Библиотека
Скачать PDF

РД 50-690-89. Руководящий документ по стандартизации. Методические указания. Надежность в технике. Методы оценки показателей надежности по экспериментальным данным

Государственный комитет СССР по стандартам · № РД 50-690-89Действующий акт

(утв. и введен в действие Постановлением Госстандарта СССР от 30.10.1989 № 3259)

Примечание

Документ введен в действие с 01.01.1991. Взамен ГОСТ 27.201-81, ГОСТ 27.502-83, ГОСТ 27.503-81, ГОСТ 27.504-84.

ИСТОРИЯ ИЗМЕНЕНИЙ НОРМАТИВНО-ТЕХНИЧЕСКИХ АКТОВ

flowchart LR
  n0["ГОСТ 17509-72"]:::rst
  n1["ГОСТ 17510-79"]:::rst
  n2["ГОСТ 27.503-81"]:::rst
  n3["ГОСТ 27.201-81"]:::rst
  n4["ГОСТ 27.502-83"]:::rst
  n5["ГОСТ 27.504-84"]:::rst
  n6["РД 50-690-89"]:::doc
  click n6 "https://bukva.ai/docs/rd-50-690-89" "РД 50-690-89. Руководящий документ по стандартизации. Методические указания. Надежность в технике. Методы оценки показателей надежности по экспериментальным данным (утв. и введен в"
  n3 --> n6
  n4 --> n6
  n5 --> n6
  n2 --> n6
  n0 --> n2
  n1 --> n4
classDef rst fill:#FFEBEB,stroke:#8B0000,color:#000;
classDef doc fill:#EBFFEB,stroke:#006400,color:#000;
classDef notEnt fill:#FFFFEB,stroke:#FF8C00,color:#000;

Утвержден и введен в действие Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 30 октября 1989 г. № 3259

РУКОВОДЯЩИЙ ДОКУМЕНТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

НАДЕЖНОСТЬ В ТЕХНИКЕ

МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

РД 50-690-89

Группа Т51

ОКСТУ 2700

Дата введения 1 января 1991 года

Информационные данные

1. Разработан и внесен Государственным комитетом СССР по стандартам.

Исполнители:

А.И. Кубарев, канд. техн. наук; И.З. Аронов, канд. техн. наук; О.И. Тескин, д-р техн. наук; М.В. Журцев, канд. техн. наук; В.Ю. Мордвинов, канд. техн. наук; З.Г. Баталова, канд. техн. наук; Б.Ф. Кригер; И.Ю. Курский; Л.А. Лейфер, канд. техн. наук; И.В. Гоноскова, канд. техн. наук; И.В. Львова; В.П. Стрельников, канд. техн. наук; Э.К. Шахбазов, канд. техн. наук; И.В. Корольков, д-р техн. наук; Л.И. Королькова; А.С. Агапов, канд. техн. наук; В.М. Скрипник, д-р техн. наук; Ю.Г. Приходько; Н.О. Демидович, канд. техн. наук; А.Ф. Федухин; В.П. Чаган; Ф.И. Фишбейн, канд. техн. наук; С.Г. Бабаев, д-р техн. наук.

2. Утвержден и введен в действие Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 30.10.89 № 3259.

3. Срок проверки — 1994 г.

4. Взамен ГОСТ 27.201-81; ГОСТ 27.502-83; ГОСТ 27.503-81; ГОСТ 27.504-84.

Настоящие методические указания устанавливают методы планирования определительных испытаний на надежность (эксплуатационных наблюдений) и оценки показателей надежности по их результатам.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. Под оценками показателей надежности понимают точечную или интервальную (границы доверительного интервала, который с заданной вероятностью содержит истинное значение показателя) оценки показателя.

1.2. Оценки показателей надежности используют при количественном анализе надежности и (или) при контроле показателей надежности с помощью доверительных границ по ГОСТ 27.410.

1.3 Для вычисления оценок показателей надежности проводят следующие работы:

  1. выбор плана испытаний на надежность;

  2. планирование испытаний;

  3. сбор необходимой информации;

  4. статистическую обработку информации.

В технически обоснованных случаях допускается не проводить планирование испытаний.

1.4. Обозначения, применяемые в методических указаниях, приведены в Приложении 1.

1.5. Термины, применяемые в методических указаниях, и пояснения к ним приведены в Приложении 2.

2. ВЫБОР ПЛАНА ИСПЫТАНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ

2.1. План испытаний на надежность устанавливает число объектов испытаний, порядок проведения испытаний (с восстановлением работоспособного состояния изделия после отказа, заменой отказавшего изделия или без восстановления и замены) и критерий их прекращения.

2.2. Обозначения и определения планов испытаний на надежность — по ГОСТ 27.410.

2.3. Объектами испытаний являются однотипные изделия, не имеющие конструктивных или других различий, изготовленные по единой технологии и испытываемые в идентичных условиях.

2.4. Выбор планов испытаний зависит от типа объекта испытаний, целей испытаний, оцениваемых показателей надежности, условий испытаний и других технико-экономических факторов.

2.5. Рекомендации по выбору планов испытаний приведены в Приложении 3.

3. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ

3.1. Планирование испытаний на надежность предусматривает определение требуемого объема испытаний для вычисления оценок показателей надежности с заданной точностью (относительной ошибкой \epsilon в оценке показателя надежности) и достоверностью (доверительной вероятностью q).

3.2 Под объемом испытаний понимают для планов:

[NUN] — число объектов испытаний № или число восстановлений работоспособного состояния (при испытаниях для оценки показателя среднее время восстановления);

[NUr] [NMr], [NRr] — число объектов № и число отказов (предельных состояний) r испытываемых объектов;

[NUT], [NMT], [NRT] — число объектов испытаний № и продолжительность испытаний T.

3.3 Исходными данными для расчета объема испытаний служат:

доверительная вероятность q интервальной оценки соответствующего показателя надежности;

предельная относительная ошибка \epsilon оценки соответствующего показателя надежности:

\epsilon = max\{ \frac{\widehat{R} - R}{\widehat{R}} ; \frac{\overline{R} - \widehat{R}}{\widehat{R}} \};

коэффициент вариации \upsilon распределения случайной величины (наработки, ресурса, срока службы, времени восстановления, срока сохраняемости);

вид закона распределения случайной величины (наработки, ресурса, срока службы, времени восстановления, срока сохраняемости);

объем совокупности M (для совокупности ограниченного объема).

В технически обоснованных случаях допускается вместо предельной относительной ошибки использовать относительную ошибку \epsilon оценки соответствующего показателя надежности:

формула

3.4. Доверительную вероятность q рекомендуется выбирать из ряда: 0,80; 0,90; 0,95; 0,99.

Предельную относительную ошибку (относительную ошибку) \epsilon рекомендуется выбирать из ряда: 0,05; 0,10; 0,15; 0,20.

Значения \epsilon и q для планирования испытаний устанавливают в программе испытаний на надежность по ГОСТ 27.410 или программах наблюдений по РД 50-204.

3.5. Рекомендации по выбору значений \epsilon и q приведены в Приложении 3.

3.6. Порядок расчета объема испытаний приведен в Приложении 4.

4. ИСХОДНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

4.1 Исходную информацию для оценки показателей надежности (исходная информация) подразделяют на два вида:

экспериментальная — о наработках работоспособных и неработоспособных объектов или их составных частей;

информация о структуре объекта, взаимодействии составных частей, принятых способах резервирования, которую представляют в виде структурной схемы надежности.

4.2 Экспериментальную информацию подразделяют на два вида:

основная — полученная в результате испытаний или эксплуатации исследуемого объекта или его составных частей;

дополнительная — полученная в результате испытаний или эксплуатации объектов-аналогов (или аналогов его составных частей), объектов-прототипов и объектов-аналогов, имеющих отличный от исследуемого режим испытаний или эксплуатации.

4.3. Экспериментальная информация зависит от плана испытаний. Исходными данными для оценки показателей надежности служат:

4.3.1 При плане [NUN]:

выборочные значения наработки до отказа, ресурса, срока службы, времени восстановления, срока сохраняемости t_{1} , t_{2} ,..., t_{N} ;

объем выборки N.

4.3.2 При плане [NUr]:

выборочные значения наработки до отказа, ресурса, срока службы, срока сохраняемости t_{1} , t_{2} ,..., t_{r} ;

число отказов r;

объем выборки N.

4.3.3 При плане [NUT]:

выборочные значения наработки до отказа, ресурса, срока службы, срока сохраняемости t_{1} , t_{2} ,..., t_{d} ;

продолжительность испытаний T;

объем выборки N.

4.3.4 При плане [NUz]:

выборочные значения наработки до отказа, ресурса, срока службы, срока сохраняемости t_{1} , t_{2} ,..., t_{r} ;

выборочные значения наработки работоспособных изделий (наработки до цензурирования) \tau_{1} , \tau_{2} ,..., \tau_{n} ;

число отказов r;

объем выборки N.

4.3.5 При планах [NMr], [NRr]:

выборочные значения наработки между отказами t_{1} , t_{2} ,..., t_{r} ;

число отказов r;

объем выборки N.

4.3.6 При планах [NMT], [NRT]:

выборочные значения наработки между отказами t_{1} , t_{2} ,..., t_{d} ;

продолжительность испытаний T;

объем выборки N.

5. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

5.1. Оценка показателей надежности при наличии основной экспериментальной информации (экспериментальный метод).

5.1.1 Показатели надежности оценивают двумя методами:

непараметрическим — при неизвестном законе распределения, включающим непосредственную оценку показателей надежности;

параметрическим — при известном законе распределения, включающим оценку параметров закона распределения, входящих в расчетную формулу оцениваемого показателя надежности, и оценку показателя надежности по вычисленным оценкам параметров закона распределения.

5.1.2. Параметрические методы оценки показателей надежности, установленные в настоящем стандарте, применяют для экспоненциального, нормального, логарифмически нормального и диффузионных распределений и распределения Вейбулла.

5.1.3. Проверку согласия опытного закона распределения с теоретическим для случая испытаний по плану [NUN] проводят по СТ СЭВ 1190.

5.1.4. Порядок оценки показателей надежности приведен в Приложении 5.

5.1.5. Если надежность изделий характеризуется показателем вероятности безотказной работы, а условия испытания (эксплуатации) изделий не позволяют определить моменты возникновения их отказов, то оценку вероятности безотказной работы вычисляют по формулам Приложения 8 (случай биномиального распределения).

5.2. Оценка показателей надежности при наличии основной экспериментальной информации о составных частях объекта и информации о его структуре (расчетно-экспериментальный метод).

5.2.1 Вычисляют точечные оценки показателей надежности объекта.

Для этого на основе структурной схемы надежности (ССН) составляют функцию связи показателя надежности объекта с показателями надежности составных частей:

R = \phi(R_{1},...,R_{i},...,R_{n}),

где R_{i} — показатель надежности i-й составной части;

n — число составных частей, входящих в ССН.

Функцию связи \phi( \cdot ) составляют в соответствии с РД 50-476.

По основной экспериментальной информации о составных частях объекта в соответствии с Приложением 5 вычисляют точечные оценки показателей надежности составных частей.

Точечную оценку показателя надежности \widehat{R} объекта вычисляют подстановкой оценок \hat{R}_{i} в функцию связи:

\widehat{R} = \phi(\widehat{R}_{1},...,\widehat{R}_{i},...,\widehat{R}_{n}).

5.2.2. Интервальные оценки показателей надежности вычисляют в соответствии с РД 50-476.

5.3. Оценка показателей надежности при наличии основной и дополнительной информации об объекте (расчетно-экспериментальный метод).

5.3.1 Оценку показателей надежности вычисляют двумя методами:

параметрическим — при известных видах законов распределения наработки изделия и изделия-аналога в предположении, что вид закона распределения изделия и аналога одинаков;

непараметрическим — при неизвестных видах закона распределения наработки изделия и изделия-аналога.

5.3.2. Параметрические методы оценки показателей надежности применяют для экспоненциального, нормального, логарифмически нормального распределений и распределения Вейбулла в типовых ситуациях, представленных в табл. 1.

Таблица 1

Обозначение типовых ситуаций (ТС)Краткое описание ТСИнформация относительно K_{j}
ТС-1Однотипные изделия находятся в одинаковых условиях и показатели надежности этих элементов одинаковыK_{j} = 1
ТС-2Однотипные изделия находятся в различных условиях. Известны отношения параметров законов распределения элементовИзвестно K_{j}
K_{j} \neq 1
ТС-3Однотипные изделия находятся в различных условиях. Известны диапазоны изменения отношения параметров в зависимости от нахождения в тех или иных условияхИзвестны диапазоны изменения K_{j}
K_{j} \leq K_{j} \leq \overline{K_{j}}
ТС-4Однотипные изделия находятся в различных условиях. Заведомо известно, что показатели в одних условиях больше, чем в другихИзвестно, что K_{j} \leq 1 (K >= 1)

Формальным признаком, по которому классифицируют типовые ситуации, является информация относительно коэффициентов K_{j} (j = \overline{1,l}) , характеризующих отношение параметров распределений, описывающих дополнительную и основную информацию. Для рассмотренных законов распределения эти отношения приведены в табл. 2.

Таблица 2

Значения коэффициента K_{j}

Закон распределения Плотность вероятности распределения Известный параметр Отношения параметров распределений
Экспоненциальный 1/a_{j}e^{- t/a_{j}} = \lambda_{j}e^{- \lambda_{j}t} - K_{j} = \frac{a_{j}}{a_{1}} = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{j}}
Нормальный 1/ \sqrt{2\pi} \sigma_{j}e - \frac{(t - \mu_{j})^{2}}{2\sigma_{j}^{2}} \sigma_{j} K_{j} = \frac{\mu_{j}}{\mu_{1}}
Логарифмически нормальный 1/ \sqrt{2\pi} \sigma_{j}te - \frac{(lnt - \mu_{j})^{2}}{2\sigma_{j}^{2}} \sigma_{j} K_{j} = \frac{\mu_{j}}{\rho_{1}}
Вейбулла b_{j}/a_{j}(t/a_{j})^{b_{j} - 1}e^{- (t/a_{j})^{bj}} b_{j} K_{j} = \frac{a_{j}^{b_{j}}}{a_{1}^{b_{1}}}

Здесь l — количество групп объектов-аналогов.

Примечание. Индекс «1» относится к параметрам распределения наработки оцениваемого объекта.

5.3.3 Непараметрический метод оценки показателей надежности применяют в предположении:

виды законов распределения наработки изделия и изделия-аналога неизвестны;

оцениваемое изделие и изделия-аналоги находятся в одинаковых условиях;

номенклатура показателей надежности оцениваемого изделия и изделий-аналогов совпадают.

5.3.4. Порядок вычисления оценок показателей надежности приведен в Приложении 6.

5.4. Оценка показателей надежности при наличии основной и дополнительной информации о составных частях объекта и о его структуре (расчетно-экспериментальный метод).

5.4.1 Оценки показателей надежности объекта вычисляют в два этапа:

определяют точечные и интервальные оценки показателей надежности составных частей объекта;

определяют точечные и интервальные оценки показателей надежности объекта в целом.

5.4.2. Точечные и интервальные оценки показателей надежности составных частей объекта определяют в соответствии с Приложением 6.

5.4.3 Точечные оценки показателей надежности объекта в целом определяют по формуле:

\widehat{R} = \phi(\widehat{R}_{1},...,\widehat{R}_{i},...,\widehat{R}_{n}),

где \widehat{R}_{i} (i = \overline{1,n}) — точечные оценки показателей надежности составных частей;

\phi( \cdot ) — функция связи показателя надежности объекта в целом с показателями надежности составных частей;

n — количество составных частей.

5.4.4. Интервальные оценки показателей надежности объекта определяют в зависимости от структурной схемы надежности объекта методом подстановки в соответствии с РД 50-476.

5.5. Оценка показателей надежности, вычисленная в соответствии с п. п. 5.2 - 5.4, не используется для контроля показателей надежности.

5.6. Метод последовательных приближений для оценки параметров распределения (случай основной экспериментальной информации) приведен в Приложении 7.

5.7. Таблицы для оценки показателей надежности приведены в Приложении 9.

5.8. Примеры планирования испытаний и оценки показателей надежности приведены в Приложении 10.

Приложение 1 Справочное

ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЯХ

\widehat{R} — оценка показателя надежности R;

\epsilon — предельная относительная ошибка (относительная ошибка) оценки показателя надежности R;

R — нижняя доверительная граница показателя надежности R;

\overline{R} — верхняя доверительная граница показателя надежности R;

N — число испытываемых (наблюдаемых) изделий;

M — объем совокупности;

q — доверительная вероятность, соответствующая одностороннему доверительному интервалу;

q* — доверительная вероятность, соответствующая двустороннему доверительному интервалу;

r — число отказов (предельных состояний) за время испытаний (наблюдений);

t_{i} — отдельные значения случайной величины (наработки до отказа, наработки между отказами, ресурса, срока службы, срока сохраняемости);

t_{\text{н}_{i}} — отдельные значения времени восстановления;

\tau_{j} — отдельные значения наработки до цензурирования;

\hat{\lambda} — оценка параметра \lambda экспоненциального распределения;

\hat{a} , \hat{b} — оценки параметров a, b распределения Вейбулла;

\hat{\mu} , \hat{\sigma} — оценки параметров \mu , \sigma нормального распределения;

\hat{F}(t) — оценка функции распределения F(t) для наработки t (вероятность отказа за наработку t);

\hat{P}(t) — оценка вероятности безотказной работы P(t) за наработку t;

\widehat{T}_{c\text{р}} — оценка средних показателей надежности T_{c\text{р}} ;

\hat{\mu} , \hat{\upsilon} — оценки параметров диффузионных распределений;

\widehat{T}_{\gamma} — оценка гамма-процентных показателей надежности T_{\gamma} ;

S — суммарная наработка изделий за время испытаний;

U_{q} — квантиль нормального распределения, соответствующая вероятности q;

\chi_{q}^{2}(l) — квантиль ХИ-квадрат распределения с числом степеней свободы l, соответствующая вероятности q;

t_{q}(l) — квантиль t-распределения (Стьюдента) с числом степеней свободы l, соответствующая вероятности q;

формула

\frac{\gamma}{100} — регламентированная вероятность;

\hat{\upsilon} — оценка коэффициента вариации \upsilon ;

\text{Ф}_{0}( \cdot ) — функция нормального распределения (нормированного);

f_{0}( \cdot ) — плотность вероятности нормального распределения;

\text{Г}( \cdot ) — гамма-функция;

\text{Е}( \cdot ) — коэффициент, учитывающий поправку на смещение при оценке параметра \sigma ;

\chi — относительная продолжительность испытаний;

\upsilon_{\text{в}} — коэффициент вариации времени восстановления;

T_{\text{н}} — продолжительность испытаний;

\hat{s} — оценка среднего квадратического отклонения наработки между отказами;

\widehat{s}_{\text{в}} — оценка среднего квадратического отклонения времени восстановления;

K_{1}(\gamma,q,r) — коэффициент, учитываемый при оценке гамма-процентной наработки до отказа для нормального распределения;

K_{2}(N,m) — коэффициент, учитываемый при оценке нижней доверительной границы вероятности безотказной работы при биномиальных испытаниях;

\lambda(Z) — обратное отношение Миллса;

K — поправочный коэффициент.

Приложение 2 Справочное

ПРИМЕНЯЕМЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОЯСНЕНИЯ К НИМ

Таблица 3

ТерминПояснение
1. Цензурирование справаСобытие, приводящее к прекращению испытаний или эксплуатационных наблюдений объекта до наступления отказа (предельного состояния) изучаемого характера.
Цензурирование
Примечание. Причинами цензурирования являются:
разновременность начала и (или) окончания испытаний или эксплуатации изделий;
снятие с испытаний или эксплуатации некоторых изделий по организационным причинам или из-за отказов составных частей, надежность которых не исследуется;
перевод изделий из одного режима применения в другой в процессе испытаний или эксплуатации;
необходимость оценки надежности до наступления отказов всех испытываемых изделий
2. Наработка до цензурированияНаработка объекта от начала испытаний или эксплуатационных наблюдений до наступления цензурирования
3. Цензурированная выборкаВыборка, элементами которой являются значения наработки до отказа и наработки до цензурирования
4. Однократно цензурированная выборкаЦензурированная выборка, в которой значения всех наработок до цензурирования равны между собой и не меньше наибольшей наработки до отказа
5. Многократно цензурированная выборкаЦензурированная выборка, в которой значения наработок до цензурирования не равны между собой
6. Позитивный показатель надежностиПоказатель надежности, значение которого увеличивается при повышении надежности объекта.
К позитивным показателям относятся, например, средняя наработка до отказа, гамма-процентный ресурс и т.д.
7. Негативный показатель надежностиПоказатель надежности, значение которого уменьшается при повышении надежности.
К негативным показателям относятся, например, интенсивность отказов, среднее время восстановления и т.д.
8. Объем совокупностиЧисло единиц продукции (объектов), составляющих генеральную совокупность

Приложение 3 Рекомендуемое

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫБОРУ ПЛАНОВ ИСПЫТАНИЙ И ИСХОДНЫХ ДАННЫХ ДЛЯ ПЛАНИРОВАНИЯ

1. Рекомендации по выбору планов определительных испытаний на надежность приведены в табл. 4.

Таблица 4

Рекомендуемые планы определительных испытаний на надежность

Вид объектаПоказатель надежностиПлан испытанийПримечание
НевосстанавливаемыйСредняя наработка до отказа[NUN], [NUr], [NUz], [NUT], [NRr], [NRT]Для сокращения продолжительности испытаний применяют планы [NRr], [NRT]
Гамма-процентная наработка до отказа
Интенсивность отказовДля повышения точности оценок показателей — [NUN]
Вероятность безотказной работы[NUT]
Восстанавливаемый (ремонтируемый)Средняя наработка на отказ[NMr], [NMT]
Средний ресурс (срок службы)[NUN], [NUr], [NUT], [NUZ], [NRr], [NRT]Рассматривают применительно к предельным состояниям.
Гамма-процентный ресурс (срок службы)
Для сокращения продолжительности испытаний применяют планы [NRr], [NRT]
Для повышения точности оценок показателей — [NUN]
Среднее время восстановления[NMr], [NMT]Рассматривают применительно к восстановлению работоспособного состояния и переходят к плану [rUr]
Коэффициент готовности[NMr], [NMT]
Произвольного видаСредний срок сохраняемости[NUT]
Гамма-процентный срок сохраняемости[NUr]

2. Значения относительной ошибки \epsilon и доверительной вероятности q устанавливают с учетом следующих факторов:

2.1 Для контроля показателей надежности по одному уровню с помощью доверительных границ

\epsilon = \epsilon_{\text{н}} — при контроле позитивных показателей надежности;

\epsilon = \epsilon_{\text{в}} — при контроле негативных показателей надежности;

q = 1 - \beta,

где \beta — риск потребителя.

В остальных случаях задают предельную относительную ошибку.

2.2. Для составных частей изделия, влияющих на безопасность, \epsilon = 0,05 ; q = 0,95; 0,99;

для базовых составных частей изделия \epsilon = 0,10 ; 0,15; q = 0,90; 0,95;

для деталей, обусловливающих внешний вид изделия, его комфортабельность, \epsilon = 0,15 ; 0,20; q = 0,80; 0,90;

для изделий массового и серийного производств \epsilon = 0,10 ; q = 0,90.

2.3. Для изделий крупногабаритных, дорогих, мелкосерийного производства значения \epsilon допускается увеличивать, значения q — уменьшать.

Приложение 4 Рекомендуемое

ПОРЯДОК РАСЧЕТА ОБЪЕМА ИСПЫТАНИЙ

1. Определение объема испытаний для плана [NUN]

1.1. Объем испытаний для оценки средней наработки до отказа, среднего ресурса (срока службы, времени восстановления) определяют по табл. 5 - 9 для совокупностей неограниченного объема и по табл. 10 - 19 для совокупностей ограниченного объема.

Исходные данные для расчета:

предельная относительная ошибка \epsilon ;

доверительная вероятность q;

вид закона распределения случайной величины (наработки до отказа, ресурса, срока службы, времени восстановления);

коэффициент вариации \upsilon ;

объем совокупности M (для совокупностей ограниченного объема).

1.2. Объем испытаний для оценки гамма-процентной наработки до отказа, гамма-процентного ресурса (срока службы) определяют по табл. 20 - 25.

Исходные данные для расчета:

предельная относительная ошибка \epsilon ;

доверительная вероятность q;

регламентированная вероятность \frac{\gamma}{100} ;

вид закона распределения случайной величины;

предполагаемый коэффициент вариации \upsilon .

1.3. Если по результатам испытаний получен коэффициент вариации больше заданного, то объем испытаний пересчитывают для найденного коэффициента вариации (п. п. 1.1 - 1.2) и испытания продолжают.

2. Определение объема испытаний для плана [NUr]

2.1. Число отказов (предельных состояний) r для оценки средней наработки до отказа, среднего ресурса (срока службы, срока сохраняемости) определяют по табл. 5 - 9, полагая вместо № значение r для совокупностей неограниченного объема.

Исходные данные для расчета — по п. 1.1.

2.2. Объем выборки № определяют в предположении, что задана относительная продолжительность испытаний \chi = T_{\text{и}}/T_{c\text{р}} :

для нормального распределения:

формула

где {_{\chi}} — целая часть \chi ;

для распределения Вейбулла (экспоненциального):

N = \{ \frac{exp[\chi\text{Г}(1 + 1/b)]^{b}(r - 0,5) + 0,5}{exp[\chi\text{Г}(1 + 1/b)]^{b} - 1} \};

для логарифмически нормального распределения:

N = \{ \frac{r}{\Phi_{0}[ln\chi/ \sqrt{ln(\upsilon^{2} + 1)}]} \};

для диффузионного монотонного распределения:

N = \{r^{- 1}\Phi_{0}(\frac{\chi(1 + \upsilon^{2}/2) - 1}{\upsilon \sqrt{\chi(1 + \upsilon^{2}/2)}})\};

для диффузионного немонотонного распределения:

N = \{r^{- 1}[\Phi_{0}(\frac{\chi - 1}{\upsilon \sqrt{\chi}}) + e^{2\upsilon^{- 2}} \cdot \Phi_{0}(- \frac{\chi + 1}{\upsilon \sqrt{\chi}})]\}.

2.3. Число отказов (предельных состояний) r для оценки гамма-процентной наработки до отказа, гамма-процентного ресурса (срока службы, срока сохраняемости) определяют приближенно по табл. 20 - 25, полагая вместо № значение r.

Исходные данные для расчета — по п. 1.2.

2.4. Объем выборки № определяют по п. 2.2 в предположении, что задана относительная продолжительность испытаний \chi .

2.5. Если по результатам испытаний получен коэффициент вариации \upsilon больше заданного, то объем испытаний пересчитывают для найденного коэффициента вариации (п. п. 2.1 - 2.4) и испытания продолжают.

2.6. Объем выборки № для оценки гамма-процентной наработки до отказа, гамма-процентного ресурса (срока службы, срока сохраняемости), вероятности безотказной работы при неизвестном законе распределения определяют по табл. 26.

Исходные данные для расчета:

доверительная вероятность q;

регламентированная вероятность \frac{\gamma}{100} или предполагаемое значение P(t);

установленное число отказов (предельных состояний) r.

Число отказов (предельных состояний) r для оценки гамма-процентных показателей надежности или вероятности безотказной работы P(t) определяют по табл. 26 в предположении, что число испытываемых объектов № задано.

3. Определение объема испытаний для плана [NUT]

3.1. Объем выборки № или относительную продолжительность испытаний \chi для оценки средней наработки до отказа, среднего ресурса (срока службы, срока сохраняемости) определяют в следующей последовательности:

для исходных данных по п. 1.1 определяют прогнозируемое число отказов (предельных состояний) r по табл. 5 - 9, полагая вместо № значения r;

для найденного значения r определяют объем выборки по формулам п. 2.2, полагая, что относительная продолжительность испытаний задана, или определяют значение \chi , полагая, что объем выборки № задан.

3.2. Объем выборки № или относительную продолжительность испытаний \chi для оценки гамма-процентной наработки до отказа, гамма-процентного ресурса (срока службы, срока сохраняемости) определяют приближенно в следующей последовательности:

для исходных данных по п. 2.1 определяют прогнозируемое число отказов (предельных состояний) r по табл. 20 - 25, полагая вместо № значения r;

для найденного значения r определяют объем выборки № по формулам п. 2.2, полагая, что относительная продолжительность испытаний \chi задана, или определяют значение \chi , полагая, что объем выборки № задан.

3.3. Объем выборки № для оценки гамма-процентной наработки до отказа, гамма-процентного ресурса (срока службы, срока сохраняемости), вероятности безотказной работы при неизвестном виде закона распределения определяют по табл. 26, предполагая известным значение r для исходных данных по п. 2.6.

3.4. Если по результатам испытаний за № объектами за время T получено число отказов (предельных состояний) меньше прогнозируемого, то испытания следует продолжить до наступления r отказов (предельных состояний) или снизить требования к точности и (или) достоверности оценки показателя.

3.5. Объем выборки № при испытаниях по плану [NUT] без фиксации наработки до отказа (биномиальные испытания) при оценке вероятности безотказной работы за наработку T определяют по табл. 28.

Исходные данные для расчета:

нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы P(T) за наработку T (ожидаемое значение);

доверительная вероятность q;

допустимое число отказов d.

При известном значении № по табл. 28 находят допустимое число отказов d.

4. Определение объема испытаний для планов [NMr], [NMT], [NRr], [NRT].

4.1. Для планов [NMr], [NRr] число отказов r для оценки средней наработки на отказ (до отказа) определяют по табл. 27 в предположении экспоненциального закона распределения наработки между отказами (до отказа).

Исходные данные для расчета:

предельная относительная ошибка \epsilon ;

доверительная вероятность q.

4.2. Для плана [NMr] и неизвестного закона распределения наработки между отказами число отказов r для оценки коэффициента готовности K_{\text{г}} определяют по табл. 29 - 35.

Исходные данные для расчета:

предельная относительная ошибка \epsilon ;

доверительная вероятность q;

предполагаемый коэффициент вариации \upsilon распределения наработки между отказами;

предполагаемый коэффициент вариации \upsilon_{\text{в}} распределения времени восстановления.

Если по результатам испытаний получен коэффициент вариации \upsilon (при \upsilon_{\text{в}} больше заданного), то число отказов пересчитывают по табл. 29 - 35 для найденного коэффициента вариации и испытания продолжают.

4.3. Для планов [NMT] и [NRT] объем выборки № или относительную продолжительность испытаний \chi для оценки средней наработки на отказ (до отказа) вычисляют по формуле

\chi N = r.

Прогнозируемое число отказов r определяют по п. 4.1.

5. Если вид закона распределения случайной величины неизвестен (кроме п. п. 2.6, 3.3, 3.5, 4.1 - 4.3), то для имеющихся исходных данных объем испытаний принимают равным максимальным значениям.

Таблица 5

Число объектов испытаний № при плане [NUN] и нормальном распределении

\epsilonq*q№ при \upsilon
0,100,150,200,250,30
0,05-0,8048121926
0,800,90816284065
0,900,9513264565100
0,950,975183765100150
0,980,99255290140200
0,10-0,8023468
0,800,903581216
0,900,9558131926
0,950,975611182638
0,980,99815253752
0,15-0,8012344
0,800,9033568
0 900,954571013
0,950,97556101318
0,980,9968131825
0,20-0,8011233
0,800,9033446
0,900,9534578
0,950,975456911
0,980,995781216

Примечание. Число объектов испытаний получено как решение уравнения

\frac{t_{q}(N - 1)}{\sqrt{N}} = \frac{\epsilon}{\upsilon} .

Таблица 6

Число объектов при плане [NUN] и распределении Вейбулла при планировании по предельной относительной ошибке

эпсилонq*q№ при ипсилон
0,40,50,60,70,80,91,0
0,05- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9948 105 170 235 31565 200 250 375 500100 250 400 500 800150 400 500 1000 1000200 500 650 > 1000 > 1000250 500 800315 650 1000
0,10- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9913 32 50 65 10025 50 80 100 15032 65 100 160 20050 100 150 215 31550 125 200 295 40065 150 250 375 500100 200 400 450 650
0,15- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,996 15 25 32 4010 25 40 50 6515 32 50 80 10020 40 80 110 15025 65 100 140 20032 80 125 175 25040 80 150 210 315
0,20- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,995 10 15 20 258 15 25 32 4010 20 32 47 6515 32 40 64 8020 40 50 80 12520 40 80 110 15025 50 100 125 150

Примечание. Число № получено как решение уравнения

\frac{2N}{\chi_{1 - q}^{2}(2N)} = (\epsilon_{\text{в}} + 1)^{b}.

Таблица 7

Число объектов при плане [NUN] и распределении Вейбулла при планировании по нижней доверительной границе

\epsilonq2,72,11,71,451,261,11
0,050,80305384119157207251
0,9077134203282378495500
0,95133221343472500500500
0,99266448500500500500500
0,100,806101724334557
0,901628456385115139
0,95284876107144190231
0,9959100156218290385468
0,150,802369121821
0,906111725334555
0,9511193042577694
0,9923406288121157191
0,200,8011346810
0,9035812172228
0,95591521293948
0,99112031608198

Примечание. Число объектов испытаний получено как решение уравнения

\frac{2N}{\chi_{q}^{2}(2N)} = (1 - \epsilon_{\text{н}})^{b}.

Таблица 8

Число объектов при плане [NUN] и логарифмически нормальном распределении

эпсилонq*q№ при ипсилон
0,40,50,60,70,80,91,0
0,05- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9940 100 150 245 31565 150 250 381 500100 250 400 546 800125 315 500 735 > 1000150 400 650 949200 500 800 > 1000250 650 1000
0,10- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9910 25 40 62 8020 40 65 96 12525 65 100 137 20032 80 125 184 25040 100 150 238 31550 125 200 296 40065 150 250 359 500
0,15- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,995 13 20 28 408 20 32 43 5010 25 40 61 8015 40 50 82 12520 50 80 106 15025 50 100 132 20032 65 100 160 200
0,20- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,993 6 10 16 204 10 15 24 326 15 25 35 508 20 32 46 6510 25 40 60 8015 32 50 74 10020 40 65 90 125

Примечание. N = (\frac{U_{q}}{\epsilon})^{2}ln(\upsilon^{2} + 1)[1 + \frac{ln(\upsilon^{2} + 1)}{2}] .

Таблица 9

Число объектов при плане [NUN] и диффузионном распределении

эпсилонq*q№ при ипсилон
0,30,40,50,60,70,80,91,01,21,5
0,05- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9926 59 99 138 19545 105 175 246 34771 164 274 384 542102 237 395 554 780139 322 537 753 > 1000181 421 702 984230 533 868 > 1000283 658 > 1000408 947638 > 1000
0,10- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,996 15 25 35 4911 26 44 62 8718 41 69 96 13626 59 99 139 19535 81 135 189 26645 105 176 246 34758 133 222 312 43971 165 275 385 543102 237 395 555 781160 371 618 867 1000
0,15- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,993 7 11 15 225 12 20 27 398 18 31 43 6011 26 44 62 8716 36 60 84 11920 47 78 110 15526 59 99 139 19632 73 122 172 24246 106 176 247 34871 165 275 386 544
0,20- 0,80 0,90 0,950,80 0,90 0,95 0,9752 4 6 93 7 11 164 10 17 246 15 25 359 20 34 4811 27 44 6214 34 56 7918 41 69 9726 60 100 14040 93 156 218

Примечание. N = (U_{q}\upsilon/\epsilon)^{2} \cdot (1 + \sqrt{1 + \epsilon^{2}})/2 .

Таблица 10

Число объектов при плане [NUN] и M = 10 для нормального распределения

\epsilonq*q\upsilon
0,100,150,200,250,30
0,05-0,8024567
0,800,9046789
0,900,9557899
0,950,97568999
0,980,99789910
0,10-0,8011234
0,800,9013456
0,900,9524567
0,950,97535678
0,980,9945788
0,15-0,8011122
0,800,9011234
0,900,9512345
0,950,97513456
0,980,9924567
0,20-0,8011111
0,800,9011123
0,900,9511234
0,950,97512345
0,980,9912455

Примечание к табл. 10 - 14:

N = \frac{U_{q}^{2}\upsilon^{2}M}{\epsilon^{2}M + U_{q}^{2}\upsilon^{2}} .

Таблица 11

Число объектов при плане [NUN] и M = 20 для нормального распределения

\epsilonq*q№ при \upsilon
0,100,150,200,250,30
0,05-0,80257911
0,800,9059111315
0,900,95711141517
0,950,975913151717
0,980,991014161718
0,10-0,8011245
0,800,9023579
0,900,95257911
0,950,9753691113
0,980,9948101314
0,15-0,8011122
0,800,9012345
0,900,9512457
0,950,97523579
0,980,99246910
0,20-0,8011111
0,800,9011223
0,900,9511235
0,950,97512356
0,980,9913468

Таблица 12

Число объектов при плане [NUN] и M = 30 для нормального распределения

\epsilonq*q№ при \upsilon
0,100,150,200,250,30
0,05-0,803581114
0,800,90510141720
0,900,95813182123
0,950,9751016202325
0,980,991319222526
0,10-0,8012345
0,800,90235810
0,900,952581113
0,950,97537101316
0,980,9959131619
0,15-0,8011123
0,800,9012345
0,900,9512468
0,950,975236810
0,980,992571013
0,20-0,8011112
0,800,9011223
0,900,9511245
0,950,97512357
0,980,9913579

Таблица 13

Число объектов при плане [NUN] и M = 40 для нормального распределения

\epsilonq*q№ при \upsilon
0,100,150,200,250,30
0,05-0,803691216
0,800,90611162024
0,900,95915212528
0,950,9751119242831
0,980,991422273133
0,10-0,8012346
0,800,90236811
0,900,953591215
0,950,97547111519
0,980,9959141822
0,15-0,8011123
0,800,9012346
0,900,9513469
0,950,975246811
0,980,992581114
0,20-0,8011112
0,800,9011223
0,900,9511345
0,950,97512457
0,980,9913579

Таблица 14

Число объектов испытаний № при плане [NUN] и M = 50 для нормального распределения

\epsilonq*q№ при \upsilon
0,100,150,200,250,30
0,05-0,803691317
0,800,90611172327
0,900,95916232933
0,950,9751220283337
0,980,991525323740
0,10-0,8012346
0,800,90236911
0,900,953591316
0,950,97547111620
0,980,99510152025
0,15-0,8011123
0,800,9012346
0,900,9513479
0,950,975246912
0,980,992581215
0,20-0,8011112
0,800,9011223
0,900,9511345
0,950,97512457
0,980,99135710

Таблица 15

Число объектов испытаний № при плане [NUN] и M = 10 для распределения Вейбулла

эпсилонq*q№ при ипсилон
0,40,50,60,70,80,91,0
0,05- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,996 8 8 9 97 8 98 98889
0,10- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,993 5 6 7 74 6 7 7 85 7 7 8 86 7 8 8 86 7 8 8 87 8 8 8 87 8 8 8 8
0,15- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,992 3 4 5 52 4 5 6 63 5 6 6 74 6 6 7 74 6 6 7 85 7 7 7 85 7 7 7 8
0,20- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,991 2 3 4 41 3 4 4 52 3 5 5 52 4 5 6 63 5 6 6 63 5 6 6 74 6 6 7 7

Примечание к табл. 15 - 19:

N = \frac{2\epsilon^{2}b^{2}(M - 1) + U_{q}^{2}M}{\epsilon^{2}b^{2}(M - 1) + U_{q}^{2}} \cdot K.

Таблица 16

Число объектов испытаний № при плане [NUN] и M = 20 для распределения Вейбулла

эпсилонq*q№ при ипсилон
0,40,50,60,70,80,91,0
0,05- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9910 14 16 16 17131 16 17 17 1814 17 17 1715 17 18 1816 1716 1817
0,10- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,994 8 10 11 136 10 1213 13 148 12 13 14 159 13 14 15 1610 14 15 16 1612 15 16 16 1713 15 16 16
0,15- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,992 4 6 8 92 6 8 10 114 8 10 11 125 9 11 12 136 10 12 13 148 11 13 14 148 12 14 14 15
0,20- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,991 2 4 5 61 4 5 7 82 5 7 8 93 6 8 10 114 8 9 11 125 8 10 11 125 9 11 12 13

Таблица 17

Число объектов испытаний № при плане [NUN] и M = 30 для распределения Вейбулла

эпсилонq*q№ при ипсилон
0,40,50,60,70,80,91,0
0,05- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9913 19 23 24 2417 23 24 25 2620 24 25 26 2622 25 26 26 2723 26 26 2724 26 2624 26 27
0,10- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,995 9 13 15 177 13 16 18 209 16 18 20 2211 18 20 21 2313 19 22 23 2415 21 23 23 2417 22 23 24 25
0,15- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,992 5 7 9 112 7 10 12 144 9 13 15 176 12 15 17 187 13 16 18 2010 15 18 19 2110 16 19 20 21
0,20- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,991 2 4 6 73 4 6 8 103 6 9 10 123 7 10 12 145 9 12 14 165 10 14 16 176 12 15 16 18

Таблица 18

Число объектов испытаний № при плане [NUN] и M = 40 для распределения Вейбулла

\epsilonq*q№ при \upsilon
0,40,50,60,70,80,91,0
0,05-0,8015212527293031
0,800,9024293132333434
0,900,9530313334353535
0,950,97530323435353536
0,980,9932343535353636
0,10-0,80571113161821
0,800,9010151922242627
0,900,9515192326282930
0,950,97518222527293031
0,980,9921252729313232
0,15-0,80235781112
0,800,90581114161820
0,900,958121517202224
0,950,97510141820222425
0,980,9913172023252627
0,20-0,801134567
0,800,903468101214
0,900,95471012141618
0,950,975691215171920
0,980,998111417192123

Таблица 19

Число объектов испытаний № при плане [NUN] и M = 50 для распределения Вейбулла

\epsilonq*q№ при \upsilon
0,40,50,60,70,80,91,0
0,05-0,8017232932353738
0,800,9028343739414242
0,900,9534374042434344
0,950,97536394243434444
0,980,9938424344444445
0,10-0,80581114172124
0,800,9011162125283133
0,900,9516222630333536
0,950,97520233033353738
0,980,9924293336373940
0,15-0,80235791213
0,800,90581215172122
0,900,959131620232628
0,950,97511162023262930
0,980,9914192427303233
0,20-0,801134567
0,800,903469111316
0,900,95471113161821
0,950,9756101316192224
0,980,998131620222527

Таблица 20

Число объектов испытаний № для оценки гамма-процентных показателей при плане [NUN] и нормальном распределении (\gamma% = 80%)

\epsilonq*q№ при \upsilon
0,100,150,200,250,30
0,05-0,80717345894
0,800,90164078135217
0,900,952765128222356
0,950,9753893182315506
0,980,9953130256443712
0,10-0,802591524
0,800,90410203455
0,900,95717325689
0,950,97510244679127
0,980,99143364111178
0,15-0,80124711
0,800,902591525
0,900,9538152540
0,950,975511213557
0,980,99615295080
0,20-0,8012346
0,800,90135914
0,900,952581423
0,950,97536122032
0,980,9949162845

Примечание к табл. 20 и 21:

N = [\frac{U_{q} \cdot \upsilon \cdot K_{\gamma%}}{\epsilon(1 - U_{\gamma%} \cdot \upsilon)}]^{2};

K_{\gamma%} = \frac{\sqrt{(1 - \frac{\gamma%}{100}) \frac{\gamma%}{100}}}{f_{0}(U_{\gamma%})} ;

\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{- \infty}^{U_{\gamma%}} e^{- t^{2}/2} \cdot dt = 1 - \frac{\gamma%}{100} .

Таблица 21

Число объектов испытаний № для оценки гамма-процентных показателей при плане [NUN] и нормальном распределении (\gamma% = 90%)

\epsilonq*q№ при \upsilon
0,100,150,200,250,30
0,05-0,80112960112196
0,800,902666139260455
0,900,9542109228427749
0,950,975591553246061064
0,980,99832184568531498
0,10-0,8038152849
0,800,907173565114
0,900,95112857107188
0,950,975153981152266
0,980,992155114214375
0,15-0,802471322
0,800,9038162951
0,900,95513264884
0,950,9757183668119
0,980,9910255195167
0,20-0,80124713
0,800,902591729
0,900,9537152747
0,950,975410213867
0,980,99614295494

Таблица 22

Число объектов испытаний № для оценки гамма-процентных показателей надежности при плане [NUN] и распределении Вейбулла (\gamma% = 80%)

эпсилонq*q№ при ипсилон
0,40,50,60,70,80,91,0
0,05- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,99196 453 746 > 1000 > 1000323 749 > 1000493 > 1000677896> 1000
0,10- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9949 114 187 265 37381 188 309 438 616124 286 471 668 940170 393 647 918 > 1000224 520 856 > 1000294 682 > 1000356 826
0,15- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9922 51 83 118 16636 84 137 195 27455 127 209 297 41876 175 288 408 575100 231 381 540 761131 304 500 709 998159 367 604 658 > 1000
0,20- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9913 29 47 67 9421 47 77 110 15431 72 118 167 23543 99 162 230 32356 130 214 304 42874 171 281 399 56289 207 343 480 580

Примечание к табл. 22 и 23:

N = (\frac{U_{q} \cdot K_{\gamma%}}{\epsilon \cdot b})^{2};

K_{\gamma%} = \frac{\sqrt{100/\gamma% - 1}}{ln100/\gamma%} .

Таблица 23

Число объектов испытаний № для оценки гамма-процентных показателей надежности при плане [NUN] и распределении Вейбулла (\gamma% = 90%)

эпсилонq*q№ при ипсилон
0,40,50,60,70,80,91,0
0,05- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,99392 906 > 1000 > 1000 > 1000646 > 1000986> 1000
0,10- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9998 228 374 530 746162 376 618 876 > 1000248 572 942 > 1000340 786 > 1000448 > 1000588712
0,15- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9944 102 166 236 33272 168 274 390 548110 254 418 594 836152 350 576 816 > 1000200 462 762 > 1000262 608 > 1000318 734
0,20- 0,80 0,90 0,950,80 0,90 0,95 0,97526 58 94 13442 94 154 22062 144 236 33486 198 324 460112 260 418 608148 342 562 798178 414 680 966

Таблица 24

Число объектов испытаний № для оценки гамма-процентных показателей надежности при плане [NUN] и логарифмически нормальном распределении (\gamma% = 80%)

эпсилонq*q№ при ипсилон
0,40,50,60,70,80,91,0
0,05- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9986 200 329 466 658129 300 494 701 989178 413 681 966 > 1000231 536 883 > 1000287 665 > 1000344 798402 932
0,10- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9922 50 82 117 16432 75 123 175 24745 103 170 242 34158 134 221 313 44272 166 274 389 54886 199 328 466 658100 233 384 545 768
0,15- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9910 22 37 52 7314 33 55 78 11020 46 76 107 15126 60 98 139 19632 74 122 173 24438 89 146 207 29245 104 170 242 341
0,20- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,995 12 21 29 418 19 31 44 6211 26 43 60 8514 34 55 78 11018 42 68 97 13722 50 82 117 16425 58 96 136 192

Примечание к табл. 24 и 25:

N = (\frac{U_{q}K_{\gamma%}}{\epsilon})^{2}ln(\upsilon^{2} + 1);

K_{\gamma%} = \frac{1}{f_{0}(U_{\gamma%})} \sqrt{(1 - \frac{\gamma%}{100}) \frac{\gamma%}{100}} .

Таблица 25

Число объектов испытаний № для оценки гамма-процентных показателей надежности при плане [NUN] и логарифмически нормальном распределении (\gamma% = 90%)

эпсилонq*q№ при ипсилон
0,40,50,60,70,80,91,0
0,05- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,99123 285 470 667 941185 429 706 > 1000 > 100055 91 973331 767 > 1000410 951492 > 1000575
0,10- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9931 71 117 167 23546 107 177 251 35464 148 243 345 48783 192 316 448 632103 238 391 556 784123 285 469 666 940144 333 548 779 > 1000
0,15- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,975 0,9914 32 52 74 10521 48 78 111 15728 66 108 154 21737 85 140 199 28146 106 174 247 34855 127 209 296 41864 148 244 346 488
0,20- 0,80 0,90 0,95 0,980,80 0,90 0,95 0,97 0,998 18 29 42 5912 27 44 63 8816 37 61 86 12221 48 79 112 15826 59 98 139 19631 71 117 167 23536 83 137 195 275

Таблица 26

Число отказов испытаний № для плана [NUr] при оценке гамма-процентных показателей надежности

\gamma%/100 или P(t)q№ или r
0123456810152025324050
0,500,80---810131320253240506580100
0,90--6810131520253240506580100
0,95--810131520253240506580100125
0,996101013152020253250656580100125
0,800,80881320253240506580125150150200-
0,90101015253240405065100125150200--
0,95131320324040506580100125150200--
0,99202025324050506580125150150200--
0,900,8015153240506580100125200200200---
0,9020203250658080100150200200----
0,95202540506580100125150200-----
0,9932508080100125125150200------
0,950,8032325080100125150150200------
0,90505065100100125150200-------
0,95506580125150200---------
0,996565100125150150200--------

Таблица 27

Число отказов r для планов [NMr], [NMT], [NRr], [NRT]

\epsilonr при q
0,800,900,950,99
0,05331/251> 500/> 500> 500/> 500> 500/> 500
0,1088/57217/139346/231> 500/468
0,1556/21114/55170/94358/191
0,2029/1059/28116/48232/98

Примечания:

1. Распределение наработки между отказами (до отказа) является экспоненциальным.

2. В числителе приведены значения числа отказов r при планировании по предельной относительной ошибке (верхней доверительной границе), в знаменателе — при планировании по нижней доверительной границе.

Таблица 28

Число объектов испытаний № для оценки вероятности безотказной работы P(T) с доверительной вероятностью q при допустимом числе отказов d

dqP(T)
0,800,850,900,950,975
00,80710153164
0,901014224591
0,9513182858118
0,9921284490182
10,8014192959119
0,9018253877154
0,9522304693188
0,99314264130263
20,8021284285170
0,90253452105212
0,95304061124250
0,99395381165333
30,80273654109220
0,90324365132266
0,95375075153308
0,99476497198399
40,80324466133268
0,90385278158318
0,95435989181364
0,995474112229461
50,80385278157315
0,90446091184369
0,955068103208418
0,996283127258> 500
60,80445989180362
0,905168103209419
0,955676116234471
0,996993142287> 500
70,805067101203408
0,905776116233469
0,956385129260> 500
0,9976102156316> 500
80,805574112226454
0,906384128258> 500
0,956993141286> 500
0,9982111170344> 500
90,806182124249499
0,906992140282> 500
0,9575102154311> 500
0,9989120183371> 500
100,806789135271> 500
0,9074100152306> 500
0,9581110166336> 500
0,9996129197398> 500

Примечание.

N = ln(1 - q)/lnP(T) , d = 0;

N@ \frac{d}{2} - [\chi_{q}^{2}(2d + 2)]/2lnP(T) , d >= 1, P(T) \geq 0,8 ;

{}^{N@d + (d + 1)/}{_{q}^{[(1 - 2lnP(T))/\chi^{2}(2d + 2)]^{d + 1} - 1}} , d >= 1,

0,5 \leq P(T)<0,8 .

Таблица 29

Число отказов r при плане [NMr] для оценки коэффициента готовности при \upsilon_{\text{в}} = 0,1

\epsilonqr при \upsilon
0,10,20,30,40,60,81,0
0,050,806152550100200315
0,90133265125250400650
0,9520651252004008001000
0,97529711422845687101000
0,99401002004008001000> 1000
0,100,8034815325080
0,90410203265125200
0,956153250125200315
0,9757234770180280465
0,99103265100250400650
0,150,803346152540
0,903510153265100
0,9538152550100150
0,975411233590140225
0,996153250125200315
0,200,803334101525
0,9033610204065
0,953510153265100
0,9753714234790140
0,99310203265125200

Примечание к табл. 29 - 35:

r = (\frac{U_{q}}{\epsilon})^{2}[(\epsilon + 1)^{2}\upsilon^{2} + \upsilon_{\text{в}}^{2}].

Таблица 30

Число отказов r при плане [NMr] для оценки коэффициента готовности при \upsilon_{\text{в}} = 0,2

\epsilonqr при \upsilon
0,10,20,30,40,60,81,0
0,050,8015254065125200315
0,903250100150250500800
0,95501001502505008001000
0,975701402253507001000> 1000
0,991002003155001000> 1000> 1000
0,100,80461015325080
0,90815254080125200
0,9513254065125200315
0,97518365790180285462
0,99255080125250400650
0,150,803358152540
0,904610204065100
0,95610203265100150
0,9751014284790140225
0,9913204065125200315
0,200,803335101525
0,9034610204065
0,954610204065100
0,97561014285690140
0,99813204080125200

Таблица 31

Число отказов r при плане [NMr] для оценки коэффициента готовности при \upsilon_{\text{в}} = 0,3

\epsilonqr при \upsilon
0,10,20,30,40,60,81,0
0,050,8025405080125200315
0,906580125200315500800
0,951001502003155008001000
0,9751362172714346781000> 1000
0,992003154006501000> 1000> 1000
0,100,8061015204065100
0,901525325080150200
0,9525405080150250400
0,975335582109217353542
0,995080100150250400650
0,150,8035610153250
0,9081015254065100
0,951315254065100150
0,9751727335582174271
0,9925325080125200315
0,200,803446102025
0,90461013254065
0,9561015204065100
0,9751017223355108136
0,991320324080125200

Таблица 32

Число отказов r при плане [NMr] для оценки коэффициента готовности при \upsilon_{\text{в}} = 0,4

\epsilonqr при \upsilon
0,10,20,30,40,60,81,0
0,050,80506580100150250400
0,90100125150200315500800
0,951502002504006501000> 1000
0,9752713534345428131000> 1000
0,993154005008001000> 1000> 1000
0,100,80131520254065100
0,9025324065100150250
0,95405080100150250400
0,9757182109136217353542
0,99100125150200315500800
0,150,8056810203250
0,90131520255080100
0,952025324080125200
0,97527334455109173271
0,9940506580150250400
0,200,803456132032
0,90681315254065
0,95101320254065100
0,9751722273371109173
0,992532405080150200

Таблица 33

Число отказов r при плане [NMr] для оценки коэффициента готовности при \upsilon_{\text{в}} = 0,6

эпсилонqr при ипсилон
0,10,20,30,40,60,81,0
0,050,80 0,90 0,95 0,975 0,99100 250 400 570 800125 250 400 570 800125 315 500 700 1000150 400 650 1000 > 1000200 500 800 > 1000315 650 1000400 > 1000 > 1000
0,100,80 0,90 0,95 0,975 0,9925 65 100 140 20025 65 100 140 20032 80 125 180 25040 100 150 225 31550 125 200 285 40080 200 315 460 650100 250 400 570 800
0,150,80 0,90 0,95 0,975 0,9910 25 40 57 8013 32 50 70 10015 32 50 90 12520 40 65 100 15025 65 100 150 20040 80 150 225 31550 125 200 285 400
0,200,80 0,90 0,95 0,975 0,996 15 25 36 508 15 25 36 508 20 32 47 6510 25 40 57 8015 40 65 90 12520 50 80 100 15032 80 125 180 250

Таблица 34

Число отказов r при плане [NMr] для оценки коэффициента готовности при \upsilon_{\text{в}} = 0,8

эпсилонqr при ипсилон
0,10,20,30,40,60,81,0
0,050,80 0,90 0,95 0,975 0,99150 400 650 800 > 1000200 400 650 1000200 500 800 > 1000250 500 800315 650 1000400 800 > 1000500 1000 > 1000
0,100,80 0,90 0,95 0,975 0,9940 100 150 225 31550 100 200 285 40050 125 200 285 40065 150 200 285 40080 150 315 285 400100 250 400 570 800125 315 500 700 1000
0,150,80 0,90 0,95 0,975 0,99202 40 80 100 15020 50 80 100 15020 50 80 150 20025 65 100 150 20032 80 125 180 25040 100 150 225 31565 150 250 355 500
0,200,80 0,90 0,95 0,975 0,9910 25 40 60 8013 25 40 70 10013 32 50 70 10015 40 65 90 12520 50 80 100 15025 65 100 150 20032 80 150 180 250

Таблица 35

Число отказов r при плане [NMr] для оценки коэффициента готовности при \upsilon_{\text{в}} = 1,0

эпсилонqr при ипсилон
0,10,20,30,40,60,81,0
0,050,80 0,90 0,95 0,975 0,99250 650 > 1000 > 1000 > 1000315 650315 650315 800400 1000500 1000650 1000
0,100,80 0,90 0,95 0,975 0,9965 150 250 350 50065 150 250 350 50080 200 315 350 50080 200 315 460 650100 250 400 570 800125 315 500 700 1000150 400 650 1000 > 1000
0,150,80 0,90 0,95 0,975 0,9932 65 125 180 25032 80 125 180 25032 80 125 180 25040 80 150 225 31540 100 200 225 31550 125 250 285 40065 150 250 350 500
0,200,80 0,90 0,95 0,975 0,9915 40 65 90 12520 40 65 100 15020 50 80 100 15020 50 80 100 15025 65 100 150 20032 80 125 180 25040 100 150 225 315

Приложение 5 Рекомендуемое

ПОРЯДОК ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ОСНОВНОЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

1. Оценка показателей надежности непараметрическими методами

1.1 Точечные оценки показателей надежности вычисляют при r > 5.

При r <= 5 используют нижние доверительные границы показателей надежности.

1.2 Последовательность вычисления оценок показателей надежности для планов типа [NU...]:

Наработки до отказа и наработки до цензурирования (для планов, отличных от [NUN]) выстраивают в общий вариационный ряд в порядке неубывания. Если отдельные значения наработки до отказа равны некоторым значениям наработок работоспособных изделий, то в вариационном ряду сначала указывают наработки до отказа, затем наработки до цензурирования.

Вычисляют оценку функции распределения \hat{F}(t_{i})

\hat{F}(t_{i}) = 1 - \prod_{j = 1}^{i} \frac{N_{j} - 1}{N_{j}} ; i = \overline{1,r} ,

где N_{j} — количество работоспособных изделий до j-го отказа в вариационном ряду.

Для планов [NUN], [NUr] и [NUT] эта формула переходит в следующую:

\hat{F}(t_{i}) = i/N , i <= m.

Вычисляют точечные оценки показателей надежности по формулам, приведенным в табл. 36.

Таблица 36

План испытанийФормулы для определения
средней наработки до отказа, среднего ресурса (срока служба, срока сохраняемости, времени восстановления)гамма-процентной наработки, гамма-процентного ресурса (срока службы, срока сохраняемости)вероятности безотказности работы за наработку t
[NUN]\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} t_{i}t_{i - 1} + d_{1}(t_{i} - t_{i - 1}),1 - \hat{F}(t_{i - 1}) - d_{2}[\hat{F}(t_{i}) - \hat{F}(t_{i - 1})],
[NUr]\frac{\sum_{i = 1}^{m} t_{i}}{m} + \frac{N - m}{m} t_{m}гдегде
[NUT]
\hat{F}(t_{i - 1})&lt;1 - \frac{\gamma}{100} &lt;\hat{F}(t_{i}),t_{i - 1}&lt;t&lt;t_{i},
[NUz]формула
d_{2} = \frac{t - t_{i - 1}}{t_{i} - t_{i - 1}}
d_{1} = \frac{1 - \gamma/100 - \hat{F}(t_{i - 1})}{\hat{F}(t_{i}) - \hat{F}(t_{i - 1})}
где \Delta F(t_{i}) = \hat{F}(t_{i}) - \hat{F}(t_{i - 1}) ;
t_{0} = 0 ; \hat{F}(t_{0}) = 0
формула
где формула , таких, что
0,4 \leq \hat{F}(t_{i}) \leq 1 - e^{- 1}
для изделий с возрастающей интенсивностью отказов

Примечания:

1. Среднее время восстановления оценивают для плана [NUN].

2. Если выполнено одно из условий 1 - \gamma/100 = \hat{F}(t_{i - 1}) или 1 - \gamma/100 = \hat{F}(t_{i}) , то \widehat{T}_{\gamma%} = t_{i - 1} или \widehat{T}_{\gamma%} = t_{i} .

3. Если выполнено одно из условий t = t_{i - 1} или t = t_{i} , то \hat{P}(t) = 1 - \hat{F}(t_{i - 1}) или \hat{P}(t) = 1 - \hat{F}(t_{i}) .

4. Если выполнено условие t = t_{i} = t_{i + 1} = ... = t_{k} (k <= r), то \hat{P}(t) = \frac{\sum_{i = 1}^{k} \hat{P}(t_{i})}{k - l + 1} .

При заданной доверительной вероятности q* для двустороннего интервала доверительную вероятность q для одностороннего интервала определяют по формуле q = (1 + q*) / 2. Соответственно q* = 2q — 1.

Вычисляют интервальные оценки показателей надежности по формулам, приведенным в табл. 37.

Таблица 37

Формулы для вычисления интервальных оценок показателей надежности при неизвестном виде закона распределения

Показатель надежностиФормулы для вычисления
нижней доверительной границы уровня q (НДГ)верхней доверительной границы уровня q (ВДГ)
Средняя наработка до отказа, средний ресурс (срок службы, сохраняемости, время восстановления)\widehat{T}_{\text{ср}} - U_{q} \sqrt{\sum_{i = 1}^{r} \frac{\Delta F(t_{i})}{r} (t_{i} - \widehat{T}_{\text{ср}})^{2}}\widehat{T}_{\text{ср}} + U_{q} \sqrt{\sum_{i = 1}^{r} \frac{\Delta F(t_{i})}{r} (t_{i} - \widehat{T}_{\text{ср}})^{2}}
Гамма-процентные показателиt_{i - 1} + d_{3}(t_{i} - t_{i - 1}) ; t_{0} = 0t_{i - 1} + d_{4}(t_{i} - t_{i - 1}) ; t_{0} = 0
\overline{F}(t_{i - 1})&lt;1 - \gamma/100&lt;\overline{F}(t_{i})F(t_{i - 1})&lt;1 - \gamma/100&lt;F(t_{i})
\overline{F}(t_{i}) = \frac{\chi_{q}^{2}[2(r_{i} + 1)]}{2N - r_{i} + 0,5\chi_{q}^{2}[2(r_{i} + 1)]}F(t_{i}) = \frac{\chi_{1 - q}^{2}(2r_{i})}{2N - r_{i} + 1 + 0,5\chi_{1 - q}^{2}(2r_{i})}
d_{3} = \frac{1 - \gamma/100 - \overline{F}(t_{i - 1})}{\overline{F}(t_{i}) - \overline{F}(t_{i - 1})}d_{4} = \frac{1 - \gamma/100 - F(t_{i - 1})}{F(t_{i}) - F(t_{i - 1})}
Вероятность безотказной работы за наработку1 - \overline{F}(t_{i - 1}) - d_{2}[\overline{F}(t_{i}) - \overline{F}(t_{i - 1})]1 - F(t_{i - 1}) - d_{2}[F(t_{i}) - F(t_{i - 1})]
t_{i - 1}&lt;t&lt;t_{i} ; t&lt;t_{m}t_{i - 1}&lt;t&lt;t_{i} ; t&lt;t_{m}

Примечания:

1. Оценки T_{c\text{р}} , \overline{T_{c\text{р}}} являются приближенными.

2. Оценки \text{Р}(t_{i}) , \overline{\text{Р}}(t_{i}) , T_{\gamma} , \overline{T_{\gamma}} для плана [NUz] являются приближенными.

3. Для плана [NUz]:

{}_{i}^{r =}{_{(i)}^{N \cdot \hat{F}t}} , где {X} — целая часть X.

4. \Delta F(t_{i}) = F(t_{i}) - F(t_{i - 1}) ; t_{0} = 0 ; F(t_{0}) = 0 .

5. Если выполнено одно из условий

1 - \gamma/100 = \overline{F}(t_{i - 1}) ; 1 - \gamma/100 = \overline{F}(t_{i}) ; 1 - \gamma/100 = F(t_{i - 1}) или

1 - \gamma/100 = F(t_{i}) , то T_{\gamma} = t_{i - 1} ; T_{\gamma} = t_{i} ; \overline{T_{\gamma}} = t_{i - 1} или

\overline{T_{\gamma}} = t_{i} соответственно.

6. Если выполнено одно из условий

t = t_{i - 1} или t = t_{i} , то P(t) = 1 - \overline{F}(t_{i - 1}) ;

\overline{P}(t) = 1 - F(t_{i - 1}) ; P(t) = 1 - \overline{F}(t_{i}) или \overline{P}(t) = 1 - F(t_{i}) соответственно.

7. Если выполнено условие

t = t_{i} = t_{i + 1} = ... = t_{k} (k <= r), то P(t) = \frac{\sum_{i = 1}^{k} P(t_{i})}{k - l + 1} ; \overline{P}(t) = \frac{\sum_{i = 1}^{k} \overline{P}(t_{i})}{k - l + 1} .

1.3. Для планов [NMr] и [NMT] точечную оценку средней наработки на отказ вычисляют по формуле \widehat{T}_{0} = S/m .

Интервальные оценки средней наработки на отказ вычисляют приближенно по формулам табл. 46 и табл. 47 для соответствующих планов.

1.4 Для планов испытаний типа [NM...] точечную оценку коэффициента готовности вычисляют по формуле

\widehat{K}_{\text{г}} = \widehat{T}_{0}/(\widehat{T}_{0} + \widehat{T}_{\text{в}}),

в которой оценки средней наработки на отказ \widehat{T}_{0} и среднего времени восстановления \widehat{T}_{\text{в}} вычисляют по формулам п. 1.3 и табл. 35 соответственно.

Интервальные оценки коэффициента готовности вычисляют по формулам:

K_{\text{г}} = (1 + \frac{\widehat{T}_{0}\widehat{T}_{\text{в}} + U_{q} \sqrt{\widehat{T}_{0}^{2} \frac{\widehat{S}_{\text{в}}^{2}}{m} + T_{\text{в}}^{2} \frac{\widehat{s}^{2}}{m} - U_{q}^{2} \frac{\widehat{S}_{\text{в}}^{2}\widehat{s}^{2}}{m^{2}}}}{\widehat{T}_{0}^{2} - U_{q}^{2} \frac{\widehat{s}^{2}}{m}})^{- 1};

\overline{K_{\text{г}}} = (1 + \frac{\widehat{T}_{0}\widehat{T}_{\text{в}} - U_{1 - q} \sqrt{\widehat{T}_{0}^{2} \frac{\widehat{S}_{\text{в}}^{2}}{m} + T_{\text{в}}^{2} \frac{\widehat{s}^{2}}{m} - U_{1 - q}^{2} \frac{\widehat{S}_{\text{в}}^{2}\widehat{s}^{2}}{m^{2}}}}{\widehat{T}_{0}^{2} - U_{1 - q}^{2} \frac{\widehat{s}^{2}}{m}})^{- 1};

\widehat{s}^{2} = \frac{1}{m - 1} \sum_{i = 1}^{m} (t_{i} - \widehat{T}_{0})^{2};

\widehat{S}_{\text{в}}^{2} = \frac{1}{m - 1} \sum_{i = 1}^{m} (t_{\text{в}_{i}} - \widehat{T}_{\text{в}})^{2}.

2. Оценка показателей надежности параметрическими методами

2.1. Точечные оценки показателей надежности при известном законе распределения вычисляют по формулам табл. 38.

2.2 Точечные оценки параметров распределений

Оценки параметра экспоненциального распределения вычисляют по формулам табл. 39.

Оценка параметров распределения Вейбулла.

Для N <= 6 и плана [NUz], а также для N <= 15 и планов [NUN], [NUr] и [NUT] оценки параметров a и b вычисляют по формулам табл. 40 методом линейного оценивания. Для N > 6 при плане [NUz] и N > 15 при планах [NUN], [NUr] и [NUT] оценки параметров a и b вычисляют по формулам табл. 41 методом максимального правдоподобия.

Оценка параметров нормального распределения.

Для N <= 15 оценки параметров \mu и \sigma вычисляют по формулам табл. 42 методом линейного оценивания.

Для N > 15 оценки параметров \mu и \sigma вычисляют по формулам табл. 43 методом максимального правдоподобия.

Оценка параметров диффузионного распределения.

Оценки параметров диффузионного немонотонного распределения вычисляют по формулам табл. 44.

Оценки параметров диффузионного монотонного распределения вычисляют по формулам табл. 45.

2.3 Интервальные оценки показателей надежности

Интервальные оценки показателей надежности в случае экспоненциального распределения вычисляют по формулам табл. 46.

Значения \lambda , \overline{\lambda} для экспоненциального распределения вычисляют по формулам табл. 47.

Интервальные оценки показателей надежности в случае распределения Вейбулла при 3 < N <= 15 вычисляют по формулам табл. 48. Интервальные оценки показателей надежности в случае распределения Вейбулла для N > 15, вычисляют по формулам табл. 49.

Интервальные оценки показателей надежности в случае нормального распределения вычисляют по формулам табл. 51.

Интервальные оценки показателей надежности в случае диффузионного немонотонного распределения вычисляют по формулам табл. 52.

Интервальные оценки показателей надежности в случае диффузионного монотонного распределения вычисляют по формулам табл. 53.

2.4. Для планов испытаний [NMr] и [NMT] точечная и интервальная оценки средней наработки на отказ вычисляются как соответствующие оценки средней наработки до отказа по плану [NUz], при котором N — число условных объектов испытаний, равное сумме числа наработок до первого отказа, наработок между отказами и наработок до цензурирования.

Таблица 38

Формулы для вычисления точечных оценок показателей надежности при известном законе распределения

Закон распределения с функциейФормулы для вычисления
средней наработки до отказа, среднего ресурса (срока службы, срока сохраняемости, времени восстановления)вероятности безотказной работы за наработкугамма-процентной наработки, гамма-процентного ресурса (срока службы, срока сохраняемости)
Экспоненциальный F(t) = 1 - e^{- \lambda t}\frac{1}{\hat{\lambda}}e^{- \hat{\lambda}t}\frac{1}{\hat{\lambda}} (- ln \frac{\gamma}{100})
Вейбулла F(t) = 1 - e^{- (t/a)^{b}}\hat{a}\text{Г}(1 + 1/\hat{b})e^{- (t/a)^{\hat{b}}}\hat{a}(- ln \frac{\gamma}{100})1/\hat{b}
Нормальный F(t) = \text{Ф}_{0}(\frac{t - \mu}{\sigma})\hat{\mu}\text{Ф}_{0}(\frac{\hat{\mu} - t}{\hat{\sigma}})\hat{\mu} - U_{\gamma}\hat{\sigma}
Диффузионный монотонный\hat{\mu}(1 + \widehat{\upsilon}^{2}/2)\text{Ф}_{0}(\frac{\hat{\mu} - t}{\hat{\upsilon} \sqrt{\hat{\mu}t}})формула
Диффузионный немонотонный\hat{\mu}\text{Ф}_{0}(\frac{\hat{\mu} - t}{\hat{\upsilon} \sqrt{\hat{\mu}t}}) - e^{2/\widehat{\upsilon}^{2}}\text{Ф}_{0}(- \frac{\hat{\mu} + t}{\hat{\upsilon} \sqrt{\hat{\mu}t}})формула

Примечания:

1. Для логарифмически нормального распределения оценки показателей надежности вычисляют по формулам для нормального распределения с заменой значений наработок их натуральными логарифмами.

2. Значения функций e^{- x} , \text{Г}(x) , \text{Ф}_{0}(x) приведены в Приложении 9.

Таблица 39

Формулы для вычисления точечной оценки параметра экспоненциального распределения

План испытанийОценка параметра \lambda
[NUN]\frac{N - 1}{\sum_{i = 1}^{N} t_{i}} , N > 1
[NUr]\frac{r - 1}{\sum_{i = 1}^{r} t_{i} + (N - r)t_{r}} , r > 1
[NUT]\frac{d}{\sum_{i = 1}^{d} t_{i} - (N - d)T} , d > 0
[NUz]\frac{rN}{(\sum_{i = 1}^{r} t_{i} + \sum_{j = 1}^{n} \tau_{j})(N - 1)}
[NMr]\frac{r}{Nt_{r}}
[NMT]\frac{d}{NT}

Таблица 40

Формулы для вычисления точечных оценок параметров распределения Вейбулла (N <= 15)

План испытанийФормулы для определения
\hat{a}\hat{b}
[NUN]exp[\sum_{i = 1}^{N} A_{i}lnt_{i}][\sum_{i = 1}^{N} C_{i}lnt_{i}]^{- 1}
[NUr]exp[\sum_{i = 1}^{m} A_{i}lnt_{i}][\sum_{i = 1}^{m} C_{i}lnt_{i}]^{- 1}
[NUT]
[NUz]exp[\sum_{i = 1}^{r} A_{i}lnt_{i}] + \frac{P}{1 - L} \sum_{i = 1}^{r} C_{i}lnt_{i}[\sum_{i = 1}^{r} C_{i}lnt_{i}]^{- 1} \cdot (1 - L)

Примечания:

1. Коэффициенты A_{i} и C_{i} для планов [NUN], [NUr] и [NUT] определяют по табл. 62 Приложения 9 при N <= 15; для плана [NUz] при N <= 6 — по табл. 61 Приложения 9.

2. Наработки до отказа и наработки до цензурирования выстраивают в вариационный ряд в порядке неубывания наработок.

Таблица 41

Формулы для вычисления точечных оценок параметров распределения Вейбулла (N > 15)

План испытанийФормулы для определения
\hat{a}\hat{b}
[NUN](\frac{\sum_{i = 1}^{N} t_{i}^{\hat{b}}}{N})1/\hat{b}формула
[NUT][\frac{\sum_{i = 1}^{m} t_{i}^{\hat{b}} + (N - m)t_{\hat{m}}^{b}}{m}]1/\hat{b}формула
[NUr]
[NUz](\frac{\sum_{i = 1}^{r} t_{i}^{\hat{b}} + \sum_{j = 1}^{n} \tau_{\hat{j}}^{b}}{r})1/\hat{b}формула

Примечание. Порядок решения уравнений относительно параметра b приведен в Приложении 7.

Таблица 42

Формулы для вычисления точечных оценок параметров нормального распределения (N <= 15)

План испытанийВыражение для оценки параметров
\mu\sigma
[NUN]\sum_{i = 1}^{N} \alpha_{i}t_{i}\sum_{i = 1}^{N} \beta_{i}t_{i}
[NUr]\sum_{i = 1}^{m} \alpha_{i}t_{i}\sum_{i = 1}^{m} \beta_{i}t_{i}
[NUT]

Примечания:

1. Коэффициенты \alpha_{i} и \beta_{i} приведены в табл. 64 Приложения 9.

2. Наработки до отказа выстраивают в вариационный ряд в порядке неубывания наработок.

Таблица 43

Формулы для вычисления точечных оценок параметров нормального распределения (N > 15)

План испытанийРасчетные формулы
[NUN]\hat{\mu} = \frac{\sum_{i = 1}^{N} t_{i}}{N} ; \hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (t_{i} - \hat{\mu})^{2}} \cdot [E(N - 1)]
[NUr]\sum_{i = 1}^{m} \frac{t_{i} - \hat{\mu}}{\hat{\sigma}} + (N - m) \frac{f_{0} \frac{\hat{\mu} - t_{m}}{\hat{\sigma}}}{\text{Ф}_{0} \frac{\hat{\mu} - t_{m}}{\hat{\sigma}}} \_\_\_\_() = 0
[NUN]
m - \sum_{i = 1}^{m} (\frac{t_{i} - \hat{\mu}}{\hat{\sigma}}) + (N - m) \frac{\hat{\mu} - t_{m}}{\hat{\sigma}} \cdot \frac{f_{0} \frac{\hat{\mu} - t_{m}}{\hat{\sigma}}}{\text{Ф}_{0} \frac{\hat{\mu} - t_{m}}{\hat{\sigma}}} \_\_\_\_() = 0
[NUz]\sum_{i = 1}^{r} \frac{t_{i} - \hat{\mu}}{\hat{\sigma}} + \sum_{j = 1}^{n} \frac{f_{0} \frac{\hat{\mu} - \tau_{j}}{\hat{\sigma}}}{\text{Ф}_{0} \frac{\hat{\mu} - \tau_{j}}{\hat{\sigma}}} \_\_\_\_() = 0
r - \sum_{i = 1}^{r} (\frac{t_{i} - \hat{\mu}}{\hat{\sigma}}) + \sum_{j = 1}^{n} \frac{\hat{\mu} - \tau_{j}}{\hat{\sigma}} \cdot \frac{f_{0} \frac{\hat{\mu} - \tau_{j}}{\hat{\sigma}}}{\text{Ф}_{0} \frac{\hat{\mu} - \tau_{j}}{\hat{\sigma}}} \_\_\_\_() = 0

Примечания:

1. Порядок решения уравнений относительно \mu и \sigma для планов испытаний [NUr], [NUT], [NUz] приведен в Приложении 7.

2. Значения E(N — 1) приведены в табл. 67 Приложения 9.

Таблица 44

Формулы для вычисления точечных оценок параметров диффузионного немонотонного распределения

План испытанийРасчетные формулы
[NUN]\hat{\mu} = \hat{S} ; \hat{\upsilon} = (\frac{\hat{S} - \widehat{G}}{\widehat{G}})1/2 ; \hat{S} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{n} t_{i} ; \widehat{G} = N(\sum_{i = 1}^{N} 1/t_{i})^{- 1}
[NUr]формула
[NUT]
5. Методы оценки показателей надежности

Таблица 45

Формулы для вычисления точечных оценок параметров диффузионного монотонного распределения

План испытанийРасчетные формулы
[NUN]\hat{\mu} = \widehat{G} + \widehat{Q} - (\widehat{Q}^{2} - \hat{S}\widehat{G} + \widehat{G}^{2})^{1/2}
\hat{\upsilon} = (\hat{\mu}/\widehat{G} - 1)^{1/2}
\widehat{Q} = N[2 \sum_{i = 1}^{N} (\hat{\mu} + t_{i})^{- 1}]^{- 1}
[NUr]5. Методы оценки показателей надежности
[NUT]

Примечание. Оценки параметров \hat{\mu} и \hat{\upsilon} определяют методом последовательных приближений.

Таблица 46

Формулы для вычисления интервальных оценок показателей надежности для экспоненциального закона распределения

Наименование показателя надежностиФормулы для вычисления доверительных границ уровня q
нижнейверхней
Средняя наработка до отказа (на отказ)\frac{1}{\overline{\lambda}}\frac{1}{\lambda}
Средний ресурс (срок службы, срок сохраняемости, время восстановления)
Гамма-процентный ресурс (срок службы, срок сохраняемости)\frac{1}{\overline{\lambda}} (- ln \frac{\gamma}{100})\frac{1}{\lambda} (- ln \frac{\gamma}{100})
Вероятность безотказной работы за наработку te^{- \lambda t}e^{- \lambda t}
Интенсивность отказов\lambda\overline{\lambda}

Таблица 47

Формулы для вычисления доверительных границ параметра экспоненциального распределения

План испытанийФормулы для вычисления доверительных границ уровня q
нижнейверхней
[NUN]\frac{\hat{\lambda}\chi_{1 - q}^{2}(2N)}{2(N - 1)} ; N > 1\frac{\hat{\lambda}\chi_{q}^{2}(2N)}{2 \cdot (N - 1)} ; N > 1
[NUr]\frac{\hat{\lambda}\chi_{1 - q}^{2}(2r)}{2 \cdot (r - 1)} ; r > 1\frac{\hat{\lambda}\chi_{q}^{2}(2r)}{2 \cdot (r - 1)} ; r > 1
[NMr]
[NRr]
[NUT]\frac{\hat{\lambda}N\chi_{1 - q}^{2}(2r)}{d[2N - d + 1 + \frac{1}{2} \chi_{1 - q}^{2}(2d)]} , d > 0\frac{\hat{\lambda}N\chi_{q}^{2}(2d + 2)}{d[2N - d + \frac{1}{2} \chi_{q}^{2}(2d + 2)]} , d > 0
\frac{r_{0}}{S} , d = 0
[NUz]\frac{\hat{\lambda}\chi_{1 - q}^{2}(2N)}{2N}\frac{\hat{\lambda}\chi_{q}^{2}(2N)}{2N}
[NMT]\frac{\hat{\lambda}\chi_{1 - q}^{2}(2d)}{2d}\frac{\hat{\lambda}\chi_{q}^{2}(2d + 2)}{2d} , d > 0
[NRT]

Примечания:

1. Оценки для плана [NUz] являются приближенными.

2. Значения \chi_{q}^{2}(m) приведены в табл. 68 Приложения 9.

3. Значения r_{0} приведены в табл. 66 Приложения 9.

Таблица 48

Формулы для вычисления интервальных оценок показателей надежности для распределения Вейбулла (N <= 15)

Показатель надежностиФормулы для вычисления доверительных границ уровня q
нижнейверхней
Средняя наработка до отказа\widehat{T}_{cp}exp(- \frac{V_{q}}{\hat{b}})\widehat{T}_{cp}exp(- \frac{V_{1 - q}}{\hat{b}})
Средний ресурс (срок службы, срок сохраняемости, время восстановления)
Гамма-процентная наработка до отказаexp(ln\hat{a} - \frac{V_{q}^{\gamma}}{\hat{b}})exp(ln\hat{a} - \frac{V_{1 - q}^{\gamma}}{\hat{b}})
Гамма-процентный ресурс (срок службы, срок сохраняемости)
Вероятность безотказной работы за наработкуV_{q}^{\gamma_{2}} \leq \frac{ln\hat{a} - lnt}{\hat{b}} \leq V_{q}^{\gamma_{1}}-

Примечания:

1. Значения функций V_{q} , V_{q}^{\gamma} приведены в табл. 65 и табл. 69 - 71 Приложения 9.

2. Для плана [NUz] значения V_{q} и V_{q}^{\gamma} находят для {}^{r =}{_{(r)}^{N\hat{F}t}} .

3. Значения P(t) находят интерполяцией между значениями \gamma_{1} и \gamma_{2} . В противном случае переходят к вычислениям по формулам табл. 49.

4. Если за время испытаний отказы не зафиксированы, то нижнюю доверительную границу средней наработки до отказа T_{cp} вычисляют по формуле

T_{cp} = \text{Г}(1 + 1/b) \cdot [- \sum_{i = 1}^{N} \tau_{i}^{b}/ln(1 - q)]^{1/b},

нижнюю доверительную границу гамма-процентной наработки до отказа T_{\gamma} вычисляют по формуле

T_{\gamma} = (- ln \frac{\gamma}{100})^{1/b} \cdot [- \sum_{i = 1}^{N} \tau_{i}^{b}/ln(1 - q)]^{1/b}.

Параметр формы b распределения при этом принимают известным.

Таблица 49

Формулы для вычисления интервальных оценок показателей надежности для распределения Вейбулла (N >= 15)

Показатель надежностиФормулы для вычисления доверительных границ уровня q
нижнейверхней
Средняя наработка до отказа\widehat{T}_{cp}(1 + \epsilon_{\text{н}})\widehat{T}_{cp}(1 + \epsilon_{\text{в}})
Средний ресурс (срок службы, срок сохраняемости, время восстановления)
Гамма-процентная наработка до отказа\widehat{T}_{80}(1 + \epsilon_{\text{н}})\widehat{T}_{80}(1 + \epsilon_{\text{в}})
Гамма-процентный ресурс (срок службы, срок сохраняемости)
\widehat{T}_{90}(1 - \epsilon_{\text{н}})\widehat{T}_{90}(1 + \epsilon_{\text{в}})
\widehat{T}_{\gamma} - U_{q} \sqrt{D(\widehat{T}_{j})}\widehat{T}_{\gamma} + U_{q} \sqrt{D(\widehat{T}_{j})}
Вероятность безотказной работы за наработку\hat{P}(t) - U_{q} \sqrt{D[\hat{P}(t)]}

Примечания:

1. Значения \epsilon_{\text{н}} и \epsilon_{\text{в}} определяют по графикам, изображенным на черт. 1 - 9 для доверительной вероятности q* = 0,80; 0,90; 0,95, соответствующей двустороннему доверительному интервалу.

2. На оси абсцисс соответствующего графика откладывают значение r/N и восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кривыми, соответствующими объему наблюдений выборки. Ординаты точки пересечения, отсчитанные по соответствующей шкале \upsilon , указывают значения \epsilon_{\text{н}} (на нижней половине шкалы) и \epsilon_{\text{в}} (на верхней половине шкалы).

Значение \hat{\upsilon} = \frac{\sqrt{\text{Г}(1 + 2/\hat{b}) - \text{Г}^{2}(1 + 1/\hat{b})}}{\text{Г}(1 + 1/\hat{b})} .

3. Формулы для вычисления D(\widehat{T}_{\gamma}) , D[\hat{P}(t)] приведены в табл. 50.

4. Оценки являются приближенными.

Таблица 50

Формулы для вычисления приближенных значений дисперсий D(\widehat{T}_{\gamma}) , D[P(t)]

Обозначение дисперсии и вспомогательной величиныФормулы для вычисления
D(\widehat{T}_{\gamma})формула
D[\hat{P}(t)]формула
D(\hat{a})- L_{1}/D
D(\hat{b})- L_{2}/D
cov(\hat{a},\hat{b})L_{3}/D
L_{1}\frac{b}{a^{2}} [r - \frac{b + 1}{a^{b}} (\sum_{i = 1}^{r} t_{i}^{b} + \sum_{j = 1}^{n} \tau_{j}^{b})]
L_{2}формула
L_{3}формула
DL_{1} \cdot L_{2} - L_{3}^{2}

Примечания:

1. В формулы подставляют оценки параметров a и b, вычисленные согласно п. 2.2 Приложения 5.

2. Для плана [NUT] \tau_{1} = \tau_{2} = ... = \tau_{n} = T ; r = d.

3. Для плана [NUr] \tau_{1} = \tau_{2} = ... = \tau_{n} = t_{r} .

Таблица 51

Формулы для вычисления интервальных оценок показателей надежности для нормального распределения

Показатель надежностиФормулы для вычисления доверительных границ уровня
нижнейверхней
Средняя наработка до отказа (средний ресурс, срок службы, срок сохраняемости, время восстановления)\hat{\mu} - t_{q}(r - 1) \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{r}}\mu + t_{q}(r - 1) \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{r}}
Гамма-процентная наработка до отказа, гамма-процентный ресурс (срок службы, срок сохраняемости)\widehat{T}_{\text{ср}} - K_{1}(\gamma,q,r)\hat{\sigma}\widehat{T}_{\text{ср}} + K_{1}(\gamma,q,r)\hat{\sigma}
Вероятность безотказной работы за наработку t\text{Ф}_{0}(h),\text{Ф}_{0}(\overline{h}),
где h \simeq \hat{h} - U_{q} \sqrt{\frac{1}{r} (1 + \frac{\widehat{h}_{2}}{2})} ,где \overline{h} \simeq \hat{h} + U_{q} \sqrt{\frac{1}{r} (1 + \frac{\widehat{h}_{2}}{2})} ,
\hat{h} = \frac{t - \hat{\mu}}{\hat{\sigma}}\hat{h} = \frac{t - \hat{\mu}}{\hat{\sigma}}

Примечания:

1. Для плана [NUN] r = N.

2. Для планов [NUr], [NUT], [NUz] оценки являются приближенными.

3. Значения K_{1}(\gamma,q,r) приведены в табл. 73 Приложения 9.

4. Значения t_{p}(m) = t_{q}(r - 1) приведены в табл. 72 Приложения 9.

5. Для плана {}^{[NUz]r =}{_{(r)}^{N \cdot \hat{F}t}} .

6. Если за время испытаний отказов не зафиксировано, то нижние доверительные границы средней наработки до отказа T_{\text{ср}} и гамма-процентной наработки до отказа T_{\gamma} вычисляют приближенно по формулам:

T_{\text{ср}}@z_{1}(\upsilon) \cdot [\frac{- \sum_{i = 1}^{N} \tau_{i}^{z_{2}(\upsilon)}}{ln(1 - q)}]^{1/z_{2}(\upsilon)};

T@(- ln \frac{\gamma}{100})^{1/z_{2}(\upsilon)} \cdot [\frac{- \sum_{i = 1}^{N} \tau_{i}^{z_{2}(\upsilon)}}{ln(1 - q)}]^{1/z_{2}(\upsilon)}.

Значения z_{1}(\upsilon) и z_{2}(\upsilon) определяют по табл. 76 Приложения 9. Коэффициент вариации \upsilon при этом полагается известным.

Таблица 52

Формулы для вычисления интервальных оценок показателей надежности для диффузионного немонотонного распределения

Показатель надежностиФормулы для вычисления доверительных границ уровня
нижнейверхней
Средняя наработка до отказа\mu\overline{\mu}
Средний ресурс (срок службы, срок сохраняемости, время восстановления)
Гамма-процентная наработка до отказа\frac{\mu(1 + \overline{\upsilon^{2}}U_{\gamma}^{2}/2 - \overline{\upsilon}U_{\gamma} \sqrt{1 + \overline{\upsilon^{2}}U_{\gamma}^{2}/4})}{(1 + \overline{\upsilon^{2}}/2)}\frac{\overline{\mu}(1 + \overline{\upsilon^{2}}U_{\gamma}^{2}/2 - \upsilon U_{\gamma} \sqrt{1 + \upsilon^{2}U_{\gamma}^{2}/4})}{(1 + \upsilon^{2}/2)}
Гамма-процентный ресурс (срок службы, срок сохраняемости)
Вероятность безотказной работы за наработку t\text{Ф}_{0}(\frac{\mu - t}{\overline{\upsilon} \sqrt{\mu t}}) - e^{2/\upsilon^{2}}\text{Ф}_{0}(- \frac{\mu + t}{\overline{\upsilon} \sqrt{\mu t}})\text{Ф}_{0}(\frac{\overline{\mu} - t}{\upsilon \sqrt{\overline{\mu}t}}) - e^{2/\upsilon^{2}}\text{Ф}_{0}(- \frac{\overline{\mu} + t}{\upsilon \sqrt{\overline{\mu}t}})

Примечание. Значения \mu(\overline{\mu}) , \upsilon(\overline{\upsilon}) вычисляют по формулам табл. 54.

Таблица 53

Формулы для вычисления интервальных оценок показателей надежности для диффузионного монотонного распределения

Показатель надежностиФормулы для вычисления доверительной границы уровня q
нижнейверхней
Средняя наработка до отказа\mu(1 + \upsilon^{2}/2)\overline{\mu}(1 + \overline{\upsilon^{2}}/2)
Средний ресурс (срок службы, срок сохраняемости, время восстановления)
Гамма-процентная наработка до отказа\mu(1 + \frac{\overline{\upsilon^{2}}U_{\gamma}^{2}}{2} - \overline{\upsilon^{2}}U_{\gamma} \sqrt{1 + \frac{\overline{\upsilon^{2}}U_{\gamma}^{2}}{4}})\overline{\mu}(1 + \frac{\upsilon^{2}U_{\gamma}^{2}}{2} - \upsilon U_{\gamma} \sqrt{1 + \upsilon^{2}U_{\gamma}^{2}/4})
Гамма-процентный ресурс (срок службы, срок сохраняемости)
Вероятность безотказной работы за наработку t\text{Ф }(\frac{\mu - t}{\overline{\upsilon} \sqrt{\mu t}})\text{Ф }(\frac{\overline{\mu} - t}{\upsilon \sqrt{\overline{\mu}t}})

Таблица 54

Формулы для вычисления доверительных границ параметров диффузионных распределений

План испытанийНДГ уровня qВДГ уровня q
[NUN]формулаформула
формулаформула
[NUr]формулаформула
[NUT]
формулаформула

Оценка доверительных границ средней наработки до отказа для q* = 0,80

5. Методы оценки показателей надежности

Цифры на кривых указывают объем выборки

Черт. 1

Оценка доверительных границ средней наработки до отказа для q* = 0,90

5. Методы оценки показателей надежности

Цифры на кривых указывают объем выборки

Черт. 2

Оценка доверительных границ средней наработки до отказа для q* = 0,95

5. Методы оценки показателей надежности

Цифры на кривых указывают объем выборки

Черт. 3

Оценка доверительных границ 80% наработки до отказа для q* = 0,80

5. Методы оценки показателей надежности

Цифры на кривых указывают объем выборки

Черт. 4

Оценка доверительных границ 80% наработки до отказа для q* = 0,90

5. Методы оценки показателей надежности

Цифры на кривых указывают объем выборки

Черт. 5

Оценка доверительных границ 80% наработки до отказа для q* = 0,95

5. Методы оценки показателей надежности

Цифры на кривых указывают объем выборки

Черт. 6

Оценка доверительных границ 90% наработки до отказа для q* = 0,80

5. Методы оценки показателей надежности

Цифры на кривых указывают объем выборки

Черт. 7

Оценка доверительных границ 90% наработки до отказа для q* = 0,90

5. Методы оценки показателей надежности

Цифры на кривых указывают объем выборки

Черт. 8

Оценка доверительных границ 90% наработки до отказа для q* = 0,95

5. Методы оценки показателей надежности

Цифры на кривых указывают объем выборки

Черт. 9

Приложение 6 Рекомендуемое

ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОБЪЕКТЕ

1. Параметрические методы оценки

1.1 Оценка показателей надежности при ТС-1 — ТС-4

1.1.1 Точечные оценки показателей надежности вычисляют в два этапа:

оценка параметров законов распределения;

оценка показателей надежности по вычисленным оценкам параметров закона распределения.

1.1.2. Формулы для определения точечных оценок параметров распределений для ТС-1 — ТС-4 приведены в табл. 55, вспомогательных величин — в табл. 56, дисперсии оценок параметров — в табл. 55.

Формулы табл. 55, 57 приведены для плана испытаний [NUz]. Для планов испытаний наработки работоспособных объектов имеют следующий вид:

формула

Оценки параметров нормального закона распределения определяют в соответствии с табл. 55 методом последовательных приближений.

Таблица 55

Формулы для определения точечных оценок параметров однопараметрических законов распределения и двухпараметрических (при одном известном параметре)

Закон распределенияФормулы для определения
Экспоненциальный\hat{\lambda}_{1} = \frac{1}{\widehat{a}_{1}} = \frac{\sum_{j = 1}^{l} r_{j}z_{j}}{\sum_{j = 1}^{l} \frac{z_{j}}{\chi_{j}} [\sum_{i = 1}^{r_{j}} t_{ij} + \sum_{i = 1}^{n_{j}} \tau_{ij}]}
Вейбулла\widehat{a}_{1} = \{ \frac{\sum_{j = 1}^{l} \frac{z_{j}}{\chi_{j}} [\sum_{i = 1}^{r_{j}} t_{ij}^{b_{j}} + \sum_{i = 1}^{n_{j}} \tau_{ij}^{b_{j}}]}{\sum_{j = 1}^{l} z_{j}r} \}1/b_{1}
( b_{j} — известны)
Нормальный\sum_{j = 1}^{l} z_{j}\{ \sum_{i = 1}^{r_{j}} \frac{(t_{ij} - \chi_{j}\widehat{\mu}_{1}^{0})\chi_{j}}{\sigma_{j}^{2}} + \sum_{i = 1}^{n_{j}} \frac{\chi_{j}f_{0}(\tilde{\tau}_{ij})}{\sigma_{j}\text{Ф}_{0}(\tau_{ij})} \} = 0
( \sigma_{j} — известны)

Примечания:

1. \tilde{\tau}_{ij} = \frac{\chi_{j}\mu_{1}^{0} - \tau_{ij}}{\sigma_{j}} .

2. f_{0}(x) , \text{Ф}_{0}(x) — нормированные и центрированные плотность и функция распределения нормального закона соответственно.

3. Значения \chi_{j} , \chi_{j}^{2} , z_{j} приведены в табл. 56.

Таблица 56

Формулы для определения вспомогательных величин \chi_{j} , \chi_{j}^{2} , z_{j} (j > 1)

ТСФормула для определения
\chi_{j}\chi_{j}^{2}z_{j}
ТС-1111
ТС-2K_{j}K_{j}^{2}1
ТС-3формулаформулаформула
ТС-411формула

Примечания:

1. \widehat{a}_{j} — оценка параметра a_{j} , полученная по j-й группе дополнительных данных (j > 1); \hat{a} — оценка параметра a_{1} , полученная по основной информации. Для экспоненциального, нормального и логарифмически нормального законов распределения b_{1} = b_{j} = 1 .

2. \chi_{1} = \chi_{1}^{2} = z_{1} = 1 .

3. Для нормального и логарифмически нормального законов распределений a_{j} = \mu_{j} .

Таблица 57

Формулы для вычисления дисперсий оценок

Закон распределенияФормулы для определения
Экспоненциальный{}^{D}{_{1}^{\widehat{\lambda}^{0}}}^{=} \frac{(\lambda_{1}^{0})^{2}}{\sum_{j = 1}^{l} z_{j}r_{j}}
Вейбуллаформула
Нормальный{}^{D}{_{1}^{\widehat{a}^{0}}}^{=} \frac{1}{\sum_{j = 1}^{l} z_{j}\{ \frac{r_{j}\chi_{j}^{2}}{\sigma_{j}} + \sum_{i = 1}^{n_{j}} \frac{\text{Ф }\prime_{0}\prime_{a1}(\tilde{\tau}_{ij}) \cdot [1 - \text{Ф}_{0}(\tilde{\tau}_{ij})] + [\text{Ф }\prime_{0_{a1}}(\tilde{\tau}_{ij})]^{2}}{[1 - \text{Ф}_{0}(\tilde{\tau}_{ij})]^{2}} \}}

Примечание. Значения \chi_{j} , \chi_{j}^{2} , z_{j} находят по табл. 56.

1.1.3. Точечные оценки показателей надежности по вычисленным точечным оценкам параметров распределений вычисляют по формулам табл. 38 Приложения 5.

1.1.4 Интервальные оценки показателей надежности в случае ТС-1 — ТС-3 вычисляют по приближенным формулам:

\overline{R_{1}} = \widehat{R}_{1} + U_{q} \sqrt{{}^{D}{_{1}^{\widehat{R}}} }^{,}

R_{1} = \widehat{R}_{1} - U_{q} \sqrt{{}^{D}{_{1}^{\widehat{R}}} }^{.}

1.1.5 Дисперсии оценок показателей надежности {}^{D}{_{1}^{\widehat{R}}} вычисляют по формуле:

{}^{D}{_{1}^{\widehat{R}}}^{=}(\frac{\partial R_{1}}{\partial\theta})^{D}{^{\hat{\theta}}}^{,}

где \theta — параметр закона распределения.

1.1.6. Интервальные оценки показателей надежности при ТС-1 вычисляют подстановкой в выражение показателя надежности значений верхней и нижней границ соответствующего параметра.

Если K <= 1, {}_{a_{1} = max}{_{a_{1},a_{2}}} .

Если K >= 1, {}_{a_{2} = max}{_{a_{1},a_{2}}} .

Здесь a_{1} , \overline{a_{1}} — односторонние доверительные границы параметра a, соответствующие доверительной вероятности \sqrt{q} , полученные по основной информации в соответствии с Приложением 5;

a_{2} , \overline{a_{2}} — односторонние доверительные границы, соответствующие доверительной вероятности \sqrt{q} и полученные в соответствии с Приложением 5 по всей совокупности дополнительной информации (см. ТС-1).

1.2 Оценка показателей надежности при ТС-4.

1.2.1 Точечные и интервальные оценки показателей надежности определяют в два этапа:

вычисляют точечные и интервальные оценки вероятности безотказной работы;

вычисляют точечные и интервальные оценки показателей надежности на основе известных оценок вероятности безотказной работы.

1.2.2. В качестве исходной информации для определения оценок показателей надежности используются исходные данные, перечисленные в п. 4.3, или точечные оценки и нижние доверительные границы вероятности безотказной работы \widehat{P}_{j}(t) , P_{j}(t) , (j = \overline{1,r}) полученные по основной и дополнительной информации соответственно.

В последнем случае необходимо провести предварительную обработку исходных данных в соответствии с РД 50-476.

1.2.3 Точечная оценка вероятности безотказной работы определяется по формуле

\widehat{P}_{1}^{0}(t) = W(1 - \frac{d_{1} + d_{2}}{N_{1} + N_{2}}) + (1 - W)(1 - \frac{d_{1}}{N_{1}}),

где

{}_{W = min}{_{W_{1},W_{2}}}_{;}

W_{1} = (\sum_{i = d_{1}}^{\nu} C_{n_{1}}^{i}C_{n_{2}}^{d_{1} + d_{2} - i})/C_{n_{1} + n_{2}}^{d_{1} + d_{2}};

{}_{\upsilon = min}{_{d_{1},n_{1} + n_{2}}}_{;}

W_{2} = (\sum_{i = 0}^{d_{1} - 1} C_{n_{1}}^{i}C_{n_{2}}^{d_{1} + d_{2} - i})/C_{n_{1} + n_{2}}^{d_{1} + d_{2}}.

2. Непараметрические методы оценки

2.1. В качестве исходной информации используют точечные оценки \widehat{R}_{j} (j = \overline{1,l}) показателя надежности и их дисперсии {}^{D}{_{j}^{\widehat{R}}} , полученные по основной дополнительной информации соответственно.

2.2. Точечную оценку показателя надежности \widehat{R}_{1}^{0} и ее дисперсию {}_{D}{_{R_{1}}^{0}} вычисляют по формулам:

\widehat{R}_{1}^{0} = (\sum^{l} j = 1 \frac{\widehat{R}_{j}}{{}^{D}{_{j}^{\widehat{R}}} })^{/}(\sum^{l} j = 1 \frac{1}{{}^{D}{_{j}^{\widehat{R}}} })^{{}^{- 1},}

{}^{D}{_{1}^{\widehat{R}^{0}}}^{=}(\sum_{j = 1}^{l} \frac{1}{{}^{D}{_{j}^{\widehat{R}}} })^{{}^{- 1}.}

2.3. Интервальные оценки показателя надежности R_{1} определяют по формулам п. 1.1.4.

Приложение 7 Рекомендуемое

ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

1. Оценка параметров распределения Вейбулла методом последовательных приближений.

Оценку параметров \hat{a} и \hat{b} вычисляют в соответствии с формулами табл. 41 решением уравнения относительно \hat{b} и последовательности п. п. 1.1 - 1.7:

1.1 Вычисляют коэффициент A:

A = \frac{\sum_{i = 1}^{l} lnt_{i}}{l} ,

где для плана NUNдля планов NUи N NU .Tmrlìï=íïî

1.2 Вычисляют начальное приближение \widehat{b}_{0}

$\widehat{b}{0} = \frac{l + 1}{[A — lnt{1}](0,23l + 3,71)} .$

1.3 Вычисляют следующее приближение \widehat{b}_{k} (k = 1, 2)

\widehat{b}_{k} = (\frac{\sum_{i = 1}^{l} lnt_{i}t_{i}^{\widehat{b}_{k - 1}} + \sum_{j = 1}^{n} ln\tau_{j}\tau_{j}^{\widehat{b}_{k - 1}}}{\sum_{i = 1}^{l} t_{i}^{\widehat{b}_{k - 1}} + \sum_{j = 1}^{n} \tau_{j}^{\widehat{b}_{k - 1}}} - A)^{- 1},

где ;ôTдля плана NUдля плана NUT .rjtrìï=íïî

1.4 Процесс нахождения приближений прекращают при

| \frac{\widehat{b}_{k} - \widehat{b}_{k - 1}}{\widehat{b}_{k - 1}} |<\epsilon.

1.5. Значения \epsilon выбирают из ряда 0,0001; 0,001; 0,01; 0,1. При этом чем точнее результаты испытаний, тем меньше значение \epsilon .

При решении уравнения на ЭВМ значение \epsilon должно быть не менее 0,01.

1.6. Значение \widehat{b}_{k} , отвечающее неравенству 1.4, принимают в качестве оценка параметра \hat{b} .

1.7. Найденную оценку \hat{b} подставляют в выражение для параметра \hat{a} .

2. Оценка параметров нормального распределения методом последовательных приближений.

Уравнение табл. 43 решают в последовательности п. п. 2.1 - 2.5.

2.1 Вычисляют вспомогательные коэффициенты согласно табл. 58.

Таблица 58

КоэффициентПлан испытанийРасчетное выражение
A[NUr], [NUT]\sum_{i = 1}^{m} t_{i} + 0,64(N - m)t_{m}
[NUz]\sum_{i = 1}^{r} t_{i} + 0,64 \sum_{j = 1}^{n} \tau_{j}
B[NUr], [NUT]m + 0,64(N — m)
[NUz]r + 0,64(N — r)
C[NUr], [NUT]\sum_{i = 1}^{m} t_{i}^{2} + 0,64(N - m)t_{m}^{2}
[NUz]\sum_{i = 1}^{r} t_{i}^{2} + 0,64 \sum_{j = 1}^{m} \tau_{j}^{2}
D[NUr], [NUT]0,8(N — m)
[NUz]0,8(N — r)
E[NUr], [NUT]0,8(N - m)t_{m}
[NUz]0,8 \sum_{j = 1}^{n} \tau_{j}

2.2. Вычисляют начальные приближения \widehat{\mu}_{0} и \widehat{\sigma}_{0} для оценок \hat{\mu} и \hat{\sigma} :

\widehat{\sigma}_{0} = \frac{E - A(\frac{D}{B}) + \sqrt{(E - A \frac{D}{B})^{2} + 4m(C - \frac{A}{B})2}}{2m} ;

\widehat{\mu}_{0} = \frac{A}{B} + \frac{D}{B} \widehat{\sigma}_{0}.

2.3 Вычисляют коэффициенты для планов [NUr] или [NUT]:

\Delta_{k} = (N - m)\Delta\prime_{k};

\Delta\prime_{k} = \lambda_{k} - 0,8 - 0,64d_{k};

d_{k} = \frac{t_{m} - \widehat{\mu}_{k - 1}}{\widehat{\sigma}_{k - 1}} ;

\lambda_{k} = \frac{f_{0}(d_{k})}{1 - \text{Ф}_{0}(d_{k})} ;

F_{k} = (N - m)\Delta\prime_{k}t_{m}.

2.4 Вычисляют коэффициенты для плана [NUz]:

\Delta_{k} = \sum_{j = 1}^{m} \Delta_{jk};

\Delta_{jk} = \lambda_{jk} - 0,8 - 0,64d_{jk};

d_{jk} = \frac{\tau_{j} - \widehat{\mu}_{k - 1}}{\widehat{\sigma}_{k - 1}} ;

\lambda_{jk} = \frac{f_{0}(d_{jk})}{1 - \text{Ф}_{0}(d_{jk})} ;

F_{k} = \sum_{j = 1}^{n} \Delta_{jk}\tau_{j}.

2.5. Вычисляют последующие приближения \widehat{\mu}_{k} и \widehat{\sigma}_{k} для оценок \hat{\mu} и \hat{\sigma} :

\widehat{\sigma}_{k} = \frac{E - F_{k} - A(\frac{D + \Delta_{k}}{B}) + \sqrt{[E + F_{k} - A(\frac{D + \Delta_{k}}{B})]^{2} + 4r(C - \frac{A^{2}}{B})}}{2r} ;

\widehat{\mu}_{k} = \frac{A}{B} + (\frac{D + \Delta_{k}}{B})\widehat{\sigma}_{k}.

За оценки параметров \hat{\mu} и \hat{\sigma} принимают значения \widehat{\mu}_{k} и \widehat{\sigma}_{k} , для которых соблюдаются условия:

| \frac{\widehat{\mu}_{k} - \widehat{\mu}_{k - 1}}{\widehat{\mu}_{k - 1}} |<\epsilon и | \frac{\widehat{\sigma}_{k} - \widehat{\sigma}_{k - 1}}{\widehat{\sigma}_{k - 1}} |<\epsilon ,

где \epsilon выбирают из ряда: 0,001; 0,01; 0,05; 0,1.

3. Оценка параметра нормального распределения \widehat{\mu}_{1}^{0}

Уравнения табл. 55 решают в последовательности п. п. 3.1 - 3.3.

3.1 Вычисляют коэффициенты:

A = \sum_{j = 1}^{e} \frac{\chi_{j}}{\sigma_{j}} [\sum_{i = 1}^{r_{j}} t_{ij} + 0,64 \sum_{i = 1}^{n_{j}} \tau_{ij}];

B = \sum_{j = 1}^{e} \frac{\chi_{j}^{2}}{\sigma_{j}^{2}} [r_{j} + 0,64n_{j}];

D = \sum_{j = 1}^{e} \frac{\chi_{j}}{\sigma_{j}} \cdot 0,8n_{j};

\tilde{\tau}_{ijk} = \frac{\tau_{ij} - \chi/\widehat{\mu}_{1,k - 1}}{\sigma_{j}} ;

\lambda_{ijk} = \frac{f_{0}(\tilde{\tau}_{ijk})}{1 - \text{Ф}_{0}(\tilde{\tau}_{ijk})} ;

\Delta_{ijk} = \lambda_{ijk} - 0,8 - 0,64\tilde{\tau}_{ijk};

\Delta_{k} = \sum_{j = 1}^{e} \frac{\chi_{j}}{\sigma_{j}} \sum_{i = 1}^{n_{j}} \Delta_{ijk} , \Delta_{ij}[0] = 0 .

3.2 Вычисляют начальное приближение

\widehat{\mu}_{1}^{0} = \frac{A}{B} + \frac{D}{B} \sigma_{1}.

Вычисляют последующие приближения:

\widehat{\mu}_{1k}^{0} = \frac{A}{B} + \frac{D + \Delta_{k}}{B} \sigma_{1}.

3.3. За оценку параметра \widehat{\mu}_{1}^{0} принимают значение \widehat{\mu}_{1k}^{0} , для которого соблюдается условие

| \frac{\widehat{\mu}_{1k}^{0} - \widehat{\mu}_{1,k - 1}^{0}}{\widehat{\mu}_{1,k - 1}^{0}} |<\epsilon,

где \epsilon выбирают из ряда: 0,001; 0,01; 0,05; 0,1.

4. Значения \lambda(z) приведены в табл. 74 Приложения 9.

Приложение 8 Рекомендуемое

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ В СЛУЧАЕ БИНОМИАЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ

1. Точечную оценку вероятности безотказной работы \hat{P}(T) за наработку (время) T вычисляют по формуле:

\hat{P}(T) = 1 - \frac{d}{N} .

2. Интервальные оценки вероятности безотказной работы за наработку T.

2.1. Нижнюю доверительную границу вероятности безотказной работы P(T) за наработку T уровня q вычисляют по приближенным формулам:

P(T) = exp[ - \chi_{q}^{2}(2d + 2)/2K_{2}(N,d + 1)] , d \leq \frac{N}{2} ;

P(T) = 1 - exp[ - \chi_{1 - q}^{2}[2(N - d)]/2K_{2}(N,N - d)] , d> \frac{N}{2} .

Значения K_{2}(N,m) определяют по табл. 75 Приложения 9.

Значения \chi_{p}^{2}(m) определяют по табл. 68 Приложения 9.

2.2. Верхнюю доверительную границу вероятности безотказной работы \overline{P}(T) за наработку T уровня q вычисляют по приближенным формулам:

\overline{P}(T) = exp[ - \chi_{1 - q}^{2}(2d)/2K_{2}(N,d)] , d \leq \frac{N}{2} ;

\overline{P}(T) = 1 - exp[ - \chi_{q}^{2}[2(N - d + 1)]/2K_{2}(N,N - d + 1)] , d> \frac{N}{2} .

Приложение 9 Справочное

ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

Таблица 59

x e^{x} e^{- x}
0, 00 1,0000 1,0000 


01
1,0101





02
1,0202
0,9802





03
1,0305
0,9704





04
1,0408
0,9608




0,
05
1,0513
0,9512







06
1,0618





07
1,0725
0,9324





08
1,0833
0,9231





09
1,0942
0,9139




0,
10
1,1052
0,9048







11
1,1163





12
1,1275
0,8869





13
1,1388
0,8781





14
1,1503
0,8694




0,
15
1,1618
0,8607







16
1,1835





17
1,1853
0,8437





18
1,1972
0,8353





19
1,2092
0,8270




0,
20
1,2214
0,8187







21
1,2337





22
1,2461
0,8025





23
1,2586
0,7945





24
1,2712
0,7866




0,
25
1,2840
0,7788







26
1,2969





27
1,3100
0,7634





28
1,3231
0,7558





29
1,3364
0,7483




0,
30
1,3499
0,7408







31
1,3634





32
1,3771
0,7261





33
1,3910
0,7189





34
1,4049
0,7118




0,
35
1,4191
0,7047







36
1,4333





37
1,4477
0,6907





38
1,4623
0,6839





39
1,4770
0,6771




0,
40
1,4918
0,6703







41
1,5068





42
1,5220
0,6570





43
1,5373
0,6505





44
1,5227
0,6440




0,
45
1,5683
0,6376







46
1,5841





47
1,6000
0,6250





48
1,6161
0,6188





49
1,6323
0,6126




0,
50
1,6487
0,6065







51
1,6658





52
1,6820
0,5945





53
1,6989
0,5886





54
1,7160
0,5827




0,
55
1,7333
0,5769







56
1,7507





57
1,7683
0,5655





58
1,7860
0,5599





59
1,8040
0,5543




0,
60
1,8221
0,5488







61
1,8404





62
1,8589
0,5379





63
1,8776
0,5326





64
1,8965
0,5273




0,
65
1,9155
0,5220







66
1,9348





67
1,9542
0,5117





68
1,9739
0,5066





69
1,9937
0,5016




0,
70
2,0138
0,4966







71
2,0340





72
2,0544
0,4868





73
2,0751
0,4819





74
2,0959
0,4771




0,
75
2,1170
0,4724







76
2,1383





77
2,1598
0,4630





78
2,1815
0,4584





79
2,2034
0,4538




0,
80
2,2255
0,4493







81
2,2479





82
2,2705
0,4404





83
2,2933
0,4360





84
2,3164
0,4317




0,
85
2,3396
0,4274







86
2,3632





87
2,3869
0,4190





88
2,4109
0,4148





89
2,4351
0,4107




0,
90
2,4596
0,4066







91
2,4843





92
2,5093
0,3985





93
2,5345
0,3946





94
2,5600
0,3906




0,
95
2,5857
0,3867







96
2,6117





97
2,6379
0,3791





98
2,6645
0,3753





99
2,6912
0,3716




1,
00
2,7183
0,3679







01
2,7456





02
2,7732
0,3606





03
2,8011
0,3570





04
2,8292
0,3535




1,
05
2,8577
0,3499







06
2,8864





07
2,9154
0,3430





08
2,9447
0,3396





09
2,9743
0,3362




1,
10
3,0042
0,3329







11
3,0344





12
3,0649
0,3263





13
3,0957
0,3230





14
3,1268
0,3198




1,
15
3,1582
0,3166







16
3,1899





17
3,2220
0,3140





18
3,2544
0,3073





19
3,2871
0,3042




1,
20
3,3201
0,3012







21
3,3535





22
3,3872
0,2952





23
3,4212
0,2923





24
3,4556
0,2894




1,
25
3,4903
0,2865







26
3,5254





27
3,5609
0,2808





28
3,6328
0,2753




1,
30
3,6693
0,2725







31
3,7062





32
3,7434
0,2671





33
3,7810
0,2645





34
3,8190
0,2618




1,
35
3,8574
0,2592







36
3,8962





37
3,9354
0,2541





38
3,9749
0,2516





39
4,0149
0,2491




1,
40
4,0552
0,2466







41
4,0960





42
4,1371
0,2417





43
4,1787
0,2393





44
4,2207
0,2369




1,
45
4,2631
0,2346







46
4,3060





47
4,3492
0,2299





48
4,3929
0,2276





49
4,4371
0,2254




1,
50
4,4817
0,2231







51
4,5267





52
4,5722
0,2187





53
4,6182
0,2165





54
4,6646
0,2144




1,
55
4,7115
0,2122







56
4,7588





57
4,8066
0,2080





58
4,8550
0,2060





59
4,9037
0,2039




1,
60
4,9530
0,2019







65
5,2070





70
5,4739
0,1827





75
5,7546
0,1738





80
6,0496
0,1653




1,
85
6,3598
0,1572







90
6,6859





95
7,0287
0,1423





00
7,3891
0,1353





05
7,7679
0,1287




2,
10
8,1662
0,1226







15
8,5849





20
9,0250
0,1108





25
9,4877
0,1054





30
9,9742
0,1003




2,
35
10,4860
0,0954







40
11,0230





45
11,5880
0,0863





50
12,1820
0,0821





55
12,8070
0,0781




2,
60
13,4640
0,0743







65
14,1540





70
14,8800
0,0672





75
15,6430
0,0639





80
16,4450
0,0608




2,
85
17,2880
0,0573







90
18,1740





95
19,1060
0,0523





00
20,0860
0,0498





05
21,1150
0,0474




3,
10
22,1980
0,0451







15
23,3360





20
24,5330
0,0408





25
25,7800
0,0388





30
27,1130
0,0369




3,
35
28,5030
0,0351







40
29,9640





45
31,5000
0,0318





50
33,1150
0,0302





55
34,8130
0,0287




3,
60
36,5980
0,0273







65
38,4750





70
40,4470
0,0247





75
42,5210
0,0235





80
44,7010
0,0224




3,
85
46,9930
0,0213




3,
90
49,4020
0,0202




3,
95
51,9350
0,0192




4,
00
54,5980
0,0183




4,
50
90,017
0,0111




5,
0
148,41
0,006740




5,
5
244,69
0,004090




6,
0
403,43
0,002479




6,
5
665,14
0,001503




7,
0
1096,60
0,000912




7,
5
1808,00
0,000553




8,
0
2981,00
0,000335




8,
5
4914,80
0,000203




9,
0
8103,10
0,000123




9,
5
13360,00
0,000075




10,
0
22026,00
0,000045






Примечание. Для x < 0,01


 e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} ;


 e^{- x} = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} или e^{- x}@ \frac{2 - x}{2 + x} .


Таблица 60


Функция нормального распределения
\text{Ф}_{0}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{- \infty}^{x} e^{- y^{2}/2}dy






x
0,
1,
2,
3,






,00
0,500
0,841
0,9777
0,92865




,05
520
853
789
886




,10
540
864
821
0,93032




,15
560
875
842
184




,20
573
885
861
313




,25
599
894
878
423




,30
618
0,9032
893
517




,35
637
115
906
596




,40
655
192
0,92180
663




,45
674
265
286
720




,50
692
332
379
767




,55
709
394
461
807




,60
726
452
534
841




,65
742
505
589
860




,70
758
554
653
892




,75
773
599
702
912




,80
788
641
745
0,94277




,85
802
678
781
409




,90
816
713
813
519




,95
829
744
841
609






Примечание. Символ 0,9^{k}a означает формула соответственно.


Например, 0,9^{4}277 = 0,9999277 .


Таблица 61


Значения гамма-функции Г(x)





xГ(x)


1,001,00000


010,99433


020,98884


030,98355


040,97814


1,050,97350


060,96874


070,96415


080,95973


090,95546


1,100,95135


110,94740


120,94359


130,93993


140,93642


1,150,93304


160,92980


170,92670


180,92373


190,92089


1,200,91817


210,91558


220,91311


230,91075


240,90852


250,90640


1,260,90440


270,90250


280,90072


290,89904


1,300,89747


310,89600


320,89464


330,89338


340,89222


1,350,89115


360,89018


370,88931


1,380,88854


300,88785


1,400,88726


410,88676


420,88636


430,88604


440,88581


1,450,88566


460,88560


470,88563


480,88575


490,88595


500,88623


1,510,88659


520,88704


530,88757


540,88818


1,550,88887


560,88964


570,89049


580,89142


590,89243


1,600,89352


610,89468


620,89592


630,89724


640,89864


1,650,90012


660,90167


670,90330


680,90500


690,90678


1,700,90864


710,91057


720,91258


730,91467


740,91683


1,750,91906


760,92137


770,92376


780,92623


790,92877


1,800,93138


810,93408


820,93685


830,94261


840,93969


1,850,94561


860,94869


870,95184


880,95507


890,95838


1,900,96177


910,96523


920,96877


930,97240


940,97610


1,950,97988


960,98374


970,98768


980,99171


990,99581


2,001,00000




Таблица 62


Коэффициенты для нахождения линейных оценок параметров
закона распределения Вейбулла (N <= 6)





NrЧередование отказов и цензурированийiA_{i}C_{i}PL


12345678


22010,110731-0,4213830,0375740,415839


020,8892690,421383


33010,081063-0,278686-0,0184210,256346


020,250001-0,190239


030,6679360,468904


3201-0,168001-0,4521100,2575090,450055


0,121,1680010,452110


0,110,069301-0,3823260,1421110,369957


020,9306990,382326


44010,064336-0,203052-0,0283120,183861


020,147340-0,182749


030,261510-0,070109


040,5268130,455910


4301-0,044975-0,2976510,0847750,281729


020,088057-0,234054


0,130,9569180,531705


4201-0,346974-0,4654550,4135080,464387


0,221,3469740,465455


4301-0,012081-0,2640790,0529600,247855


0,120,299303-0,164524


030,7127770,428603


430,110,074005-0,2660860,0205930,230218


020,212711-0,167706


030,7132840,433792


420,11-0,181349-0,4213830,3258110,415839


0,121,1813490,421383


420,210,045963-0,3574070,2000740,339370


020,9540370,357407


55010,052975-0,158131-0,0291350,142842


020,103531-0,155707


030,163808-0,111820


040,246092-0,005600


050,4335930,431259


5401-0,006983-0,2177660,0307630,202418


020,059652-0,199351


030,156664-0,118927


0,140,7906680,536044


5301-0,137958-0,3065620,1661280,294191


02-0,025510-0,257087


0,231,1634680,563650


5201-0,481434-0,4729620,5337910,472308


0,320,4814340,472962


54010,006272-0,1998270,0184080,184873


020,071450-0,185334


0,130,358861-0,031785


040,5634170,416946


54010,019987-0,1875580,0054190,172571


0,120,177372-0,175573


030,288100-0,066223


040,5745400,429354


5301-0,112966-0,2869140,1413660,274164


0,120,136485-0,206143


0,130,9765010,493057


540,110,065888-0,200080-0,0085240,168180


020,126234-0,166466


030,244926-0,061631


040,5629520,428178


530,11-0,047745-0,2865090,1114110,259402


020,065149-0,212927


0,130,9825960,499436


520,11-0,350815-0,4405530,4615760,437384


0,221,3503150,440553


5301-0,072305-0,2517740,1017180,238717


0,220,328610-0,150289


030,7436940,402063


530,210,068985-0,2567140,0444230,211617


020,187762-0,152185


030,7432530,408898


520,21-0,190188-0,3992970,3690560,390213


0,121,1901880,399297


530,11-0,012089-0,2557850,0776860,227980


0,120,271262-0,148321


030,7408270,404106


520,310,030761-0,3395520,2367400,316889


020,9692390,339552


66010,044826-0,128810-0,0277150,116576


020,079377-0,132102


030,117541-0,111951


040,163591-0,064666


050,2264860,031796


060,3681790,405733


640,110,008831-0,1977520,0319810,171998


020,058664-0,172042


0,130,345722-0,026586


040,5867830,396381


640,110,023519-0,1863030,0186050,160547


0,120,160097-0,162342


030,216754-0,059748


040,5996290,408393


630,11-0,112093-0,2786660,1592630,256346


0,120,119136-0,190239


0,130,9929550,468904


6401-0,036039-0,1956360,0541100,183434


020,017906-0,184670


0,230,426864-0,011361


0,5912690,391668


6401-0,009765-0,1753720,0288750,163138


0,220,195808-0,171222


030,204217-0,062816


040,6096410,409410


6301-0,161756-0,2774430,1832540,266813


0,220,170932-0,187928


0,130,9908240,465371


640,210,066540-0,1974100,0046570,156421


020,111241-0,154334


030,233432-0,055395


040,5887870,407139


630,21-0,049611-0,2777280,1287920,242259


020,049304-0,197163


0,131,0003070,474890


620,21-0,352206-0,4213830,4944200,415839


0,221,3522060,421383


630,11-0,069401-0,2459650,1184520,223278


0,220,306555-0,137608


030,7628460,383573


630,21-0,012161-0,2491330,0940170,213013


0,120,251241-0,136313


030,7609200,385446


6301-0,114799-0,2414330,1372670,230648


0,320,348115-0,348115


030,7666830,382692


630,310,065156-0,2493130,0602900,197481


020,170061-0,140648


030,7647830,389961


620,31-0,195708-0,3823260,3985460,369957


0,121,1957080,382326


620,410,019977-0,3258600,2618170,299366


020,9800230,325860


65010,007521-0,1699200,0088800,156905


020,048328-0,166319


030,101608-0,129510


040,172859-0,054453


0,150,6696850,520201


6401-0,063569-0,2251410,080350,212422


02-0,006726-0,209083


030,079882-0,146386


0,240,9904120,580610


6301-0,211474-0,3118470,2326960,301732


02-0,112994-0,271381


0,331,3244680,583229


6201-0,588298-0,4777820,6314890,477340


0,421,5882980,477782


65010,013939-0,1591490,0299840,146562


020,054654-0,156823


030,106415-0,123795


0,140,3626190,046088


050,4623730,393678


65010,020733-0,150942-0,0033020,138563


020,061138-0,149874


0,130,221969-0,098017


040,221097-0,011326


050,4750630,410160


6401-0,053485-0,2150200,0706680,202429


020,002117-0,200832


0,130,244120-0,078892


0,140,8072480,494744


65010,027683-0,145994-0,0098230,133605


0,120,126713-0,156106


030,140815-0,103496


040,231656-0,004763


050,4731330,410358


6401-0,040673-0,2052810,3047160,192644


0,120,086730-0,190784


030,130920-0,112078


0,140,8230230,508143


6301-0,190667-0,2978880,2119100,287517


0,120,021498-0,231059


0,231,1691680,528947


650,110,056925-0,158875-0,0174330,132694


020,091381-0,144922


030,1506810,102910


040,239715-0,002716


050,4619280,409423


630,11-0,137983-0,2969280,1846920,275156


02-0,039253-0,238187


0,231,1772360,535115


640,11-0,005788-0,2145360,0449420,188056


020,046557-0,184705


030,143920-0,108911


0,140,8153110,508151


620,11-0,479380-0,4521100,5694640,450055


0,321,4793800,452110


6401-0,025177-0,1876060,0436070,175361


0,120,099938-0,178787


0,130,328356-0,031369


040,5968830,397762




Примечания:


1. В графе 3: 0 — отказ; 1, 2, 3, 4, 5 — цензурирования.


2. Коэффициенты A_{i} , C_{i} , P, L определяют в зависимости от чередования отказов и цензурирований: наработки до отказа и до цензурирования выстраивают в общий вариационный ряд по возрастанию наработок; каждому отказу присваивают символ 0; каждое цензурирование совмещают с ближайшим предшествующим в вариационном ряду отказом; группе цензурирований (одному или нескольким), совмещенных с рассматриваемым отказом, присваивают символ 1,..., 5, равный числу цензурирований; последовательность символов 0 и 1,..., 5 образует чередование отказов и цензурирований.


Таблица 63


Коэффициенты A_{i} , C_{i} для определения точечных оценок параметров
распределения Вейбулла (N <= 15)





NrA_{i}C_{i}


210,110731-0,421383


20,8892690,421383


31-0,166001-0,452110


21,1660010,452110


310,081063-0,278666


20,251001-0,190239


30,6679360,468904


41-0,346974-0,465455


21,3469740,465455


41-0,044975-0,297651


20,088057-0,234054


30,9569180,531705


410,64336-0,203052


20,147340-0,182749


30,261510-0,070109


40,5268130,455910


51-0,481434-0,472962


21,4814340,472962


51-0,137958-0,306562


2-0,025510-0,257087


31,1634680,563650


51-0,006983-0,217766


20,059652-0,199351


30,156664-0,118927


40,7906680,536044


510,052975-0,158131


20,103531-0,155707


30,163808-0,111820


40,246092-0,005600


50,4335930,431259


61-0,588298-0,477782


21,5882980,477782


61-0,211474-0,311847


2-0,112994-0,271381


31,3244680,583229


61-0,063569-0,225141


2-0,006726-0,209083


30,079882-0,146386


40,9904120,580610


610,007521-0,169920


20,048328-0,166319


30,101607-0,129510


40,172859-0,054453


50,6696950,520201


610,044826-0,128810


20,079377-0,132102


30,117541-0,111951


40,163591-0,064666


50,2264860,031796


60,3681790,405733


71-0,676894-0,481140


21,6768940,481140


71-0,272195-0,315309


2-0,184061-0,281139


31,4562550,596507


71-0,110274-0,229091


2-0,060226-0,215613


30,018671-0,164168


41,1518290,609472


71-0,030368-0,176203


20,004333-0,172399


30,052957-0,141218


40,117599-0,982820


50,8554800,572640


710,013524-0,138436


20,041588-0,140342


30,075499-0,121821


40,117461-0,082938


50,172092-0,015394


60,5798350,498931


710,38743-0,108323


20,064086-0,113479


30,090785-0,103569


40,120971-0,078748


50,157657-0,032632


60,2078250,054727


70,3199340,382022


81-0,752513-0,483616


21,7525130,483616


81-0,323876-0,317890


2-0,243808-0,288231


31,5676830,806120


81-0,149973-0,232805


2-0,105015-0,220324


3-0,032357-0,176575


41,2872450,629805


81-0,062656-0,180231


2-0,032248-0,176510


30,012767-0,149566


40,072446-0,101642


51,0096910,607948


81-0,013509-0,143834


20,010292-0,145006


30,041357-0,128393


40,080475-0,095696


50,130327-0,043280


60,7510580,556209


810,015973-0,116317


20,036729-0,120331


30,060439-0,110582


40,088239-0,088450


50,122062-0,050995


60,1655290,009700


70,5110300,476975


810,034052-0,093270


20,053552-0,098886


30,073452-0,093994


40,095062-0,079752


50,119768-0,053918


60,149934-0,010179


70,1912360,069325


80,2829430,360675


91-0,818444-0,485517


21,8184440,485517


91-0,368833-0,319786


2-0,295280-0,293621


31,6641130,613407


91-0,184461-0,235080


2-0,143505-0,273891


3-0,075815-0,185970


41,4037810,644941


91-0,090726-0,183061


2-0,063541-0,179515


3-0,021495-0,155825


40,034159-0,115133


51,1416040,633534


91-0,037118-0,147411


2-0,016377-0,148150


30,012499-0,133219


40,049305-0,105060


50,095614-0,062073


60,8960780,595913


91-0,004220-0,120988


20,013386-0,124245


30,035068-0,115091


40,061198-0,095508


50,093013-0,064162


60,132740-0,017187


70,6683150,537180


910,016797-0,100011


20,032919-0,104750


30,050582-0,099608


40,070497-0,086226


50,093635-0,063541


60,121560-0,028346


70,1571750,026525


80,4568360,455956


910,030338-0,081777


20,045872-0,087308


30,061368-0,085084


40,077742-0,076470


50,095769-0,060667


60,116517-0,035136


70,1419320,006001


80,1767640,078828


90,2536970,341614


101-0,876869-0,487022


21,8768690,487022


101-0,408602-0,321265


2-0,340443-0,297858


31,7490450,619124


101-0,214930-0,236817


2-0,177223-0,226688


3-0,113820-0,193159


41,5059730,656663


101-0,115524-0,185169


2-0,090868-0,181821


3-0,051341-0,160697


40,000925-0,125311


51,2568090,652997


101-0,058017-0,149985


2-0,039595-0,150451


3-0,012513-0,136941


40,022314-0,112224


50,022062-0,075721


61,0657500,625321


101-0,022198-0,124170


2-0,006909-0,126894


30,013224-0,118392


40,037994-0,100924


50,068153-0,073988


60,105064-0,035501


70,8045720,579868


1010,001179-0,104082


20,014869-0,108163


30,030998-0,103119


40,049734-0,090835


50,071745-0,070902


60,098114-0,041560


70,1306490,000799


8-0,6026920,517864


1010,016841-0,087538


20,029807-0,092405


30,043570-0,089839


40,058640-0,081428


50,075576-0,066855


60,095169-0,044670


70,118707-0,011816


80,1485750,038159


90,4131160,436394


1010,027331-0,072734


20,040034-0,077971


30,052496-0,077242


40,065408-0,071876


50,072963-0,061652


60,094638-0,045420


70,112414-0,020698


80,1342390,017927


90,1641780,085070


100,2300010,324597


111-0,929310-0,488243


21,9293100,488243


111-0,444245-0,322452


2-0,380642-0,301277


31,8248870,623729


111-0,242206-0,238188


2-0,207204-0,228941


3-0,147490-0,198888


41,5969000,666017


111-0,137718-0,186803


2-0,115110-0,183651


3-0,077762-0,164597


4-0,028411-0,133278


51,3590000,668329


111-0,076739-0,151936


2-0,060142-0,152227


3-0,034581-0,139907


4-0,001490-0,117886


50,039518-0,086311


61,1331340,648081


111-0,038849-0,126507


2-0,024842-0,128838


3-0,005964-0,120951


40,017632-0,105219


50,046354-0,081602


60,081182-0,018929


70,9239870,612017


111-0,012943-0,106922


2-0,001050-0,110198


30,013809-0,105662


40,031661-0,094405


50,052723-0,076693


60,077815-0,051525


70,108161-0,016860


80,7297650,562564


1110,004425-0,091125


20,015498-0,095437


30,028073-0,092780


40,042178-0,084833


50,058340-0,071581


60,077093-0,052182


70,099349-0,024880


80,1265920,013606


90,5485020,499201


1110,016502-0,077717


20,027205-0,082449


30,038291-0,081388


40,050160-0,075977


50,063170-0,066222


60,077772-0,030120


70,1148110,000537


80,094625-0,051429


90,1403330,046381


100,3771300,418384


1110,024850-0,065444


20,035456-0,070318


30,045727-0,070456


40,056215-0,067076


50,067261-0,060207


60,079220-0,049800


70,092560-0,033156


80,108034-0,009427


90,1270880,026879


100,1531970,089148


110,2104120,309357


121-0,976872-0,489254


21,9768720,459254


121-0,476530-0,323426


2-0,416886-0,301093


31,8933670,627519


121-0,266888-0,239300


2-0,234180-0,230796


3-0,177681-0,202362


41,6787490,673657


121-0,157792-0,188109


2-0,136884-0,185142


3-0,101445-0,167790


4-0,054640-0,139623


51,4507610,689734


121-0,093679-0,153471


2-0,078561-0,153632


3-0,054320-0,142329


4-0,022769-0,122474


50,016136-0,094355


61,2331930,666261


121-0,052987-0,128808


2-0,040893-0,130339


3-0,023072-0,123007


4-0,000515-0,108712


50,026960-0,087681


60,059918-0,059256


71,0306200,637307


121-0,025785-0,109045


2-0,015312-0,112242


3-0,001353-0,107627


40,015634-0,097267


50,035853-0,081361


60,059835-0,059315


70,088444-0,029900


80,8426540,586748


121-0,006944-0,093650


20,002669-0,097540


30,014239-0,094893


40,027669-0,087418


50,043189-0,075371


60,061225-0,058180


70,082441-0,034802


80,107856-0,003342


90,6676550,545234


1210,006411-0,080881


20,015598-0,085171


30,025675-0,083952


40,036799-0,078714


50,049211-0,069510


60,063256-0,056237


70,079438-0,037675


80,098522-0,012272


90,1217520,022956


100,5033380,481555


1210,015982-0,069798


20,024997-0,074285


30,034156-0,074131


40,043790-0,070617


50,054149-0,063891


60,065515-0,033621


70,078264-0,039034


80,692958-0,018718


90,1105210,009948


100,1326660,052280


110,3470030,401864


1210,022771-0,059449


20,031776-0,063952


30,040408-0,064601


40,059122-0,052489


50,058175-0,057754


60,067800-0,050137


70,078281-0,039010


80,090017-0,023199


90,103664-0,000505


100,1204750,033695


110,1435660,091751


120,1939170,295648


131-1,020378-0,490105


22,0203780,490105


131-0,506034-0,324239


2-0,449735-0,306454


31,9557650,630694


131-0,289420-0,240219


2-0,258687-0,232349


3-0,205024-0,207450


41,7531310,680018


131-0,176109-0,189177


2-0,156637-0,186381


3-0,122893-0,170454


4-0,078337-0,144971


51,5339760,690983


131-0,109140-0,154711


2-0,0925246-0,154785


3-0,072165-0,144347


4-0,041997-0,126268


5-0,004940-0,101028


61,3234880,681140


131-0,066358-0,129743


2-0,055414-0,131538


3-0,038503-0,124701


4-0,16879-0,111609


50,009416-0,092649


60,040810-0,067475


71,1269300,657714


131-0,037540-0,110705


2-0,028206-0,113563


3-0,015049-0,109206


40,001231-0,099644


50,020686-0,085201


60,043677-0,065581


70,070830-0,039995


80,9443720,623896


131-0,017389-0,095590


2-0,008934-0,099109


30,001863-0,096521


40,014684-0,089554


50,029657-0,078690


60,047027-0,063068


70,067346-0,042307


80,091328-0,015928


90,7744370,580865


131-0,002927-0,083170


20,005067-0,087085


30,014356-0,057928


40,024891-0,080789


50,036816-0,072325


60,050389-0,060181


70,065995-0,043768


80,084201-0,022048


90,1068630,006715


100,6153480,528441


1310,007623-0,072617


20,015408-0,076746


30,023732-0,076418


40,032743-0,072938


50,042611-0,066531


60,053556-0,057014


70,065876-0,043886


80,080005-0,026244


90,096594-0,002552


100,1167030,029910


110,4651430,465037


1310,015382-0,063288


20,023100-0,067492


30,030881-0,067892


40,038824-0,065622


50,047302-0,060887


60,056414-0,053540


70,066482-0,043158


80,077739-0,028970


90,090699-0,009644


100,1061660,017233


110,1256270,056547


120,3214160,386713


1310,021005-0,054436


20,028757-0,058585


30,036127-0,059535


40,045501-0,058259


50,051078-0,054942


60,059028-0,049472


70,067533-0,041505


80,076831-0,030395


90,087274-0,015037


100,0994410,006644


110,1144460,038943


120,1350680,093324


130,1799130,283257


141-1,060461-0,490831


22,0604610,490831


141-0,533158-0,324929


2-0,479874-0,808462


32,0130580,633913


141-0,310144-0,240992


2-0,281132-0,233670


3-0,229990-0,210735


41,3212360,685397


141-0,192947-0,190068


2-0,174709-0,187427


3-0,142478-0,172710


4-0,099930-0,049393


51,6100650,699598


141-0,123352-0,155736


2-0,110490-0,155747


3-0,088443-0,146054


4-0,059523-0,129460


5-0,024111-0,105556


61,4059190,693553


141-0,070656-0,130915


2-0,068666-0,152521


3-0,052554-0,126128


4-0,031776-0,114051


5-0,006522-0,096788


60,0234670,074184


71,2147081,674581


141-0,048365-0,112041


2-0,039964-0,114637


3-0,027495-0,110509


40,011849-0,101635


50,006905-0,088122


60,029002-0,070735


70,054897-0,048074


81,0368680,646052


141-0,027030-0,097117


2-0,019516-0,100334


3-0,009363-0,097827


40,002928-0,091298


50,017368-0,081103


60,034165-0,067124


70,063685-0,048921


80,076476-0,025720


90,3712870,609445


141-0,011580-0,084931


2-0,004548-0,088528


30,004100-0,087207


40,014144-0,082451


50,025647-0,074573


60,038794-0,063473


70,053879-0,048768


80,071335-0,029776


90,091783-0,005398


100,7164450,565105


141-0,000170-0,074686


20,006622-0,078499


30,014283-0,078064


40,022800-0,074680


50,032273-0,068624


60,042866-0,059816


70,054817-0,047926


80,068463-0,032355


90,084290-0,012126


100,103025-0,014349


110,5707310,512429


1410,008361-0,065816


20,015058-0,069728


30,022076-0,069962


40,029552-0,067659


50,037615-0,056130


60,046411-0,056130


70,056132-0,046558


80,067039-0,033834


90,079506-0,017101


100,0910960,005064


110,1117230,035156


120,4324310,449638


1410,014760-0,057849


20,021453-0,061764


30,028064-0,062606


40,034842-0,061074


50,041933-0,057693


60,049474-0,052317


70,057619-0,044707


80,066569-0,034420


90,076605-0,020713


100,088151-0,002338


110,101914-0,022943


120,1192000,059643


130,2994160,372795


1410,019487-0,050186


20,026238-0,054008


30,032614-0,055130


40,038947-0,054419


50,045399-0,052075


60,052097-0,048066


70,059168-0,042197


80,066767-0,034099


90,075102-0,023149


100,084482-0,008285


110,0954280,012430


120,1089420,043015


130,1275230,094166


140,1678070,272004


151-1,097617-0,491458


22,0976170,491458


151-0,558336-0,325521


2-0,607671-0,310191


32,0660070,635712


151-0,329324-0,241651


2-0,301829-0,234807


3-0,252948-0,213548


41,8841010,690005


151-0,136198-0,156597


2-0,124518-0,156563


3-0,103401-0,147517


4-0,075614-0,132182


5-0,041680-0,111215


61,4817120,704074


151-0,208525-0,190823


2-0,191357-0,188323


3-0,160491-0,174645


4-0,119748-0,153153


51,6891210,706944


151-0,090036-0,131891


2-0,080850-0,133342


3-0,065446-0,127335


4-0,045441-0,116138


5-0,021137-0,100291


60,007597-0,079774


71,2953120,688771


151-0,058390-0,113143


2-0,050767-0,115520


3-0,038897-0,111607


4-0,023825-0,103332


5-0,005717-0,091156


60,015565-0,075053


70,040351-0,054703


81,1216800,664514


151-0,035972-0,098361


2-0,029235-0,101322


3-0,019633-0,098904


4-0,007812-0,092773


50,006156-0,083327


60,022403-0,070544


70,041203-0,054142


80,062969-0,033595


90,959920-0,632957


151-0,019626-0,086339


2-0,013383-0,089664


3-0,005271-0,088341


40,004351-0,083828


50,015475-0,076474


60,028227-0,066261


70,042832-0,052943


80,059624-0,036054


90,079072-0,014863


100,808700-0,594768


151-0,007450-0,076297


2-0,001467-0,079835


30,005652-0,079332


40,013759-0,076068


50,022893-0,070355


60,033174-0,062181


70,044787-0,051331


80,057997-0,037396


90,073180-0,19723


100,0908650,002701


110,6666100,549817


1510,001756-0,067695


20,007624-0,071342


30,014079-0,071459


40,021133-0,069178


50,028861-0,064779


60,037374-0,058256


70,046822-0,049425


80,057431-0,037926


90,069479-0,023180


100,083393-0,004280


110,0997990,020236


120,5322430,497284


1510,008779-0,060130


20,014620-0,063805


30,020637-0,064394


40,026961-0,062900


50,033693-0,059574


60,040939-0,054417


70,048828-0,047269


80,057528-0,037821


90,067265-0,025565


100,078368-0,009694


110,0913300,011113


120,1069470,039155


130,4041060,435302


1510,014143-0,053241


20,020013-0,056789


30,025750-0,057827


40,031576-0,056973


50,037611-0,054542


60,043958-0,050539


70,050725-0,044833


80,058045-0,037157


90,066092-0,027072


100,075114-0,013872


110,085490-0,003612


120,0973440,027465


130,1133400,061879


140,2802980,359950


1510,013170-0,046538


20,024108-0,050064


30,029685-0,051279


40,035191-0,050957


50,040762-0,049298


60,046496-0,046315


70,052488-0,041899


80,058844-0,035827


90,065696-0,027731


100,073230-0,017008


110,081725-0,002653


120,0916510,017156


130,1039140,016191


140,1207840,094483


150,1572550,261738




Таблица 64


Коэффициенты \alpha_{i} , \beta_{i} для определения точечных оценок
параметров нормального распределения





Nr\alpha_{i}\beta_{i}


210,5000-0,8862


20,50000,8862


310,0000-1,1816


21,00001,1816


310,3333-0,5908


20,33330,0000


30,33330,5908


41-0,4056-1,3654


21,40561,3654


410,1161-0,6971


20,2408-0,1268


30,64310,8239


410,2500-0,4539


20,2500-0,1102


30,25000,1102


40,25000,4539


51-0,7411-1,4971


21,74111,4971


51-0,0638-0,7696


20,1498-0,2121


30,91390,9817


510,125-0,5117


20,183-0,1668


30,21470,0274


40,47710,6511


510,2000-0,3724


20,2000-0,1352


30,20000,0000


40,20000,1352


50,20000,3724


61-1,0261-1,5988


22,02611,5988


61-0,2159-0,8244


20,0649-0,2760


31,15111,1004


610,0185-0,5528


20,1226-0,2091


30,1761-0,0290


40,68280,7909


610,1183-0,4097


20,1510-0,1685


30,1680-0,0406


40,18280,0740


50,37990,5448


610,1667-0,3175


20,1667-0,1386


30,1667-0,0432


40,1667-0,0432


50,16670,1386


60,16670,3175


71-1,2733-1,6812


22,27331,6812


71-0,3474-0,8682


2-0,0135-0,3269


31,36091,1951


71-0,0738-0,5848


20,0677-0,2428


30,1375-0,0717


40,86860,8994


710,0465-0,4370


20,1072-0,1943


30,13750,0718


40,16260,0321


50,54620,6709


710,1088-0,3440


20,1295-0,1610


30,1400-0,0681


40,14870,0114


50,15710,0901


60,31590,4716


710,1429-0,2778


20,1429-0,1351


30,1429-0,0625


40,14290,0000


50,14290,0625


760,14290,1351


70,14290,2778


81-1,4915-0,7502


22,49151,7502


81-0,4632-0,9045


2-0,0855-0,3690


31,54871,2735


81-0,1549-0,6100


20,0176-0,2770


30,1001-0,1061


41,03720,9878


81-0,0167-0,4586


20,0617-0,2156


30,1084-0,0970


40,14130,0002


50,69930,7709


810,0569-0,3638


20,0962-0,1788


30,1153-0,0881


40,1309-0,0132


50,14510,0570


60,45550,5868


810,0997-0,2978


20,1139-0,1515


30,1208-0,0796


40,1265-0,0200


50,13180,0364


60,13700,0951


70,27040,4175


810,1250-0,2476


20,1250-0,1294


30,1250-0,0713


40,1250-0,0230


50,12500,0230


60,12500,0713


70,12500,1294


80,12500,2476


91-1,6868-1,8092


22,68681,8092


91-0,56640,9355


2-0,1521-0,4047


31,71851,3402


91-0,22720,6330


2-0,0284-0,2944


30,0644-0,1348


41,19121,0622


91-0,0731-0,4765


20,0316-0,2335


30,0809-0,1181


40,1199-0,0256


50,84080,8537


910,0104-0,3797


20,0660-0,1936


30,0923-0,1048


40,1133-0,0333


50,13200,0317


60,58600,6797


910,0602-0,3129


20,08760,1647


30,1006-0,0938


40,1110-0,0364


50,12040,0160


60,12940,0678


70,38090,5239


910,0915-0,2633


20,1018-0,1421


30,1067-0,0841


40,1106-0,0370


50,11420,0062


60,11770,0492


70,12120,0954


80,23650,3757


910,1111-0,2237


20,1111-0,1233


30,1111-0,0751


40,1111-0,0360


50,11110,0000


60,11110,0360


70,11110,0751


80,11110,1244


90,11110,2237


101-1,8634-1,8608


22,86341,8008


101-0,6596-0,9625


2-0,2138-0,4357


31,87341,3981


101-0,2923-0,6520


2-0,0709-0,3150


30,0305-0,1593


41,33271,1263


101-0,1240-0,4919


20,0016-0,2491


30,0549-0,1362


40,0990-0,0472


50,97160,9243


101-0,0316-0,3930


20,0383-0,2063


30,0707-0,1192


40,0962-0,0501


50,11850,0111


60,70780,7576


1010,0244-0,3252


20,0636-0,1758


30,0818-0,1058


40,0962-0,0502


50,1089-0,0008


60,12070,0469


70,50450,6107


1010,0605-0,2753


20,0804-0,1523


30,0898-0,0947


40,0972-0,0488


50,1037-0,0077


60,10990,0319


70,11610,0722


80,34240,4746


1010,0843-0,2364


20,0921-0,1334


30,0957-0,0851


40,0986-0,0465


50,1011-0,0119


60,10360,0215


70,10600,0559


80,10850,0937


90,21010,3423


1010,1000-0,2044


20,1000-0,1172


30,1000-0,0763


40,1000-0,0436


50,1000-0,0142


60,10000,0142


1070,10000,0436


80,10000,0763


90,10000,1172


100,10000,2044


111-2,0245-1,9065


23,02451,9065


111-0,7445-0,9882


2-0,2712-0,4630


32,01571,4492


111-0,3516-0,6657


2-0,1104-0,3331


3-0,0016-0,1807


41,46361,1825


111-0,1702-0,5053


2-0,0323-0,2627


30,0303-0,1519


40,0786-0,0657


51,0937-0,3357


111-0,0698-0,4045


20,0128-0,2175


30,0504-0,1317


40,0797-0,0647


50,1049-0,0061


60,82200,8246


111-0,0082-0,3357


20,0415-0,1854


30,0642-0,1163


40,0820-0,0621


50,0974-0,0146


60,11160,0299


70,61160,6842


1110,0320-0,2852


20,0609-0,1610


30,0741-0,1033


40,0845-0,0589


50,0935-0,0194


60,10200,0178


70,11010,0545


80,44300,5582


1110,0592-0,2463


20,0744-0,1417


30,0814-0,0934


40,0869-0,0555


1150,0917-0,0220


60,09620,0095


70,10050,0409


80,10490,0736


90,30470,4349


1110,0731-0,2149


20,0841-0,1256


30,0869-0,0843


40,0891-0,0519


50,0910-0,0233


60,09280,0038


70,09450,0309


80,09830,0593


90,09820,0911


100,18910,3149


1110,0909-0,1883


20,0909-0,1151


30,0909-0,0760


40,0909-0,0471


50,9099-0,0234


60,09090,0000


70,09090,0234


80,09090,0471


90,09090,0760


100,09090,1151


110,09090,1883


121-2,1723-1,9474


23,17231,9474


121-0,8225-0,0075


2-0,3249-0,4874


32,14741,4918


121-0,4059-0,6836


2-0,1472-0,3493


3-0,0321-0,1096


41,58521,2324


121-0,2125-0,5171


2-0,0609-0,2749


30,0070-0,1659


40,0589-0,0820


50,20751,0399


1210,1048-0,4146


20,0109-0,2274


30,0313-0,1428


40,0637-0,0744


50,0915-0,0210


60,92920,8833


121-0,0382-0,3448


20,0210-0,1939


30,0477-0,1255


40,0684-0,0726


50,0861-0,0267


60,02220,0155


70,71280,7479


1210,067-0,2937


20,0428-0,1686


30,0585-0,1119


40,0724-0,0678


50,0836-0,0298


60,09380,0058


70,10360,0400


80,33860,6259


1210,0360-0,2545


20,0581-0,1487


30,0682-0,1007


40,0759-0,0633


50,0827-0,0308


60,0888-0,0007


70,09480,0286


80,10060,0582


90,39500,5119


1210,0574-0,2232


20,0693-0,1324


30,0747-0,0911


40,0789-0,0590


50,0825-0,0310


60,0859-0,0050


70,08910,0203


80,09230,0461


90,09590,0733


100,27450,4020


1210,0726-0,1972


20,0775-0,1185


30,0796-0,0827


40,0813-0,0548


50,08280,0305


60,08420,0079


70,08550,0142


80,08680,0367


90,08820,0608


100,08960,0881


110,17890,2919


1210,0833-0,1748


20,0833-0,1061


30,0833-0,0749


40,0833-0,0505


50,0833-0,0294


60,0833-0,0297


70,08330,0097


80,08330,0294


90,08330,0506


100,08330,0749


110,08330,1061


120,08330,1748


131-2,3101-1,9845


23,31011,9845


131-0,8916-1,0268


2-0,3753-0,5094


32,26991,5360


131-0,4561-0,6969


2-0,1817-0,3638


3-0,0610-0,2165


41,69581,2773


131-0,2516-0,5276


2-0,0876-0,2859


3-0,0151-0,1785


40,0400-0,0964


51,31431,0834


131-0,1371-0,4236


2-0,0330-0,2663


30,0132-0,1528


40,0484-0,0888


50,0784-0,0341


61,03010,9355


131-0,0659-0,3528


20,0020-0,2015


30,0322-0,1339


40,0553-0,0819


50,0750-0,0374


60,09230,0032


70,80850,8042


131-0,0185-0,3011


20,0259-0,1754


30,0457-0,1197


40,0610-0,0758


50,0740-0,0386


60,0857-0,0046


70,09680,0276


80,62940,6867


1310,0144-0,2616


20,0430-0,1549


30,0557-0,1071


40,0655-0,0703


50,0739-0,0386


60,0816-0,0095


70,08880,0182


80,09580,0456


90,48130,5781


1310,0380-0,2301


20,0555-0,1382


30,0633-0,0970


40,0693-0,0653


50,0745-0,0379


60,0792-0,0128


70,08360,0113


80,08800,0352


90,09240,0598


100,35640,4750


1310,0552-0,2043


20,0648-0,1243


30,0691-0,0884


40,0724-0,0607


50,0752-0,0368


60,0778-0,0148


70,08030,0063


80,08270,0273


90,08520,0490


100,08770,0723


110,24970,3743


1310,0679-0,1824


20,0718-0,1222


30,0735-0,0806


40,07490,0563


50,0761-0,0353


60,0771-0,0160


70,07810,0026


80,07920,0212


90,08020,0404


100,08130,0612


110,08240,0850


120,15760,2724


1310,0769-0,1632


20,0769-0,1013


30,0769-0,0735


40,0769-0,0520


50,0769-0,0335


60,0769-0,0164


70,0769+0,0164


80,07690,0000


90,07690,0335


100,07690,0164


110,07690,0735


120,07690,1013


130,07690,1632


141-2,4378-2,0182


23,43782,0182


141-0,9616-1,0441


2-0,4228-0,5293


32,38431,5734


141-0,5027-0,7091


2-0,2142-0,3771


3-0,0866-0,2318


41,80541,3180


141-0,5027-0,7091


2-0,1127-0,2959


30,0360-0,1898


40,0218-0,1094


51,41481,1322


141-0,1670-0,4317


2-0,0537-0,2444


3-0,0040-0,1618


40,0388-0,0990


50,0655-0,0457


61,12550,9855


141-0,0915-0,3599


2-0,0158-0,2084


30,017-0,1414


40,042-0,0903


50,064-0,0469


60,083-0,0770


70,8990,8546


141-0,0411-0,3077


20,0102-0,1815


30,0328-0,1256


40,0500-0,0829


50,0646-0,0466


60,0777-0,0137


70,08990,0172


80,71590,7407


141-0,0057-0,2678


20,0288-0,1604


30,0410-0,1129


40,0557-0,0765


50,0655-0,0455


60,0744-0,0174


70,08280,0092


80,09080,0350


90,56370,6363


1410,0199-0,2361


20,0426-0,1434


30,0526-0,1023


40,06020,0709


50,0667-0,0440


60,0726-0,0196


70,07820,0035


80,08350,0260


90,08870,0487


100,43500,5382


1410,0388-0,2102


20,0529-0,1292


30,0592-0,0933


40,0639-0,0658


50,0680-0,0423


60,0717-0,0209


70,0752-0,0006


80,07850,0192


90,08190,0393


100,08520,0601


110,32470,4438


1410,0530-0,1885


20,0609-0,1171


30,0643-0,0854


40,0670-0,0612


50,0692-0,0404


60,0713-0,0215


70,0732-0,0036


80,07510,0140


90,07700,0319


100,07890,0505


110,08090,0707


120,22910,3506


1410,637-0,1698


20,0669-0,1065


30,0683-0,0784


40,0694-0,0568


50,0704-0,0384


60,0712-0,0216


70,0721-0,0056


80,07280,0100


90,07360,0259


100,07450,0426


110,07530,0609


120,07620,0820


130,14550,2556


1410,0714-0,1532


20,0714-0,0968


30,0714-0,0717


40,0714-0,0526


50,0714-0,0362


60,0714-0,0212


70,0714-0,0070


80,07140,0000


90,07140,0212


100,07140,0362


110,07140,0256


120,07140,0717


130,07140,0968


140,07140,1532


151-2,5574-2,0493


23,55742,0493


151-1,0242-1,0601


2-0,4676-0,5477


32,49181,6077


151-0,5462-0,7201


2-0,2448-0,3892


3-0,1148-0,2458


41,90581,3552


151-0,3217-0,5459


2-0,1364-0,3050


3-0,0560-0,2002


40,0043-0,1211


51,50971,1722


151-0,1950-0,4390


2-0,0732-0,2518


3-0,0203-0,1700


40,0196-0,1082


50,0531-0,0562


61,21571,0252


151-0,1155-0,3664


2-0,0326-0,2146


3+0,0036-0,1482


40,0309-0,0979


50,0539-0,0555


60,0743-0,0174


70,98540,9001


151-0,0821-0,3136


2-0,0046-0,1870


30,0205-0,1315


40,0395-0,0894


50,0555-0,0538


60,0698-0,0219


70,08300,0079


80,79830,7892


151-0,0244-0,2733


20,0155-0,1654


30,0330-0,1181


40,0462-0,0822


50,0574-0,0518


60,0674-0,0244


70,07670,0012


80,08560,0258


90,62450,6882


1510,0030-0,2414


20,0305-0,1481


30,0425-0,1071


40,0516-0,0760


50,0593-0,0496


60,0663-0,0258


70,0727-0,0035


80,07890,0180


90,08490,0393


100,51040,5940


1510,0234-0,2154


20,0418-0,1336


30,0498-0,0977


40,0560-0,0705


50,0611-0,0473


60,0658-0,0264


70,0701-0,0068


80,07430,0122


90,07840,0310


100,08240,0502


110,36690,5042


1510,0390-0,1937


20,0506-0,1214


30,0556-0,0897


40,0595-0,0655


50,0628-0,0450


60,0657-0,0265


70,0685-0,0091


80,07110,0078


90,07370,0246


100,07630,0417


110,07900,0598


120,29820,4169


1510,0508-0,1752


20,0574-0,1108


30,0602-0,0825


40,0624-0,0610


50,0642-0,0427


60,0659-0,0262


70,0675-0,0106


80,06900,0044


90,07040,0195


100,07190,0349


110,07350,0512


120,07510,0690


130,22160,3300


1510,0599-0,1590


20,0627-0,1013


30,0639-0,0760


40,0648-0,0568


50,0655-0,0404


60,0662-0,0256


70,0669-0,1116


80,06750,0019


90,06820,0154


100,06880,0293


110,06950,0440


120,07020,0602


130,07090,0791


140,13510,2409


1510,0667-0,1444


20,0667-0,0927


30,0667-0,0699


40,0667-0,0526


50,0667-0,0379


60,0667-0,0247


70,0667-0,0122


80,06670,0000


90,06670,0122


100,06670,0247


110,06670,0379


120,06670,0526


130,06670,0699


140,06670,0927


150,06670,1444




Таблица 65





NrV_{q} при вероятности q


0,050,100,250,400,500,600,750,900,95


33-2,54-1,49-0,52-0,100,100,310,691,462,12


43-3,85-2,32-0,84-0,29-0,040,180,501,061,55


4-1,50-0,96-0,37-0,080,090,250,551,071,49


53-5,22-3,04-1,22-0,50-0,190,060,400,861,20


4-1,94-1,24-0,50-0,160,020,180,450,881,22


5-1,08-0,73-0,31-0,060,080,220,470,891,20


63-6,12-3,72-1,56-0,69-0,32-0,040,330,751,02


4-2,39-1,59-0,67-0,25-0,050,120,380,761,03


5-1,36-0,91-0,38-0,110,040,170,400,771,04


6-0,91-0,64-0,28-0,060,070,190,410,771,04


73-7,39-4,45-1,87-0,89-0,48-0,160,260,680,90


4-2,95-1,94-0,84-0,36-0,130,050,320,660,89


5-1,59-1,10-0,48-0,17-0,020,120,340,660,89


6-1,04-0,73-0,32-0,100,030,150,350,670,90


7-0,79-0,56-0,26-0,060,050,170,360,680,90


83-8,15-5,01-2,14-1,04-0,58-0,210,240,670,88


4-3,30-2,18-0,99-0,43-0,190,020,300,640,83


5-1,86-1,25-0,56-0,22-0,050,100,320,620,82


6-1,20-0,83-0,36-0,120,010,130,330,630,82


7-0,88-0,61-0,27-0,070,040,150,330,630,82


8-0,70-0,50-0,22-0,050,060,160,340,630,82


93-9,12-5,64-2,38-1,17-0,66-0,280,200,660,86


4-3,78-2,47-1,08-0,50-0,24-0,010,280,610,79


5-2,10-1,40-0,63-0,26-0,080,080,300,580,76


6-1,38-0,94-0,41-0,15-0,010,110,300,570,76


7-0,99-0,70-0,31-0,100,020,130,310,570,76


8-0,76-0,55-0,25-0,070,040,140,310,580,76


9-0,64-0,47-0,21-0,050,050,150,320,580,76


103-9,98-6,05-2,58-1,29-0,76-0,340,170,660,87


4-4,17-2,70-1,22-0,58-0,28-0,040,270,600,77


5-2,37-1,56-0,73-0,31-0,120,050,280,560,72


6-1,51-1,03-0,48-0,19-0,040,090,280,540,71


7-1,08-0,77-0,35-0,12-0,000,110,280,540,70


8-0,86-0,62-0,27-0,080,020,120,280,530,71


9-0,70-0,50-0,23-0,060,040,130,290,540,71


10-0,60-0,44-0,20-0,040,040,140,290,540,71


113-10,68-6,42-2,76-1,41-0,85-0,420,130,650,87


4-4,57-2,95-1,37-0,66-0,36-0,100,240,580,75


5-2,58-1,75-0,81-0,37-0,160,010,260,540,69


6-1,67-1,16-0,53-0,22-0,070,060,260,520,66


7-1,21-0,85-0,40-0,15-0,020,090,260,500,65


8-0,92-0,66-0,30-0,110,000,100,260,500,65


9-0,76-0,54-0,25-0,080,020,110,260,500,65


10-0,63-0,46-0,21-0,060,030,120,270,500,65


11-0,55-0,42-0,19-0,050,030,120,270,500,65


123-11,32-6,92-3,03-1,58-0,97-0,490,100,640,88


4-4,81-3,17-1,47-0,74-0,40-0,140,210,580,75


5-2,72-1,88-0,89-0,42-0,20-0,010,240,530,68


6-1,83-1,27-0,60-0,26-0,100,050,250,500,64


7-1,32-0,92-0,42-0,17-0,040,080,250,480,62


8-1,00-0,71-0,33-0,12-0,010,090,250,480,62


9-0,80-0,58-0,27-0,090,010,100,250,470,62


10-0,67-0,48-0,23-0,070,020,110,250,470,62


11-0,58-0,43-0,20-0,060,030,110,250,470,62


12-0,53-0,39-0,19-0,050,030,110,250,470,62


133-11,66-7,41-3,21-1,64-1,02-0,540,080,650,88


4-5,21-3,37-1,60-0,82-0,48-0,190,200,590,76


5-2,95-1,99-0,96-0,47-0,24-0,040,240,540,68


6-1,94-1,35-0,66-0,31-0,130,030,250,510,64


7-1,40-0,98-0,46-0,19-0,060,060,250,470,61


8-1,06-0,77-0,36-0,14-0,020,080,240,460,59


9-0,86-0,61-0,29-0,10-0,000,090,240,450,58


10-0,72-0,52-0,24-0,080,010,100,240,450,58


11-0,63-0,45-0,21-0,060,020,110,240,450,58


12-0,56-0,41-0,19-0,050,030,110,250,450,59


13-0,51-0,38-0,18-0,050,040,110,250,450,59


143-12,49-7,65-3,31-1,71-1,08-0,570,060,650,90


4-5,38-3,53-1,68-0,87-0,49-0,200,190,590,77


5-3,13-2,17-1,03-0,51-0,26-0,040,240,540,69


6-2,10-1,45-0,70-0,32-0,140,020,240,500,63


7-1,50-1,06-0,50-0,22-0,070,060,240,470,60


8-1,15-0,81-0,39-0,15-0,040,080,240,450,58


9-0,93-0,66-0,30-0,11-0,010,090,230,440,56


10-0,76-0,54-0,26-0,090,000,090,230,430,56


11-0,65-0,48-0,22-0,070,010,090,230,430,56


12-0,57-0,42-0,19-0,060,020,100,230,430,56


13-0,51-0,38-0,18-0,050,020,100,230,430,56


14-0,47-0,36-0,17-0,050,030,100,230,430,56


153-13,14-8,14-3,63-1,92-1,20-0,050,020,640,89


4-5,55-3,74-1,78-0,94-0,55-0,230,190,600,78


5-3,35-2,27-1,10-0,56-0,29-0,070,230,550,70


6-2,21-1,55-0,75-0,36-0,17-0,000,230,500,64


7-1,56-1,11-0,55-0,25-0,090,040,230,470,59


8-1,20-0,86-0,42-0,18-0,050,060,230,450,57


9-0,96-0,70-0,35-0,13-0,030,070,230,430,56


10-0,82-0,59-0,28-0,10-0,010,080,230,420,55


11-0,70-0,51-0,24-0,080,010,090,230,420,54


12-0,62-0,45-0,21-0,070,010,090,230,410,54


13-0,55-0,41-0,19-0,060,020,100,230,410,54


14-0,50-0,37-0,18-0,050,030,100,220,410,54


15-0,46-0,35-0,17-0,040,030,100,230,420,54




Таблица 66






\gamma
r_{0}
U_{\gamma}






0,80
1,61
0,842




0,90
2,30
1,282




0,95
3,00
1,645




0,975
3,69
1,960




0,990
4,61
2,326




0,995
5,30
2,576




0,9975
6,00
2,807




0,999
6,91
3,090






Таблица 67






m = N — 1
E(m)






1
1,253




2
1,128




3
1,085




4
1,064




5
1,051




6
1,042




7
1,036




8
1,032




9
1,028




10
1,025




11
1,023




12
1,021




13
1,019




14
1,018




15
1,017




16
1,016




17
1,015




18
1,014




19
1,013




20
1,013




25
1,010




30
1,008




35
1,007




40
1,006




45
1,006




50
1,005




60
1,004






Примечание. Коэффициенты E(m) для 20 < m < 60, не указанные в таблице, определяют по табличным значениям с помощью линейной интерполяции.


Таблица 68





m\chi_{p}^{2}(m) при P


0,010,050,100,200,300,400,500,600,700,800,900,960,99


20,0230,1020,210,4450,7111,0231,3831,8362,4143,2274,6025,9929,211


40,3050,7111,041,6432,1952,7583,3524,0394,8835,9927,7739,49213,273


60,8721,6352,2043,0643,8264,5645,3506,2057,2368,56110,64512,59216,812


81,6462,7333,4904,5865,5236,4307,3528,3529,52311,02315,36213,50720,090


102,5583,9404,8656,1827,2758,2919,34610,47911,78713,44715,98718,30723,209


123,5715,2266,3047,8119,02910,17811,33812,58014,01015,81418,54921,02626,217


144,6606,5717,7909,46810,82112,07913,33714,69016,22218,14921,06423,68529,141


165,8127,9629,31211,14812,61713,97716,33616,77318,41420,46123,54226,29632,000


187,0159,39010,86812,85814,44015,89917,34118,87020,59322,75525,93928,86934,805


208,26010,85112,44314,58016,26017,80319,43620,94722,76325,02928,41231,41037,566


229,54212,33814,04116,31218,10619,72821,33923,02624,93827,30130,81333,92440,289


2410,85613,84815,65918,06419,93921,65023,33825,10727,10029,54933,19636,41542,980


2612,19815,37917,29219,82421,79223,58225,33327,17429,24431,79535,56338,88545,042


2813,56516,92818,93921,59523,64625,50527,33729,25131,39734,02237,91641,33748,278


3014,95318,49320,59923,35725,51027,44429,33331,31133,52336,24840,25643,77350,892


3216,36220,07221,27125,14827,36729,38331,33633,38335,66438,46142,58546,19453,486


3417,78921,66423,95226,93629,24431,31933,32835,43637,79340,68244,90348,60256,061


3619,23323,26925,64328,73131,12233,24935,31137,50339,92942,58247,21250,99858,619


3820,69124,88427,34330,53733,00035,18937,34139,56842,03645,07949,51353,38461,162


4022,16426,50929,05132,35434,87337,13939,32641,63144,17047,27551,80555,75863,691


4223,65028,14430,76534,16136,75539,07341,33943,67746,18149,46054,09058,12466,206


4425,14829,78732,48735,97038,64541,01943,33945,73548,39951,64356,36960,48168,710


4626,65731,43934,21537,79640,52542,97345,33247,79150,50952,82258,64162,83071,201


4828,17733,09835,94939,61542,41644,91246,33849,84652,61155,99860,90765,17174,683


5029,70734,76437,68941,44944,31846,86949,33551,88654,71858,16063,16767,50576,154


5231,24636,43739,43343,28546,20548,80751,33353,93656,83160,33465,42269,83278,616


5431,79338,11641,18345,12148,10050,76353,33455,99758,92462,49767,67372,15361,069


5634,35039,80142,93746,95650,00552,71255,33758,01461,02464,66169,91974,46883,513


5835,91341,49244,69648,80151,90454,66557,34260,08963,13366,81572,16076,77885,950


6037,48543,18846,45950,64753,81156,24659,33362,13165,22268,97274,39779,08288,379


6239,06344,89948,22652,48755,71158,57261,34264,18767,32171,12076,63081,38180,802


6440,64946,59549,99654,33657,61760,52363,33666,22769,41473,27378,86083,67593,217


6642,24048,30551,77056,19559,53162,47965,33168,26471,50375,41881,08585,96595,626


6843,85850,02053,54858,04761,43464,43867,43870,31673,80377,57183,80388,25095,028


7045,44261,73955,32959,89163,34466,40369,34272,35075,68279,71685,52790,531100,43


7247,05153,46257,11361,76165,25968,35371,34174,39977,77481,85387,74392,808102,82


7448,66655,18988,90063,62167,16270,30570,30573,34176,44879,86384,00089,956105,20


7650,28656,92060,69065,47069,08872,26175,34178,47781,94788,14092,16697,351107,58


7851,91058,65462,48367,34571,00274,22077,34380,52384,02788,27494,37499,617109,98


8053,54060,39164,27869,20972,92076,18279,32682,56886,15390,40096,578101,88112,33


8255,17462,13266,07671,07474,82878,15181,33484,80888,20182,53598,780104,14114,70


8456,81363,87667,87672,94176,75680,10983,33986,65190,28194,663100,98106,40117,06


8658,45685,72369,67974,81478,66782,06885,33388,68292,36796,797103,18108,65119,41


8860,10367,37371,48476,68380,59384,03187,33990,72394,44098,930105,37110,90121,77


9061,75469,12673,29178,55882,51385,99589,33592,76396,520101,06107,57113,15124,12


9263,40970,88275,10080,43884,43687,95191,33294,80298,598103,18109,76115,39126,46


9465,06872,64076,91282,31386,35289,92193,32996,840100,68105,31111,94117,63128,80


9666,73074,70178,72584,18288,28391,88195,33898,877102,76107,42114,13119,87131,14


9868,39676,16480,54186,06790,20693,84397,336100,91104,82109,55116,32122,11133,48


10070,06577,92982,35887,94692,13395,80799,335102,95106,90111,66118,50124,34135,81


11078,45886,79291,47197,358101,76105,63109,33113,12122,25117,27129,39135,48147,41


12086,92395,705100,62106,81111,42115,47119,33127,61132,81140,23146,57158,95146,57


13095,451101,66109,81116,26121,09125,31129,34133,45137,94151,05143,34157,61170,42


140104,03113,66119,03125,76130,76135,14139,32143,60148,26153,85161,83168,61181,84


150112,67122,69128,28135,21140,45144,09149,34153,74158,58164,35172,58179,58193,21


200156,43168,28174,84183,00189,04194,32199,33204,42209,98216,58226,02233,90249,45


300245,97260,88260,07279,21288,68293,18299,33305,57512,33320,39331,79341,40359,91


400337,16354,64364,21376,02384,70392,22399,33406,52414,32423,58436,65447,63468,72


500429,39449,15459,93472,21482,95491,37499,34507,38516,09526,40540,93553,13576,49


600522,36544,18556,06570,68581,35590,60599,33608,14617,66628,92644,80658,09683,52


800709,90735,35749,49766,16778,55789,25799,33809,50820,48833,45851,67766,91895,98


1000698,91927,59943,13962,17976,07988,04999,321010,71022,91037,41057,71074,71107,0




Таблица 69





NrV_{q}^{0,9} при вероятности q


0,050,100,250,900,950,98


331,101,432,188,9913,1620,93


431,161,492,189,0313,0720,23


41,161,462,066,478,3911,66


531,181,512,178,7812,5820,38


41,231,512,096,498,4811,73


51,231,492,025,486,738,66


631,181,532,158,2411,7418,65


41,281,552,106,338,1811,39


51,291,542,055,426,738,89


61,271,532,014,865,837,31


731,181,532,137,8011,1217,54


41,311,582,106,167,8910,90


51,331,572,065,366,688,44


61,321,562,034,865,827,23


71,321,552,004,465,256,37


831,131,522,117,5110,6716,36


41,331,602,105,967,7910,76


51,361,602,085,286,508,62


61,361,592,054,835,837,18


71,361,582,034,495,316,40


81,361,582,014,214,905,84


931,121,512,097,1410,2115,61


41,361,612,105,777,3910,26


51,411,632,085,136,348,13


61,411,622,064,745,677,06


71,411,622,044,485,286,46


81,401,612,024,264,955,94


91,401,602,004,044,665,50


1030,991,462,056,759,3614,88


41,341,622,085,567,179,60


51,421,642,075,006,138,02


61,431,642,054,675,596,99


71,431,642,044,415,186,29


81,431,632,024,224,915,83


91,421,632,014,034,635,51


101,421,621,993,864,415,16


1130,901,422,016,419,1114,47


41,351,612,065,467,049,98


51,431,642,054,906,077,83


61,451,642,044,585,526,96


71,451,642,034,364,166,34


81,451,642,014,154,875,82


91,441,642,004,014,635,54


101,441,641,993,874,445,23


111,451,641,983,764,264,94


1230,751,371,986,008,4012,96


41,341,602,055,176,609,07


51,441,662,054,725,797,35


61,461,672,044,415,316,61


71,471,672,034,214,986,09


81,471,662,024,064,755,71


91,461,662,013,944,535,40


101,471,652,003,874,375,11


111,461,641,993,724,234,88


121,471,641,993,624,074,68


1330,721,341,995,888,1612,45


41,311,602,065,106,458,82


51,451,672,074,715,757,32


61,481,682,074,435,306,49


71,491,682,064,234,966,02


81,491,682,044,064,735,63


91,491,682,033,944,555,32


101,491,682,033,834,375,11


111,491,682,023,744,234,90


121,491,672,013,654,094,73


131,491,672,013,573,974,51


1430,571,251,935,567,6911,56


41,291,592,034,936,178,28


51,461,672,054,585,546,96


61,511,692,054,335,126,27


71,521,692,044,154,825,75


81,521,692,034,034,615,47


91,521,692,033,904,455,18


101,511,682,023,784,304,94


111,511,682,013,714,204,79


121,511,682,013,644,094,67


131,511,682,003,553,984,51


141,511,682,003,463,854,36


1530,431,191,915,397,2310,78


41,261,592,034,785,957,94


51,441,672,064,435,366,85


61,501,692,064,224,976,19


71,521,702,064,084,725,77


81,521,702,053,954,575,40


91,521,692,043,854,405,16


101,521,692,043,764,264,95


111,521,692,033,694,154,76


121,521,692,023,624,084,62


131,521,682,013,553,984,51


141,511,692,013,493,894,39


151,521,682,013,413,774,23




Таблица 70





NrV_{q}^{0,95} при вероятности q


0,050,100,250,900,950,98


331,642,042,9411,8517,2127,32


431,732,112,9812,1717,5527,59


41,692,042,788,4010,8815,06


531,792,163,0012,0717,3628,30


41,762,102,828,5611,1415,51


51,742,062,727,068,6811,14


631,832,202,9911,5316,6626,85


41,832,152,848,4710,9515,32


51,812,122,767,088,8211,58


61,802,102,706,277,539,39


731,872,222,9711,2016,0725,31


41,882,192,868,3910,8014,80


51,862,162,787,128,8411,18


61,842,142,726,337,619,40


71,852,142,685,766,738,19


831,902,242,9611,0215,7624,57


41,912,222,878,1910,7415,22


51,902,202,797,708,7811,57


61,892,182,756,357,679,43


71,892,172,715,836,918,38


81,892,172,695,446,297,50


931,932,262,9510,7115,3323,80


41,962,252,888,0210,4014,41


51,952,232,806,908,5911,05


61,952,222,766,277,519,46


71,942,212,735,866,918,40


81,942,202,705,536,397,73


91,952,192,685,726,007,09


1031,912,262,9110,2414,5023,00


41,982,272,867,8110,1213,69


51,972,242,806,878,3911,00


61,972,232,766,247,509,42


71,962,222,735,796,838,29


81,962,213,715,526,407,61


91,962,212,695,236,017,12


101,962,212,694,985,676,65


1131,932,252,889,8714,1122,60


42,012,272,837,7110,0314,44


52,012,262,786,728,3410,93


62,002,242,746,167,429,39


71,992,232,725,796,838,42


81,992,222,705,466,387,65


91,982,222,685,236,047,23


102,002,222,675,035,756,73


112,002,222,664,855,496,35


1231,912,262,879,4113,4021,39


42,022,282,847,429,5613,27


52,032,282,786,548,0810,40


62,022,272,755,977,229,00


72,022,262,735,636,668,08


82,012,252,715,366,277,49


92,002,242,695,165,957,06


102,012,232,674,995,676,63


115,012,242,674,845,476,29


122,022,242,664,685,266,00


1331,922,272,889,2313,1120,76


42,052,312,847,389,4713,09


52,062,302,816,578,0410,25


62,052,292,786,037,248,89


72,052,282,755,656,688,10


82,042,271,745,406,297,43


92,042,272,725,176,006,99


102,042,272,705,015,706,66


112,042,272,704,875,506,36


122,042,272,694,735,306,12


132,052,272,684,615,125,80


1431,922,262,848,8412,7319,14


42,062,312,827,189,1012,45


52,082,312,796,387,829,93


62,082,302,765,917,078,71


72,072,292,735,586,537,78


82,072,282,725,356,167,30


92,072,282,715,145,886,92


102,062,272,704,985,656,49


112,072,282,694,865,486,26


122,072,282,684,735,316,06


132,072,292,684,615,145,80


142,082,282,664,484,975,60


1531,884,242,848,7512,2218,38


42,062,312,837,008,9011,93


52,092,322,806,257,649,79


62,092,312,795,796,918,55


72,082,302,765,506,417,90


82,082,292,745,296,107,26


92,072,292,735,115,816,87


102,072,282,724,965,616,50


112,072,282,704,845,436,22


122,072,282,704,735,316,00


132,072,282,694,635,175,88


142,072,282,684,535,025,66


152,082,282,684,434,885,46




Таблица 71





NrV_{q}^{0,99} при вероятности q


0,050,100,250,900,950,98


332,753,324,6318,1526,7142,07


432,873,444,7419,3827,9743,72


42,823,314,3812,7916,6223,12


532,953,474,8019,7328,7146,68


42,863,374,4413,3117,4124,31


52,873,324,2810,7513,2316,87


633,023,554,8019,2828,0245,73


42,963,454,4913,4917,5424,27


52,943,384,3310,9613,6717,96


62,943,394,259,4911,4114,37


733,113,614,8119,2727,7644,93


43,043,494,5213,5317,4723,96


53,003,444,3711,2013,9117,78


63,013,414,269,7511,7414,36


73,023,434,218,7510,2012,38


833,123,654,8219,2427,7844,29


43,073,534,5413,4217,6425,03


53,053,474,3911,1213,9218,42


63,043,454,309,8211,8714,78


73,063,474,248,9210,5212,89


83,083,474,208,279,5211,35


933,203,664,8119,0027,9143,02


43,123,564,5613,2817,5724,34


53,103,524,4010,9813,7817,99


63,103,524,329,8211,7814,84


73,103,614,279,0610,6612,96


83,123,504,248,449,7511,85


93,173,504,207,909,0410,71


1033,203,684,7718,6127,0543,21


43,163,604,5313,1217,1723,48


53,133,544,4111,0513,7017,82


63,113,514,339,8111,8615,01


73,123,504,288,9910,6613,03


83,153,504,238,499,8811,69


93,163,514,217,979,1710,82


103,193,534,187,578,5710,03


1133,223,674,7518,1926,4543,82


43,163,584,5313,0217,2524,97


53,153,554,3910,9913,6618,13


63,143,524,309,7911,8615,02


73,163,514,269,0310,7213,30


83,163,514,238,439,8611,88


93,173,514,208,029,2411,08


103,203,534,187,678,7310,20


113,243,554,177,368,319,57


1233,283,724,7717,5925,7341,44


43,223,624,5212,7216,6023,41


53,193,584,5910,6813,3717,35


63,193,554,319,6111,6014,59


73,283,544,278,8510,5512,65


83,183,544,248,349,7511,64


93,183,534,217,989,1810,90


103,203,544,187,668,6810,17


113,233,554,177,378,319,53


123,273,574,177,097,969,03


1333,303,744,7817,5825,3740,28


43,253,664,5812,8116,5623,73


53,223,604,4310,8613,4717,15


63,213,574,359,7111,7214,47


73,213,574,308,9710,6113,04


83,223,574,288,469,8811,74


93,233,564,258,029,2710,88


103,243,574,237,728,8010,25


113,253,584,227,468,429,65


123,273,604,217,218,039,27


133,303,614,206,997,758,76


1433,303,754,7517,2325,0939,16


43,283,684,5212,4816,1922,41


53,253,624,4010,6413,2216,89


63,243,584,339,5911,5514,29


73,233,584,288,8810,4712,51


83,243,584,258,409,7111,54


93,253,584,238,009,1710,81


103,263,584,227,718,7210,06


113,283,604,207,468,429,61


123,313,614,207,258,119,25


133,313,624,197,037,828,81


143,343,634,179,817,498,45


1533,343,774,7817,1524,5438,14


43,293,694,5512,4115,9621,82


53,283,644,4210,5612,9416,99


63,263,614,379,4511,3814,24


73,253,594,318,8110,3112,84


83,253,594,278,369,3611,58


93,263,584,268,009,1110,79


103,273,594,247,718,7210,06


113,263,594,217,488,379,61


123,293,614,217,298,179,24


133,303,614,207,097,898,92


143,323,624,196,927,638,59


153,353,624,196,707,378,24




Таблица 72





mКвантили t-распределения при P


0,750,900,950,9750,9900,9950,99750,9990,9995m


11,00003,07776,313812,706231,820563,6567127,3213318,3088636,61921


20,81651,88562,92004,30276,96469,924814,089022,327131,59912


37649637735343,18244,54075,84097,453310,214512,92403


47407533213182,77643,74694,60415,59767,17328,61034


57267475901505706364903214,77335,89346,86885


60,71761,43981,94322,44693,14273,70744,31685,20765,95886


771114149894636462,9980499502934,785340797


87064396885953060896535543,8325500804138


9702738308331262282142498689729684,78099


1069983722812522817638169358141437586910


110,69741,36341,79592,20102,71813,10583,49664,02474,437011


1269553562782317886810054542843,9296317812


1369383502770916046503012337258520220813


14692434507613144862452,976832577874140514


1569123406753013146025946728607328072815


160,69011,33681,74592,11992,58352,92083,25203,68624,015016


17689233347396109856698982222464583,965117


1868843304734110095524878419666105921618


1968763277729109305395860917375794883419


2068703253724708605280845315345518849520


210,68641,32321,72072,07962,51762,83143,13523,52723,819321


2268583212717107395083818811885050792122


230,68531,31951,71392,06872,49992,80733,10403,48503,767623


2468483178710906394922796909054668745524


2568443163708105954851787407824502725125


260,68401,31601,70562,05552,47862,77873,06693,43503,706626


2768373137703305184727770705654210689627


2868343125701104844671763304694082673928


2968303114699104524620756403803962659429


3068283104697304234573750002983852646030


320,68221,30861,69392,03692,44872,73853,01493,36533,621832


3468183070690903224411728400203479600734


366814305568830281434571952,99053326582136


3868103042686002444286711698033190565738


4068073031683902114233704597123069551040


420,68041,30201,68202,01812,41852,69812,96303,29603,537742


4468013011680201544141692395552861525844


4667993002678701294102687094882771515046


4867962994677201064066682294262689505148


5067942987675900864033677893702614496050


550,67901,29711,67302,00402,39612,66822,92473,25613,476455


6067862958670600033901660391462317460260


656783294766861,99713851653690602204446665


7067802938666999443808647989872108435070


8067762922664199013739638788701953416380


900,67721,29101,66201,98672,36852,63162,87793,18333,401990


100677029016602984036426259870717373905100


120676528866577979935786174859915951735120


1500,67611,28721,65511,97592,35152,60902,84923,14553,3566150


200675728586525971934516006838513153398200


2500,67551,28491,65101,96952,34142,59562,83223,12323,3299250


300675328446499967933885923827911763233300


400675128376487965933575882822711073150400


500675028326479964733385857819510663101500


\infty674528166449960032635758807009022905\infty




Таблица 73


Значения K_{1}(\gamma,q,m)





m\frac{\gamma%}{100} = 0,75\frac{\gamma%}{100} = 0,90


Доверительная вероятность q


0,9750,900,950,990,9750,900,950,99


31,4642,5013,1524,3962,6024,2585,3107,340


41,2562,1342,6803,7261,9723,1873,9575,437


51,1521,9612,4633,4211,6982,7423,4004,666


61,0871,8602,3363,2431,5402,4943,0914,242


71,0431,7912,2503,1261,4352,3332,8943,972


81,0101,7402,1923,0421,3602,2192,7553,783


90,9841,7022,1412,9771,3022,1332,6493,641


100,9641,6712,1032,9271,2572,0652,5683,532


110,9471,6462,0732,8851,2192,0122,5033,444


120,9331,6242,0482,8511,1881,9662,4483,371


130,9191,6062,0262,8221,1621,9282,4033,310


140,9091,5912,0072,7961,1391,8952,3633,257


150,8991,5771,9912,7761,1191,8662,3293,212


160,8911,5661,9772,7561,1011,8422,2993,172


170,8831,5541,9642,7391,0851,8202,2723,136


180,8761,5441,9512,7231,0711,8002,2493,106


190,8701,5361,9422,7101,0581,7812,2283,078


200,8651,5281,9332,6971,0461,7652,2083,052


210,8591,5201,9232,6861,0351,7502,1903,028


220,8541,5141,9162,6751,0251,7362,1743,007


230,8491,5081,9072,6651,0161,7242,1592,987


240,8451,5021,9012,6561,0071,7122,1452,969


250,8421,4961,8952,6470,9991,7022,1322,952


300,8251,4751,8692,6130,9661,6572,0802,884


350,8121,4581,8492,5880,9421,6232,0412,833


400,8031,4451,8342,5680,9231,5982,0102,793


450,7951,4351,8212,5520,9081,5771,9862,762


500,7881,4261,8112,5380,8941,5601,9652,735




Продолжение таблицы 73





m\frac{\gamma%}{100} = 0,95\frac{\gamma%}{100} = 0,99


Доверительная вероятность q


0,9750,900,950,990,9750,900,950,99


33,8046,1587,65510,552


42,6194,1635,1457,042


52,1493,4074,2025,741


61,8953,0063,7075,0622,8494,4085,4097,334


71,7322,7553,3994,6412,4903,8564,7306,411


81,6172,5823,1884,3532,2523,4964,2875,811


91,5322,4543,0314,1432,0853,2423,9715,389


101,4652,3552,9113,9811,9543,0483,7395,075


111,4112,2752,8153,8521,8542,8973,5574,828


121,3662,2102,7363,7471,7712,7733,4104,633


131,3292,1552,6703,6591,7022,6773,2904,472


141,2962,1082,6143,5851,6452,5923,1894,336


151,2682,0682,5663,5201,5962,5213,1024,224


161,2422,0322,5233,4631,5532,4583,0284,124


171,2202,0012,4863,4151,5142,4052,9624,038


181,2001,9742,4533,3701,4812,3572,9063,961


191,1831,9492,4233,3311,4502,3152,8553,893


201,1671,9263,3963,2951,4242,2752,8073,832


211,1521,9052,3713,2621,3972,2412,7683,776


221,1381,8872,3503,2331,3762,2082,7293,727


231,1261,8692,3293,2061,3552,1792,6933,680


241,1141,8532,3093,1811,3362,1542,6633,638


251,1031,8382,2923,1581,3192,1292,6323,601


301,0591,7782,2203,0641,2492,0292,5163,446


351,0251,7322,1662,9941,1951,9572,4313,334


400,9991,6972,1262,9411,1541,9022,3653,250


450,9781,6692,0922,8971,1221,8572,3133,181


500,9611,6462,0652,8631,0961,8212,2963,124




Примечание. Для m > 50 K_{1}(\gamma,q,m) = U_{\gamma/100} + U_{q} \sqrt{\frac{1}{m} (1 + 0,5U_{\gamma/100}^{2})} .


Таблица 74


Значения функции \lambda(z)






z
\lambda(z)






-4,00
0,0001




-3,95
0,0002




-3,90
0,0002




-3,85
0,0002




-3,80
0,0003




-3,75
0,0004




-3,70
0,0004




-3,65
0,0005




-3,60
0,0006




-3,55
0,0007




-3,50
0,0009




-3,45
0,0010




-3,40
0,0012




-3,35
0,0015




-3,30
0,0017




-3,25
0,0020




-3,20
0,0024




-3,15
0,0028




-3,10
0,0033




-3,05
0,0038




-3,00
0,0044




-2,95
0,0052




-2,90
0,0060




-2,85
0,0069




-2,80
0,0079




-2,75
0,0091




-2,70
0,0105




-2,65
0,0120




-2,60
0,0136




-2,55
0,0155




-2,50
0,0176




-2,45
0,0200




-2,40
0,0226




-2,35
0,0255




-2,30
0,0286




-2,25
0,0321




-2,20
0,0360




-2,15
0,0402




-2,10
0,0448




-2,05
0,0498




-2,00
0,0552




-1,95
0,0612




-1,90
0,0676




-1,85
0,0745




-1,80
0,0819




-1,75
0,0899




-1,70
0,0984




-1,65
0,1076




-1,60
0,1174




-1,55
0,1277




-1,50
0,1388




-1,45
0,1505




-1,40
0,1629




-1,35
0,1760




-1,30
0,1897




-1,25
0,2042




-1,20
0,2194




-1,15
0,2354




-1,10
0,2520




-1,05
0,2694




-1,00
0,2876




-0,95
0,3065




-0,90
0,3261




-0,85
0,3465




-0,80
0,3676




-0,75
0,3894




-0,70
0,4119




-0,65
0,4352




-0,60
0,4591




-0,55
0,4838




-0,50
0,5092




-0,45
0,5352




-0,40
0,5619




-0,35
0,5892




-0,30
0,6172




-0,25
0,6458




-0,20
0,6751




-0,15
0,7049




-0,10
0,7353




-0,05
0,7663




0,00
0,7979




0,05
0,8300




0,10
0,8626




0,15
0,8958




0,20
0,9294




0,25
0,9636




0,30
0,9982




0,35
1,0332




0,40
1,0688




0,45
1,1047




0,50
1,1411




0,55
1,1779




0,60
1,2150




0,65
1,2526




0,70
1,2905




0,75
1,3288




0,80
1,3674




0,85
1,4064




0,90
1,4456




0,95
1,4852




1,00
1,5251




1,05
1,5653




1,10
1,6058




1,15
1,6465




1,20
1,6875




1,25
1,7288




1,30
1,7703




1,35
1,8121




1,40
1,8540




1,45
1,8963




1,50
1,9387




1,55
1,9813




1,60
2,0241




1,65
2,0672




1,70
2,1104




1,75
2,1538




1,80
2,1973




1,85
2,2410




1,90
2,2849




1,95
2,3290




2,00
2,3732




2,05
2,4176




2,10
2,4621




2,15
2,5067




2,20
2,5515




2,25
2,5964




2,30
2,6414




2,35
2,6866




2,40
2,7319




2,45
2,7773




2,50
2,8227




2,55
2,8684




2,60
2,9141




2,65
2,9598




2,70
3,0058




2,75
3,0519




2,80
3,0977




2,85
3,1441




2,90
3,1906




2,95
3,2366




3,00
3,2832




3,05
3,3311




3,10
3,3764




3,15
3,4244




3,20
3,4694




3,25
3,5180




3,30
3,5642




3,35
3,6121




3,40
3,6565




3,45
3,7069




3,50
3,7527




3,55
3,8002




3,60
3,8464




3,65
3,8964




3,70
3,9425




3,75
3,9924




3,80
4,0360




3,85
4,0891




3,90
4,1376




3,95
4,1842




4,00
4,2310






Таблица 75


Значения коэффициента K_{2}(N,m)





Nm


23456789


43,428


54,444


65,4544,864


76,4615,887


87,4666,9046,303


98,4707,9167,330


109,4738,9258,3517,744


1110,4769,9339,3678,773


1211,47810,93910,3809,7979,185


1312,48011,94411,39010,81610,216


1413,48112,94812,39911,83111,24210,626


1514,48213,95213,40612,84412,26311,659


1615,48314,95514,41313,85613,28112,68612,068


1716,48415,95815,41914,86514,29613,70913,102


1817,48516,96016,42415,87415,31014,72914,13013,510


1918,48617,96217,42816,88116,32115,74715,15514,544


2019,48718,96418,43217,88817,33216,76216,17715,574


2120,48719,96619,43518,89418,34117,77517,19516,600


2221,48820,96820,43819,89919,34918,78718,21217,623


2322,48821,96921,44120,904210,35619,79819,22718,643


2423,48922,97022,44421,90821,36320,80820,24119,662


2524,48923,97223,44622,91222,36921,81721,25320,678


1011121314151617


2621,11020,51519,90519,279


2722,12821,53720,93420,315


2823,14422,55821,96021,34820,722


2924,15923,57722,98422,37821,758


3025,17324,59424,00523,40522,79122,164


3126,18525,61025,02524,42923,82123,201


3227,19726,62526,04425,45224,84924,23423,606


3328,20827,63927,06126,47325,87525,26524,643


3429,21828,65128,07627,49226,89826,29425,67725,049


3530,22729,66329,09128,51027,92027,32026,70926,086


3631,23630,67430,10529,52728,94028,34427,73827,121


3732,24431,68531,11830,54329,95929,36728,76528,152


3833,25232,69432,13031,55730,97730,38829,79029,182


3934,25933,70333,14132,57131,99331,40830,81330,209


4035,26634,71234,15133,58433,00932,42631,83531,235


4136,27235,72035,16134,59634,02333,44332,85532,259


4237,27836,72836,17135,60735,03734,46033,87533,282


4338,28437,73537,18036,61836,05035,47534,89334,303


4439,29038,74238,18837,62837,06236,48935,91035,323


4540,29539,74839,19638,63838,07437,50336,92636,342


4641,30040,75440,20439,64739,08538,51637,94137,359


4742,30541,76041,21140,65640,09539,52838,95638,376


4843,30942,76642,21841,66441,10540,54039,96939,392


4944,31443,77143,22442,67242,11441,55140,98240,407


5045,31844,77644,23043,67943,12342,56241,99541,422


2625,49024,97324,44823,91623,37522,82522,26421,693


2726,49025,97425,45024,91924,38023,83223,27422,707


2827,49026,97526,45225,92225,38524,38924,28423,719


2928,49127,97627,45426,92526,39925,84525,29224,731


3029,49128,97728,45627,92827,39326,85126,30025,741


3130,49129,97729,45728,93028,39727,85627,30826,751


3231,49230,97830,45829,93329,40028,86128,31427,760


3332,49231,97931,46030,93530,40429,86629,32128,768


3433,49232,97932,46131,93731,40730,87030,32729,776


3534,49233,98033,46232,93932,41031,87431,33230,783


3635,49234,98034,46333,94133,41232,87832,33731,790


3736,49335,98135,46434,94234,41533,88233,34232,797


3837,49336,98136,46535,94435,41734,88534,34733,803


3938,49337,98237,46636,94536,41935,88835,35134,808


4039,49338,98238,46737,94737,42236,89136,35535,814


4140,49339,98339,46838,94838,42437,89437,35936,819


4241,49340,98340,46939,94939,42638,89738,36337,823


4342,49441,98441,46940,95140,42739,89939,36638,828


4443,49442,98442,47041,95241,42940,90240,37039,832


4544,49443,98443,47142,95342,43141,90441,37340,836


4645,49444,98544,47143,95443,43242,90642,37641,840


4746,49445,98545,47244,95544,43443,90843,37942,844


4847,49446,98546,47345,95645,43544,91044,38143,848


4948,49447,98647,47346,95746,43745,91245,38444,851


5049,49448,98648,47447,95847,43846,91446,38645,854




Примечание.


 K_{2}(N,m) = m/ \sum_{i = 0}^{m - 1} \frac{1}{N - i} или


 {}_{2}^{K(N,m)@}{^{[(N + 1)/(N - m + 1)]^{1/m} - 1}}^{- 1}


Таблица 76


Значения z_{1}(\upsilon) и z_{2}(\upsilon)






\upsilon
z_{1}(\upsilon)
z_{2}(\upsilon)






0,10
0,957
11,65




0,15
0,941
7,92




0,20
0,927
6,00




0,25
0,913
4,50




0,30
0,903
3,68






Приложение 10
Справочное


ПРИМЕРЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ИСПЫТАНИЙ И ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
НАДЕЖНОСТИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ


Пример 1. Для плана испытаний [NUN] определить число № объектов испытаний, чтобы с доверительной вероятностью q = 0,90 предельная относительная ошибка \epsilon в определении среднего ресурса не превышала 0,10. Предполагается, что ресурс распределен нормально с коэффициентом вариации \upsilon = 0,20 .


Решение. В соответствии с п. 1.1 Приложения 4 по табл. 5 для q = 0,90; \epsilon = 0,10 ; \upsilon = 0,20 находим N = 8.


По результатам испытаний 8 объектов получен коэффициент вариации \widehat{\upsilon}_{1} = 0,25 .


В соответствии с п. 1.3 Приложения 4 определяем дополнительное число объектов, которые необходимо поставить на испытание. Для q = 0,90; \epsilon = 0,10 ; \upsilon = 0,25 по табл. 5 находим N = 12. Следовательно, на испытания необходимо дополнительно поставить 4 объекта.


По результатам испытаний 12 объектов получен коэффициент вариации \widehat{\upsilon}_{2} = 0,23 . Так как \widehat{\upsilon}_{2}<0,25 , то перепланирование не требуется.


Пример 2. Для плана испытаний [NUN] определить число № объектов испытаний, чтобы с доверительной вероятностью q = 0,80 предельная относительная ошибка \epsilon в определении средней наработки до отказа для объема совокупности M, равного 40, не превышала 0,15. Предполагается, что наработка до отказа имеет распределение Вейбулла с коэффициентом вариации \upsilon = 0,5 .


Решение. В соответствии с п. 1.1 Приложения 4 по табл. 17 (M = 40) для q = 0,80; \epsilon = 0,15 ; \upsilon = 0,5 находим N = 3.


По результатам испытаний 3 объектов получен коэффициент вариации \widehat{\upsilon}_{1} = 0,4 . Перепланирование не требуется.


Пример 3. Для плана испытаний [NUr] определить число № объектов испытаний, чтобы с доверительной вероятностью q = 0,80 предельная относительная ошибка \epsilon в определении 90%-ного ресурса не превышала 0,20. Предполагается, что распределение ресурса логарифмически нормальное с коэффициентом вариации \upsilon = 0,4 , относительная продолжительность испытаний \chi = 0,9 .


Решение. В соответствии с п. 2.3 Приложения 4 по табл. 25 для


 \frac{\gamma%}{100} = 0,90;


q = 0,80; \epsilon = 0,20 и \upsilon = 0,4 находим число r предельных состояний, равное 8.


В соответствии с п. 2.4 Приложения 4 находим объем выборки № из условия \chi = 0,9 ; значение \text{Ф}_{0}(x) находим по табл. 60 Приложения 9.


 N = \{ \frac{r}{\text{Ф}_{0}[ln\chi/ \sqrt{ln(\upsilon^{2} + 1)}]} \} = \{ \frac{8}{\text{Ф}_{0}[ln0,9/ \sqrt{ln(0,16 + 1)}]} \} = 25.


Пример 4. Для плана испытаний [NUT] определить число № объектов испытаний, чтобы с доверительной вероятностью q = 0,90 предельная относительная ошибка \epsilon в определении средней наработки до отказа не превышала 0,20. Предполагается, что распределение наработки до отказа нормальное с коэффициентом вариации, равным 0,20, относительная продолжительность испытаний \chi = 1 .


Решение. В соответствии с п. 3.1 Приложения 4 по табл. 5 для q = 0,90; \epsilon = 0,20 ; \upsilon = 0,20 находим прогнозируемое число отказов r, равное 4. Для найденного значения r определяем объем выборки № по формуле п. 2.2 Приложения 3 из условия \chi = 1 .


 формула


Пример 5. Для плана испытаний [NUr] определить число № объектов испытаний, чтобы с доверительной вероятностью q = 0,80 определить 90%-ный ресурс объектов. Установленное число r предельных состояний равно 20.


Решение. В соответствии с п. 2.6 Приложения 4 по табл. 26 для q = 0,80;


 \frac{\gamma%}{100} = 0,90


и r = 20 находим N = 200.


Пример 6. Для плана испытаний [NMT] определить число № объектов испытаний, чтобы с доверительной вероятностью q = 0,8 предельная относительная ошибка \epsilon в определении средней наработки на отказ не превышала 0,2. Предполагается, что наработка между отказами распределяется экспоненциально.


Решение. В соответствии с п. 4.3 Приложения 4 по табл. 27 для q = 0,8 и \epsilon = 0,2 определим прогнозируемое число отказов r, равное 29. Объем выборки № находим, полагая \chi = 2 :


 N = \{ \frac{r}{\chi} \} = \{ \frac{29}{2} \} = 14.


Для \chi = 0,5 объем выборки № равен


 N = \{ \frac{r}{\chi} \} = \{ \frac{29}{0,5} \} = 58.


Пример 7. Для плана [NMr] определить число отказов, чтобы с доверительной вероятностью q = 0,8 предельная относительная ошибка в определении коэффициента готовности не превышала 0,10. Коэффициент вариации наработки между отказами равен 0,4; коэффициент вариации времени восстановления равен 0,6.


Решение. В соответствии с п. 4.2 Приложения 4 по табл. 33 находим q = 0,8; \epsilon = 0,1 ; \upsilon = 0,4 ; \upsilon_{\text{в}} = 0,6 находим r = 40.


Пример 8. Для плана [NUN] определить объем выборки N, чтобы с доверительной вероятностью q = 0,9 предельная относительная ошибка в оценке средней наработки до отказа не превышала \epsilon = 0,15 . Коэффициент вариации равен 0,6. Закон распределения наработки до отказа неизвестен.


Решение. В соответствии с п. 5 Приложения 4 находим объем выборки № для случаев, когда распределения наработки до отказа являются Вейбулловски и логарифмически нормальными. В соответствии с п. 1.1 Приложения 4 по табл. 6 и табл. 8 находим N = 32 и N = 25.


Таким образом, объем выборки № равен 32.


Пример 9. Определить объем выборки № при биноминальных испытаниях для оценки нижней доверительной границы вероятности безотказной работы P(T) за наработку T с доверительной вероятностью q = 0,80 при допустимом числе отказавших изделий d = 5. Ожидаемое значение P(T) = 0,80 .


Решение. В соответствии с п. 3.5 Приложения 4 объем выборки № определяют по табл. 28.


Для P(T) = 0,80 ; q = 0,80 и d = 5 объем выборки N = 38.


Пример 10. По результатам испытаний по плану [NUz] получены следующие исходные данные для оценки показателей надежности:


10 выборочных значений наработки до отказа t (тыс. км): 25; 59; 61; 65; 79; 98; 109; 118; 153; 195;


10 выборочных значений наработки до цензурирования \tau (10 изделий остались в работоспособном состоянии к моменту окончания испытаний): 36; 48; 71; 85; 88; 102; 129; 138; 156; 200.


Определить точечные оценки средней наработки до отказа \widehat{T}_{cp} , вероятности безотказной работы за 72 ч \hat{P}(72) и с доверительной вероятностью q = 0,8 нижние доверительные границы T_{cp} и P(72) .


Решение. В соответствии с п. 1.2 Приложения 5 наработки до отказа и наработки до цензурирования выстраивают в общий вариационный ряд в порядке неубывания наработок (наработки до цензурирования помечены ): 25; 36; 48*; 52; 61; 65; 71*; 79; 85*; 88*; 98; 102*; 109; 118; 129*; 138*; 153; 156*; 195; 200*.


В соответствии с п. 1.2 Приложения 5 вычисляют оценку функции распределения \hat{F}(t) :


 \hat{F}(t_{1}) = \hat{F}(25) = 1 - \frac{N_{1} - 1}{N_{1}} = 1 - \frac{20 - 1}{20} = 0,050;


 \hat{F}(t_{2}) = \hat{F}(52) = 1 - \frac{N_{1} - 1}{N_{1}} \cdot \frac{N_{2} - 1}{N_{2}} = 1 - \frac{20 - 1}{20} \cdot \frac{17 - 1}{17} = 0,106;


 формула


 формула


 формула


Аналогично подсчитывают:


 \hat{F}(t_{6}) = \hat{F}(98) = 0,350;


 \hat{F}(t_{7}) = \hat{F}(109) = 0,431;


 \hat{F}(t_{8}) = \hat{F}(118) = 0,513;


 \hat{F}(t_{9}) = \hat{F}(153) = 0,634;


 \hat{F}(t_{10}) = \hat{F}(195) = 0,817.


По формулам табл. 36 вычисляют точечные оценки \widehat{T}_{cp} и \hat{P}(t) :


 \widehat{T}_{cp} = \sum_{i = 1}^{r} t_{i}[\hat{F}(t_{i}) - \hat{F}(t_{i - 1})] + [1 - \hat{F}(t_{r})] \cdot z_{max};


Здесь


 z_{max} = max(195;200) = 200.


 формула


 \hat{P}(t) = \hat{P}(72) = 1 - \hat{F}(t_{4}) - d_{2}[\hat{F}(t_{5}) - F(t_{4})],


где d_{2} = (72 - 65)/(79 - 65) = 0,5;


 \hat{P}(72) = 1 - 0,218 - 0,5(0,278 - 0,218) = 0,752.


По формулам табл. 37 вычисляют нижнюю доверительную границу для средней наработки до отказа:


 5. Методы оценки показателей надежности


По формулам табл. 37 вычисляют нижнюю доверительную границу для вероятности безотказной работы:


 P(72) = 1 - \overline{F}(t_{4}) - d_{2}[\overline{F}(t_{5}) - \overline{F}(t_{4})];


 формула


 формула


 P(72) = 1 - 0,315 - 0,5(0,390 - 0,315) = 0,647.


Пример 11. По результатам испытаний по плану [NUz] получены следующие исходные данные для оценки показателей надежности (основная экспериментальная информация): 5 выборочных значений наработки до отказа: 1,96; 2,92; 6,45; 8,84; 9,95 (час); 5 выборочных значений наработки до цензурирования: 1,78; 2,03; 9,21; 11,24; 16,9 (час).


Определить точечные и интервальные оценки средней наработки до отказа T_{cp} . Наработка до отказа подчиняется распределению Вейбулла.


Решение. Вычисления проводим в соответствии с п. 1 Приложения 7.


Вычисляем точечные оценки параметров распределения в соответствии с Приложением в следующей последовательности (\epsilon = 0,01) :


Вычисляют коэффициент A:


 A = \frac{\sum_{i = 1}^{r} lnt_{i}}{r} = \frac{0,673 + 1,072 + ... + 2,2}{5} = 1,617


вычисляют начальное приближение \widehat{b}_{0} :


 \widehat{b}_{0} = \frac{r + 1}{(A - lnt_{1})(0,23r + 3,71)} = \frac{3}{(1,617 - 0,673) \cdot (0,23 \cdot 5) + 3,71} \approx 1,2;


вычисляют 1-е приближение \widehat{b}_{1} :


 \widehat{b}_{1} = \frac{1}{\frac{\sum_{i = 1}^{r} lnt_{i} \cdot t_{i}^{\widehat{b}_{0}} + \sum_{j = 1}^{n} ln\tau_{j}\tau_{j}^{\widehat{b}_{0}}}{\sum_{i = 1}^{r} t_{i}^{\widehat{b}_{0}} + \sum_{j = 1}^{n} \tau_{j}^{\widehat{b}_{0}}} - A} = 1,49.


Аналогично вычисляют


 \widehat{b}_{2} = 1,39 ; \widehat{b}_{3} = 1,44 ; \widehat{b}_{4} = 1,41 ; \widehat{b}_{5} = 1,42 .


Так как | \frac{\widehat{b}_{5} - \widehat{b}_{4}}{\widehat{b}_{4}} | = 0,007<0,01 , то в качестве оценки параметра \hat{b} следует принять \widehat{b}_{5} = b = 1,42 .


Вычисляют оценку параметра \hat{a} :


 a = (\frac{\sum_{i = 1}^{r} t_{i}^{\hat{b}} + \sum_{j = 1}^{n} \tau_{\hat{j}}^{b}}{r})^{1/\hat{b}} = (36,87)^{1/1,42} = 12,68.


Вычисляют точечную оценку средней наработки до отказа по формуле табл. 38 Приложения 5


 \widehat{T}_{cp}\hat{a}\text{Г}(1 + 1/\hat{b}) = 12,68 \cdot \text{Г}(1 + 1/1,42) = 11,53.


Вычисляют нижнюю одностороннюю границу средней наработки до отказа T_{cp} по формуле табл. 48 Приложения 5.


Значение V_{q} определяют по табл. 65 Приложения 8 для


N = 10 и формула


 V_{q} = V_{0,9} = 0,66.


 T_{cp} = \widehat{T}_{cp} \cdot exp(- \frac{V_{q}}{\hat{b}}) = 11,53 \cdot exp(\frac{0,66}{1,42}) = 7,24.


Пример 12. По результатам испытаний по плану [NUz] определить точечные и интервальные оценки с доверительной вероятностью q = 0,9 средней наработки до отказа T_{cp} и 90%-ной наработки до отказа. Исходные данные — по примеру 11.


Наработка до отказа подчиняется нормальному распределению.


Решение. Вычисление проводим в соответствии с п. 2.2 Приложения 5.


Вычисляем точечные оценки параметров в соответствии с Приложением 7 в следующей последовательности. (Точность решения уравнений \epsilon_{1} = \epsilon_{2} = 0,05 ).


Уравнения для вычисления оценок \mu_{0} и \sigma_{0} имеют вид:


 формула


 \widehat{\mu}_{0} = \frac{A}{B} + \frac{D}{B} \widehat{\sigma}_{0} = \frac{56,53}{8,2} + \frac{4}{8,2} \cdot 6,31 = 9,96.


Здесь формула


 B = r + \lambda\prime(0) \cdot n = 5 + 0,64 \cdot 5 = 8,2;


 формула


 D = \lambda(0) \cdot n = 0,8 \cdot n = 0,8 \cdot 5 = 4;


 E = \lambda(0) \sum_{j = 1}^{n} \tau_{j} = 0,8 \sum_{j = 1}^{5} \tau_{j} = 0,8 \cdot 41,26 = 33,0.


Для вычисления первого приближения \widehat{\sigma}_{1} и \widehat{\mu}_{1} необходимо определить остаточный член \Delta_{1} линейного разложения \lambda(x) :


 \Delta_{1}^{1} = \lambda(\frac{\tau_{j} - \widehat{\mu}_{0}}{\widehat{\sigma}_{0}}) - \lambda(0) - \lambda\prime(0) \cdot \frac{\tau_{j} - \widehat{\mu}_{0}}{\widehat{\sigma}_{0}} .


После подстановки значений \widehat{\mu}_{0} , \widehat{\sigma}_{0} получаем (индекс \tau при \Delta опущен):


 \Delta_{1}^{1} = \lambda(\frac{1,78 - 9,96}{6,31}) - 0,8 - 0,64 \cdot \frac{1,78 - 9,96}{6,31} = 0,22.


Аналогично вычисляем:


 \Delta_{2}^{1} = \lambda(\frac{2,03 - 9,96}{6,31}) - 0,8 - 0,64 \cdot \frac{2,03 - 9,96}{6,31} = 0,18;


 \Delta_{3}^{1} = \lambda(\frac{9,31 - 9,96}{6,31}) - 0,8 - 0,64 \cdot \frac{9,31 - 9,96}{6,31} = 0,00;


 \Delta_{4}^{1} = \lambda(\frac{11,24 - 9,96}{6,31}) - 0,8 - 0,64 \cdot \frac{11,24 - 9,96}{6,31} = 0,00;


 \Delta_{5}^{1} = \lambda(\frac{16,9 - 9,96}{6,31}) - 0,8 - 0,64 \cdot \frac{16,9 - 9,96}{6,31} = 0,07.


Вычисляем


 \Delta_{1} - \sum_{j = 1}^{5} \Delta_{j}^{1} = 0,47;


 F_{1} = \sum_{j = 1}^{5} \Delta_{j}^{1}\tau_{j} = 0,22 \cdot 1,78 + 0,18 \cdot 2,03 + ... + 16,9 \cdot 0,07 = 1,94.


Подставляя полученные значения в уравнение относительно \hat{\sigma} , находим:


 \widehat{\sigma}_{1} = \frac{(E - A \frac{D + \Delta_{1}}{B} + F_{1}) + \sqrt{(E - A \frac{D + \Delta_{1}}{B} + F_{1})^{2} + 4r(C - \frac{A^{2}}{B})}}{2r} = 6,44;


 \widehat{\mu}_{1} = \frac{A}{B} + (\frac{D + \Delta_{1}}{B})\widehat{\sigma}_{1} = 10,4.


Проверяем, достигнута ли требуемая точность


 | \frac{\widehat{\sigma}_{1} - \widehat{\sigma}_{0}}{\widehat{\sigma}_{1}} | = | \frac{6,44 - 6,31}{6,44} | = 0,02<0,05;


 | \frac{\widehat{\mu}_{1} - \widehat{\mu}_{0}}{\widehat{\mu}_{1}} | = | \frac{10,4 - 9,96}{10,4} | = 0,04<0,05.


Следовательно, точечные оценки \hat{\mu} и \hat{\sigma} равны: \hat{\mu} = 10,4 ; \hat{\sigma} = 6,44 .


Необходимо подчеркнуть, что истинные (смоделированные) значения параметров были равны \mu = 10 ; \sigma = 6,78 .


Вычисляют точечную и интервальную (нижнюю доверительную границу) оценки средней наработки до отказа \widehat{T}_{cp} и \widehat{T}_{cp} по формулам из табл. 38, 51:


 \widehat{T}_{cp} = \hat{\mu} = 10,4(\text{ч});


 формула


Квантиль распределения Стьюдента t_{q}(r - 1) определяют по табл. 72.


Вычисляют точечную и интервальную (нижнюю доверительную границу) 90% наработки до отказа \widehat{T}_{90\%} и T_{90\%} по формулам из табл. 38, 51:


 \widehat{T}_{90\%} = \hat{\mu} - U_{\gamma}\hat{\sigma} = 10,4 - U_{0,9} \cdot 6,44 = 10,4 - 1,282 \cdot 6,44 = 2,14(\text{ч});


 T_{90\%} = \widehat{T}_{cp} - K_{1}(\gamma,q,r)\hat{\sigma} = 10,4 - 2,742 \cdot 6,44<0.


Следовательно, T_{90\%} = 0 .


Значение U_{\gamma} определяют из табл. 66.


Значение K_{1}(\gamma,q,r) определяют по табл. 73.


Пример 13. По результатам испытаний 10 восстанавливаемых изделий вычислить оценку средней наработки на отказ \widehat{T}_{0} . Испытания проводились по плану [NMT] в течение T = 1000 ч, при этом было зафиксировано 6 отказов. Распределение наработки между отказами неизвестно.


Решение. В соответствии с п. 1.3 Приложения 5 определяют суммарную наработку 10 изделий за время испытаний:


S = N · T = 10 · 1000 = 10000 (ч).


Вычисляют точечную оценку средней наработки на отказ:


 \widehat{T}_{0} = \frac{S}{r} = \frac{10000}{6} = 1667(\text{ч}).


Вычисляют нижнюю доверительную границу средней наработки на отказ при доверительной вероятности q = 0,8 по формулам табл. 46, 47


 формула


Пример 14. По результатам примера 13 вычислить оценку средней наработки на отказ, если за время испытаний отказов не наблюдалось.


Решение. Вычисляют нижнюю доверительную границу наработки на отказ по формулам табл. 46 и 47, значение r_{0} определяют по табл. 66


 T_{0} = \frac{S}{r_{0}} = \frac{10000}{1,61} \approx 6200(\text{ч}).


Пример 15. Определить точечную оценку и нижнюю доверительную границу вероятности безотказной работы технического объекта за 100 (ч). Структурная схема надежности объекта представлена на черт. 10. Доверительная вероятность q = 0,8.


 5. Методы оценки показателей надежности


Черт. 10


Одинаковыми цифрами обозначены однотипные составные части.


Испытания объекта проводились по плану [NUT], N = 3, T = 300 ч.


Закон распределения наработок до отказа элементов объекта — экспоненциальный. Результаты испытаний объекта представлены в табл. 77.


Таблица 77


Результаты испытаний объекта





Номер объектаНаработки до отказа в часах


элемента первого типаэлемента второго типаобъекта в целом


1250-250


2-150, 280280


3-1250, 300300




В качестве дополнительной информации о надежности элементов первого типа используют результаты автономных испытаний элемента в ужесточенном режиме.


За время испытаний произошло 3 отказа. Наработки отказавших элементов составили 100, 350, 200 (ч).


Отношение средних наработок до отказа в автономных и системных испытаниях элемента первого типа имеет вид:


 K_{2} = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{1}{2} .


В качестве дополнительной информации о надежности элементов второго типа используются результаты автономных испытаний элемента-прототипа. Испытания проводились по плану [NUT], N = 8, T = 400. Заведомо известно, что надежность прототипа не превосходит надежности элемента второго типа.


Решение. Объединенные (с использованием дополнительной информации) оценки показателей надежности элемента первого типа получают по формулам Приложения 7 в условиях ТС-2 <*>:


 \widehat{a}_{11}^{0} = \frac{830 + 2 \cdot 2150}{1 + 3} = 1282,5;


 \sqrt{{}^{D}{_{11}^{\widehat{a}^{0}}} }^{=} \sqrt{\frac{(1282,5)^{2}}{4}} = 641,25;


 \widehat{P}_{11}^{0}(100) = exp\{ - \frac{100}{1282,5} \} = 0,93;


 a_{11}^{0}1282,5 - 0,842 \cdot 641,25 = 742,57;


 формула





<*> Здесь и далее первый индекс соответствует типу элемента.


Объединенные оценки показателей надежности элементы второго типа получают по формулам Приложения 7 в условиях ТС-4. При этом вначале получают точечные оценки средней наработки до отказа по основным и дополнительным данным:


 \widehat{a}_{21} = \frac{1480}{4} = 370;


 \widehat{a}_{22} = \frac{2400}{5} = 480.


Поскольку \widehat{a}_{22}>\widehat{a}_{21} , объединенная точечная оценка средней наработки до отказа вычисляется следующим образом


 \widehat{a}_{21}^{0} = \frac{1480 + 2400}{4 + 5} = 431,11.


Тогда


 \widehat{P}_{21}^{0}(100) = exp\{ - \frac{100}{431,11} \} = 0,79.


В соответствии с методами Приложения 7 в условиях ТС-4 для определения нижней доверительной границы элемента второго типа, соответствующей доверительной вероятности q = 0,8, определяют нижние доверительные границы по основной и дополнительной информации отдельно с доверительной вероятностью


 \sqrt{q} \approx 0,9.


В соответствии с Приложением 5 вычисляют нижние доверительные границы для вероятности безотказной работы для экспоненциального распределения


 P_{22}(100) = 0,68. P_{21}(100) = 0,58


Таким образом, объединенная интервальная оценка вероятности безотказной работы элемента второго типа, соответствующая доверительной вероятности 0,80, равна


 P_{21}^{0}(100) = 0,68.


В соответствии со структурной схемой надежности функция связи вероятности безотказной работы объекта с вероятностями безотказной работы элементов имеет вид:


 P_{1} = P_{11}[1 - (1 - P_{21})^{2}],


поэтому объединенная точечная оценка вероятности безотказной работы объекта имеет вид:


 \widehat{P}_{1}^{0} = 0,93[1 - (1 - 0,79)^{2}] = 0,89.


Интервальная оценка вероятности безотказной работы объекта определяется в соответствии с Приложением 5 методом подстановки:


 P_{1}^{0} = 0,87[1 - (1 - 0,68)^{2}] = 0,78.


Пример 16. Определить нижнюю доверительную границу вероятности безотказной работы P(T) за наработку T с доверительной вероятностью q = 0,90. При биноминальных испытаниях (по плану [NUT]) N = 20 изделий зафиксировано 2 отказа.


Решение. В соответствии с п. 2.1 Приложения 8 нижняя доверительная граница P(T) вероятности безотказной работы за наработку T равна:


 формула