнения (64)

0,591\xi^{*3} + 0,838\xi^{*2} + 2,751\xi^{*} - 2,172 = 0 .

\xi^{*} = 0,614 . Так как \xi^{*}>i_{h} , то \xi^{*} считается найденным окончательно; согласно (57) x^{*} = \xi^{*}h_{\text{о}} = 0,614 \cdot 0,300 = 0,184\text{м} .

По формулам (58), (59), (60) определяем

z_{b}^{*} = 0,300[1 - 1/2(1 \cdot 0,614^{2} + 0,112)/(1 \cdot 0,614 + 0,667)] = 0,243\text{м} ;

A_{b}^{*} = 0,095 \cdot 0,3(1 \cdot 0,614 + 0,667) = 0,0365\text{м}^{2} ;

u^{*} = 0,0728 \cdot 0,275[(0,300 - 0,184)/(0,184 - 0,025) - 0,0728] = 0,0305\text{м} .

Кривизну от длительного действия постоянной и длительной нагрузки определяем по формуле (55)

При отсутствии кратковременной нагрузки (1/r)_{s} = (1/r)_{sL} и 1/r = (1/r)_{L} , см. формулу (54).

Прогиб f_{m} , обусловленный деформацией изгиба, определяется по формуле

f_{m} = 5/48 \cdot 1/\rho \cdot l^{2} = (5/48)48,02 \cdot 10^{- 4} \cdot 5,000^{2} = 0,0125\text{м} .

Вычисленный прогиб не превышает предельно допустимого. Поскольку l/h = 14,3 > 10, то учитывать влияние поперечных сил на прогиб не нужно.

Пример 2. Определение прогиба железобетонной балки с ненапрягаемой арматурой.

Дано: железобетонная балка перекрытия таврового сечения; расчетный пролет l = 5,7 м; b = 0,20 м; h = 0,60 м; b\prime_{p} = 0,40\text{м} ; h\prime_{f} = 10\text{м} . Бетон тяжелый класса B25, подвергнутый пропариванию; арматура класса А-III, E_{s} = 2 \cdot 10^{5}\text{МПа} ; A_{s} = 19,64 \cdot 10^{- 4}\text{м}^{2} (4 стержня диаметром 25 мм), a = 0,07 м. Нагрузка равномерно распределенная; постоянная и длительная нагрузки составляют в сумме 0,035 МН/м, кратковременная — 0,017 МН/м. Модуль упругости бетона и предельная характеристика ползучести, найденные согласно указаниям разд. 2 настоящих Рекомендаций; E_{b} = 26,78 \cdot 10^{3}\text{МПа} , \varphi = 1,533 . Конструкция относится к III категории трещиностойкости.

Требуется определить прогиб в середине пролета по истечении неограниченно большого промежутка времени.

Расчет. Характеристики сечения: A = 0,1400 м2; \mu = 19,64 \cdot 10^{- 4}/0,1400 = 0,014 ; h_{\text{о}} = 0,600 - 0,070 = 0,530\text{м} ; согласно (62) вычисляем i_{b} = 0,4/0,2 = 2 ; i_{h} = 0,1/0,53 = 0,189 , \mu\alpha = 0,014 \cdot 2 \cdot 10^{5}/(26,78 \cdot 10^{3}) = 0,105 .

Для нахождения момента трещинообразования M_{crc} вычисляем сначала W_{pl} согласно п. 4.7 СНиП 2.03.01-84 либо по формулам <*>:

W_{pl} = (0,292 + 1,5\mu_{1}\alpha + 0,075\gamma_{1}\prime)bh^{2} ; \mu_{1} = A_{s}/bh ; \gamma_{1}\prime = 2(b\prime_{f} - b)/bh ,

откуда W_{pl} = 0,05160\text{м}^{3} . Согласно табл. 11 СНиП 2.03.01-84 для класса бетона B25 R_{bt,ser} = 1,60\text{МПа} . M_{crc} = W_{pl}R_{bt,ser} = 0,0826\text{МН } \cdot \text{м} . Изгибающие моменты в середине пролета: от постоянной и длительной нагрузок M_{L} = 0,0350 \cdot 5,7^{2}/8 = 0,1421\text{МН } \cdot \text{м} ; от кратковременной нагрузки M_{s} = 0,0170 \cdot 5,7^{2}/8 = 0,0690\text{МН } \cdot \text{м} .

<*> Руководство по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона (без предварительного напряжения). ЦНИИпромзданий, НИИЖБ. М.: Стройиздат, 1977.

Для определения кривизны в середине пролета, вызванной кратковременным действием всей нагрузки, находим согласно (72) \zeta = 0,0826/(0,1421 + 0,0690) = 0,391 . По табл. 18 \overline{i} = 10^{- 4}(8 - 2)^{2} = 0,0036 ;

b_{1} = 0,166 - (6 + 44 \cdot 0,105)0,0036 + 0,41 \cdot 0,105 = 0,171 ;

b_{2} = 0,173 - (11 - 5 \cdot 0,105)0,0036 - 0,6 \cdot 0,105 = 0,073 .

Отсюда по (72) k_{b} = 0,171 + 0,073 \cdot 0,391^{2} = 0,182 и согласно (71)

B = 0,182 \cdot 26,78 \cdot 10^{3} \cdot 0,1400 \cdot 0,530 \sqrt[2]{0,105} = 61,91\text{МН } \cdot \text{м}^{2} .

По первой из формул (70) получаем

(1/r)_{s} = (0,1421 + 0,069)/61,91 = 3,409 \cdot 10^{- 3}1/\text{м} .

Аналогично вычисляем кривизну от кратковременного действия постоянной и длительной нагрузок. В этом случае \zeta = 0,0826/0,1421 = 0,581 ; k_{b} = 0,171 + 0,073 \cdot 0,581^{2} = 0,196 ; B_{L} = 66,67\text{МН } \cdot \text{м}^{2} ; (1/r)_{sL} = 2,131 \cdot 10^{- 3}1/\text{м} .

Чтобы вычислить кривизну от длительного действия тех же нагрузок, находим по табл. 18

\beta_{1} = 0,110 + 1,15 \cdot 0,105 = 0,230 ; \beta_{2} = 0,310 - 0,75 \cdot 0,105 = 0,232 .

Затем по формуле (73)

B_{L}^{*} = 66,67/[1 + 1,533(0,230 + 0,232 \cdot 0,581^{2})] = 45,27\text{МН } \cdot \text{м}^{2} ;

далее по (70) (1/r)_{L} = 3,139 \cdot 10^{- 3}1/\text{м} . Суммарная кривизна в середине пролета согласно формуле (54) равна

1/r - (3,409 - 2,131 + 3,139)10^{- 3} = 4,417 \cdot 10^{- 3}1/\text{м} .

В соответствии с п. 6.11, принимая, что по длине балки кривизна изменяется так же, как и изгибающий момент, по закону квадратной параболы находим прогиб в середине пролета от действия изгибающих моментов (см. пример 1 разд. 6).

f_{m} = (5/48)5,7^{2} \cdot 4,417 \cdot 10^{- 3} = 0,015\text{м} .

Поскольку l/h < 10, необходимо учесть влияние деформации сдвига на прогиб (п. 6.6). Для этого согласно п. 4.34 СНиП 2.03.01-84 находим J_{red} = 0,0056\text{м}^{4} ; G = 0,4E_{b} = 10,71 \cdot 10^{3}\text{МПа} .

Чтобы найти прогиб f_{q} с учетом длительного действия постоянной и длительной нагрузок, вычислим приведенную интенсивность нагрузки: q_{s} + \varphi q_{L} = 0,017 + 0,037 \cdot 1,533 = 0,0835\text{МН}/\text{м} . Значение f_{q} = \int Q(x)\gamma_{c}(x)dx , найденное по правилам строительной механики, равно 0,003 м.

Полный прогиб f = f_{m} + f_{q} = 0,015 + 0,003 = 0,018\text{м} .

Расчет, выполненный по СНиП 2.03.01-84, приводит к тем же значениям f_{m} , f_{q} и f.

Предельно допустимый прогиб согласно табл. 4 СНиП 2.03.01-84 равен 5,7 : 200 = 0,028 м > 0,018 м.

8. УСТОЙЧИВОСТЬ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОЛОНН В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ БЕТОНА

8.1. Несущая способность железобетонных стоек с поперечными сечениями прямоугольной формы, симметрично армированных (A_{s}/A_{s}\prime) , с гибкостями \lambda = l_{\text{о}}/h = 30 и больше, сжатых как кратковременно, так и длительно действующими силами, приложенными с эксцентриситетами e_{\text{о}} , не превышающими величины l_{\text{о}}/300 , определяется условиями устойчивости. Перед началом потери устойчивости таких стоек сжимающие напряжения в бетоне не превышают 0,75R_{bn} (см. п. 3.8). Исключение составляют стойки из бетона класса B40 и ниже с \lambda \leq 30 и s = e_{\text{о}}/l_{\text{о}} \geq 1/400 , несущая способность которых определяется условиями прочности (см. п. п. 3.19 - 3.20 СНиП 2.03.01-84).

8.2. Критические силы для железобетонных стоек, сжатых кратковременными либо длительными нагрузками и теряющих устойчивость, определяются по формуле

где N_{E} — критическая сила для центрально сжатой стойки, вычисленная в предположении наличия только упругой работы бетона и отсутствия трещин;

p — коэффициент, определяемый по табл. 20 и учитывающий влияние величин s, \mu\rho_{1}\overline{\alpha} (см. п. 2 табл. 15), характеристики ползучести бетона \overline{\varphi} и трещинообразования для стоек с гибкостью \lambda = 30 из бетона класса B40;

Примечания. 1. Значения p, приведенные в таблице, соответствуют классу бетона B40.

2. Для бетонов других классов соответствующие значения p получают путем уменьшения или увеличения на 0,005 при изменении класса бетона на каждые 10 МПа.

Характеристику ползучести бетона \overline{\varphi} принимают равной: \overline{\varphi} = 1,25\varphi при действии длительной нагрузки; \overline{\varphi} = 0,25\varphi — при действии кратковременной нагрузки.

N_{E} = 0,8\pi^{2}E_{b}J_{b}(1 + \mu\rho_{1}\overline{\alpha})/l_{\text{о}}^{2} ; (88)

\phi(\lambda,s,\overline{\varphi}) = 1 + (F_{1} + F_{2}s)(\lambda - 30) + (F_{3} + F_{4}s)(\lambda - 30)^{2} , (89)

\lambda = l_{\text{о}}/h,s = e_{\text{о}}/l_{\text{о}},\mu = (A_{s} + A_{s}\prime)/A,\rho_{1} = h_{1}^{2}A/J_{b},\alpha = E_{s}/0,8E_{b} ; (90)

L_{\text{о}} — расчетная длина внецентренно сжатой железобетонной стойки, определяемая согласно табл. 31 СНиП 2.03.01-84; e_{\text{о}} — заданный либо определяемый в соответствии с указаниями п. 1.21 СНиП 2.03.01-84 эксцентриситет нагрузки относительно центра тяжести сечения.

F_{1} , F_{2} , F_{3} , F_{4} — функции характеристики ползучести \varphi , принимаемые по табл. 21.

8.3. Назначение размеров прямоугольного поперечного сечения с симметричной арматурой при заданной продольной силе N, расчетной длине стойки l_{\text{о}} , гибкости \lambda , эксцентриситете e_{\text{о}} и соотношении размеров поперечного сечения b/h = k производится следующим образом:

вычисляют h = l_{\text{о}}/\lambda , b = kh; (91)

зная класс бетона, b, h, а также условия эксплуатации, определяют \overline{\varphi} ;

зная класс бетона, \lambda , s и \overline{\varphi} , по табл. 20 подбирают p и \mu\rho_{1}\overline{\alpha} так, чтобы удовлетворилось условие

(1 + \mu\rho_{1}\overline{\alpha})p = 1,257\lambda^{2}N/[0,8\pi^{2}bhE_{b}\phi(\lambda,s,\overline{\varphi})] ; (92)

вычисляют площадь поперечного сечения арматуры

A_{s} = A_{s}\prime = \mu\rho_{1}bh/[3,84(1 + \mu\rho_{1})] . (93)

Пример 1. Дано: Колонна с размерами поперечного сечения b x h = 0,4 x 0,5 м2, a = a' = 0,05 м, h_{1} = 0,2\text{м} ; расчетная длина колонны l_{\text{о}} = 15,0\text{м} ; класс бетона B40 (E_{b} = 36 \cdot 10^{3}\text{МПа}) ; возраст бетона в момент загружения t_{\text{о}} = 28\text{сут} ; осадка конуса 1 — 2 см; относительная влажность среды — 70%; симметричная арматура класса А-III (E_{s} = 2 \cdot 10^{5}\text{МПа}) с площадью поперечного сечения

F_{3} = ( - 32,683 + 21,528\varphi - 3,456\varphi^{2})10^{- 5} ,

F_{4} = (26,662 - 12,631\varphi + 1,913\varphi^{2})10^{- 2} .

Требуется определить длительную критическую силу N_{L} .

J = bh^{3}/12 = 0,4(0,5)^{3}/12 = 41,667 \cdot 10^{- 4}\text{м}^{4} ; J_{s} = 2h_{1}^{2}A_{s} = (0,2)^{2}24,64 \cdot 10^{- 4} = 0,986 \cdot 10^{- 4}\text{м}^{4} ; J_{b} = J - J_{s} = 41,667 \cdot 10^{- 4} - 0,986 \cdot 10^{- 4} = 40,681 \cdot 10^{- 4}\text{м}^{4} .

\rho_{1} = h_{1}^{2}A_{b}/J_{b} = (0,2)^{2}1975,36 \cdot 10^{- 4}/(40,681 \cdot 10^{- 4}) = 1,942 ;

\overline{\alpha} = E_{s}/(0,8E_{b}) = 2 \cdot 10/(0,8 \cdot 36 \cdot 10^{3}) = 6,944 .

\mu\rho_{1}\overline{\alpha} = 0,0125 \cdot 1,942 \cdot 6,944 = 0,169 .

s = e_{\text{о}}/l_{\text{о}} = 3,75 \cdot 10^{- 2}/15 = 1/400 ; \lambda = l_{\text{о}}/h = 15,0/0,5 = 30 .

M_{o} = 2(b + h)/(bh) = 2(0,4 + 0,5)/(0,4 \cdot 0,5) = 9\text{м}^{- 1} .

Согласно табл. 6 и 7 \xi_{2c} = 0,738 ; \xi_{3c} = 0,87 .

\overline{\varphi} = 1,25E_{b}c[(\infty,28) = 1,25 \cdot 36 \cdot 10^{3} \cdot 37,852 \cdot 10^{- 6} = 1,705 .

По табл. 19 (B40, \lambda = 30 , s = 1/400, \overline{\mu}\rho_{1},\overline{\alpha} = 0,169 , \overline{\varphi} = 1,705 ) находим p = 0,383. Для данного случая \phi(\lambda,s,\overline{\varphi}) = 1,00 .

По формуле (88) определяем

N_{E} = 0,8\pi^{2}E_{b}Y_{b}(1 + \mu\rho_{1}\overline{\alpha})/l_{\text{о}}^{2} = 0,8(3,14)^{2}36 \cdot 10^{3} \cdot 40,681 \cdot 10^{- 4} \cdot 1,169/15^{2} = 6,008\text{МН} .

N_{L} = p\phi(\lambda,s,\overline{\varphi})N_{e} = 0,383 \cdot 1,0 \cdot 6,008 = 2,301\text{МН} .

Пример 2. Дано: колонна с прямоугольным поперечным сечением b x h (b/h = k = 0,75), расчетная длина колонны l_{\text{о}} = 14\text{м} ; гибкость \lambda = 35 ; на колонну действует длительная продольная сила N = 0,12 МН, приложенная с эксцентриситетом e_{\text{о}} = 2,8 \cdot 10^{- 2}\text{м} в направлении размера h, класс бетона B40 (E_{b} = 36 \cdot 10^{3}\text{МПа}) ; возраст бетона в момент загружения t_{\text{о}} = 28\text{сут} ; осадка конуса 5 — 6 см; относительная влажность среды 80%; арматура класса А-III (E_{s} = 2 \cdot 10^{5}\text{МПа}) .

Требуется определить размеры поперечного сечения и площадь симметричной арматуры.

h = l_{\text{о}}/\lambda = 14/35 = 0,4\text{м} ; b = kh = 0,75 x 0,4 = 0,3 м;

s = e_{\text{о}}/l_{\text{о}} = 2,8 \cdot 10^{- 2}/14 = 1/500 ; \overline{\alpha} = E_{s}/(0,8E_{b}) = 2 \cdot 10^{5}/(0,8 \cdot 36 \cdot 10^{3}) = 6,944 .

Согласно табл. 4 c^{N}(\infty;28) = 67 \cdot 10^{- 6}\text{МПа}^{- 1} ; модуль открытой поверхности

Согласно табл. 6 и 7 \xi_{2c} = 0,788 , \xi_{3c} = 0,73 .

При \overline{\varphi} = 1,734 по табл. 21 определяем F_{1} , F_{2} , F_{3} , F_{4} . F_{1} = - 0,042 \cdot 10^{- 3} , F_{2} = - 3,276 , F_{3} = - 5,75 \cdot 10^{- 5} , F_{4} = 10,516 \cdot 10^{- 2} .

При найденных значениях F_{1} , F_{2} , F_{3} , F_{4} , s = 1/500, \lambda = 35 по формуле (89) определяется \phi(\lambda,s,\overline{\varphi}) = 0,971 .

По табл. 20 (s = 1/500, \overline{\varphi} = 1,734 ) подбираем значения p и \mu\rho_{1}\overline{\alpha} так, чтобы удовлетворялось равенство (92)

Такими будут p = 0,439, \mu\rho_{1}\overline{\alpha} = 0,255 .

Требуемая площадь арматуры определяется по формуле (93)

9. РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ТРЕЩИНООБРАЗОВАНИЯ И ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ ЕГО ЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

9.1. При действии нагрузки на систему, m раз статически неопределимую, лишние неизвестные, сформировавшиеся к моменту времени t, могут быть найдены с помощью системы разрешающих уравнений:

\sum_{k = 1}^{m} \delta_{ik}^{*}(t)x_{k}^{*}(t) + \Delta_{ip}^{*}(t) + \Delta_{iє}^{*}(t) = 0;i,k = 1 \div m ; (94)

(96)

Здесь (94) - канонические уравнения метода сил; M_{k}(s) , M_{p}(s) , N_{k}(s) , N_{p}(s) — единичные и грузовые усилия в основной системе; (95) - перемещения в направлении i-й лишней связи к моменту времени t, вызванные действием соответственно силы x_{k}^{*}(t) = 1 , внешней нагрузки и вынужденных деформаций <1>. Задача, описываемая выражениями (94), (95) и (96), является нелинейной и может быть решена в общем случае только приближенными методами.

<1> Для относительно коротких стержней эти перемещения зависят также от Q^{*}(t) (см. п. 6.6 настоящих Рекомендаций).

Так как в рассматриваемой системе имеют место трещинообразование и ползучесть, то жесткости ее элементов [а следовательно, и перемещения (95)] зависят от величины внутренних усилий и характера изменения их за промежуток времени t - t_{\text{о}} .

9.2. Поскольку жесткости оказываются в общем случае переменными по длине стержней, из которых состоит система, то для вычисления перемещений стержни, как правило, разбиваются на участки, в пределах которых жесткости можно считать постоянными. Деформации, обусловленные изгибом, определяются тогда по формулам:

(97)

где U — общее число участков, l_{n} — длина n-го участка,

B_{n}^{*}(t) = B_{n}^{*}[M^{*}(s,t),N^{*}(s,t),t] — (98)

условная длительная жесткость в пределах n-го участка, которая определяется с учетом изменяющихся во времени внутренних усилий. Ее приближенно можно найти как полусумму соответствующих жесткостей, вычисленных в начале и в конце n-го участка.

9.3. Для расчета статически неопределимых систем с учетом изменения жесткостей и усилий во времени может быть применен шаговый метод, основанный на последовательном определении лишних неизвестных в заданные моменты времени t_{\text{о}} , t_{1} , t_{2} ,..., t_{j} ,..., t_{v} = t . Для момента времени t_{j} система канонических уравнений записывается согласно (94), но с заменой t на t_{j} . Предполагается, что в промежутке времени t - t_{j - 1} все характеристики деформативности остаются постоянными и равными вычисленным на предыдущем этапе. В левых частях формул (95) и (97) t заменяется на t_{j} , а в правых — на t_{j - 1} ; в формулах (96) t заменяется на t_{j} . На каждом этапе во времени решается задача расчета системы с жесткостями, зависящими от действующих усилий, для чего используется метод итераций.

9.4. При расчете статически неопределимых систем на стационарные воздействия допускается использовать способ усреднения усилий, который состоит в том, что для вычисления B_{n}^{*}(t) внутренние усилия принимаются стационарными и равными

Эти величины подставляются в правую часть выражения (98).

Если для какого-либо участка элемента, на котором имеются трещины, окажется, что

(смотря по тому, действует ли там изгиб или внецентренное сжатие), то его длительная жесткость вычисляется не по \overline{M^{*}}(t) и \overline{N^{*}}(t) , а по M(t_{\text{о}}) и N(t_{\text{о}}) .

Если рассчитывается статически неопределимая система, элементы которой работают на изгиб (например, балка на жестких опорах или на деформируемом основании), то жесткости можно определять в соответствии с указаниями п. п. 7.10 - 7.12.

9.5. Алгоритм расчета, описанного в п. 9.4, состоит из двух основных этапов (I и II) (рис. 1). I этап относится к моменту времени t_{\text{о}} , а II — к моменту z. Оба этапа имеют сходную структуру. При выполнении I этапа должны быть заданы неперед начальные жесткости [массив B^{(\text{о})}(t_{\text{о}}) ]; их можно принять, например, как для системы, работающей без трещин. По ним, с применением (97), составляется система (94), решение которой дает x_{k}^{(\text{о})}(t_{\text{о}}) ; затем по (96) находятся внутренние усилия [массивы M^{(\text{о})}(t_{\text{о}}) , N^{(\text{о})}(t_{\text{о}}) ]. После проверки трещиностойкости в каждом расчетном сечении вычисляются изгибные жесткости [массив B^{(1)}(t_{\text{о}}) ], по которым снова составляется система (94), вычисляются значения x_{k}^{(1)}(t_{\text{о}}) и т.д. На каждом шаге интеграционного процесса (при q >= 1) нужно полученные усилия M^{(q)}(t_{\text{о}}) , N^{(q)}(t_{\text{о}}) сравнивать тем или иным способом M^{(q - 1)}(t_{\text{о}}) , N^{(q - 1)}(t_{\text{о}}) , найденными на предыдущем шаге. Если полученная относительная погрешность не превышает заданной величины \omega , то на данном шаге итерационный процесс заканчивается, и результатом его являются усилия M(t_{\text{о}}) , N(t_{\text{о}}) и жесткости B(t_{\text{о}}) .

и ползучести при помощи усреднения усилий во времени

При выполнении II этапа рекомендуется предварительно принять начальные длительные жесткости B^{*(\text{о})}(t) в предположении отсутствия трещин. На каждом q-м шаге итерационного процесса проверяют условие (100), и если оно не выполняется, то вычисляют усредненные усилия

а по ним, с учетом ползучести, определяют массив B^{*(q + 1)}(t) . В остальном II этап расчета не отличается от I. Схема II этапа показана на рис. 2.

Примечание. Для получения схемы I этапа нужно исключить блок 5, заменить в блоке 6 выражение (101) на (102), опустить индексы * и заменить t на t_{\text{о}} .

Для повышения устойчивости итерационного процесса рекомендуется вычислять жесткости B^{(q + 1)}(t_{\text{о}}) не по величинам M^{(q)}(t_{\text{о}}) , N^{(q)}(t_{\text{о}}) , а по усредненным значениям

9.6. Если статически неопределимая система состоит из предварительно напряженных элементов, работающих при заданной нагрузке без трещин, то формулы (97) удобнее представлять в виде

(103)

где 1/r_{k}^{*}(s,t) , 1/r_{p}^{*}(s,t) — кривизны, вызванные длительным действием соответственно x_{k} = 1 и внешней нагрузки и определяемые согласно указаниям пп. 6.2, 6.3. При использовании линейной теории ползучести эти кривизны, а следовательно, и \delta_{ik}^{*}(t) , \Delta_{ip}^{*}(t) не зависят от величины внутренних усилий; тогда задача определения лишних неизвестных решается без применения метода итераций.

9.7 Расчет железобетонных балок на деформируемом основании ведется при следующих предположениях:

а) балка имеет прямоугольное, тавровое или двутавровое (коробчатое) поперечное сечение; размеры его (кроме ширины подошвы <1>) могут изменяться по длине балки;

б) арматура ненапрягаемая; площадь ее поперечного сечения может быть переменной по длине;

в) расчетная модель основания может быть различной (однородное или неоднородное основание, характеризуемое коэффициентом постели (винклеровское) (однородная деформируемая полуплоскость или полупространство и т.д.); деформирование основания описывается линейной теорией ползучести;

д) нагрузка может быть как кратковременной, так и длительно действующей стационарной; возможно появление трещин.

<1> Для случая винклеровского основания это ограничение может быть снято.

9.8. Принята дискретная расчетная схема: балка разбивается на m + 1 участок длиной c (рис. 3, а); связи между балкой и основанием и внешние нагрузки считаются сосредоточенными на границах этих участков (рис. 3, б). Жесткость балки в пределах каждого участка считается постоянной. Основная система метода сил показана на рис. 3, в. Система уравнений (94) в матричной форме для момента времени t имеет вид

Здесь \vec{M}^{*}(t) — вектор неизвестных моментов; \vec{\Delta}^{*}(t) — вектор грузовых перемещений, зависящий (для принятой основной системы) только от деформации основания; \delta^{*}(t) — матрица единичных перемещений; матрица \delta_{1}^{*}(t) зависит от деформации балки, а \delta_{2}^{*}(t) — от деформации основания.

где B_{\text{о}} — произвольно принятая величина, имеющая размерность жесткости; \varphi_{\text{о}}(t,t_{\text{о}}) — характеристика ползучести основания; w — коэффициент, зависящий от расчетной модели основания (табл. 22). Матрица \vec{D}_{1}^{*}(t) симметрична и состоит из элементов вида d_{ik}^{*} (i, k = 1 — m), причем

d_{ii}^{*}(t) = 2[\gamma_{i}^{*}(t) + \gamma_{i + 1}^{*}(t)];d_{i,i + 1}^{*}(t) = \gamma_{i + 1}^{*}(t) ; (107)

при k > i + 1 d_{ik}^{*}(t) = 0 .

где B_{i}^{*}(t) и B_{i + 1}^{*}(t) — условные длительные жесткости балки в i-м и i + 1-м сечениях.

Матрица D_{2} , также симметричная, состоит из элементов вида

i,k = 1 \div m .

9.8. Безразмерные величины F_{ij} зависят от расчетной модели основания и даны в табл. 22.

Таблица 22

Расчетная модель		W	F_{ik}
Винклеровское основание	неоднородное	1/k_{\text{о}}bc	k_{\text{о}}/k_{\text{о}i} при i = k; 0 при i /= k
	однородное (k_{\text{о}i} - k_{\text{о}})	1/k_{\text{о}}bc	1 при in i = k; 0 при i /= k
Деформируемая полуплоскость		1/\pi E_{\text{о}}b	-(2u + 1) ln/2u + 1/ + (2u — 1) ln/2u — 1/
Деформируемое полупространство	Плоская деформация	(1 - \mu_{\text{о}}^{2})/\pi E_{\text{о}}b	то же
	Пространственное напряженно-деформированное состояние	(1 - \mu_{\text{о}}^{2})/\pi E_{\text{о}}c	g_{1} = \sqrt{d_{1}^{2} + 1} ; g_{2} = \sqrt{d_{2}^{2} + 1} ; d_{1} = (2u + 1)/v ; d_{2} = (2u - 1)/v ; v = b/c

Примечание. k_{\text{о}i} — коэффициент жесткости для i-й точки; u = /i — k/; E_{\text{о}} , \mu_{\text{о}} — модуль деформации и коэффициент Пуассона основания.

Вектор \vec{p} состоит из элементов вида

p_{i} = c \sum_{j = 0}^{m + 1} (F_{i - 1,j} - 2F_{ij} - F_{i + 1,j})p_{j},i = 1 - m . (110)

Для винклеровского основания

где k_{\text{о}} — коэффициент жесткости основания, т.е. напряжение, вызывающее единичную осадку, b — ширина подошвы балки.

9.9. При расчете используют способ усреднения усилий (пп. 9.4 - 9.6). Вначале производят расчет для момента времени t_{\text{о}} и принимают \varphi = \varphi_{\text{о}} = 0 .

Для построения матрицы D_{1}^{(q - 1)}(t_{\text{о}}) использованы жесткости, полученные на предыдущем шаге. Для момента времени t аналогично

Жесткости, необходимые для нахождения матрицы D_{1}^{*(q - 1)}(t) , определяют согласно указаниям п. 9.5.

9.10. Величины модуля деформации основания E_{\text{о}} в СНиП 2.02.01-83; значения коэффициента жесткости винклеровского основания определяют по СНиП II-8-78; характеристику ползучести основания допускается вычислять по формулам:

где, согласно СНИП II-8-78, E_{\text{дл}} — модуль длительной деформации, S_{nc} — полностью стабилизированная осадка основания, S — полная осадка, u_{t} — функция, характеризующая длительность деформации основания.

9.11 По найденным изгибающим моментам можно определить опорные давления в подошве балки

Дано: железобетонная балка, лежащая на грунте (рис. 4, а). Длина балки l = 18 м; сечение прямоугольное: b = 0,8 м, h = 0,6 м; a = 0,05 м, a' = 0,035 м. Материал балки — бетон B15, естественного твердения; в соответствии с разд. 2 найдено: E_{b} = 23 \cdot 10^{3}\text{МПа} , \varphi = 1,716 ; согласно СНиП 2.03.01-84, R_{bt.ser} = 1,15\text{МПа} . Арматура класса А-III, E_{s} = 2 \cdot 10^{5}\text{МПа} ; \alpha = 2 \cdot 10^{5}/23 \cdot 10^{3} = 8,70 . Диаметр нижней арматуры — 28 мм, верхней — 22 мм. Величины A_{s} и A_{s}\prime приведены в табл. 23. Основание — флювиогляциальный суглинок, пределы нормативных значений консистенции 0,25 \leq J_{L}<0,5 ; коэффициент пористости 0,75. Модуль деформации основания E_{\text{о}} = 17\text{МПа} , длительный модуль деформации E_{\text{д}.\text{л}} = 5\text{МПа} , \mu_{\text{о}} = 0,35 .

б)

Принятая расчетная модель основания — деформируемое полупространство. Величина кратковременных нагрузок P_{s} = 0,15\text{МН} ; длительных и постоянных (в сумме) — P_{L} = 0,65\text{МН} . Конструкция относится к III категории трещиностойкости.

2. определить ширину раскрытия трещин и напряжения в арматуре при действии тех же нагрузок и проверить ширину кратковременного и длительного раскрытия трещин.

Расчет. По формуле (114), полагая для t - t_{\text{о}} \rightarrow \infty u_{t} = 1 , находим \varphi_{\text{о}} = 1 \cdot 17/5 - 1 = 2,4 . Рабочие высо́ты сечений: h_{\text{о}} = 0,6 - 0,05 = 0,55\text{м} ; h_{\text{о}}\prime = 0,6 - 0,035 = 0,565\text{м} . Согласно табл. 15, h_{1} = 0,25\text{м} , h_{2} = 0,265\text{м} , \rho_{1} = 3,083 ; \rho_{2} = 3,341 . Пластические моменты сопротивления для нижнего и верхнего крайних волокон находятся по формулам соответственно

Продолжение табл. 24

На рис. 4, б и в табл. 24 даны также результаты расчета в предположении, что ползучесть основания отсутствует (что имеет место для песчаных грунтов). В этом случае ползучесть материала балки приводит к уменьшению значений M_{L}^{*} , a_{crc3} и \sigma_{s}^{*} по сравнению с M_{L} , a_{crc2} , \sigma_{s} .

В соответствии с указаниями п. 7.16 вычислена максимальная ширина раскрытия трещин. Ширина кратковременного раскрытия: для t = t_{\text{о}} a_{crc} = 0,20\text{мм} , для t \rightarrow \infty a_{crc} = 0,20 - 0,16 + 0,27 = 0,31\text{мм} . Ширина длительного раскрытия a_{crc} = 0,27\text{мм} .

Последние две величины, найденные при помощи пп. 4.14 и 4.15 СНиП 2.03.01-84, равны соответственно 0,36 и 0,30 мм.

10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ И ПРОГИБОВ СТЕРЖНЕВЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ БЕТОНА

10.1. Рекомендуемая методика расчета относится к стержневым изгибаемым элементам, сечения которых симметричны относительно вертикальной оси (рис. 5).

Рис. 5. Расчетная схема поперечного сечения балки

10.2 Жесткость сечений в момент времени t при длительных силовых воздействиях определяют по формуле

Здесь k(t - t_{\text{о}}) — корректирующий множитель, зависящий от продолжительности действия нагрузки и принимаемый по табл. 25; D_{\text{о}}(t - t_{\text{о}}) — жесткость сечения элемента в момент времени t при моменте нагружения t_{\text{о}} в предположении линейной зависимости между напряжениями и деформациями и отсутствии трещин (нулевое напряженное состояние); D_{min}(t,t_{\text{о}}) — минимальное значение жесткости сечения в момент времени t и начале нагружения t_{\text{о}} в состоянии, предшествующем его разрушению (предельное напряженное состояние); M — изгибающий момент от внешней нагрузки. Для предварительно напряженных элементов M = M_{\text{б}} - P_{\text{о}}[q_{\text{о}p} - q_{\text{о}}(t,t_{\text{о}})] ;

где M_{\text{б}} — изгибающий момент от поперечной нагрузки; P_{\text{о}} — усилие предварительного обжатия, определяемое с учетом проявления всех видов потерь; q_{\text{о}p} — расстояние от точки приложения усилия предварительного обжатия, положение которой следует определять в соответствии со СНиП 2.03.01-84, до крайнего волокна сжатой зоны бетона; q_{\text{о}}(t,t_{\text{о}}) — расстояние от центра тяжести приведенного сечения до крайнего сжатого волокна, вычисляемое согласно п. 10.4;

M_{max}(t,t_{\text{о}}) — предельный изгибающий момент, воспринимаемый сечением и определяемый в соответствии с указаниями п. 10.13.

10.3. Жесткость D_{\text{о}}(t,t_{\text{о}}) для прямоугольных и тавровых сечений с полкой в сжатой зоне определяют по формуле

D_{\text{о}}(t,t_{\text{о}}) = D_{\text{о}b,c}(t,t_{\text{о}}) + D_{\text{о}b,t}(t,t_{\text{о}}) + D_{\text{о}s,c}(t,t_{\text{о}}) + D_{\text{о}s,t}(t,t_{\text{о}}) , (117)

(118)

жесткость растянутой части бетонного сечения

D_{\text{о}b,t}(t,t_{\text{о}}) = 1/3[h - x_{\text{о}}(t,t_{\text{о}})]^{3}E_{\text{о}b}(t,t_{\text{о}}) ; (119)

D_{\text{о}s,c}(t,t_{\text{о}}) = E_{s}\prime A_{s}\prime[x_{\text{о}}(t,t_{\text{о}}) - a\prime]^{2} + E_{s}\prime_{p}A\prime_{p}[x_{\text{о}}(t,t_{\text{о}}) - a\prime_{p}]^{2} ; (120)

жесткость растянутой арматуры

В формулах (118) - (121):

x_{\text{о}}(t,t_{\text{о}}) — высота сжатой зоны в нулевом напряженном состоянии, определяемая по формуле

E_{\text{о}b}(t,t_{\text{о}}) — длительный модуль деформаций бетона, отвечающий линейной зависимости между напряжениями и деформациями и вычисленный к моменту времени t при начале нагружения t_{\text{о}} по формуле

где E_{b}(t) — начальный модуль упругости, устанавливаемый согласно п. 2.4;

C^{*}(t,t_{\text{о}}) — мера деформаций ползучести, определяемая в соответствии с указаниями п. п. 3.6, 3.9.

10.4. Жесткость D_{min}(t,t_{\text{о}}) для прямоугольных и тавровых сечений с полкой в сжатой зоне определяют по формуле

где D_{minb,c} , D_{s,c}(t,t_{\text{о}}) , D_{s,t}(t,t_{\text{о}}) — соответственно жесткости сжатой зоны бетона, сжатой и растянутой арматуры, определяемые по формулам:

(125)

D_{s,c}(t,t_{\text{о}}) = \beta_{s}\prime E_{s}\prime A_{s}\prime[q_{\text{о}}(t,t_{\text{о}}) - a\prime]^{2} + \beta_{s}\prime_{p}E_{s}\prime_{p}A\prime_{p}[q_{\text{о}}(t,t_{\text{о}}) - a\prime_{p}]^{2} ; (126)

В формулах (125) - (127):

x_{min}(t,t_{\text{о}}) — высота сжатой зоны в предельном напряженном состоянии, вычисляемая согласно указаниям п. 10.7;

q_{\text{о}}(t,t_{\text{о}}) — расстояние от центра тяжести приведенного сечения до крайнего сжатого волокна, определяемое по формуле

E_{b}(t,t_{\text{о}}) — эффективный модуль деформаций сжатой зоны бетона, определяемый по п. 10.5;

\beta_{s} , \beta_{s}\prime , \beta_{sp} , \beta_{sp} — коэффициенты нелинейности деформирования соответственно напрягаемой и обычной арматуры, определяемые по п. 10.6.

10.5 Эффективный модуль деформаций бетона сжатой зоны вычисляется по формуле

Входящий в выражение (129) E_{b}(t,t_{\text{о}}) длительный модуль деформаций крайнего волокна сжатой зоны, отвечающий нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями, определяется исходя из выражения

E_{b}^{+}(t,t_{\text{о}}) = [(1 + v_{k})/E_{b}(t)] + [(1 + v_{c})c^{*}(t,t_{\text{о}})]^{- 1} , (130)

где коэффициенты v_{k} и v_{c} определяются по табл. 9 в зависимости от класса бетона по прочности на сжатие.

10.6. Коэффициенты \beta_{s} , \beta_{s}\prime для арматуры, обладающей физической текучестью, определяются по формулам:

\beta_{s} = R_{sk}/E_{s}є_{s}(t,t_{\text{о}}) ; (131)

\beta_{s}\prime = R_{s}\prime_{k} = /[E_{s}\prime\beta_{s}\prime(t,t_{\text{о}})] , (132)

но принимаются не более 1.

є_{s} = (t,t_{\text{о}}) = є_{bu}[h_{\text{о}} - x_{min}(t,t_{\text{о}})/x_{min}(t,t_{\text{о}})] ;