Инструкция по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на динамические нагрузки
Актуально на 09.11.2026.
Как цитировать: "Инструкция по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на динамические нагрузки". https://bukva.ai/docs/instruktsiya-po-raschetu-nesuschih-konstruktsiy
ИНСТРУКЦИЯ ПО РАСЧЕТУ НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИЙ ПРОМЫШЛЕННЫХ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ
В настоящей Инструкции приведены указания по расчету и проектированию несущих конструкций промышленных зданий и сооружений, воспринимающих динамические воздействия эксплуатационного характера от машин и оборудования, установленных на перекрытиях или отдельных площадках.
Инструкция разработана в лаборатории динамики Центрального научно-исследовательского института строительных конструкций им. В.А. Кучеренко д-ром техн. наук А.И. Цейтлиным. Примеры расчета составлены отделом конструкций с динамическими нагрузками ЦНИИ промзданий (канд. техн. наук И.С. Арнапольский и инж. Э.А. Неустроев). Таблицы балочных функций вычислены институтом Гипротис.
В работе над Инструкцией принимала участие инж. Н.И. Гусева.
Общее редактирование Инструкции выполнено руководителем лаборатории динамики ЦНИИСК д-ром техн. наук проф. Б.Г. Кореневым.
1.1. В настоящей Инструкции приводятся указания по расчету и проектированию несущих конструкций промышленных зданий и сооружений, подвергающихся действию динамических нагрузок, вызванных:
а) нормальной работой, пуском, остановкой или аварией установленных в здании (сооружении) машин и оборудования с возвратно-поступательным, вращательным и тому подобным движением масс;
б) быстро прикладываемыми силами (при разрушении напряженных конструкций, обрыве канатов, включении и коротком замыкании электромашин и т.д.), свободно падающими или летящими телами;
в) колебаниями основания здания и сооружений вследствие распространения гармонических волн от фундаментов машин и установок, создающих динамические нагрузки;
г) пульсацией давления газа в трубопроводах, внезапным изменением давления газа или жидкости в испытательных камерах, реактивным действием газовой струи и т.д.
Примечание. В Инструкции не рассматриваются вопросы расчета строительных конструкций на действие ветра, морского волнения, подвижных нагрузок и сейсмических воздействий, вызванных землетрясениями и промышленными взрывами.
1.2. Наряду с общими указаниями по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на действие различных динамических нагрузок в настоящей Инструкции и приложениях к ней приводятся подробные сведения, необходимые для расчета конструкций на периодические и гармонические нагрузки, вызываемые работой машин и оборудования.
Подробные данные по расчету перекрытий на импульсивные и ударные нагрузки эксплуатационного характера приводятся в «Инструкции по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки» (Стройиздат, 1966). Методы, изложенные в указанной Инструкции, могут быть использованы также для расчета других конструкций на импульсивные и ударные нагрузки.
Подробные данные по расчету покрытий приводятся в «Инструкции по расчету покрытий промышленных зданий, воспринимающих динамические нагрузки» (Стройиздат, 1967).
Определение динамических нагрузок, возникающих при работе машин, установок и оборудования, при отсутствии достаточных сведений о них в паспортных данных производится в соответствии с «Инструкцией по определению динамических нагрузок от машин, устанавливаемых на перекрытиях промышленных зданий» (Стройиздат, 1966) и «Инструкцией по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки».
Сведения по динамическому расчету конструкций приводятся также в «Инструкции по устранению вредных воздействий вибрации рабочих мест на предприятиях железобетонных изделий» (СН 190-61) и в «Инструкции по мерам борьбы с вибрационными воздействиями технологического оборудования при проектировании зданий и сооружений промышленности нерудных строительных материалов» (Стройиздат, 1968).
1.3. Несущие конструкции зданий и сооружений, подвергающиеся действию динамических нагрузок, проектируются в соответствии с требованиями действующих строительных норм и правил проектирования соответствующих конструкций с учетом указаний настоящей Инструкции.
1.4. Исходные данные для проведения расчета несущих конструкций, подвергающихся действию динамических нагрузок, должны содержать:
а) планы и разрезы здания или сооружения;
б) схемы размещения оборудования с указанием веса и способа закрепления на несущей конструкции, а также все полезные нагрузки;
в) характеристики динамических нагрузок:
направление и характер приложения к конструкции динамических нагрузок (сосредоточенные силы, моменты, распределенная нагрузка);
сведения об изменении нагрузки во времени: для гармонической нагрузки — амплитуда и период; для периодической нагрузки — период и закон изменения нагрузки за период (или периоды, амплитуды и фазы составляющих гармоник); для однократной ударной или импульсивной нагрузки — закон изменения во времени; для периодических ударов и импульсов — период и закон изменения нагрузки за период; для нагрузок, возникающих при пуске и остановке машин, — скорость нарастания или убывания числа оборотов;
г) при отсутствии данных о динамических нагрузках, требуемых в п. «в», — сведения о машинах и установках, являющихся источниками колебаний, позволяющие определить эти нагрузки расчетным путем:
типы машин, их количество и способ крепления к несущим конструкциям;
характеристики двигателя (вид двигателя, мощность, общий вес и вес ротора, число оборотов);
число оборотов главного вала машины в минуту (или число ходов, ударов в минуту), а также скорость их нарастания при пуске и убывания при остановке машины;
кинематическая схема машины; размеры и масса движущихся частей, моменты инерции; величины эксцентриситетов вращающихся частей, радиусов эксцентриков, радиусов кривошипов или ходов возвратно-поступательно движущихся частей; массы и скорости ударяющихся частей в момент удара, геометрические формы контактных поверхностей;
д) среднее число пусков (включений) машины в сутки, средняя продолжительность работы машины между двумя последовательными пусками;
е) данные о гармонических колебаниях оснований зданий (период и амплитуда перемещений);
ж) сведения о пребывании людей на колеблющихся конструкциях с указанием среднего времени пребывания в процентах к рабочему времени;
и) технологические требования к уровню колебаний несущих конструкций, на которых размещаются чувствительные к колебаниям машины и приборы, а также характеристики машин, измерительных приборов и оборудования по чувствительности к колебаниям согласно табл. 12 настоящей Инструкции;
к) описание промышленной площадки, краткие сведения о грунтах и возможных источниках колебаний, расположенных в радиусе до 500 м от проектируемого здания или сооружения.
1.5. Динамический расчет несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на действие нагрузок эксплуатационного характера, как правило, носит поверочный характер и преследует цель проверить допустимость перемещений и внутренних усилий конструкции, рассчитанной на статические нагрузки, при совместном действии статических и динамических нагрузок с точки зрения выполнения требований:
а) прочности, выносливости (а в некоторых случаях и деформативности) конструкций;
б) санитарно-гигиенических норм;
в) технологии производственных процессов.
Если расчетом установлен недопустимо высокий уровень колебаний конструкций, то необходимо провести специальные мероприятия (изменение расположения машин, применение виброизоляции, балансировка, уравновешивание и изменение числа оборотов машин и т.д.), позволяющие уменьшить колебания. Существенное увеличение поперечных сечений и армирования, а также изменение конструктивных схем элементов несущих конструкций в целях понижения уровня колебаний, связанное со значительными дополнительными затратами, допускается лишь в отдельных случаях и должно обосновываться технико-экономическим расчетом, подтверждающим экономическую целесообразность проведения мероприятий конструктивного характера.
1.6. Динамический расчет строительных конструкций, для которых динамические нагрузки являются основными, может влиять на выбор конструктивной схемы и размеров поперечных сечений и пролетов элементов, если указанные в п. 1.5 специальные мероприятия по уменьшению колебаний оказываются недостаточно эффективными, экономически нецелесообразными или технически невыполнимыми.
ОБЪЕМНО-ПЛАНИРОВОЧНЫЕ И КОНСТРУКТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ
1.7. Машины, установки и оборудование, создающие значительные динамические нагрузки, рекомендуется располагать на полу первых этажей многоэтажных зданий или на отдельных фундаментах, не связанных с каркасом. При необходимости устанавливать машины и оборудование с динамическими нагрузками на перекрытиях желательно располагать их на возможно большем удалении от приборов I и II класса чувствительности к колебаниям (табл. 12), например помещать те и другие в противоположных крыльях здания и на различных этажах.
Устанавливаемые вне зданий на самостоятельных фундаментах машины и установки (например, дизели, компрессоры, копры, молоты), являющиеся источниками колебаний, передающихся через грунт на близлежащие здания, рекомендуется располагать возможно дальше от жилых и общественных зданий, а также от промышленных зданий, в которых размещаются механизмы и приборы I и II класса чувствительности к колебаниям.
1.8 Возможны два вида связи машин и оборудования с несущими конструкциями:
а) жесткая связь, когда машина или элемент оборудования связаны с конструкцией специальными жесткими креплениями или опираются на конструкцию без креплений;
б) гибкая связь, когда между машиной или элементом оборудования и несущей конструкцией вводятся податливые вставки-виброизоляторы с целью уменьшения динамического воздействия на конструкцию (активная виброизоляция) или с целью изоляции машины или прибора от колеблющейся конструкции (пассивная виброизоляция).
Для каждого из указанных видов связи машин и оборудования с несущими конструкциями возможны два способа установки:
а) непосредственно на конструкцию или виброизоляторы;
б) на специальный постамент (бетонная или железобетонная подушка, металлическая рама и т.д.), опирающийся на конструкцию или виброизоляторы или являющийся частью конструкции.
Примечания: 1. Во избежание горизонтальных смещений свободно стоящих или виброизолированных машин рекомендуется устройство креплений или боковых упоров, препятствующих этим смещениям.
2. Размеры и вес постамента при установке на виброизоляторы определяются кроме обычных конструктивных требований динамическим расчетом для обеспечения надлежащего эффекта виброизоляции.
1.9. Машины и установки с большими динамическими нагрузками можно опирать (либо подвешивать) на специальные опорные конструкции, имеющие самостоятельные фундаменты и не связанные с каркасом здания. В отдельных случаях возможно также применение опорных конструкций, соединенных с колоннами каркаса, но не связанных с перекрытиями.
1.10. Конструкции зданий и сооружений, в которых устанавливаются машины и оборудование с динамическими нагрузками, рекомендуется выполнять из железобетона.
При наличии машин IV категории динамичности (табл. 7) желательно применять только монолитные и сборно-монолитные железобетонные конструкции.
1.11. Устройство перекрытий должно обеспечивать достаточную жесткость их в своей плоскости с тем, чтобы горизонтальные динамические нагрузки распределялись на все рамы каркаса или стены здания (отсека, если здание разрезано деформационными швами).
При проектировании сборных железобетонных перекрытий должны предусматриваться соответствующие конструктивные мероприятия, обеспечивающие связь плит друг с другом. Деревянные перекрытия в виде настилов по металлическим балкам под машины с динамическими нагрузками выше I категории применять не рекомендуется.
1.12. При необходимости жесткость каркаса здания или сооружения может быть повышена посредством введения специальных диафрагм, связанных с каркасом. Диафрагмы могут быть решены в виде железобетонных перегородок и рам, крестовых или портальных стальных связей. Жесткость здания в продольном направлении может быть увеличена путем образования продольных рам с жесткими узлами за счет жесткого соединения ригелей с колоннами.
Жесткость каркасно-панельных зданий может быть повышена путем соответствующей раскладки стеновых панелей.
1.13. В несущих конструкциях, подвергающихся действию динамических нагрузок, применение бетона проектной марки ниже 200 не рекомендуется.
1.14. В предварительно напряженных железобетонных конструкциях, подлежащих расчету на прочность с учетом выносливости, минимальная проектная марка бетона и кубиковая прочность бетона при его обжатии, принимаемые по табл. 1 СНиП II-В.1-62, должны быть увеличены на 20 — 25%.
1.15. В железобетонных конструкциях, подлежащих расчету на прочность с учетом выносливости, арматурная сталь принимается по табл. 1 в зависимости от температурных условий эксплуатации конструкций.
Сводная таблица для определения области применения арматурных сталей в железобетонных конструкциях, подвергающихся действию динамических нагрузок (знак «+» означает допускается, знак «-» — не допускается)
| Вид и класс стали | Марка стали и диаметр в мм | Температурные условия эксплуатации конструкций | ||||
| в отапливаемых зданиях | на открытом воздухе и в неотапливаемых зданиях при температуре в °C | |||||
| до -30 | от -30 до -40 | ниже -40 | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| Стержневая горячекатаная гладкая класса А-I | Ст.3сп (мартеновская и конверторная) Ø6 — 40 | + | + | - | - | |
| Ст.3пс (мартеновская и конверторная) Ø6 — 40 | + | + | - | - | ||
| Ст.3кп (мартеновская и конверторная) Ø6 — 40 | + | + | - | - | ||
| ВМСт.3сп Ø6 — 40 | ВКСт.3сп Ø6 — 40 | + | + | + | + | |
| ВМСт.3пс Ø6 — 40 | ВКСт.3пс Ø6 — 40 | + | + | + | - | |
| ВМСт.3кп Ø6 — 40 | ВКСт.3кп Ø6 — 40 | + | + | - | - | |
| Обыкновенная арматурная проволока и сварные сетки из нее | Ø3 — 8 | + | + | + | + | |
| Стержневая горячекатаная периодического профиля класса А-II | Ст.5сп (мартеновская и конверторная) Ø10 — 40 | + | + | + <*> | - | |
| Ст.5пс (мартеновская) Ø10 — 16 | + | + | + <*> | - | ||
| Ст.5пс (март.) Ø18 — 40 | Ст.5пс (конв.) Ø10 — 40 | + | + <*> | - | - | |
| 18Г2С Ø40 — 90 | + | + | + | + | ||
| Стержневая, упрочненная вытяжкой, периодического профиля класса А-IIв | Ст.5сп (мартеновская и конверторная) Ø10 — 40 | + | + <*> | - | - | |
| Ст.5пс (мартеновская и конверторная) Ø10 — 40 | - | - | - | - | ||
| 18Г2С Ø40 — 90 | + | + | - | - | ||
| Стержневая горячекатаная периодического профиля класса А-III | 25Г2С Ø6 — 40 | + | + | + | + <*> | |
| 35ГС Ø6 — 40 | + | + | + <*> | - | ||
| 18Г2С Ø6 — 9 | + | + | + | + | ||
| Стержневая, упрочненная вытяжкой, периодического профиля класса А-IIIв | 25Г2С Ø6 — 40 | + | + | - | - | |
| 35ГС Ø6 — 40 | + | - | - | - | ||
| Стержневая горячекатаная периодического профиля класса А-IV | 20ХГ2Ц Ø10 — 32 | + | + | + | + | |
| 20ХГСТ Ø10 — 18 | + | + | - | - | ||
| 80С Ø10 — 18 | + | - | - | - | ||
| Высокопрочная арматурная проволока гладкая | Ø3 — 8 | + | + | + | + | |
| Высокопрочная арматурная проволока периодического профиля | Ø3 — 8 | + | + | + | + | |
| Арматурные пряди, канаты (тросы) | - | + | + | + | + | |
<*> Арматурная сталь может применяться только в вязаных каркасах и сетках.
1.16. Для конструкций, не подлежащих расчету на прочность с учетом выносливости (см. п. 2.7), арматурная сталь принимается в соответствии с требованиями СНиП II-В.1-62, предъявляемыми к конструкциям, рассчитываемым на статические нагрузки.
1.17. Для машин, механизмов и приборов I и II класса чувствительности к колебаниям, устанавливаемых на перекрытиях, а также во всех других случаях, когда по условиям производства можно допустить лишь колебания с очень малыми амплитудами, рекомендуется применять монолитные и сборно-монолитные железобетонные перекрытия.
1.18. Машины и приборы, чувствительные к горизонтальным колебаниям, желательно располагать на перекрытиях таким образом, чтобы разность смещений опор вследствие вертикальных колебаний была минимальной.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
1.19. Расчетные сопротивления материалов строительных конструкций, воспринимающих динамические нагрузки от машин, установок и оборудования, принимаются независимыми от скорости деформирования и равными расчетным сопротивлениям при статическом нагружении. Модуль упругости материалов при динамическом нагружении принимается равным статическому модулю упругости.
Примечания: 1. При расчете ограждающих и несущих конструкций на кратковременные однократные воздействия, не связанные с нормальной работой машин, установок и оборудования (например, при авариях), разрешается допускать развитие пластических деформаций и даже разрушение отдельных элементов конструкций, если это не вызывает нежелательных последствий. При этом следует учитывать увеличение пределов прочности и текучести при высоких скоростях деформирования.
2. При проведении динамических расчетов несущих конструкций в качестве модуля упругости E принимается:
для стальных конструкций — модуль продольной упругости;
для бетонных и железобетонных конструкций — модуль упругости бетона при сжатии;
для каменных и армокаменных конструкций — начальный модуль упругости кладки;
для деревянных конструкций E = 100 000 кГ/см2 независимо от породы древесины.
Для модуля сдвига кирпичной кладки и бетонных панелей ограждения допускается принимать приближенное значение G = 0,3E, где E — начальный модуль упругости кирпичной кладки.
1.20. Способность материала конструкций поглощать энергию колебаний вследствие внутреннего трения, обусловливающая затухание свободных колебаний, характеризуется коэффициентом поглощения \psi , представляющим отношение энергии, необратимо поглощенной в конструкции за один полный цикл колебаний, к полной энергии упругих колебаний конструкции за тот же цикл. Коэффициент поглощения \psi равен удвоенному логарифмическому декременту затухания \delta собственных колебаний конструкций. В расчетах используется коэффициент неупругого сопротивления \gamma :
\gamma = \frac{\psi}{2\pi} = \frac{\delta}{\pi} , (1)
значения которого для различных материалов (при изгибных колебаниях конструкций) приведены в табл. 2.
Дифференциацией коэффициента неупругого сопротивления по категориям динамических нагрузок (см. табл. 7 и 8) приближенно учитывается зависимость поглощения энергии вследствие внутреннего трения от величины динамических напряжений в конструкциях.
1.21. В случае составной, многослойной и комбинированной конструкции, выполненной из различных материалов, суммарная жесткость которой D = \sum_{n = 1}^{m} D_{n} , коэффициент \gamma определяется по формуле
\gamma = \frac{\sum_{n = 1}^{m} \gamma_{n}D_{n}}{D} , (2)
где \gamma_{n} — коэффициент неупругого сопротивления n-го элемента или составной части конструкции;
Dn — жесткость n-го элемента или составной части;
m — число элементов или составных частей конструкции.
Жесткость составных частей для монолитного сечения определяется относительно нейтральной оси всего сечения, для немонолитного — относительно своей нейтральной оси.
1.22. Расчетные сопротивления материала конструкций, подвергающихся действию статических и эпизодических динамических нагрузок (см. п. 1.27), принимаются такими же, как и при расчете на постоянные статические нагрузки.
1.23. Расчетные сопротивления материала конструкций, подвергающихся одновременному действию статических и систематических динамических нагрузок (см. п. 1.27), вычисляются путем умножения расчетных сопротивлений для статических нагрузок на понижающий коэффициент, зависящий от отношения \rho наименьшего напряжения в рассчитываемом сечении элемента \sigma_{min} к наибольшему напряжению \sigma_{max} (каждое напряжение со своим знаком) и определяемый согласно СНиП (для стальных конструкций — СНиП II-В.3-62, п. 8.9; для железобетонных конструкций — СНиП II-В.1-62, пп. 3.4 и п. 3.7). Отношение наименьшего напряжения к наибольшему можно определить по формуле
\rho = \frac{\sigma_{\text{мин}}}{\sigma_{\text{макс}}} = \frac{1 - s}{1 + s} , (3)
где s >= 0 — есть отношение абсолютной величины наибольшего динамического напряжения (усилия) к абсолютной величине статического напряжения (усилия).
1.24. Жесткость несущих конструкций, воспринимающих динамические нагрузки эксплуатационного характера, определяется по формулам, используемым в статических расчетах при условии упругой работы материала.
Жесткость изгибаемых элементов железобетонных конструкций, применяемых в промышленных зданиях под машины и установки с динамическими нагрузками, при определении динамических перемещений и напряжений допускается определять по формуле
где Eб — модуль упругости бетона;
J — момент инерции поперечного сечения элемента (для армированных конструкций без учета арматуры).
1.25. Жесткость изгибаемых элементов железобетонных конструкций особо ответственных зданий и сооружений при наличии соответствующих экспериментальных или опытных данных рекомендуется определять с учетом раскрытия трещин в растянутой зоне бетона.
1.26. Динамическая нагрузка характеризуется видом (сила, момент); законом изменения во времени ее величины (гармоническая, периодическая, импульсивная, внезапно приложенная и т.д.) и положения (неподвижная, движущаяся с постоянной или переменной скоростью и др.); направлением (вертикальная, горизонтальная и др.); характером распределения по конструкции (сосредоточенная, распределенная по заданному закону).
1.27. Динамические нагрузки в зависимости от продолжительности вызываемых ими колебаний и периодичности действия делятся на эпизодические и систематические. К эпизодическим нагрузкам относятся одиночные импульсы и удары, кратковременные перегрузки в аварийных режимах, нагрузки, возникающие при пуске и остановке машин во время перехода через резонанс (при числе пусков в сутки менее 5) и т.д. К систематическим нагрузкам относятся периодические и непериодические нагрузки при регулярной работе машин и установок в рабочем режиме, а также многократные импульсы и удары, при действии которых необходимо учитывать усталостные эффекты.
1.28. Динамические нагрузки от данной машины полностью определены, если известны направление, линия действия и законы изменения во времени их главного вектора и главного момента.
Динамические нагрузки, развиваемые большинством машин непрерывного действия, изменяются по гармоническому закону и только в отдельных случаях являются некоторыми периодическими (негармоническими) функциями времени. Эти функции разлагаются в тригонометрические ряды, в которых для целей динамического расчета используются первые, а иногда и высшие гармоники. Динамические нагрузки вычисляются как геометрические суммы сил и моментов сил инерции движущихся частей, ускорения которых определяются кинематикой механизма машины.
Если машина имеет номинально уравновешенные, а фактически неуравновешенные движущиеся части, то динамическая нагрузка зависит от величины эксцентриситетов вращающихся частей или от разности весов возвратно-поступательно движущихся частей, номинально уравновешивающих друг друга.
1.29. Различаются нормативные и расчетные динамические нагрузки, развиваемые машинами. Нормативные динамические нагрузки определяются согласно п. 1.30, а расчетные — согласно п. 1.31 настоящей Инструкции.
1.30. Нормативная динамическая нагрузка развивается машиной в ее нормальном состоянии, отвечающем техническим требованиям по эксплуатации машин.
Амплитуда динамической нагрузки, изменяющейся во времени по гармоническому закону, определяется по формуле
где R — нормативная амплитуда динамической нагрузки;
m = \frac{G}{g} — масса возвратно-поступательно движущихся или вращающихся частей машины (G — номинальный вес возвратно-поступательно движущихся или вращающихся частей машины; g — ускорение силы тяжести);
e — амплитуда перемещений центра масс, равная радиусу эксцентрика, половине хода в машинах с возвратно-поступательным движением массы, нормальному эксцентриситету вращающейся массы в ротационных машинах или нормальному приведенному эксцентриситету при сложном движении частей;
\omega = \frac{N\pi}{30} — круговая частота вращения главного вала машины в рад/сек (N — число оборотов главного вала машины в 1 мин).
Для машин с конструктивно неуравновешенными движущимися частями величины G и e известны (например, в машинах с эксцентриковыми механизмами G равно сумме весов движущихся частей, а e — радиусу эксцентрика).
Для машин с номинально уравновешенными вращающимися частями (центрифуги, вентиляторы и т.п.) величина G представляет собой полный вес вращающихся частей (например, в центрифугах — вес барабана и вала вместе с заполнением), а величина e — эксцентриситет, равный расчетному смещению центра вращающихся масс от оси вращения.
Приведенный эксцентриситет для вычисления нормативной амплитуды динамической силы по формуле (5) принимается согласно указаниям разделов 4, 5, 6, 10 и 12 «Инструкции по определению динамических нагрузок от машин, устанавливаемых на перекрытиях промышленных зданий».
Возмущающая сила R от ротационных машин, амплитуда которой определяется по формуле (5), постоянна по величине и вращается с угловой скоростью \omega в плоскости, перпендикулярной оси вращения и проходящей через центр тяжести вращающихся частей. Она может быть разложена по любым двум неподвижным взаимно перпендикулярным осям, расположенным в этой плоскости и имеющим начало координат на оси вращения, на составляющие Rsin\omega t и Rcos\omega t .
При определении нормативных динамических нагрузок от машин и установок импульсивного и ударного действия можно пользоваться указаниями «Инструкции по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки».
1.31. Расчетная динамическая нагрузка вычисляется путем умножения нормативной динамической нагрузки на коэффициент перегрузки kд, принимаемый по табл. 3.
Значения коэффициента перегрузки kд
Коэффициент перегрузки введен в связи с тем, что фактическая динамическая нагрузка может превышать ее нормативное (среднее) значение (п. 1.30) вследствие возможных отклонений параметров машин от их нормальных значений (в особенности большие отклонения возможны в величине e для машин с вращающимися частями), что связано с изменением режима работы машины, увеличением зазоров в подшипниках при их длительной работе, износом деталей и т.д.
1.32. При сосредоточенном опирании машины на перекрытие считается, что динамические силы приложены в точках опирания согласно схемам табл. 4; при этом если отношение расстояния a между опорами машины по длине элемента перекрытия к его пролету l меньше 0,2, то сосредоточенные в местах опирания машины силы могут быть заменены силой и моментом, приложенными в точке, являющейся проекцией точки приложения инерционной силы R на плоскость перекрытия.
При сплошном опирании машины на перекрытие, а также при любом опирании машины на постамент динамические силы и моменты считаются приложенными к перекрытию сосредоточенно в одной точке, являющейся проекцией точки приложения инерционной силы R на плоскость перекрытия согласно табл. 4.
Схема действия на конструкцию инерционных сил машин
Примечание. А — Б - ось элемента конструкции.
Для виброизолированных машин динамические силы принимаются приложенными к перекрытию по указанным схемам, при этом под опорами машин понимаются виброизоляторы. Амплитуда силы, передающейся через каждый виброизолятор на конструкцию, равна произведению амплитуды колебаний станины, определенной в месте расположения этой опоры, и жесткости виброизоляторов в соответствующем направлении.
1.33. Если рабочее число оборотов главного вала машины может изменяться в некоторых пределах, то при вычислении амплитуд динамических нагрузок необходимо принимать максимальное число оборотов главного вала, а при установлении частоты изменения динамических нагрузок с целью проверки строительных конструкций на резонанс необходимо принимать полосу изменения частоты от минимального до максимального значения, соответствующих минимальному и максимальному значению числа оборотов главного вала.
1.34. Перегрузки, учитываемые вводом коэффициента kд (табл. 3), носят в подавляющем большинстве случаев длительный характер и поэтому должны учитываться при расчете на выносливость. Однако если перегрузка связана с экстренным режимом работы машины или установки (например, обрыв молотка в молотковых дробилках, промой осадка в некоторых типах центрифуг и т.п.), то она носит разовый характер и должна учитываться только при проверке прочности поддерживающих конструкций.
При одновременной работе нескольких машин, перегрузки которых связаны с экстренными режимами, расчетная нагрузка определяется следующим образом. Если m — общее число машин, то расчет ведется на нормативную нагрузку от m — m1 машин и на расчетную нагрузку от m1 машин, где m1 = 1 при m = 1 — 10; m1 = 2 при m = 11 — 20 и т.д. При этом коэффициент перегрузки вводится для тех машин, которые расположены невыгоднейшим образом или имеют наибольшие нормативные динамические нагрузки.
1.35. Машины и установки, создающие динамические нагрузки, делятся на три типа в зависимости от характера динамического воздействия (табл. 5) и на три группы в зависимости от характерной продолжительности динамической нагрузки, т.е. от периода при гармонических и периодических воздействиях и продолжительности импульса при импульсивных и ударных воздействиях (табл. 6).
Тип машин и установок по характеру динамического воздействия
| Тип | Характер динамического воздействия |
|---|---|
| 1 | Гармоническое воздействие |
| 2 | Периодическое «» |
| 3 | Импульсивное и ударное воздействие |
Группы машин и установок по характерной продолжительности динамической нагрузки
Примечания: 1. Под периодическим воздействием в табл. 5 понимаются «спокойные» периодические нагрузки. Относительно периодических импульсов и ударов см. «Инструкцию по расчету перекрытий на действие импульсивных нагрузок».
2. Под числом циклов в минуту понимается число оборотов, двойных ходов, ударов и т.п. в минуту.
1.36. Машины и установки, создающие динамические нагрузки, делятся на четыре категории по динамичности в зависимости от отношения вызываемых их работой расчетных динамических напряжений в конструкции к расчетному сопротивлению материала конструкции (табл. 7) в наиболее напряженном сечении.
Категории машин по динамичности
Для предварительной оценки категории машин и установок, располагаемых в многоэтажных промышленных зданиях, можно использовать табл. 8. В табл. 8 даны приближенные нормативные значения динамических нагрузок от машин и установок различной категории динамичности, вызывающих вертикальные колебания конструкций здания. При расчете зданий на действие горизонтальных возмущающих нагрузок (т.е. при рассмотрении горизонтальных колебаний зданий), а также в других случаях, когда трудно установить категорию динамической нагрузки, в предварительных расчетах для определения значения коэффициента \gamma по табл. 2 следует принимать категорию нагрузки:
а) при определении динамических перемещений — I, II;
б) при определении динамических напряжений — III, IV.
Ориентировочное деление машин, устанавливаемых в промышленных зданиях по категориям динамичности
Примечания: 1. Величина эквивалентного мгновенного импульса определяется для основного тона конструкции путем умножения нормативной величины импульса на коэффициент \epsilon , определяемый по табл. 9 в зависимости от отношения продолжительности импульса \tau к периоду основного тона T конструкции.
2. При периодической нагрузке в качестве величины нормативной нагрузки в табл. 8 принимается наибольшая из амплитуд гармоник.
3. Если в одном или смежных пролетах перекрытия установлено несколько машин, то категория машин определяется для суммарной величины нормативной нагрузки по соответствующей графе табл. 8.
Значения коэффициента \overline{\epsilon}
1.37. При определении суммарного воздействия нескольких машин или установок одного типа, создающих периодические нагрузки с одинаковой частотой или весьма близкими частотами, равнодействующая (суммарная амплитуда) всех нагрузок умножается на коэффициент синфазности \lambda , учитывающий сдвиг фаз между отдельными нагрузками. Коэффициент \lambda определяется по графику (рис. 1) для машин и установок с асинхронными двигателями и по графику (рис. 2) для машин и установок с синхронными двигателями.
Рис. 1. График для определения коэффициента синфазности \lambda для машин и установок с асинхронными двигателями
а — если номинальная частота возмущающей нагрузки попадает в одну из резонансных зон; б — то же, не попадает ни в одну из резонансных зон; m — число машин
Рис. 2. График для определения коэффициента синфазности \lambda для машин и установок с синхронными двигателями
n — среднее число включений в сутки; m — число машин
1.38. Возмущающие нагрузки, передающиеся на поддерживающую конструкцию виброизолированной машиной, определяются при следующих режимах:
б) при прохождении через резонанс виброизолированной установки во время пуска или остановки машины.
1.39. При рабочем режиме виброизолированной машины возмущающая гармоническая нагрузка, действующая на поддерживающую конструкцию, определяется в общем случае как совокупность сил, передающихся через все виброизоляторы.
Составляющие амплитуды возмущающей силы Pi, передающейся через i-тый виброизолятор, определяются по формулам
(6)где axi, ayi, azi — амплитуды вынужденных колебаний i-того виброизолятора в направлении осей x, y, z, определяемые согласно указаниям «Инструкции по проектированию и расчету виброизоляции машин с динамическими нагрузками и оборудования, чувствительного к вибрациям»;
Kxi, Kyi, Kzi — жесткость i-того виброизолятора в направлении осей x, y, z.
В случае периодической нагрузки Pi, axi и т.д. обозначают соответственно амплитуды возмущающей силы и амплитуды колебаний i-того виброизолятора по каждой из учитываемых гармоник.
1.40. Если расстояние между крайними виброизоляторами составляет менее 1/5 пролета несущей конструкции, на которую опирается виброизолированная машина, то совокупность возмущающих сил, передающихся через виброизоляторы, приближенно заменяется сосредоточенной возмущающей силой P и возмущающим моментом M, приложенными в точке конструкции, соответствующей центру жесткости виброизоляторов. Составляющие в направлении осей координат сосредоточенной возмущающей силы P определяют по формулам
(7)где ax, ay, az — амплитуды колебаний центра жесткости виброизолированной машины в направлении осей координат.
Составляющие возмущающего момента M относительно осей координат, проходящих через центр тяжести виброизоляторов, определяются по формулам
(8)где \varphi_{ox} , \varphi_{oy} , \varphi_{oz} — амплитуды вращательных колебаний установки относительно координатных осей;
K_{\varphi x} , K_{\varphi y} , K_{\varphi z} — угловые жесткости всех виброизоляторов относительно тех же осей — см. «Инструкцию по проектированию и расчету виброизоляции машин с динамическими нагрузками и оборудования, чувствительного к вибрациям».
Если при этом виброизолируемая установка возбуждает только вертикальные колебания, то амплитуду гармонической нагрузки (или отдельной гармоники в случае периодической нагрузки), передающейся на конструкцию, рекомендуется определять по формуле
P = \frac{R}{\alpha^{2} - 1} , (9)
где P — амплитуда гармонической силы (или отдельной гармоники), передающейся через виброизоляторы на поддерживающую конструкцию;
R — амплитуда гармонической силы (или отдельной гармоники), развиваемой машиной и действующей на виброизолируемую установку;
\alpha = \frac{\omega}{p_{y}} — отношение круговой частоты вынужденных колебаний (возмущающей нагрузки) к круговой частоте собственных колебаний виброизолируемой установки.
Примечания: 1. Если основная гармоника периодической нагрузки, действующей на виброизолированную установку, является преобладающей, то высшие гармоники можно не учитывать, считая, что через виброизоляторы передается только гармоническая нагрузка с частотой и амплитудой основной гармоники.
2. Расчет конструкций, несущих машины и установки импульсивного действия, установленные на виброизоляторы, производится согласно указаниям «Инструкции по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки».
1.41. При пуске или остановке виброизолированной машины, развивающей в рабочем режиме гармоническую нагрузку, во время прохождения через резонанс на поддерживающую конструкцию может передаваться увеличенная по сравнению с рабочим режимом нагрузка. Нагрузку при переходе через резонанс допускается принимать гармонической с амплитудой
P = \overline{\mu}R \frac{\overline{\omega^{2}}}{\omega^{2}} (10)
\overline{\omega} = p_{y}[1 \pm \frac{2,171}{(1 + 0,14\gamma_{\text{в}}q)^{2}q}],q = \frac{p_{y}}{\sqrt{\epsilon}} , (11)
где R, \omega — амплитуда и круговая частота нагрузки в рабочем режиме;
pу — круговая частота собственных колебаний установки;
\gamma_{\text{в}} — коэффициент неупругого сопротивления виброизоляторов;
\epsilon — абсолютная величина постоянного углового ускорения в рад/сек2;
\overline{\mu} — коэффициент передачи, определяемый по графикам (рис. 3) или формуле
\overline{\mu} = \sqrt{[\frac{f_{1}}{m_{1}} \mp \frac{1}{2(1 + \frac{\overline{\omega}}{p_{\text{у}}})}]^{2} + [\frac{f_{2}}{m_{1}}]2} .
m_{1} = \sqrt{\frac{1}{q^{2}} + \gamma_{\text{в}}^{2}} .
Рис. 3. График для определения коэффициента передачи \overline{\mu} при переходе через резонанс
а — остановочный режим; б — пусковой режим
Параметры f1 и f2 определяются из графиков (рис. 4) в зависимости от величины \gamma_{\text{в}}/m_{1} .
Рис. 4. Графики для определения коэффициентов f1 и f2
В приведенных формулах знак плюс относится к пусковому режиму, а знак минус — к остановочному. Расчет производится на тот режим, при котором абсолютная величина углового ускорения, а следовательно, и скорость прохождения через резонанс меньше. При близких ускорениях в обоих режимах расчетным принимается остановочный режим.
Формула (11) справедлива для машин и установок, инерционные силы которых создаются в результате движения неуравновешенных масс и определяются по формуле (5) или аналогичным формулам. Если амплитуда динамической нагрузки R остается постоянной при пуске и остановке, то амплитуда передающейся при переходе через резонанс нагрузки вычисляется путем умножения R на коэффициент передачи \overline{\mu} , определяемый по приведенной выше формуле или из графиков на рис. 3, т.е. P = \overline{\mu}R .
Если виброизолированная машина или установка развивает периодическую нагрузку, то расчет при переходе через резонанс производится на преобладающую гармонику.
2. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
2.1. Расчет конструкций должен обеспечить их несущую способность при совместном действии статической и динамической нагрузки и ограничить уровень колебаний конструкций такими пределами, которые исключают возможность вредного влияния колебаний на здоровье людей и технологический процесс.
2.2. Для конструкций, на которых не должны находиться люди и не устанавливается чувствительное к колебаниям оборудование, проверка прочности и статической устойчивости производится в соответствии с указаниям п. 2.3 и выносливости в соответствии с указаниями п. 2.4 настоящей Инструкции.
Для конструкций, на которых находятся люди или установлено чувствительное к колебаниям оборудование, должна производиться проверка уровня колебаний исходя из требований санитарно-гигиенических норм или технологии производственных процессов, а также проверка прочности с учетом выносливости.
Примечания: 1. Проверка гибких сжатых элементов на динамическую устойчивость настоящей Инструкцией не предусматривается (см. об этом в «Инструкции по расчету покрытий промышленных зданий, воспринимающих динамические нагрузки»).
2. Расчет на выносливость производится только при действии систематических динамических нагрузок (п. 1.27).
2.3. Расчет на прочность и устойчивость элементов конструкций, подверженных одновременному воздействию статических и динамических нагрузок, производится согласно указаниям СНиП, при этом воздействие динамических нагрузок учитывается следующим образом:
а) расчет изгибаемых элементов на прочность производится по формуле
M_{\text{с}}^{\text{р}} + M_{\text{д}}^{\text{р}} \leq M^{\text{р}}, (12)
где M_{\text{с}}^{\text{р}} — изгибающий момент от расчетной статической нагрузки;
M_{\text{д}}^{\text{р}} — то же, от динамической нагрузки (с тем же знаком, что и M_{\text{с}}^{\text{р}} );
Mр — предельный изгибающий момент, воспринимаемый сечением и определяемый в предположении статического действия нагрузки согласно СНиП.
Примечание. Для изгибаемых элементов при проверке напряжений в направлении главных растягивающих усилий необходимо учитывать динамические нагрузки III и IV категории динамичности. При этом к поперечной силе от расчетных статических нагрузок прибавляется поперечная сила от расчетных динамических нагрузок;
б) при расчете сжато-изогнутых и сжатых элементов на прочность и статическую устойчивость к расчетным статическим нагрузкам прибавляются расчетные динамические нагрузки, определяемые согласно указаниям п. 1.31.
2.4 Расчет изгибаемых элементов на прочность с учетом выносливости производится по формуле
M_{\text{с}}^{\text{н}} + M_{\text{д}}^{\text{р}} \leq M_{\text{вын}}, (13)
где M_{\text{с}}^{\text{н}} — изгибающий момент от нормативной статической нагрузки;
M_{\text{д}}^{\text{р}} — изгибающий момент от расчетной динамической нагрузки (с тем же знаком, что и M_{\text{с}}^{\text{н}} );
Mвын — предельный изгибающий момент при расчете на выносливость, определяемый по расчетному пределу выносливости согласно указаниям СНиП.
Примечания: 1. Для железобетонных изгибаемых элементов, а также для внецентренно сжатых и внецентренно растянутых элементов должна производиться проверка напряжений в направлении главных растягивающих усилий при действии нагрузок III и IV категории динамичности. При этом главные растягивающие напряжения от нормативной статической и нормативной динамической нагрузки в предварительно напряженных элементах не должны превышать расчетного предела выносливости материала, определяемого согласно указаниям СНиП, а в элементах с ненапрягаемой арматурой в случае, если главные растягивающие напряжения превышают расчетный предел выносливости, их равнодействующая по нейтральной оси должна быть полностью воспринята поперечной и отогнутой арматурой, напряжения в которой не должны превышать расчетного предела выносливости.
2. Условия (12) - (13) должны выполняться для напряжений и внутренних усилий обоих знаков.
2.5. При учете динамических нагрузок от машин III и IV категории динамичности изгибающий момент и поперечная сила, воспринимаемые наименее напряженными от статических нагрузок конструктивно армируемыми сечениями, должны составлять не менее 20% величины изгибающего момента и поперечной силы, воспринимаемых наиболее напряженным сечением данного пролета.
2.6. При прочном закреплении на поддерживающих конструкциях оборудования, обладающего значительной жесткостью, динамический расчет конструкций допускается производить с учетом жесткости указанного оборудования.
2.7 При проверке несущей способности конструкций можно не учитывать динамические нагрузки:
а) от машин и установок I категории динамичности;
б) от машин и установок II категории динамичности, устанавливаемых на виброизоляторы;
в) для изгибаемых элементов перекрытий, площадок и т.п. от машин и установок всех категорий динамичности, если наибольшее динамическое перемещение от расчетных нагрузок за вычетом перемещений опор не превышает 1/50 000 пролета элемента;
г) для колонн и стен здания, а также стоек площадок и этажерок от машин и установок всех категорий динамичности, если разность горизонтальных динамических перемещений от расчетных нагрузок нижнего и верхнего конца колонны (стены, стойки) в пределах этажа не превышает 1/50 000 высоты этажа;
д) для элементов перекрытий при гармонических нагрузках от машин II категории динамичности, относящихся к первой и третьей группе по частотности (табл. 6);
е) для колонн и стен зданий, а также стоек площадок и этажерок при горизонтальных гармонических нагрузках II категории динамичности, относящихся ко второй и третьей группе по частотности.
2.8. Наибольшие перемещения, скорости или ускорения конструкций от нормативной динамической нагрузки не должны превышать допускаемой величины, определяемой из условия нормальной работы людей, а также машин, станков, измерительных приборов и других чувствительных к вибрациям установок и аппаратов.
Допускаемые величины перемещений, скоростей и ускорений регламентируются действующими санитарно-гигиеническими нормами, а также технологическими требованиями.
Таблица 10 <*>
Предельно допустимые гармонические колебания на рабочих местах в производственных помещениях
<*> Таблица взята из СН 245-63.
Примечания: 1. Промежуточные значения амплитуд следует определять по линейной интерполяции. При продолжительности воздействия в течение 10 — 15% рабочего времени указанные в табл. 10 амплитуды допускается увеличивать, но не более чем в 3 раза.
2. В качестве средних значений допускаемых параметров можно принимать w0 = 150 мм/сек2 при n < 10 гц и v0 = 2,4 мм/сек при n >= 10 гц.
2.9. Допускаемые технологическими требованиями амплитуды ускорения или скорости устанавливаются технологами раздельно для вертикальных и горизонтальных колебаний.
Допускаемая амплитуда перемещений конструкции при гармонических колебаниях определяется по формулам:
(14)где w0 и v0 — допускаемые амплитуды ускорения и скорости соответственно.
2.10. Классы чувствительности машин и приборов к гармоническим колебаниям основания и допускаемые амплитуды скорости и ускорения при амплитудах перемещений не более 1 мм приведены в табл. 11.
Классы машин и приборов по чувствительности к гармоническим колебаниям основания
Примечания: 1. Класс чувствительности машин или приборов к гармоническим колебаниям устанавливается технологами. При отсутствии данных разрешается пользоваться ориентировочными указаниями табл. 12.
2. При негармонических колебаниях допускаемые значения основных параметров (максимальных перемещений, скоростей, ускорений) задаются технологами. При отсутствии данных можно пользоваться указаниями табл. 11, причем в этом случае регламентироваться будет наибольшее значение скорости колебаний основания, на котором устанавливаются машины и приборы, согласно последней графе табл. 11.
Ориентировочное деление машин и приборов на классы по чувствительности к колебаниям
2.11. Амплитуды колебаний несущих конструкций (например, покрытий, площадок и пр.), на которых люди могут находиться лишь весьма непродолжительное время, не должны превышать уровень колебаний, вредных при длительном воздействии (см. табл. 13). Колебания несущих конструкций, на которых люди находиться не должны и не размещено чувствительное к вибрациям оборудование (например, покрытий), желательно ограничивать в тех случаях, когда колебания подвесного оборудования, осветительных приборов и т.п. могут оказывать отрицательное воздействие на работающих в здании людей.
Характеристика воздействия колебаний на людей в зависимости от скорости и ускорения гармонических перемещений
2.12. Амплитуды колебаний конструкций, имеющих оштукатуренные поверхности, не должны превышать 1,2 мм.
2.13. Если колебания конструкции вызваны одновременным действием нескольких гармонических нагрузок с разными частотами, то проверка перемещений производится раздельно для тех частот, которые отличаются более чем вдвое. Если отношение частот различных колебаний меньше 2, то при гармоническом возбуждении в качестве амплитуды перемещений можно принимать суммарную амплитуду всех составляющих колебаний
z_{0} = z_{0}^{(1)} + z_{0}^{(2)} + z_{0}^{(3)} + ...,
а средняя круговая частота \omega_{cp} определяется по формулам
\omega_{cp} = \frac{z_{0}^{(1)}\omega_{1} + z_{0}^{(2)}\omega_{2} + ...}{z_{0}^{(1)} + z_{0}^{(2)} + ...} \text{при}\overline{\omega} \geq 20\pi; (15)
\omega_{cp} = \sqrt{\frac{z_{0}^{(1)}\omega_{1}^{2} + z_{0}^{(2)}\omega_{2}^{2} + ...}{z_{0}^{(1)} + z_{0}^{(2)} + ...}} \text{при}\overline{\omega}<20\pi, (16)
где \overline{\omega} = \omega_{n} — круговая частота того колебания, для которого величина z_{0}^{(n)}\omega_{n} (при \omega_{n} \geq 20\pi ) или z_{0}^{(n)}\omega_{n}^{2} (при \omega_{n}<20\pi ) имеет наибольшее значение.
При периодической нагрузке проверка перемещений производится как для гармонических колебаний, при этом в качестве амплитуды перемещений принимается наибольшее перемещение (см. п. 5.6), а частота определяется по формулам (15) или (16), где z_{0}^{n} и \omega_{n} — амплитуды и круговые частоты составляющих гармоник.
При импульсивном возбуждении колебаний конструкций с разными собственными частотами p1 и p2 при частотах, отличающихся меньше чем вдвое, в качестве средней амплитуды перемещений можно принимать величину
z_{0} = \frac{z_{1}p_{1} + z_{2}p_{2}}{\overline{p}} \text{при}\overline{p} \geq 20\pi; (17)
z_{0} = \frac{z_{1}p_{1}^{2} + z_{2}p_{2}^{2}}{\overline{p^{2}}} \text{при}\overline{p}<20\pi, (18)
где z1 — наибольшее перемещение, соответствующее форме колебаний с круговой частотой p1;
\overline{p} — круговая частота того колебания, для которого величина znpn (при p_{n} \geq 20\pi ) или z_{n}p_{n}^{2} (при p_{n}<20\pi ) имеет наибольшее значение, а в качестве круговой частоты принимается величина \overline{p} .
При отношении частот составляющих колебаний более чем 2 проверка перемещений проводится раздельно для каждого колебания.
2.14. При совместном действии гармонической и импульсивной нагрузок величина наибольшего перемещения определяется как сумма амплитуды гармонического колебания z_{0}\prime и наибольшего перемещения z_{0}\prime\prime , вызванного импульсивной нагрузкой.
2.15. При пространственных колебаниях элементов конструкций, например при горизонтальных колебаниях в двух взаимно перпендикулярных направлениях или одновременных горизонтальных и вертикальных колебаниях, амплитуда перемещений определяется по формуле
z_{0} = \sqrt{z_{1}^{2} + z_{2}^{2}} ; (19)
z_{0} = \sqrt{z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2}} , (20)
где z1, z2, z3 — составляющие амплитуды перемещений в направлении ортогональных осей координат.
2.16 Проверка воздействия колебаний конструкций на людей и технологическое оборудование не производится:
а) для машин всех категорий динамичности, когда на конструкциях нет машин, станков и приборов I, II и III классов чувствительности к колебаниям и не требуется длительное присутствие людей;
б) для машин I категории динамичности, устанавливаемых на виброизоляторы;
в) для машин и установок II категории динамичности второй и третьей группы по частотности, создающих горизонтальные нагрузки.
Кроме того, проверка физиологического воздействия колебаний на людей не производится для машин и установок, создающих эпизодические нагрузки малой продолжительности (непродолжительные периодические нагрузки, одиночные импульсы или удары, нагрузки при переходных режимах и т.п.).
2.17. Если частота гармонического воздействия \omega больше частоты, соответствующей верхней границе первой частотной зоны конструкции (см. п. 4.5), то необходимо произвести дополнительный расчет на прочность при прохождении через резонанс конструкции во время пуска и остановки машин. Кроме того, в случае необходимости производится проверка динамических перемещений при переходе через резонанс по условию нормальной работы технологического оборудования, чувствительного к вибрациям.
Проверка воздействия колебаний на людей при переходе через резонанс не производится. Расчет на выносливость при переходе через резонанс производится только для машин, имеющих более 5 пусков и остановок в сутки. Расчет производится на тот режим, при котором скорость прохождения через резонанс меньше. При близких скоростях расчетным считается остановочный режим. В расчетах по приближенным расчетным схемам можно ограничиться высшей из собственных частот, для которых имеет место прохождение через резонанс.
Расчет конструкции при переходе через собственный резонанс по приближенным расчетным схемам допускается производить на гармоническое воздействие с круговой частотой pr, где pr — высшая из проходимых собственных частот, и амплитудой, равной
P = R \frac{p_{r}^{2}}{\omega^{2}} \overline{\mu}\gamma, (21)
где R — амплитуда гармонической нагрузки в рабочем режиме;
\omega — круговая частота вынужденных колебаний в рабочем режиме;
\overline{\mu} — коэффициент передачи, определяемый по графикам (см. рис. 3) для круговой частоты pr, или по формуле
\overline{\mu} = \sqrt{[\frac{f_{1}}{m_{1}} \mp \frac{1}{2(1 + \frac{\overline{\omega}}{p_{r}})}]^{2} + [\frac{f_{2}}{m_{1}}]2} ,
q = \frac{p_{r}}{\sqrt{\epsilon}} ;
m_{1} = \sqrt{\frac{1}{q^{2}} + \gamma^{2}} ,
\overline{\omega} = p_{r}[1 \pm \frac{2,171}{(1 + 0,14\gamma q)^{2}q}];
\gamma — коэффициент неупругого сопротивления материала конструкции;
f1 и f2 — параметры, определяемые по графикам (см. рис. 4).
Здесь знак плюс относится к пусковому режиму, минус — к остановочному.
Если амплитуда R инерционной силы машины или установки не зависит от частоты вынужденных колебаний и не изменяется при пуске и остановке, то расчет конструкций при переходе через резонанс производится на гармоническую нагрузку с амплитудой P = \overline{\mu}R\gamma и круговой частотой pr.
Расчет конструкции, поддерживающей виброизолированную установку, при переходе через резонанс установки, т.е. при совпадении частоты вынужденных колебаний с частотой собственных колебаний установки в переходном режиме, производится на гармоническую нагрузку, параметры которой определяются согласно п. 1.41.
2.18. Проверку прочности и выносливости конструкций, поддерживающих невиброизолированные машины и установки, при переходе через резонанс можно не производить:
а) если рабочий режим машины или установки является резонансным для поддерживающей конструкции, т.е. частота вынужденных колебаний в рабочем режиме попадает в одну из частотных зон конструкции;
б) если отношение \frac{\sqrt{\epsilon}}{p_{r}} превосходит 0,5.
2.19. Проверку прочности и выносливости конструкций, поддерживающих виброизолированные установки, при переходе через резонанс самой установки можно не производить, если удовлетворяется первое требование п. 2.18, а также если отношение \frac{\sqrt{\epsilon}}{p_{y}} превосходит 0,5.
2.20. Динамический расчет рекомендуется проводить в такой последовательности.
1. Определяются динамические нагрузки и классифицируются согласно указаниям главы 1 настоящей Инструкции.
2. Определяются частоты и формы собственных колебаний конструкций согласно указаниям главы 4.
3. Определяются амплитуды динамических перемещений согласно указаниям главы 5 и проверяется выполнение физиологических и технологических требований по ограничению колебаний.
4. Определяются амплитуды внутренних усилий в конструкциях (изгибающих моментов, поперечных сил) и производится расчет на прочность и выносливость согласно указаниям главы 2 Инструкции.
При проведении динамических расчетов на ЭВМ по программам, в которых используется другая последовательность расчета (например, опущено определение собственных частот и др.), алгоритм должен учитывать все особенности расчета, связанные с расширением частотных зон, определением категории динамической нагрузки и т.д.
3.1. Динамический расчет несущих конструкций промышленных зданий и сооружений проводится по приближенным или уточненным расчетным схемам. Приближенные расчетные схемы применяются для зданий и сооружений обычного назначения. Для ответственных сооружений, а также при жестких требованиях к уровню колебаний следует применять уточненные расчетные схемы.
При проведении расчета по приближенным расчетным схемам конструкции здания или сооружения расчленяются на отдельные элементы (балки, плиты, рамы и т.д.), и динамические нагрузки с одного элемента на другой передаются по законам статики или путем загружения динамическими реакциями, при этом влияние различных второстепенных факторов не учитывается, а вертикальные и горизонтальные колебания рассматриваются раздельно. Возможные приближенные расчетные схемы некоторых конструкций приведены в табл. 14 (для вертикальных колебаний) и табл. 15 (для горизонтальных колебаний).
Типовые расчетные схемы для динамического расчета перекрытий и покрытий
Примечания: 1. При уточнении расчетных схем в сравнении с указанными в табл. 14, а также при уточнении жесткостей элементов конструкций в сравнении с нормативными погрешность \epsilon_{0} можно снизить, но не ниже чем до 0,15 (для перекрытий) и 0,1 (для покрытий).
2. В расчет принимается фактическое число пролетов неразрезных балок, но не более 5.
3. Схему рамы с несмещающимися узлами рекомендуется принимать в случаях, когда обобщенная жесткость стойки на изгиб более чем вдвое превышает обобщенную жесткость ригеля. В остальных случаях ригели допускается рассчитывать как неразрезные балки.
4. Концы балок перекрытия, опирающиеся на стены, принимаются свободно лежащими на опорах.
5. Крупнопанельные плиты считаются неразрезными, если армирование стыка между ригелем и плитой обеспечивает монолитность соединений.
6. Передача динамической нагрузки с одного несущего элемента (a) на другой (b) путем загружения динамическими реакциями не допускается в тех случаях, когда частота возмущающей нагрузки совпадает с собственными частотами обоих элементов, а также если kb <= 5ka, где ka, kb — динамическая жесткость элементов a и b, определяемая как величина гармонической нагрузки с частотой, равной частоте вынужденных колебаний, которую нужно приложить к элементу a или b соответственно, чтобы получить единичную амплитуду этого элемента при условии опирания его на жесткие опоры. В противном случае колебания обоих элементов должны быть рассмотрены совместно.
Типовые расчетные схемы для динамического расчета зданий при горизонтальных колебаниях
| Тип зданий | Расчетные схемы | Возможная погрешность определения частот \epsilon_{0} |
|---|---|---|
| 1. Каркасные здания с нежестким стеновым заполнением (например, со сплошным остеклением окон) без внутренних несущих стен. Каркасные площадки под машины | Этажерка с неподвижным основанием и недеформируемыми перекрытиями, с которыми жестко связаны вертикальные стойки. Перекрытия могут поступательно перемещаться и поворачиваться в своей (горизонтальной) плоскости. При этом стойки считаются работающими на поперечный изгиб и кручение | 0,25 |
| 2. Каркасные здания с жестким стеновым ограждением (например, с кирпичным заполнением) и внутренними стенами. Здания с несущими стенами и монолитными перекрытиями | Коробка на жестком или упруго-податливом основании с недеформируемыми перекрытиями, с которыми жестко связаны вертикальные стойки. Перекрытия могут поступательно перемещаться в своей (горизонтальной) плоскости. При этом стойки считаются работающими на поперечный изгиб, а наружные и внутренние стены — на сдвиг в своей плоскости | 0,3 |
| 3. Каркасные здания с навесным панельным ограждением | См. п. 3.5 | 0,3 |
Примечания: 1. В расчет принимаются все этажи здания.
2. Опорные сечения стоек считаются заделанными по верхнему обрезу фундаментов.
При проведении расчета по уточненным расчетным схемам должны быть максимально учтены особенности работы конструкций (влияние пространственности, жесткости узлов, заполнения, перегородок стен, податливости опор и основания и т.д.). В расчетах, реализуемых на ЭВМ, рекомендуется использовать в основном уточненные расчетные схемы.
3.2. При расчетах зданий и сооружений, выполненных из сборных железобетонных конструкций, необходимо учитывать возможность изменения расчетной схемы конструкций, вызванную влиянием сухого трения. При малых колебаниях, когда силы сухого трения не преодолеваются, работа сборных конструкций приближается к работе монолитных. В связи с этим соединения сборных конструкций следует принимать жесткими:
а) при проверке перемещений, скоростей и ускорений конструкций с точки зрения удовлетворения санитарно-гигиенических норм и технологических требований, если допускаемые перемещения не превышают 0,1 мм;
б) при проверке прочности и выносливости конструкций, если наибольшие перемещения, вычисленные в результате предварительного расчета по схеме с жесткими соединениями, не превышают 0,1 мм.
Примечание. Если наибольшие перемещения превышают 0,1 мм, то расчет необходимо производить по двум различным схемам: с учетом жесткости соединений вследствие сухого трения и без него.
3.3. В расчетах на вертикальные колебания по указанным в табл. 14 схемам при определении жесткости элементов сборных железобетонных перекрытий и железобетонных перекрытий по металлическим балкам принимаются следующие моменты инерции поперечных сечений:
а) по схеме с жесткими соединениями вследствие сухого трения (см. п. 3.2) для железобетонных и металлических балок при уложенном по балкам сборном настиле и для железобетонных и металлических балок при уложенной по балкам монолитной железобетонной плите — момент инерции таврового сечения с шириной плиты, принимаемой равной расстоянию между осями балок, но не более половины пролета балки;
б) по схеме, не учитывающей сухое трение:
для железобетонных и металлических балок при уложенном по балкам сборном настиле — момент инерции поперечного сечения балки;
для железобетонных и металлических балок при уложенной по балкам монолитной железобетонной плите — сумма моментов инерции сечений балки и плиты, при этом расчетная ширина сечения плиты принимается равной расстоянию между осями балок, но не более половины пролета балок.
Для балок ребристого монолитного перекрытия принимается момент инерции монолитного таврового сечения с шириной полки, указанной выше в этом пункте; для балочных плит — момент инерции поперечного сечения плиток.
Примечания: 1. Если металлические балки перекрытия обетонированы железобетонной плитой поверху или понизу, то перекрытие рассматривается как ребристое монолитное.
2. Таким же образом определяются моменты инерции железобетонных покрытий и других конструкций, имеющих аналогичные расчетные схемы.
При расчете крупнопанельных плит, плит безбалочных перекрытий и т.д. определяется цилиндрическая жесткость плиты.
Если постамент под машину или установку монолитно связан с перекрытием, он учитывается при определении жесткости соответствующего элемента перекрытия.
3.4. Расчетные схемы при определении частот собственных горизонтальных колебаний промышленных зданий следует выбирать по возможности простыми с учетом только тех факторов, которые существенно влияют на частоту. В частности, перекрытия зданий и площадок под машины при определении горизонтальной жесткости зданий и площадок в ряде случаев, указанных в п. 3.6, можно считать недеформируемыми. Жесткости и массы лестничных клеток и пристроек, связанных с каркасом или стенами здания, должны учитываться.
В табл. 15 приведены некоторые приближенные расчетные схемы зданий и площадок под машины.
3.5. При рассмотрении горизонтальных колебаний каркасных зданий с навесным панельным ограждением (см. табл. 15) необходимо учитывать влияние ограждения на жесткость здания.
Жесткость зданий, в которых не предусматривается притяжка панелей к колоннам каркаса, определяется как суммарная жесткость каркаса и образованного панельным ограждением упругого диска, работающего на сдвиг:
а) при проверке горизонтальных перемещений, скоростей и ускорений с точки зрения удовлетворения санитарно-гигиенических норм и технологических требований, если допускаемые перемещения не превышают 0,1 мм;
б) при проверке прочности и выносливости конструкций, если наибольшие горизонтальные перемещения перекрытий, вычисленные в результате предварительного расчета по указанной схеме, не превышают 0,1 мм.
В остальных случаях расчет зданий производится по двум схемам — с учетом только жесткости каркаса и с учетом жесткости каркаса и ограждения, причем во внимание принимается наиболее невыгодный случай.
Примечания: 1. Участки стен со сплошным панельным ограждением сверху донизу при притяжке панелей непосредственно к колоннам каркаса должны рассматриваться как упругие диски, жестко связанные с каркасом.
2. При сплошном ленточном остеклении жесткость ограждения можно не учитывать.
3.6. В качестве приближенной расчетной схемы каркасного здания при поступательных горизонтальных колебаниях может быть принята эквивалентная плоская рама, массы и жесткости элементов которой равны суммарным массам и суммарным жесткостям соответствующих элементов здания в направлении колебаний (поперечном или продольном).
Поскольку массы вертикальных элементов здания (колонн, стен, перегородок) обычно значительно меньше масс горизонтальных элементов (перекрытий и покрытий), то допускается сосредоточивать массы в уровне перекрытий и покрытия, распределяя массы вертикальных элементов поровну между верхним и нижним перекрытиями. При этом вертикальными перемещениями масс можно пренебрегать, так как они значительно меньше горизонтальных.
В качестве поперечной жесткости ригеля данного яруса эквивалентной рамы принимается поперечная жесткость всего перекрытия данного этажа, а в качестве поперечной жесткости стойки данного яруса эквивалентной рамы — сумма поперечных жесткостей стоек данного ряда того же яруса. Так, если рассматриваются поступательные колебания здания в направлении оси x, то жесткость ригеля определяется как жесткость поперечного сечения перекрытия вертикальной плоскостью, параллельной оси y, а жесткость стойки определяется суммой жесткостей всех стоек в ряду, параллельном оси y.
Если обобщенная жесткость ригеля эквивалентной рамы (поперечная жесткость, деленная на длину ригеля между смежными узлами) более чем в 3 раза превышает обобщенную жесткость стойки (поперечная жесткость стойки, деленная на ее высоту между смежными узлами), то ригель можно считать абсолютно жестким.
Частоты собственных колебаний площадок под машины можно определять по приближенным расчетным схемам.
Для зданий с несущими стенами также можно применять приближенные расчетные схемы (см. табл. 15), имея в виду, что потенциальная энергия поступательных колебаний определяется в основном сдвиговыми колебаниями стен, при которых перекрытия можно считать перемещающимися как жесткие диски.
Вращательные колебания каркасного здания рассматриваются только при отсутствии несущих стен. Поскольку суммарная жесткость всех стоек каркасного здания на поворот значительно меньше суммарной жесткости перекрытия на изгиб в своей плоскости, можно при рассмотрении вращательных колебаний промышленных зданий применять приближенные расчетные схемы по табл. 15, пренебрегая влиянием кручения стоек.
3.7. На горизонтальные колебания зданий с несущими стенами или жестким ограждением (типы 2 и 3, табл. 15) существенное влияние может оказывать упругость основания. Поэтому при динамических расчетах зданий на нежестких основаниях следует учитывать возможность вертикальных и горизонтальных смещений и поворотов здания на основании. Податливость оснований определяется согласно действующим нормативным документам по динамическому расчету оснований и фундаментов.
4. ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИЙ
4.1. При использовании метода разложения по формам собственных колебаний определение частот и форм собственных колебаний является необходимым этапом динамического расчета. В расчетах конструкций на действие периодических нагрузок независимо от принятого метода рекомендуется определять частоты собственных колебаний с целью установления возможности резонанса, вычисления резонансных перемещений и усилий и разработки необходимых мероприятий для снижения уровня колебаний.
4.2. При определении масс элементов в расчетной схеме помимо собственной массы конструкций учитываются также массы машин, оборудования и материалов, жестко соединенных с несущими конструкциями. Характер распределения масс в расчетных схемах зависит от способа крепления машин и оборудования и от фактической схемы передачи на конструкцию постоянных статических нагрузок. Случайные и кратковременно действующие статические нагрузки (нагрузки при скоплении людей в производственных помещениях, нагрузки от оборудования и материалов при проведении ремонтных работ и т.п.) при определении масс не учитываются.
При различных вариантах загружения конструкций (например, при отсутствии или наличии снега на покрытии, при большом изменении нагрузок, предусмотренном технологией производства, и т.д.) должны быть рассмотрены два варианта загружения, при которых величины масс максимальны и минимальны.
При определении частот собственных колебаний принимаются нормативные значения постоянных нагрузок.
Массы виброизолированных машин и установок при определении частот собственных колебаний конструкций не учитываются.
4.3. При расчете на спокойные периодические нагрузки в общем случае определяется следующее число частот и форм собственных вертикальных колебаний несущих конструкций:
для однопролетных балок ............ 2 " " плит ............. 4 " неразрезных балок ............ 2N (N-число пролетов) " " плит ............. 4N " ферм ........................... 5
При проведении расчетов по приближенным расчетным схемам допускается определять не более m собственных частот, где m — номер наименьшей собственной частоты, превышающей частоту вынужденных колебаний. Если первая частота собственных колебаний (частота основного тона) оказывается больше частоты вынужденных колебаний, то последующие частоты и формы не определяются.
Число определяемых частот и форм собственных вертикальных колебаний несущих конструкций при расчете на импульсивные и ударные нагрузки выбирается в соответствии с указаниями «Инструкции по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки».
Примечания: 1. При проведении расчетов по уточненным схемам и на ЭВМ, а также в отдельных случаях для машин и установок 3-й группы (табл. 6) определяется большее число частот и форм собственных колебаний.
2. Рекомендации настоящего пункта позволяют ориентировочно определить число частот и форм собственных колебаний», учет которых дает возможность получить с достаточной точностью значения амплитуд перемещений и внутренних усилий конструкции. При использовании метода разложения по формам собственных колебаний окончательное число определяемых и учитываемых форм колебаний может корректироваться в процессе расчета в зависимости от густоты спектра частот, определяемых параметров колебаний, характера приложения нагрузки.
При более густом спектре определяется большее число частот и форм собственных колебаний. При вычислении амплитуд внутренних усилий требуется учитывать большее число форм собственных колебаний, чем при вычислении амплитуд перемещений, чтобы получить одинаковую точность. Решение вопроса о числе учитываемых форм собственных колебаний может быть принято на основе анализа сходимости рядов для соответствующих расчетных величин.
4.4. Если расположенные на перекрытиях здания машины развивают динамические силы в двух взаимно перпендикулярных горизонтальных направлениях, то в общем случае при расчете на спокойные периодические нагрузки следует определить три первые частоты и формы собственных поступательных колебаний здания в направлении каждой из его осей (вдоль и поперек здания) и две первые частоты и формы вращательных колебаний здания.
4.5. При расчете несущих конструкций на действие периодических нагрузок точность расчета существенным образом зависит от точности исходных данных. Поскольку исходные данные (конструктивные схемы, нагрузки, жесткости элементов и стыков, массы) для строительных конструкций задаются со сравнительно небольшой точностью, возможная погрешность расчета вблизи резонанса может во много раз превысить обычные для инженерных расчетов пределы, особенно при малых значениях коэффициента неупругого сопротивления.
Поэтому при расчете на гармонические и периодические нагрузки обязательно должна учитываться возможная погрешность в определении собственных частот, а также возможность изменения собственных частот конструкций в процессе эксплуатации здания или сооружения. Эта погрешность учитывается вводом частотных зон, внутри которых находится расчетное значение собственной частоты. Границы частотных зон определяются по формулам
(22)где p_{r}^{0} , n_{r}^{0} — r-тая частота собственных колебаний элемента (круговая и в герцах), определенная в результате расчета;
p_{r}\prime , n_{r}\prime — левая граница частотной зоны;
p_{r}\prime\prime , n_{r}\prime\prime — правая граница частотной зоны;
\epsilon_{0} — погрешность в определении частот. Величина \epsilon_{0} для различных конструкций определяется по табл. 14 и 15.
4.6. При проведении расчета на гармонические нагрузки с помощью методов, не связанных с определением частот собственных колебаний, возможная погрешность в соотношении частот собственных и вынужденных колебаний учитывается путем изменения с достаточно малым шагом круговой частоты вынужденных колебаний в пределах от (1 - \epsilon_{0})\omega до (1 + \epsilon_{0})\omega или определением всех экстремумов перемещений и внутренних усилий при изменении частоты вынужденных колебаний в указанных пределах.
Если используемая программа позволяет получать частоты собственных колебаний, то расчет производится при частоте вынужденных колебаний, равной всем тем собственным частотам, которые попадают в интервал от (1 - \epsilon_{0})\omega до (1 + \epsilon_{0})\omega .
4.7. Если частота гармонической нагрузки, создаваемой машиной или установкой, задается с указанием некоторого возможного отклонения \epsilon\prime от ее среднего значения \omega\prime , т.е. \omega = \omega\prime(1 \pm \epsilon\prime) , то за частоту вынужденных колебаний принимается среднее значение \omega\prime , а при определении границ частотных зон вместо погрешности \epsilon_{0} вводится погрешность \epsilon\prime\prime = \epsilon_{0} + \epsilon\prime .
4.8. При расчете на гармонические нагрузки предполагается, что частоты собственных колебаний конструкции могут иметь любое значение в пределах расширенных частотных зон, полученных с учетом возможной погрешности в определении частот.
Поэтому при гармонической нагрузке частоты собственных колебаний определяются следующим образом:
а) если частота вынужденных колебаний \omega попадает в r-тую частотную зону (рис. 5, а), то
(23)
(24)т.е. собственная частота r-той частотной зоны принимается равной частоте вынужденных колебаний; остальные частоты принимаются пропорционально;
б) если частота вынужденных колебаний попадает в межрезонансную зону (рис. 5) и находится между частотами p_{n}\prime\prime и p_{n}\prime_{+ 1} , то p_{s} = p_{s}\prime , если \omega находится ближе к p_{n}\prime_{+ 1} , чем к p_{n}\prime\prime ; ps = p», если \omega находится ближе к p_{n}\prime\prime , чем к p_{n}\prime_{+ 1} .
Рис. 5. Определение частот собственных колебаний
Таким образом, принимаются верхние или нижние значения частот в зависимости от того, к какому значению ближе расположена частота возмущающей нагрузки.
Примечание. В расчетах, проводимых на ЭВМ, или по уточненным расчетным схемам, а также при нагрузках IV категории динамичности проверяются оба расчетных случая пункта «б», т.е. когда все частоты имеют нижние или верхние возможные значения.
При периодической нагрузке частоты собственных колебаний также определяются по формулам (23) - (24), при этом в качестве \omega(n_{0}) принимается частота преобладающей гармоники.
При расчете на переход через резонанс для частот собственных колебаний принимаются их наибольшие значения, соответствующие верхним границам частотных зон, т.е. p_{r} = p_{r}\prime\prime , n_{r} = n_{r}\prime\prime .
5. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ
5.1. Динамические перемещения несущих конструкций определяются по нормативным значениям динамических нагрузок (п. 1.30). Динамические усилия (изгибающие и крутящие моменты, продольные и поперечные силы) определяются по расчетным значениям динамических нагрузок (п. 1.31).
5.2. При определении динамических перемещений и внутренних усилий в элементах перекрытий из внешней нагрузки учитываются только вертикальные силы и действующие в вертикальной плоскости моменты, а при определении динамических перемещений и внутренних усилий стоек и стен при горизонтальных колебаниях — только силы и моменты, действующие в горизонтальной плоскости.
5.3. При рассмотрении вертикальных колебаний определению подлежат наибольшие значения перемещения и изгибающего момента в пролетах, а также изгибающего момента и поперечной силы на опорах.
Примечание. При определении перемещений элементов конструкций, опирающихся на другие податливые элементы, необходимо учитывать перемещения опор путем увеличения перемещений элемента на полусумму перемещений опор.
5.4. При определении наибольших перемещений и внутренних усилий конструкций рекомендуется использовать комплексную теорию неупругого сопротивления. Коэффициенты неупругого сопротивления материала конструкций определяются согласно указаниям п. 1.20.
5.5. При совместном действии нескольких гармонических нагрузок от разных машин амплитуды перемещений и внутренних усилий определяются как сумма амплитуд от воздействия каждой нагрузки в отдельности. При расчете конструкций на несколько одновременно действующих независимых машин с импульсивными или ударными нагрузками наибольшие значения перемещений и внутренних усилий одного знака, вызванных каждым импульсом (ударом), можно суммировать.
Если число машин или установок, создающих периодические нагрузки (в том числе импульсивного или ударного характера), превышает 10, а частоты преобладающих гармоник одинаковы или близки, то при определении наибольших перемещений и внутренних усилий от совместного действия машин следует учитывать фазовые соотношения в соответствии с указаниями п. 1.37.
5.6. Если при расчете конструкции на периодическое воздействие в разложении нагрузки в ряд Фурье сохраняются два или три члена ряда, то для определения наибольших перемещений и внутренних усилий следует находить экстремальные значения указанных параметров в результате суммирования колебаний по гармоникам. При этом следует определить синусоидальные и косинусоидальные составляющие перемещений и внутренних усилий, соответствующие каждой гармонике нагрузки, а затем, сложив эти составляющие как тригонометрические функции времени, найти их максимумы и минимумы.
В предварительных расчетах допускается определять наибольшие перемещения и внутренние усилия как сумму амплитуд отдельных гармоник.
5.7. При расчете на гармонические нагрузки конструкций, рассматриваемых как системы с конечным числом степеней свободы, с помощью методов, не основанных на разложениях по формам собственных колебаний, амплитуды изгибающих моментов и поперечных сил можно определять по формулам
M_{0} = \sqrt{[M_{0}\prime]^{2} + [M_{0}\prime\prime]^{2}} ; (25)
Q_{0} = \sqrt{[Q_{0}\prime]^{2} + [Q_{0}\prime\prime]^{2}} , (26)
где M_{0}\prime и Q_{0}\prime — изгибающие моменты и поперечные силы при статическом загружении конструкции системой сил
P_{j}\prime = P_{j} + z_{0}\prime_{j}m_{j}\omega^{2}(j = 1,2,...,k); (27)
M\prime\prime и Q\prime\prime — изгибающие моменты и поперечные силы при статическом загружении конструкции системой сил
P_{j}\prime\prime = z_{0}\prime\prime_{j}m_{j}\omega^{2}(j = 1,2,...,k), (28)
\omega — круговая частота вынужденных колебаний;
z_{0}\prime_{j} = Rez_{j} — действительная часть комплексной амплитуды точки j;
z_{0}\prime\prime_{j} = Jmz_{j} — мнимая часть комплексной амплитуды точки j;
Pj — амплитуда нагрузки, приложенной в точке j.
В дорезонансной и межрезонансных зонах амплитуды изгибающих моментов и поперечных сил можно определять в результате статического расчета системы на действие сил
P_{j}^{0} = P_{j} + m_{j}\omega^{2}z_{0j}. (29)
При этом необходимо учитывать фазу перемещения zi, т.е. присваивать амплитуде перемещений z0j соответствующий знак, получающийся при определении амплитуд перемещений без учета затухания.
5.8. Амплитуды упругих перемещений, изгибающих моментов и поперечных сил несущих конструкций при гармонических колебаниях фундаментов (или опор) определяются в результате расчета конструкций на действие гармонических сил с частотой \omega и амплитудой:
P = A_{\text{о}}m\omega^{2}, (30)
где Aо — амплитуда перемещений фундаментов или опор;
m — масса конструкций (сосредоточенная или распределенная);
\omega — частота вынужденных колебаний.
Полные перемещения конструкций определяются по формуле
z_{0} = \sqrt{(A_{\text{о}} + z\prime)^{2} + (z\prime\prime)^{2}} .
Здесь z', z» — составляющие упругих перемещений (z' — составляющая, которая находится в фазе с колебаниями основания).
Примечание. При расчете конструкций на гармонические смещения опор, вызванные распространением колебаний через грунт, коэффициент неупругого сопротивления \gamma принимается как для машин I категории динамичности.
5.9. Определение амплитуд перемещений и внутренних усилий конструкций при горизонтальных поступательных и вращательных колебаниях зданий, вызванных работой большого числа машин, производится с учетом указаний п. 1.37. При этом коэффициент синфазности \lambda определяется для полного числа машин в здании. Расчет производится на действие машин каждого этажа раздельно, а затем амплитуды перемещений и усилий складываются.
При проверке влияния колебаний, вызванных действием большого числа машин, на людей допускаемые амплитуды перемещений умножаются на дополнительный коэффициент \frac{\sqrt{m}}{3} , учитывающий возможность допускать более высокую вероятность совпадения фаз машин при деформационном расчете, чем при прочностном. Коэффициент \frac{\sqrt{m}}{3} вводится при числе машин m >= 10.
6. СПОСОБЫ УМЕНЬШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИЙ
6.1. В тех случаях, когда установленные расчетом колебания конструкций не удовлетворяют требованиям, обеспечивающим их несущую способность, или физиологическим и технологическим требованиям по ограничению уровня вибраций, рекомендуется применять указанные в настоящем пункте способы уменьшения колебаний несущих конструкций.
При выборе способа в каждом конкретном случае следует руководствоваться соображениями целесообразности, эффективности и экономичности его применения.
Ожидаемые результаты осуществления того или иного мероприятия должны проверяться повторным динамическим расчетом конструкций, т.е. определением амплитуд перемещений и внутренних усилий в измененных условиях.
Можно указать следующие основные методы уменьшения колебаний несущих конструкций, вызванных гармоническими нагрузками.
1. Изменение соотношения между частотой вынужденных колебаний и частотами собственных колебаний конструкции (отстройка) путем изменения жесткости, массы или схемы конструкции, а также путем изменения частоты вынужденных колебаний.
2. Изменение расположения и способа крепления машин и установок на несущих конструкциях, передача динамических нагрузок на отдельные фундаменты, колонны, разгрузочные балки и т.п.
3. Устройство эффективной виброизоляции.
4. Применение динамических и ударных гасителей колебаний, увеличение демпфирования колебаний, устройство жестких и нежестких ограничителей.
5. Уравновешивание и балансировка машин, создание эксплуатационных условий, препятствующих разбалансировке и образованию случайных дебалансов; применение специальных устройств, обеспечивающих работу нескольких машин попарно в противофазе.
6.2. Мероприятия по уменьшению колебаний несущих конструкций, воспринимающих импульсивные и ударные нагрузки от машин и оборудования, устанавливаемых на перекрытиях промышленных зданий, выполняются в соответствии с указаниями «Инструкции по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки».
а) ИЗМЕНЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ, МАССЫ И СХЕМЫ КОНСТРУКЦИИ
6.3. Если частота вынужденных колебаний \omega близка к нижней границе какой-либо частотной зоны, то колебания конструкции можно уменьшить, увеличив ее жесткость или уменьшив массу. Увеличения жесткости конструкции можно достичь путем уменьшения пролетов, увеличения поперечных сечений или изменения ее конструктивной схемы (введение жестких узлов, превращение разрезных конструкций в неразрезные и т.д.). Возможны также устройство под машину жесткого, но легкого постамента, постановка дополнительных связей, устройство специальных портальных рам и т.д.
6.4. Если частота вынужденных колебаний \omega близка к верхней границе какой-либо частотной зоны, то колебания конструкции можно уменьшить, увеличив ее массу или снизив жесткость. Снижение жесткости конструкции можно достичь путем увеличения пролета или уменьшения поперечного сечения, а также с помощью изменения конструктивной схемы конструкции.
Увеличение массы конструкции посредством устройства массивного постамента, не связанного жестко с конструкцией, или увеличения поперечного сечения за счет ввода дополнительных нежестких слоев, надбетонок и т.п. допускается лишь в необходимых случаях для машин и установок III и IV категории динамичности.
Уменьшение жесткости конструкций и увеличение их массы рекомендуется осуществлять лишь в тех случаях, когда динамические перемещения составляют существенную часть статического прогиба.
б) ИЗМЕНЕНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ И КРЕПЛЕНИЯ МАШИН И УСТАНОВОК
6.5. Вертикальные колебания конструкций можно уменьшить, если машины и установки, создающие вертикальные гармонические нагрузки, располагать вблизи опор или узловых точек резонирующих форм собственных колебаний, а машины и установки, создающие горизонтальные динамические нагрузки, в серединах пролетов конструкций или вблизи пучностей резонирующих форм колебаний.
6.6. Горизонтальные колебания зданий и сооружений можно уменьшить, если располагать машины и установки, создающие горизонтальные гармонические нагрузки, таким образом, чтобы динамические усилия действовали в направлении, для которого либо жесткость здания максимальна, либо частоты собственных колебаний больше отличаются от частоты возбуждения.
6.7. В целях борьбы с колебаниями несущих конструкций промышленных зданий и сооружений могут применяться различные конструктивные мероприятия, связанные с размещением машин и установок, создающих динамические нагрузки, на специальных опорных элементах, не соединенных с отдельными несущими конструкциями (например, перекрытиями) или со всем каркасом в целом. В качестве таких опорных элементов могут применяться разгрузочные балки, соединенные со стойками каркаса или главными балками перекрытия; отдельные фундаменты, не соединенные с фундаментом здания или сооружения; опорные рамы на самостоятельных фундаментах и т.п.
в) ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ МАШИН И УСТАНОВОК
6.8. Виброизоляция является одним из наиболее эффективных методов борьбы с колебаниями конструкций, возбуждаемых гармоническими нагрузками от машин и установок, размещенных в промышленных зданиях и сооружениях.
Виброизоляция применяется в целях уменьшения динамических нагрузок, передаваемых машиной или установкой на несущие конструкции (активная виброизоляция), и в целях защиты машин, приборов и оборудования, чувствительных к вибрациям, от колебаний несущих конструкций, на которых они находятся (пассивная виброизоляция).
Расчет и проектирование виброизоляции осуществляются в соответствии с указаниями «Инструкции по проектированию и расчету виброизоляции машин с динамическими нагрузками и оборудования, чувствительного к вибрациям».
Применение виброизоляции без расчета не допускается, так как неправильный выбор параметров виброизоляции может существенно снизить ее эффективность и даже привести не к снижению, а к увеличению колебаний конструкций (при активной виброизоляции), а также машин и оборудования (при пассивной виброизоляции).
Виброизоляция применяется, как правило, для машин и установок 2-й и 3-й группы по частотности (табл. 6). При этом машины и установки IV категории по динамичности, размещаемые в промышленных зданиях, рекомендуется устанавливать на виброизоляторы независимо от результатов динамического расчета несущих конструкций.
г) ПРИМЕНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ И УДАРНЫХ ГАСИТЕЛЕЙ
6.9. Динамические и ударные гасители колебаний можно применять в тех случаях, когда устройство виброизоляции или осуществление других мер уменьшения колебаний, перечисленных выше, не представляется возможным.
Динамические гасители применяются для уменьшения колебаний конструкций при стабильной частоте вынужденных колебаний. Особенно эффективно применение этих гасителей в резонансных режимах. Динамический гаситель колебаний представляет собой дополнительную колебательную систему, присоединяемую к конструкции в месте ее наибольшей динамической податливости (в пучностях форм вынужденных колебаний). Собственная частота динамического гасителя настраивается на частоту вынужденных колебаний конструкции. Простейшая схема динамического гасителя — сосредоточенная масса mг, соединенная с конструкцией посредством упругого элемента, имеющего жесткость kг. При этом масса и жесткость гасителя подбираются так, чтобы \sqrt{\frac{k_{\text{г}}}{m_{\text{г}}}} = \omega , где \omega — частота возмущающей нагрузки.
Если динамический гаситель не настроен на частоту вынужденных колебаний или эта частота нестабильна, то эффект гашения колебаний может значительно снизиться. В этом случае возможно даже увеличение амплитуд колебаний конструкций.
Поэтому конструкция динамического гасителя должна иметь устройства, обеспечивающие настройку гасителя на частоту вынужденных колебаний, регулировку и надежное фиксирование частоты гасителя в процессе эксплуатации.
Ударный гаситель колебаний изготовляется в виде свободной или упруго соединенной с конструкцией массы, ударяющей по ней при колебаниях в определенном месте (бойке).
Расчет и проектирование динамических и ударных гасителей осуществляется научно-исследовательскими и конструкторскими организациями.
д) УРАВНОВЕШИВАНИЕ, БАЛАНСИРОВКА И ИЗМЕНЕНИЕ ЧАСТОТ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ
6.10. Колебания несущих конструкций, вызываемые работой некоторых машин и установок с возвратно-поступательным движением или вращением масс с большим эксцентриситетом, можно значительно уменьшить, применяя простые способы уравновешивания инерционных сил, например спаривание кривошипно-шатунных механизмов (рис. 6, а) или уравновешивание вращающейся массы (рис. 6, б). Возможно также применение специальных устройств, поддерживающих работу машин и установок в противофазе.
Рис. 6. Уравновешивание инерционных сил в машинах
6.11. Колебания несущих конструкций, вызываемые работой машин и установок с номинально уравновешенными вращающимися массами, можно значительно уменьшить с помощью статической и динамической балансировок в том случае, если таковые не производились или если машина разбалансировалась в процессе эксплуатации.
6.12. В тех случаях, когда имеется возможность изменять в некоторых пределах число оборотов (ходов) машины или установки, колебания конструкций можно существенно уменьшить:
а) понижением числа оборотов машины, если частота вынужденных колебаний \omega близка к нижней границе одной из частотных зон конструкции;
б) повышением числа оборотов машины, если частота вынужденных колебаний \omega близка к верхней границе одной из частотных зон конструкции.
6.13. Колебания несущих конструкций при пуске и остановке виброизолированных и невиброизолированных машин вследствие перехода через резонанс можно уменьшить посредством увеличения скорости нарастания или убывания числа оборотов.
Увеличение скорости убывания числа оборотов при остановке может быть достигнуто посредством механического или электрического торможения вращения вала машины.
Уменьшение колебаний несущих конструкций в режимах пуска и остановки виброизолированных машин может быть осуществлено также включением дополнительных диссипативных элементов при прохождении резонансной зоны, устройством ограничителей и т.п.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ
А. Конструкции, которые можно рассматривать как системы с конечным числом степеней свободы
1. Системы с одной степенью свободы
В качестве систем с одной степенью свободы могут рассматриваться такие конструкции, которые имеют либо только одну частоту собственных колебаний, либо несколько частот, среди которых имеется одна, во много раз меньшая, чем остальные. Эта расчетная схема применяется в тех случаях, когда конструкция несет большую сосредоточенную массу, по сравнению с которой остальная масса системы (собственная масса конструкции и масса других грузов) пренебрежимо мала. Например, как системы с одной степенью свободы можно рассчитывать балки, плиты и рамы с присоединенным сосредоточенным грузом, во много раз превышающим их собственный вес (рис. 7, в, г, д, е, ж); виброизолированные установки (рис. 7, а, б); массивные фундаменты, устанавливаемые на грунте, рассматриваемом как система пружин (рис. 7, и) и т.д. При этом предполагается, что конструкция может совершать колебания только какого-либо одного вида: поступательные (рис. 7, е) или вращательные (рис. 7, а).
Рис. 7. Различные схемы систем с одной степенью свободы
Круговая частота (в рад/сек) собственных поступательных колебаний в направлении оси z системы с одной степенью свободы определяется по формуле
p = \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{\sqrt{m\delta_{z}}} (1.1)
p = \sqrt{\frac{g}{z_{\text{ст}}}} , (1.2)
где k — обобщенная жесткость конструкции в кГ/м, определяемая как сила, которую нужно статически приложить в точке, где находится сосредоточенная масса, чтобы получить единичное перемещение в направлении оси z;
\delta_{z} — перемещение сосредоточенной массы в направлении оси z (в м/кг) от приложенной к ней единичной силы;
m — сосредоточенная масса в кГ·сек2/м;
zст — прогиб конструкции в м от силы, равной mg и приложенной в точке, где находится сосредоточенная масса;
g — ускорение силы тяжести в м/сек.
Частоту собственных колебаний в герцах (число колебаний в 1 сек) можно определять по формуле
Период собственных колебаний системы с одной степенью свободы
T = \frac{2\pi}{p} = \frac{1}{n} . (1.4)
Круговая частота собственных вращательных колебаний системы с одной степенью свободы определяется по формуле
p = \sqrt{\frac{k_{\Theta}}{\Theta}} (1.5)
p = \sqrt{\frac{1}{\Theta\delta_{\Theta}}} , (1.6)
где k_{\Theta} — обобщенная жесткость конструкции (в кГ·м/рад) на поворот относительно центра вращения, определяемая как момент, который нужно статически приложить к конструкции, чтобы вызвать единичный угол поворота;
\delta_{\Theta} — угол поворота в рад/кГ·м конструкции от приложенного к ней единичного момента;
\Theta — момент инерции массы относительно оси, проходящей через центр вращения перпендикулярно к плоскости колебаний, в кГ·м·сек2.
2. Системы с двумя степенями свободы
В качестве систем с двумя степенями свободы могут рассматриваться такие конструкции, которые имеют либо только две частоты собственных колебаний, либо несколько частот, среди которых две частоты во много раз меньше остальных.
Такая расчетная схема может применяться, например, при расчете легких балок, плит и рам с двумя присоединенными сосредоточенными массами, имеющими пренебрежимо малые моменты инерции относительно осей, проходящих через центры масс перпендикулярно плоскости колебаний (рис. 8, а, б, в), а также виброизолированные установки (рис. 8, г), жесткость пружин которых сравнима с жесткостью поддерживающей конструкции, а центр масс и центр жесткости лежат на одной вертикали (если рассматривать только поступательные колебания установки).
Рис. 8. Различные схемы систем с двумя степенями свободы
Круговые частоты собственных колебаний p1 и p2 для таких конструкций определяются по формулам
p_{1} = \frac{1}{\sqrt{\zeta_{1}}} ;p_{2} = \frac{1}{\sqrt{\zeta_{2}}} , (1.7)
где \zeta_{1} и \zeta_{2} — корни частотного уравнения в форме метода сил;
(1.8)m1, m2 — сосредоточенные массы в кГ·сек2/м;
\delta_{ij} = \delta_{ji} — перемещение i-той массы от действия единичной силы, приложенной к j-той массе, в м/кГ.
Раскрытие определителя (1.8) приводит к квадратному уравнению
\zeta^{2} - A_{1}\zeta + A_{2} = 0, (1.9)
A_{1} = m_{1}\delta_{11} + m_{2}\delta_{22};A_{2} = m_{1}m_{2}(\delta_{11}\delta_{22} - \delta_{12}^{2}). (1.10)
Корни уравнения (1.9)
(1.11)Круговые частоты собственных колебаний системы с двумя степенями свободы можно также определять по формуле
p_{1} = \sqrt{\xi_{1}} ;p_{2} = \sqrt{\xi_{2}} , (1.12)
где \xi_{1} и \xi_{2} — корни частотного уравнения в форме метода перемещений;
(1.13)причем \xi_{1}<\xi_{2} . Здесь kij = kji — реакция конструкции в точке, где находится i-тая масса, при единичном перемещении j-той массы и закреплении всех остальных масс (в кГ/м).
Раскрытие определителя (1.13) приводит к квадратному уравнению
\xi^{2} - B_{1}\xi + B_{2} = 0, (1.14)
B_{1} = \frac{k_{11}}{m_{1}} + \frac{k_{22}}{m_{2}} ;B_{2} = \frac{k_{11}k_{22} - k_{12}^{2}}{m_{1}m_{2}} . (1.15)
Корни уравнения (1.14)
(1.16)Формы собственных колебаний системы с двумя степенями свободы определяются с точностью до постоянного множителя в результате подстановки значений \zeta_{1} и \zeta_{2} в одно из уравнений метода сил
(1.17)При \zeta = \zeta_{1} (первая форма)
\frac{y_{11}}{y_{12}} = - \frac{m_{2}\delta_{12}}{m_{1}\delta_{11} - \zeta_{1}} = - \frac{m_{2}\delta_{22} - \zeta_{1}}{m_{1}\delta_{21}} .
При \zeta = \zeta_{2} (вторая форма)
\frac{y_{21}}{y_{22}} = - \frac{m_{2}\delta_{12}}{m_{1}\delta_{11} - \zeta_{2}} = - \frac{m_{2}\delta_{22} - \zeta_{2}}{m_{1}\delta_{21}} .
Можно положить y12 = 1, y22 = 1, тогда
y_{11} = - \frac{m_{2}\delta_{12}}{m_{1}\delta_{11} - \zeta_{1}} ;y_{21} = - \frac{m_{2}\delta_{12}}{m_{1}\delta_{11} - \zeta_{2}} .
Здесь yij обозначает перемещение массы j по форме номер i. Нормированные формы собственных колебаний \varphi_{ij} получают путем умножения значений yij на нормирующий множитель ci, определяемый по формуле
(1.18)
(1.19)Здесь первый индекс обозначает номер формы, второй — номер массы.
Аналогичным образом можно получить формы собственных колебаний, если подставить значения \xi_{1} и \xi_{2} в одно из уравнений метода деформаций:
(1.20)При этом нормирование полученных форм собственных колебаний производится по формулам (1.18).
В случае вращательных колебаний частоты и формы собственных колебаний систем с двумя степенями свободы определяются по формулам настоящего пункта, при этом следует вместо масс mi всюду писать моменты инерции масс \Theta_{i} , взятые относительно оси, проходящей через центр вращения перпендикулярно плоскости колебаний (в кГ·м·сек2). Кроме того, в этом случае \delta_{ij} будет обозначать угол поворота (в рад/кГ·м) конструкции в точке, где находится i-тая масса, от единичного момента, приложенного к j-той массе, а kij будет обозначать реактивный момент (в кГ·м/рад) в точке, где находится i-тая масса, при единичном повороте j-той массы и закреплении всех остальных масс.
3. Системы с n степенями свободы
В качестве систем с n степенями свободы могут рассматриваться такие конструкции, которые имеют либо n частот собственных колебаний, либо большее количество частот, среди которых n частот во много раз меньше остальных.
Такая расчетная схема может приниматься, в частности, при расчете конструкций, несущих n масс, значительно превышающих массу самих конструкций и других грузов.
Круговые частоты собственных колебаний pi для таких конструкций определяются по формулам
p_{i} = \frac{1}{\sqrt{\zeta_{i}}} , (1.21)
где \zeta_{i} — убывающие по величине корни частотного уравнения (в форме метода сил):
(1.22)Раскрытие определителя (1.22) приводит к уравнению n-й степени относительно \zeta
\zeta^{n} - A_{1}\zeta^{n - 1} + A_{2}\zeta^{n - 2} + ... + ( - 1)^{n}A_{n} = 0, (1.23)
коэффициенты которого имеют вид
(1.24)Формы собственных колебаний системы с n степенями свободы определяются с точностью до постоянного множителя в результате подстановки значений \zeta_{i} в какие-либо n — 1 уравнений системы
(1.25)например в первые n — 1 уравнений.
В результате будут определены при каждом \zeta_{i} соотношения между перемещениями масс по i-той собственной форме:
\frac{y_{i2}}{y_{i1}} = Y_{i2}; \frac{y_{i3}}{y_{i1}} = Y_{i3};...; \frac{y_{in}}{y_{i1}} = Y_{in}.
Здесь первый индекс означает номер формы, второй — номер массы.
Для определения форм yij можно положить, например, yi1 = 1, а затем определить yi2 = Yi2; yi3 = Yi3 и т.д.
Нормированные формы собственных колебаний \varphi_{ij} получаются путем умножения полученных значений yij на нормирующий множитель ci, определяемый по формуле
c_{i} = \frac{1}{\sqrt{\sum_{j = 1}^{n} m_{j}y_{ij}^{2}}} . (1.26)
Круговые частоты собственных колебаний могут также определяться по формулам
где \xi_{i} — возрастающие по величине корни частотного уравнения (в форме метода деформаций)
(1.27)Формы собственных колебаний определяются в результате подстановки значений \xi_{i} в какие-либо n — 1 уравнений системы
(1.28)аналогично тому, как это имеет место при использовании метода сил.
В случае вращательных колебаний частоты и формы собственных колебаний систем с n степенями свободы могут определяться по формулам настоящего пункта, если вместо масс mi всюду писать моменты инерции масс \Theta_{i} , взятые относительно оси, проходящей через центр вращения перпендикулярно плоскости колебаний (в кГ·м·сек2), а под \delta_{ij} и kij понимать соответственно угол поворота конструкции (в рад/кГ·м) в точке, где находится i-тая масса, от единичного момента, приложенного к j-той массе, и реактивный момент (в кГ·м/рад) в точке, где находится j-тая масса, при единичном повороте j-той массы и закреплении всех остальных масс.
Для решения частотных уравнений и определения частот собственных колебаний можно применять различные аналитические методы и стандартные программы вычисления собственных чисел и собственных векторов матриц на ЭЦВМ.
В частности, удобным в приложениях является метод последовательных приближений. Ниже приводится упрощенный вариант <1> метода последовательных приближений, дающий достаточно быструю сходимость для систем с негустым спектром частот. Этот способ можно использовать, например, при вычислении частот и форм собственных горизонтальных колебаний зданий.
<1> Арнапольский И.С. Определение частот и форм собственных колебаний систем с дискретными массами. «Строительная механика и расчет сооружений», 1966, № 3.
Для определения первой частоты и формы собственных колебаний система (1.25) приводится к более удобному для указанного метода виду. Поскольку формы собственных колебаний определяются с точностью до постоянного множителя, то, полагая yn = 1 и вводя дополнительный индекс 1, указывающий на номер определяемой формы, получим
(1.29)Теперь задаемся в качестве первого приближения следующими значениями y1k:
y_{1(1)}^{1} = y_{1(2)}^{1} = ... = y_{1(,)n - 1}^{1} = 1. (1.30)
Подставляя эти значения в последнее уравнение системы (1.29), получаем некоторое число \zeta_{1} = \zeta_{1}^{(1)} (первое приближение). Далее, подставляя значения y_{1(k)}^{1} и найденное \zeta_{1}^{(1)} в правые части первых n — 1 уравнений системы (1.29), находим второе приближение y_{1(1)}^{2} , y_{1(2)}^{2} , ... , y_{1(,n) - 1}^{2} . Подстановка этих величин в правую часть последнего уравнения системы (1.29) позволяет получить второе приближение для \zeta_{1} , т.е. \zeta_{1}^{(2)} . Дальнейшая подстановка y_{1(k)}^{2} и \zeta_{1}^{(2)} в первые n — 1 уравнения системы (1.29) дает третье приближение y_{1(1)}^{3} , y_{1(2)}^{3} , ..., y_{1(,n) - 1}^{3} , и т.д. Продолжая этот процесс до тех пор, пока значения \zeta_{1}^{(m)} , y_{1(1)}^{m} , y_{1(2)}^{m} , ... в очередной итерации не будут достаточно близки к значениям \zeta_{1}^{(m - 1)} , y_{11}^{(m - 1)} , ..., y_{1(,n - 1)}^{m - 1} , полученным в предыдущей итерации, найдем приближенные значения первой частоты и формы собственных колебаний.
Для определения второй частоты и формы собственных колебаний используем условие ортогональности первой и второй форм:
\sum_{j = 1}^{n} m_{j}y_{1j}y_{2j} = 0, (1.31)
y_{2n} = - \frac{1}{m_{n}y_{1n}} \sum_{j = 1}^{n - 1} m_{j}y_{1j}y_{2j}. (1.32)
Подставим это выражение в правые части первых n — 1 уравнений системы (1.25), которые запишем опять в удобном для указанного метода виде, полагая при этом y2, n-1 = 1:
(1.33)Полученная система также решается методом итераций, описанным при определении первой частоты и формы. В результате получаем значения второй частоты \zeta_{2} и величины y21, y22, ..., y2, n-1, определяющие вторую форму. Величину y2n находим из выражения (1.32).
Для определения третьей частоты и формы собственных колебаний составляются два условия, аналогичных (1.31):
\sum_{j = 1}^{n} m_{j}y_{1j}y_{3j} = 0;
\sum_{j = 1}^{n} m_{j}y_{2j}y_{3j} = 0,
т.е. условие ортогональности третьей формы с первой и со второй. Используя эти два условия, из системы (1.25) способом, описанным при определении второй частоты и формы, можно исключить два неизвестных y3, n-1 и y3n. В результате получим систему из n — 2 уравнений. Полагая в полученной системе y3, n-3 = 1, находим из нее (также методом итераций) величину \zeta_{3} и определяющие третью форму значения y31, y32, ..., y3, n-3. Величины y3, n-1 и y3, n определятся из выражений, аналогичных (1.32).
Таким же образом описанный итерационный способ определения частот и форм собственных колебаний используется при решении частотного уравнения в форме метода деформаций. В этом случае приведенная к удобному для итераций виду система уравнений имеет незначительное отличие. Записываем ее, полагая при этом любую из величин, определяющих форму колебаний, например ynn, равной единице:
Дальнейшие операции полностью совпадают с описанными выше.
При определении второй и третьей частоты собственных колебаний требуется достаточно высокая точность вычислений.
Если можно ограничиться определением только первой частоты и формы собственных колебаний, то для этой цели удобно применять энергетический метод. Согласно энергетическому методу частота собственных колебаний основного тона определяется по формуле
p_{1} = \sqrt{\frac{\Pi}{V_{1}}} ,
\Pi = \frac{g}{2} \sum_{k = 1}^{n} m_{k}y_{k};
V_{1} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} m_{k}y_{k}^{2},
yk — перемещение k-той массы при статическом действии системы сил Pj, равных силам веса каждой массы
y_{k} = \sum_{j = 1}^{n} \delta_{kj}P_{j}.
Форма собственных колебаний может быть вычислена путем подстановки значения \zeta_{1} = p_{1}^{- 2} в n — 1 уравнений системы (1.25). Для приближенной оценки частоты основного тона колебаний конструкций можно использовать также формулу Дункерлея:
\zeta_{1} = m_{1}\delta_{11} + m_{2}\delta_{22} + ... + m_{n}\delta_{nn},
которая дает весьма грубое приближение снизу.
Б. Конструкции, которые можно рассматривать как системы с бесконечно большим числом степеней свободы
Балки с равномерно распределенной массой
Круговые частоты собственных поперечных колебаний однопролетных балок постоянного сечения и массы определяются по формуле
p_{r} = \frac{\lambda_{r}}{l^{2}} \sqrt[2]{\frac{D}{\mu_{0}}} . (1.34)
Здесь r = 1, 2, 3, ... — номер частоты, соответствующий номеру тона собственных колебаний;
D = EJ — жесткость балки в кГм2 (E — модуль упругости в кГ/м2; J — момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси, постоянный по ее длине, в м4);
\mu_{0} = \frac{q_{0}}{g} — погонная масса балки в кГ·сек2/м2 (g0 — погонная нагрузка в кГ/м; g = 9,81 м/сек2 — ускорение силы тяжести);
\lambda_{r}^{2} — коэффициент r-той частоты собственных колебаний, квадраты которого даны в табл. 16 в зависимости от номера и вида закрепления концов балки.
Квадраты коэффициентов частоты (\lambda_{r}^{2}) для однопролетных балок
Формы собственных колебаний однопролетных балок постоянного сечения и массы (балочные функции) удовлетворяют дифференциальному уравнению
X_{r}^{IV}(\alpha) - \lambda_{r}^{4}X_{r}(\alpha) = 0 (1.35)
и граничным условиям при \alpha = 0 и \alpha = 1 , соответствующим условиям закрепления концов балки. Здесь r — номер формы; \alpha = \frac{x}{l} — относительная абсцисса, отсчитываемая от левого конца балки. Нормированные формы собственных колебаний однопролетной балки удовлетворяют также условию ортонормированности
(1.36)В табл. 22 - 27 приведены значения нормированных балочных функций и их производных для шести различных видов закрепления концов при r = 1, 2, 3, 4, 5.
Балки с равномерно распределенной и сосредоточенными массами (рис. 9)
Рис. 9. Схема однопролетной балки с равномерно распределенной и сосредоточенными массами
Круговые частоты собственных поперечных колебаний балок определяются по формуле
p_{r} = \frac{\lambda_{r}}{l^{2}} \sqrt[2]{\frac{D}{\mu_{r}}} , (1.37)
где \mu_{r} — приведенная погонная масса в кГ·сек2/м2, соответствующая r-му тону колебаний, вычисляемая по приближенной формуле
\mu_{r} = \mu_{0} + \frac{1}{l} \sum_{k = 1}^{n} X_{r}^{2}(\alpha_{k})m_{k}. (1.38)
Здесь k — номер сосредоточенной массы, отсчитываемый от левого конца балки;
n — число сосредоточенных масс на балке;
mk — сосредоточенная масса номера k в кГ·сек2/м;
\mu_{0} — равномерно распределенная погонная масса в кГ·сек2/м2;
\alpha_{k} = \frac{x_{k}}{l} — относительная абсцисса массы mk на балке (xk — абсцисса массы mk в м);
X_{r}^{2}(\alpha_{k}) — коэффициент приведения массы mk к равномерно распределенной;
X_{r}(\alpha_{k}) — значение нормированной балочной функции в точке xk, определяемое из табл. 22 - 27 в зависимости от вида закрепления концов балки, номера тона колебаний и значения \alpha_{k} .
Обозначения остальных величин см. выше.
Погрешность формулы (1.38) тем меньше, чем симметричнее расположены на балке сосредоточенные массы, чем меньше их величины и чем меньше они различаются между собой.
Для более точного определения приведенных погонных масс составляются уравнения
(1 - \lambda_{r}^{4}\zeta)a_{r} + \sum_{v = 1}^{n} \frac{m_{v}}{\mu_{0}l} X_{r}(\alpha_{v}) \sum_{j = 1}^{k} a_{j}X_{j}(\alpha_{v}) = 0, (1.39)
где ar, aj — параметры, подлежащие исключению; r = 1, 2, ..., k;
k — количество определяемых частот колебаний;
n — количество сосредоточенных масс на балке;
\zeta — неизвестное, подлежащее определению.
Число уравнений (1.39) равно k. После исключения параметров ar получается уравнение k-й степени относительно \zeta . С помощью корней этого уравнения, расположенных в порядке убывания
\zeta_{1}>\zeta_{2}>...>\zeta_{k},
определяются приведенные массы \mu_{r} по формуле
\mu_{r} = \mu_{0}\lambda_{r}^{4}\zeta_{r}. (1.40)
При k = 1 формула (1.39) переходит в формулу (1.38).
Равнопролетные балки с постоянными по длине жесткостью и массой
Круговые частоты собственных колебаний определяются по формуле (1.34), в которой D и \mu_{0} сохраняют прежнее значение; l — расстояние между соседними опорами в м; \lambda_{r} — коэффициент частоты r-го тона колебаний, квадраты которого даны в табл. 17.
Квадраты коэффициентов частоты (\lambda_{r}^{2}) для неразрезных равнопролетных балок
Формы собственных колебаний неразрезных равнопролетных балок с постоянной жесткостью и массой с числом пролетов от двух до пяти приведены в табл. 28 - 39. Значения балочной функции и ее производных даются для каждого пролета отдельно. Относительная абсцисса \alpha = \frac{x}{l} , где l — длина одного пролета, отсчитывается в каждом пролете от его левого конца. Приведенные в табл. 28 - 39 балочные функции удовлетворяют условию ортонормированности
(1.41)Здесь i — номер пролета балки; k, r — номера форм собственных колебаний.
Равнопролетные балки постоянной жесткости при наличии сосредоточенных масс (рис. 10)
Рис. 10. Схема неразрезной равнопролетной балки с равномерно распределенной и сосредоточенными массами
Круговые частоты pr определяются по формуле (1.37), в которой D, l и \lambda_{r}^{2} имеют значения, определенные в п. Б.1 настоящего приложения, а приведенная погонная масса \mu_{r} определяется по приближенной формуле
\mu_{r} = \mu_{0} + \frac{1}{l} \sum_{k = 1}^{n} X_{r}^{2}(\alpha_{k})m_{k}. (1.42)
Здесь \mu_{0} — постоянная погонная масса в кг·сек2/м2;
k — номер сосредоточенной массы, отсчитываемый от левого конца балки;
n — количество сосредоточенных масс на балке;
\alpha_{k} = \frac{x_{k}}{l} — относительная абсцисса массы mk, отсчитываемая от левого конца пролета, в котором она расположена (xk — абсцисса массы mk, отсчитываемая от левого конца пролета, в котором она расположена);
l — пролет между соседними опорами;
X_{r}(\alpha_{k}) — значение нормированной балочной функции в точке \alpha_{k} , определяемое из табл. 28 - 39 в зависимости от числа пролетов балки N, номера пролета, в котором расположена данная сосредоточенная масса, и от номера тона колебаний r.
Погрешность формулы (1.42) тем меньше, чем симметричнее расположены массы на балке, чем меньше их величина и меньше они различаются между собой.
Для более точного определения приведенных погонных масс неразрезной балки составляются уравнения типа (1.39), в которых \alpha_{v} , xv, i и X_{r}(\alpha_{v}) имеют тот же смысл, что и в формуле (1.42).
Неразрезные балки в общем случае
Для определения частот собственных колебаний неразрезных балок с различными длинами пролетов или различными жесткостями в разных пролетах следует применять общие методы динамики стержневых систем.
Однако, используя приведенные выше методы определения частот и таблицы форм собственных колебаний балок с постоянным сечением и массой, можно упростить расчет. Например, для определения частот собственных колебаний балки, изображенной на рис. 11, можно поступить следующим образом. Разрезав балку над средней опорой, приложим в сечении к каждой из полученных однопролетных балок моменты 1cos\omega t и, пренебрегая затуханием, определим амплитуды углов поворота каждой балки в этом сечении по формулам
\theta_{\text{л}} = \frac{1}{l_{\text{л}}^{3}} \sum_{r = 1}^{k} \frac{[X_{r}\prime_{\text{л}}(1)]^{2}}{\mu_{r}} \cdot \frac{1}{p_{r\text{л}}^{2} - \omega^{2}} ; (1.43)
\theta_{\text{пр}} = \frac{1}{l_{\text{пр}}^{3}} \sum_{r = 1}^{k} \frac{[X_{r}\prime_{\text{пр}}(0)]^{2}}{\mu_{r}} \cdot \frac{1}{p_{r\text{пр}}^{2} - \omega^{2}} ,
где prл — частоты собственных колебаний левой балки;
X_{r}\prime_{\text{л}}(1) — значение первой производной нормированной балочной функции для левой балки в сечении над правой крайней опорой;
X_{r}\prime_{\text{пр}}(0) — то же, для правой балки в сечении над левой крайней опорой;
lл — пролет между опорами левой балки;
Рис. 11. Определение частот и форм собственных колебаний неразрезных балок в общем случае
Частоты собственных колебаний определяются в результате решения частотного уравнения, получаемого путем приравнивания углов поворота левой и правой балки в сечении над средней опорой:
\theta_{\text{л}} - \theta_{\text{пр}} = 0. (1.44)
Корни этого уравнения \omega_{r} представляют собой частоты собственных колебаний рассмотренной неразрезной балки. Аналогичным образом могут быть рассмотрены и другие схемы балок, при этом может оказаться удобным делать не один, а два или более разрезов, получая систему уравнений, решение которой позволит определить спектр частот собственных колебаний. Для получения достаточно точных значений частот собственных колебаний число учитываемых собственных форм в формуле (1.43) должно быть на 2 — 3 больше, чем число определяемых частот.
3. Однопролетные прямоугольные плиты
Плиты с равномерно распределенной массой
Круговые частоты собственных колебаний определяются по формуле
(1.45)Здесь D = \frac{Eh^{3}}{12(1 - \nu_{0}^{2})} — цилиндрическая жесткость плиты в кГ·м (E — модуль нормальной упругости в кГ/м2; h — толщина плиты в м; \nu_{0} — коэффициент Пуассона);
\mu_{0} — интенсивность равномерно распределенной массы (собственной и присоединенной) на единицу площади в кГ·сек2/м3;
lx, ly — размеры плиты в направлении осей x и y соответственно в м;
\eta = \frac{l_{x}}{l_{y}} — отношение длины сторон плиты;
r, s — индексы нормированных балочных функций Xr(x) и Ys(y), произведение которых определяет форму собственных колебаний плиты; при этом балочная функция Xr(x) определяется для балки, имеющей тот же вид закрепления концов, как и стержень-полоска, вырезанная из плиты вдоль оси x; балочная функция Ys(y) определяется для стержня-полоски, вырезанной из плиты вдоль оси y (рис. 12);
\lambda_{rs} — коэффициент частоты собственных колебаний плиты, квадрат которого определяется по табл. 18 для плит с опертыми и защемленными краями; для остальных видов закрепления \lambda_{rs}^{2} вычисляется по формуле (см. примечание на стр. 75)
\lambda_{rs}^{2} = \pi \sqrt[2]{G_{x}^{4} + \eta^{4}G_{y}^{4} + 2\eta^{2}[v_{0}H_{x}H_{y} + (1 - v_{0})J_{x}J_{y}]} . (1.46)
Рис. 12. Схема, показывающая характер соответствия между плитой и балками
Квадраты коэффициентов частоты (\lambda_{rs}^{2}) для прямоугольных плит
Значения коэффициентов Gx, Gy, Hx, Hy, Jx, Jy для различных видов закрепления краев плиты в зависимости от r и s даны в табл. 19.
Значения коэффициентов для различных видов закрепления краев плиты
- плита со свободными краями; 
- плита с шарнирно опертыми краями;
- плита с защемленными краями.
Примечание. В табл. 19 r и s обозначают количество узловых линий в пролете плиты в каждом направлении, включая опертые и защемленные края.
В таблице приняты следующие обозначения:
A_{r} = (r - \frac{1}{2})^{2}[1 - \frac{2}{(r - \frac{1}{2})\pi}];
B_{r} = (r - \frac{3}{4})^{2}[1 - \frac{1}{(r - \frac{3}{4})\pi}];
C_{r} = (r - \frac{1}{2})^{2}[1 + \frac{6}{(r - \frac{1}{2})\pi}];
D_{r} = (r - \frac{3}{4})^{2}[1 + \frac{3}{(r - \frac{3}{4})\pi}];
E_{r} = (r - \frac{1}{2})^{2}[1 + \frac{2}{(r - \frac{1}{2})\pi}];
F_{r} = (r - \frac{1}{2})^{2}[1 - \frac{6}{(r - \frac{1}{2})\pi}].
As, Bs, Cs, Ds, Es, Fs получаются при замене в приведенных выше формулах r на s.
Плиты с равномерно распределенной и сосредоточенными массами
Круговые частоты собственных колебаний определяются по формуле
(1.47)где все величины, кроме \mu_{rs} , определены выше; приведенная масса на единицу площади плиты \mu_{rs} вычисляется по приближенной формуле
\mu_{rs} = \mu_{0} + \frac{1}{l_{x}l_{y}} \sum_{v = 1}^{n} X_{r}^{2}(\alpha_{v})Y_{s}^{2}(\beta_{v})m_{v}. (1.48)
Здесь \alpha_{v} = \frac{x_{v}}{l_{x}} , \beta_{v} = \frac{y_{v}}{l_{y}} — относительные координаты центра массы mv (рис. 12);
v — номер сосредоточенной массы;
n — количество всех сосредоточенных масс;
X_{r}(\alpha_{v}) , Y_{s}(\beta_{v}) — нормированные балочные функции, значения которых в точке приложения массы mv с координатами xv и yv определяются из табл. 22 - 27.
Формула (1.48) тем точнее, чем меньше сосредоточенные массы, чем меньше отличаются они друг от друга и чем симметричнее они расположены на плите.
Примечание. Для определения значений Y_{s}(\beta_{v}) из указанных таблиц в них следует заменить обозначения X на Y, \alpha на \beta и r на s.
Между номерами собственных частот плиты, определенных из табл. 18, и индексами балочных функций существует единое соответствие. Если же частоты определяются из табл. 19, то индексы балочных функций должны выбираться по числу узловых линий, т.е. балочная функция должна иметь ровно r или s нулей, включая опоры.
4. Многопролетные неразрезные плиты
Частоты собственных колебаний неразрезных плит на жестких опорах можно определять по приближенной формуле
p_{rs} = \sqrt{\frac{D}{\mu_{rs}l_{x}^{4}} (\lambda_{r}^{4} + 2\eta^{2}C_{r}C_{s} + \eta^{4}\lambda_{s}^{4})} , (1.49)
где \eta — отношение длин пролетов неразрезной плиты;
\lambda_{r} , \lambda_{s} — коэффициенты частоты для неразрезных балок (табл. 17), соответствие которых с плитой указано на рис. 13;
C_{r} = \int_{0}^{N_{x}} X_{r}(\alpha)X_{r}\prime\prime(\alpha)d\alpha;
C_{s} = \int_{0}^{N_{y}} X_{s}(\beta)X_{s}\prime\prime(\beta)d\beta
(значения коэффициентов Cr, Cs для неразрезных балок приведены в табл. 20);
Nx, Ny — число пролетов плиты вдоль осей x и y соответственно;
Xr, Xs — нормированные балочные функции, значения которых даны в табл. 28 - 39.
lx, ly — размеры каждого поля плиты в направлении осей x и y.
Рис. 13. Схема, показывающая характер соответствия между неразрезной плитой и неразрезными балками
Примечание. Все значения коэффициентов Cn отрицательны. Однако в табл. 20 знак минус везде опущен, что не влияет на вычисления по формуле (1.49).
Формы собственных колебаний неразрезных плит перекрытий определяются по приближенной формуле
\omega_{rs}(\alpha,\beta) = X_{r}(\alpha)Y_{s}(\beta). (1.50)
В. Каркасные здания без несущих стен и жесткого заполнения
1. Поступательные горизонтальные колебания
Частоты и формы собственных горизонтальных колебаний рамных каркасов промышленных зданий в предположении, что массы здания сосредоточены в уровнях перекрытий и покрытия, могут быть определены по формулам п. А.3 настоящего приложения как для системы с конечным числом степеней свободы.
Перемещения рамного каркаса от единичных сил в общем случае определяются в результате статического расчета рамы по правилам строительной механики.
В случае многоэтажных монолитных и сборно-монолитных каркасов регулярной структуры, имеющих жесткие узлы, для определения перемещений от единичных сил, приложенных в уровнях перекрытий и покрытия, можно использовать следующие формулы <1>:
(1.51)S_{k} = \sum_{j = 1}^{k} \frac{H_{j}^{2}}{s_{j}} ;
R_{1} = \frac{H_{1}^{2}}{4r_{1}} ;R_{2} = \frac{(H_{1} + H_{2})^{2}}{4r_{1}} ;
R_{k} = R_{k - 1} + \frac{(H_{k - 1} + H_{k})^{2}}{4r_{k - 1}} (k>2);
n — число этажей; sj — суммарная погонная жесткость стоек j-того яруса; rj — суммарная погонная жесткость ригелей j-того яруса; Hj — высота яруса рамы.
<1> Сигалов Э.Е. О расчете каркасных и крупнопанельных зданий на горизонтальные свободные колебания. «Строительная механика и расчет сооружений», 1969, № 2.
При этом жесткость элементов (ригелей и стоек), имеющих одно шарнирное, а другое жесткое закрепление концов, учитывается с коэффициентом 1/4, а жесткость элементов с двумя шарнирно закрепленными концами принимается равной нулю.
Если погонная жесткость ригелей более чем в 3 раза превышает погонную жесткость стоек, то ригели рамы можно считать абсолютно жесткими, и
\delta_{kk} = \delta_{k,k + 1} = ... = \delta_{kn} = \frac{1}{12} \sum_{j = 1}^{k} \frac{H_{j}^{2}}{s_{j}} . (1.52)
В сборных каркасах со сварными стыками необходимо учитывать податливость стыков. В этом случае формулы (1.45) принимают вид
(1.53)R_{1} = \frac{(1 + 2\mu_{1}^{c})H_{1}^{2}}{4\overline{r_{1}}(1 + \mu_{1}^{c})} ;
R_{2} = \frac{H_{1} + H_{2}}{4\overline{r_{1}}} [\frac{(1 + 2\mu_{1}^{c})H_{1}}{1 + \mu_{1}^{c}} + \frac{H_{2}}{1 + \mu_{2}^{c}}];
R_{k} = R_{k - 1} + \frac{H_{k - 1} + H_{k}}{4\overline{r_{k - 1}}} [\frac{(1 + 2\mu_{k - 1}^{c})H_{k - 1}}{1 + \mu_{k - 1}^{c}} + \frac{H_{k}}{1 + \mu_{k}^{c}}];
S_{k} = \sum_{j = 1}^{k} \frac{H_{j}^{2}}{\overline{s_{j}}} ;
\overline{r_{k}} = \frac{r_{k}}{1 + 6\mu_{k}^{p}} ;
\overline{s_{k}} = \frac{s_{k}(1 + \mu_{k}^{c})}{1 + 4\mu_{k}^{c}} ;
\mu_{k}^{c} = \frac{s_{k}}{C_{k}^{c}} ,\mu_{k}^{p} = \frac{r_{k}}{C_{k}^{p}} ;
C_{k}^{c} , C_{k}^{p} — коэффициенты жесткости стыка стойки и ригеля соответственно, определяемые экспериментально или по эмпирической формуле
C = \eta*h^{2} \cdot 10^{4}T\text{м}.
Приближенные значения коэффициента \eta* приведены в табл. 21.
Формулы (1.51) и (1.53) дают достаточную для практических целей точность при rj > 0,25sj.
В случае абсолютно жестких ригелей
\delta_{kk} = \delta_{k,k + 1} = ... = \delta_{kn} = \frac{1}{12} \sum_{j = 1}^{k} \frac{H_{j}^{2}}{\overline{s_{j}}} . (1.54)
При наличии консольных стыков в сборных железобетонных каркасах погонную жесткость стоек и ригелей следует определять с учетом жесткости консольных участков.
Формы собственных колебаний рамных каркасов при предположении, что
\delta_{ik} = \delta_{ki} = \delta_{k,k + 1} = ... = \delta_{kn},
т.е. при использовании формул (1.51) - (1.53) можно определять непосредственно по формулам
y_{r1} = \frac{\delta_{1n}}{1 + p_{r}^{2}m_{1}(\delta_{1n} - \delta_{11})} ;
(1.55)Если суммарные погонные жесткости стоек и ригелей всех ярусов и массы отличаются не более чем на 20%, то при r > 2s частоты собственных колебаний каркасных зданий с жесткими узлами можно определять по формуле <1>
p_{i} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\beta s}{mH^{2}}} sin \frac{(i - 1/2)\pi}{2n + 1} , (1.56)
где s, m, H — суммарная погонная жесткость стоек, масса и высота каждого этажа;
\beta — коэффициент, определяемый по графику (рис. 14).
Рис. 14. График для определения коэффициента \beta
<1> Вольфсон Б.П. О собственных колебаниях одномерных периодических систем. «Исследования по теории сооружений», т. XVII, 1969.
y_{ij} = (- 1)^{j + n}sin \frac{2\pi j(n + 1 - i)}{2n + 1} . (1.57)
Нормировка форм собственных горизонтальных колебаний каркасных зданий в общем случае производится согласно указаниям п. А.3.
По формулам настоящего пункта можно вычислять также частоты собственных колебаний площадок под машины.
2. Каркасные здания с жестким заполнением
Перемещения от единичных сил, приложенных в уровнях перекрытий и покрытия, для каркасных зданий со сплошным жестким заполнением или навесным ограждением, работающим как упругий диск, определяются по формулам
\delta_{kk} = \delta_{k,k + 1} = ... = \delta_{kn} = \sum_{j = 1}^{k} \frac{H_{j}^{2}}{12\overline{s_{j}} + H_{j}v_{j}} , (1.58)
v_{j} = \frac{G_{j}F_{j}^{\text{зап}}}{1,2} . (1.59)
Здесь F_{j}^{\text{зап}} — площадь в плане заполнения, расположенного вдоль направления колебаний в пределах j-того этажа;
Gj — модуль сдвига материала заполнения.
Остальные обозначения такие же, как и в предыдущем пункте.
Если в заполнении имеются проемы, то величина v_{j} умножается на дополнительный коэффициент, учитывающий влияние проемов на деформативность заполнения:
v_{j} = \frac{G_{j}F_{j}^{\text{зап}}}{1,2} (1 - \frac{F_{j}^{\text{п}p}}{0,85F_{j}^{\text{зап}}}), (1.60)
где F_{j}^{\text{п}p} — площадь проемов в плане.
Формулу (1.60) можно применять при проемах средней высоты и F_{j}^{\text{п}p} \leq 0,7F_{j}^{\text{зап}} . Если проемы устроены на высоту всего этажа, то
v_{j} = \frac{G_{j}F_{j}^{\text{зап}}}{1,2} (1 - \frac{F_{j}^{\text{п}p}}{F_{j}^{\text{зап}}}).
Для каркасных зданий с жесткими узлами в формуле (1.58) следует положить s_{j}^{1} - s_{j} .
Перемещения от единичных сил для зданий с несущими стенами могут приближенно определяться по формулам
\delta_{kk} = \delta_{k,k + 1} = ... = \delta_{kn} = \sum_{j = 1}^{k} \frac{H_{j}}{v_{j}} , (1.61)
где v_{j} определяется по формулам (1.59) - (1.61), в которых вместо F_{j}^{\text{зап}} следует подставить F_{j}^{\text{ст}} , т.е. площадь стен в плане. При этом также учитываются только те стены, которые расположены вдоль направления колебаний.
При густом расположении продольных и поперечных стен, образующих прямоугольную сетку с шагом, не большим 6 — 10 м, жесткость стен v_{j} в формуле (1.61) может определяться по формуле
v_{j} = \frac{G_{j}F_{j}}{2,4} (1 - \frac{F_{j}^{\text{п}p}}{0,85F_{j}}), (1.62)
где Fj — площадь всех стен j-того этажа в плане.
Формула (1.61) может применяться для зданий, расположенных на плотных основаниях и сваях. При податливом основании перемещения от единичных сил вычисляются по формулам
(1.63)где Kx, K_{\varphi} — жесткость основания здания при сдвиге и повороте;
\overline{H_{k}} — расстояние от поверхности основания до k-того этажа.
Величины Kx и K_{\varphi} вычисляются согласно указаниям нормативных документов по расчету оснований и фундаментов.
Для каменных зданий с ленточными фундаментами можно приближенно принимать
(1.64)Здесь Cz — коэффициент упругого равномерного сжатия грунта;
Fф — площадь основания фундаментов;
Jф — момент инерции площади основания фундаментов относительно оси, проходящей через центр тяжести.
4. Вращательные колебания каркасных зданий
Круговые частоты собственных вращательных горизонтальных колебаний каркасных промышленных зданий можно определять по формуле (1.21), в которой \zeta_{i} есть корни частотного уравнения
(1.65)Здесь \Theta — момент инерции массы i-того перекрытия относительно оси, проходящей через центр вращения перекрытия перпендикулярно плоскости колебаний, в кГ·м·сек2;
\delta_{ik} — угол поворота в рад/кГ·м i-того перекрытия от действия единичного момента, приложенного к k-тому перекрытию.
При этом предполагается, что центры жесткости и масс всех этажей лежат на одной оси и ось вращения проходит через центр симметрии здания (рис. 15) или она проходит через центр жесткой пристройки, лестничной клетки и т.д., если здание стеснено пристройками или имеет жесткие относительно горизонтальных перемещений элементы (рис. 16).
Рис. 15. Схема угловых перемещений по высоте и в плане при колебаниях каркасного здания, не стесненного пристройками
Рис. 16. Схема угловых перемещений в плане при колебаниях каркасного здания, стесненного пристройками
В наиболее часто встречающемся случае, когда центры жесткости и масс всех этажей лежат на оси симметрии здания, коэффициенты \delta_{ik} в уравнении (1.65) выражаются через единичные перемещения отдельных плоских рам каркаса поперечного и продольного направления:
\delta_{ik} = \frac{\delta_{i(k)}^{x}\delta_{i(k)}^{y}}{l_{y}^{2}\delta_{i(k)}^{y}\xi_{n} + l_{x}^{2}\delta_{i(k)}^{x}\xi_{m}} , (1.66)
где lx, ly — расстояние между продольными и поперечными рамами каркаса соответственно;
\delta_{i(k)}^{x} — перемещение поперечной рамы каркаса в своей плоскости на уровне i-того перекрытия от единичной горизонтальной силы, приложенной к поперечной раме в уровне j-того перекрытия;
\delta_{i(k)}^{y} — перемещение продольной рамы каркаса в своей плоскости на уровне i-того перекрытия от единичной горизонтальной силы, приложенной к продольной раме в уровне k-того перекрытия;
m — число продольных рам в каркасе;
n — число поперечных рам в каркасе;
\xi_{m} = \frac{m(m^{2} - 1)}{12} ;\xi_{n} = \frac{n(n^{2} - 1)}{12} .
Если рамы расположены в обоих направлениях с одинаковым шагом (lx = ly = l), то
\delta_{ik} = \frac{\delta_{i(k)}^{x}\delta_{i(k)}^{y}}{l^{2}(\xi_{n}\delta_{i(k)}^{y} + \xi_{m}\delta_{i(k)}^{x})} . (1.67)
Единичные повороты \delta_{ik} могут быть определены также по приближенным формулам:
\delta_{kk} = \delta_{k,k + 1} = ... = \delta_{kn} = \sum_{j = 1}^{k} \frac{1}{\beta_{j}^{c}} , (1.68)
где \beta_{j}^{c} = \beta_{j} + b_{0}^{2}\mu_{j}^{x} + a_{0}^{2}\mu_{j}^{y} — обобщенная жесткость j-того этажа на поворот относительно центра вращения, обусловленная сопротивлением стоек изгибу и кручению, в Тм;
a0, b0 — координаты центра вращения относительно осей с началом в центре симметрии здания (см. рис. 16);
\mu_{j}^{x} = \frac{12E_{1}J_{j}^{x}mn}{h_{j}^{3}} — суммарная обобщенная жесткость стоек j-того этажа на изгиб в направлении x силой, приложенной в плоскости j-того перекрытия (в предположении, что концы стоек не могут поворачиваться), в Т/м;
\mu_{j}^{y} = \frac{12E_{1}J_{j}^{y}mn}{h_{j}^{3}} — то же, в направлении оси y в Т/м;
\beta_{j} = b^{2}\lambda_{n}\mu_{j}^{x} + a^{2}\lambda_{m}\mu_{j}^{y} + v_{j}^{xy} — суммарная обобщенная жесткость j-того этажа на поворот относительно центра симметрии, обусловленная сопротивлением стоек изгибу и кручению, в Тм;
a, b — размеры здания в плане по осям крайних колонн или наружных стен в направлениях x и y соответственно в м;
E1 — модуль упругости материала колонн;
J_{j}^{x} — момент инерции поперечного сечения одной колонны j-того этажа относительно своей главной оси, параллельной оси y, в м4;
J_{j}^{y} — то же, относительно главной оси, параллельной оси x, в м4;
v_{j}^{xy} = \frac{G_{1}J_{j}^{xy}mn}{h_{j}} — суммарная обобщенная жесткость колонн j-того этажа на кручение в Т/м;
G1 — модуль сдвига материала колонн в Т/м2;
\lambda_{n} = \frac{n + 1}{12(n - 1)} ;\lambda_{m} = \frac{m + 1}{12(m - 1)} ;
J_{j}^{xy} — полярный момент инерции поперечного сечения одной колонны относительно центра сечения в м4.
Для обычных промышленных зданий жесткостью колонн на кручение v_{j}^{xy} можно пренебречь.
Решение частотного уравнения (1.65) может быть получено, в частности, с помощью приведенного выше итерационного метода. При этом исходная система уравнений имеет вид
(1.69)По формулам настоящего пункта можно вычислять частоты собственных вращательных колебаний площадок под машины. В этом случае следует учитывать жесткость стоек на кручение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ КОНСТРУКЦИЙ
А. Конструкции, которые можно рассматривать как системы с одной степенью свободы
Амплитуда перемещений системы с одной степенью свободы при гармонических поступательных колебаниях определяется по формуле
z_{0} = \frac{P_{0}\delta}{\sqrt{\chi^{2} + \gamma^{2}}} = \frac{P_{0}}{k \sqrt{\chi^{2} + \gamma^{2}}} , (2.1)
\chi = 1 - \frac{\omega^{2}}{p^{2}} ;
P0 — амплитуда силы, действующей на систему;
\gamma — коэффициент внутреннего трения. Остальные обозначения такие же, как и выше (см. приложение 1).
При вращательных колебаниях амплитуда угла поворота определяется по формуле
\theta_{0} = \frac{M_{0}\delta_{\Theta}}{\sqrt{\chi^{2} + \gamma^{2}}} = \frac{M_{0}}{k_{\Theta} \sqrt{\chi^{2} + \gamma^{2}}} , (2.2)
где M0 — амплитуда момента, действующего на систему.
Амплитуды внутренних усилий конструкций, рассматриваемых как система с одной степенью свободы, определяются в результате статического расчета конструкции на действие нагрузки
P = \frac{P_{0}}{\sqrt{\chi^{2} + \gamma^{2}}} (2.3)
при поступательных колебаниях и
M = \frac{M_{0}}{\sqrt{\chi^{2} + \gamma^{2}}} (2.4)
Наибольшее перемещение системы с одной степенью свободы при переходе через резонанс с постоянным угловым ускорением можно определять по формуле
z_{max} = \overline{\mu} \frac{\overline{P}}{k} , (2.5)
где \overline{\mu} — коэффициент передачи, определяемый по графикам (см. рис. 3) при круговой частоте p или по формулам п. 1.41 в зависимости от величины круговой частоты собственных колебаний и коэффициента неупругого сопротивления рассматриваемой системы;
\overline{P} — амплитуда силы в момент времени, когда достигается наибольшее перемещение.
Для машин с инерционными силами, вызванными движением неуравновешенных масс:
\overline{P} = R \frac{\overline{\omega^{2}}}{\omega^{2}} , (2.6)
где R — амплитуда силы в рабочем режиме;
\omega — круговая частота вынужденных колебаний в рабочем режиме;
\overline{\omega} — то же, в момент времени, когда достигается наибольшее перемещение.
Величина \overline{\omega} определяется по формуле (11) при значениях p и \gamma , соответствующих рассматриваемой системе.
Наибольшие внутренние усилия в конструкции, рассматриваемой как система с одной степенью свободы, при переходе через резонанс определяются в результате статического расчета конструкции на действие нагрузки
где k — коэффициент жесткости системы (см. п. А.1 приложения 1).
При воздействии периодической нагрузки наибольшие перемещения системы с одной степенью свободы следует определять с учетом фаз составляющих гармоник. Если нагрузка представлена двумя гармониками (т.е. в ее разложении в ряд Фурье сохранены два члена ряда) <1>
f(t) = P_{1}cos\omega t + P_{2}cos(2\omega t + \varphi_{1}), (2.8)
то наибольшее перемещение можно найти по формуле
z_{max} = z_{0}^{(1)}\Omega, (2.9)
где \Omega определяется по графикам, приведенным на рис. 17, в зависимости от величины \kappa = \frac{z_{0}^{(2)}}{z_{0}^{(1)}} и сдвига фазы \varphi .
<1> Если обе гармоники имеют начальные фазы, то заменой временной переменной нагрузку можно привести к виду (2.8).
z_{0}^{(1)} = \frac{P_{1}}{k \sqrt{\chi_{1}^{2} + \gamma^{2}}} ;
z_{0}^{(2)} = \frac{P_{2}}{k \sqrt{\chi_{2}^{2} + \gamma^{2}}} ;
\chi_{1} = 1 - \frac{\omega^{2}}{p^{2}} ,\chi_{2} = 1 - \frac{4\omega^{2}}{p^{2}} ;
\varphi = \varphi_{1} - 2\psi_{1} + \psi_{2};
sin\psi_{1} = \frac{\gamma}{\sqrt{\chi_{1}^{2} + \gamma^{2}}} ,cos\psi_{1} = \frac{\chi_{1}}{\sqrt{\chi_{1}^{2} + \gamma^{2}}} ;
sin\psi_{2} = \frac{\gamma}{\sqrt{\chi_{2}^{2} + \gamma^{2}}} ,cos\psi_{2} = \frac{\chi_{2}}{\sqrt{\chi_{2}^{2} + \gamma^{2}}} .
При |\kappa| \geq 1 коэффициент \Omega вычисляется по формуле
\Omega = \Omega_{1} + |\kappa| - 1, (2.10)
где \Omega_{1} — значение коэффициента \Omega при \kappa = 1 (если \kappa>1 ) и при \kappa = - 1 (если \kappa< - 1 ), определяемые по графику (рис. 17).
Рис. 17. Зависимость коэффициента \Omega от величины \kappa для различного сдвига фазы \varphi
Наибольшие изгибающие моменты и поперечные силы конструкции определяются в результате статического расчета на нагрузку:
P = kz_{0}^{(1)}\Omega. (2.11)
Б. Конструкции, которые можно рассматривать как системы с конечным числом степеней свободы
Амплитуда перемещений системы с n степенями свободы при гармонических колебаниях, вызванных системой сил P_{i}cos\omega t , определяется по формуле
z_{0j} = \sqrt{[z\prime_{j}]^{2} + [z\prime_{j}\prime]^{2}} , (2.12)
где z0j — амплитуда перемещений в точке j;
z\prime_{j} — амплитуда косинусоидальной составляющей перемещения, равная
z\prime_{j} = \sum_{r = 1}^{k} B_{r}\chi_{r}\varphi_{rj};
z\prime_{j}\prime — амплитуда синусоидальной составляющей перемещения, равная
z\prime_{j}\prime = - \gamma \sum_{r = 1}^{k} B_{r}\varphi_{rj};
B_{r} = \frac{b_{r}}{p_{r}^{2}(\chi_{r}^{2} + \gamma^{2})} ;
b_{r} = \sum_{i = 1}^{n} P_{i}\varphi_{ri};
\chi_{r} = 1 - \frac{\omega^{2}}{p_{r}^{2}} ,
pr — r-тая круговая частота собственных колебаний конструкции в рад/сек;
\varphi_{rj} — r-тая нормированная форма собственных колебаний конструкции, определяемая согласно указаниям раздела А приложения 1;
br — коэффициент разложения нагрузки в ряд по формам собственных колебаний;
Pi — амплитуда нагрузки, приложенной в точке i;
k — число учитываемых форм собственных колебаний (k <= n).
При расчете на нагрузку P_{i}sin\omega t можно также применять формулу (2.12), считая
z\prime_{j} = \gamma \sum_{r = 1}^{k} B_{r}\varphi_{rj};z\prime_{j}\prime = \sum_{r = 1}^{k} B_{r}\chi_{r}\varphi_{rj}.
Приведенные формулы применяются при расчете на динамическую нагрузку с одинаковыми фазами у всех составляющих Pi. Если фазы сил Pi сдвинуты на некоторый угол, например на систему действуют нагрузки P_{1}cos\omega t и P_{2}cos(\omega t + \varphi) , то, представляя последнюю нагрузку в виде P_{2}\prime cos\omega t + P_{2}\prime\prime sin\omega t , где P_{2}\prime = P_{2}cos\varphi , P_{2}\prime\prime = - P_{2}sin\varphi , можно найти амплитуды косинусоидальной и синусоидальной составляющей перемещений как сумму амплитуд (с учетом знаков) от нагрузок P1, P_{2}\prime , P_{2}\prime\prime , а затем по формуле (2.12) определить амплитуды перемещений.
При действии на конструкцию нагрузок от независимых машин, фазы которых не связаны между собой, амплитуды перемещений вычисляются отдельно от каждой нагрузки, а затем складываются. Таким же образом учитывается взаимодействие нагрузок и при определении амплитуд внутренних усилий.
Амплитуды внутренних усилий при гармонических колебаниях конструкций, рассматриваемых как системы с n степенями свободы, можно определять по формулам
(2.13)где M\prime_{j} и Q\prime_{j} — изгибающий момент и поперечная сила, вызванные статическим приложением системы сил
P_{i}\prime = m_{i} \sum_{r = 1}^{k} p_{r}^{2}B_{r}\chi_{r}\varphi_{rj} = m_{i} \sum_{r = 1}^{k} \frac{b_{r}\chi_{r}\varphi_{ri}}{\chi_{r}^{2} + \gamma^{2}} ; (2.14)
M_{0}\prime\prime_{j} и Q_{0}\prime\prime_{j} — изгибающий момент и поперечная сила, вызванные статическим приложением системы сил
P_{i}\prime\prime = m_{i}\gamma \sum_{r = 1}^{k} p_{r}^{2}B_{r}\varphi_{rj} = - m_{i}\gamma \sum_{r = 1}^{k} \frac{b_{r}\varphi_{ri}}{\chi_{r}^{2} + \gamma^{2}} . (2.15)
В случае резонанса по одной из форм собственных колебаний для определения амплитуд перемещений можно использовать формулу
z_{0j} = | \frac{b_{r}\varphi_{rj}}{p_{r}^{2}\gamma} |, (2.16)
где r — номер резонирующей формы.
Если резонанс возможен по нескольким формам колебаний (например, при попадании частоты возмущающей нагрузки в зону сгущения собственных частот), то необходимо проверить перемещения по формуле (2.16) для всех резонирующих форм.
В случае резонанса по r-той форме собственных колебаний изгибающие моменты и поперечные силы можно определять в результате статического расчета конструкции на действие системы сил
P_{i} = \frac{m_{i}b_{r}\varphi_{ri}}{\gamma} . (2.17)
Если сосредоточенная возмущающая сила расположена вблизи узла резонирующей формы колебаний, то использование формул (2.16), (2.17) может привести к значительным погрешностям, вследствие чего в этом случае лучше применять формулы (2.12), (2.13).
Если имеет место резонанс по первой форме собственных колебаний (\omega = p_{1}) , то формулы (2.16), (2.17) можно применять независимо от места расположения нагрузки.
При учете только первой формы колебаний, например когда \omega<p_{1} ,
z_{0j} = | \frac{b_{1}\varphi_{1j}}{p_{1} \sqrt[2]{\chi_{1}^{2} + \gamma^{2}}} |. (2.18)
В тех случаях, когда частота вынужденных колебаний попадает в дорезонансную или межрезонансные зоны и отличается от ближайшей частоты собственных колебаний более чем на 10%, в формулах (2.12) - (2.15) и (2.18) можно положить \gamma = 0 . Тогда эти формулы примут вид
z_{0j} = | \sum_{r = 1}^{k} \frac{b_{r}\varphi_{ri}}{p_{r}^{2}\chi_{r}} |; (2.12а)
M_{0j} = M\prime_{j},Q_{0j} = Q\prime_{j}; (2.13а)
P_{j}\prime = m_{j} \sum_{r = 1}^{k} \frac{b_{r}\varphi_{rj}}{\chi_{r}} ; (2.14а)
z_{0j} = | \frac{b_{1}\varphi_{1j}}{p_{1}^{2}\chi_{1}} |. (2.15а)
При определении внутренних усилий в конструкциях, рассматриваемых как системы с конечным числом степеней свободы, в дорезонансной и межрезонансной зонах путем загружения системой сил, вычисляемых по формуле (2.14а) настоящей Инструкции, амплитуда определяется без учета внутреннего неупругого сопротивления, при этом необходимо учитывать фазы колебаний различных точек системы, присваивая знак плюс или минус в зависимости от формы вынужденных колебаний.
При вращательных колебаниях амплитуды углов поворота и внутренних усилий конструкций можно определять по формулам (2.12) - (2.17), если всюду массу mj заменить на момент инерции массы \Theta_{j} и z0 на \theta_{0j} .
При воздействии периодической нагрузки наибольшие перемещения конструкций, которые можно рассматривать как системы с конечным числом степеней свободы, определяются с учетом фаз составляющих гармоник. Если нагрузка, приложенная в точке j, представлена двумя гармониками, то наибольшее перемещение можно определить по формуле (см. формулу 2.8)
z_{jmax} = z_{0(j)}^{1}\Omega,
где z_{0(j)}^{1} — амплитуда перемещений в точке j при действии нагрузки P_{i}^{(1)}cos\omega t , вычисляемая по формуле (2.12). Коэффициент \Omega определяется по графикам, приведенным на рис. 17 или по формулам (2.10), при этом под \kappa понимается отношение z_{0(j)}^{2}/z_{0(j)}^{1} , где z_{0(j)}^{2} — амплитуда перемещений в точке j при действии нагрузки P_{i}^{(2)}cos2\omega t , вычисляемая по формуле (2.12) при частоте 2\omega , и
\varphi = \varphi_{1} - 2\psi_{1} + \psi_{2};
(2.19)Здесь z\prime_{j}^{(1)} и z\prime_{j}\prime^{(1)} — амплитуды косинусоидальной и синусоидальной составляющей при действии нагрузки P_{i}^{(1)}cos\omega t ; z\prime_{j}^{(2)} и z\prime_{j}\prime^{(2)} — то же, при действии нагрузки P_{i}^{(2)}cos2\omega t [см. формулу (2.12)].
Наибольшие изгибающие моменты и поперечные силы определятся по формулам
(2.20)где M_{0(j)}^{1} и Q_{0(j)}^{1} — амплитуды изгибающего момента и поперечной силы при действии нагрузки P_{i}^{(1)}cos\omega t , вычисляемые по формуле (2.13). Коэффициент \Omega определяется по графикам, приведенным на рис. 17, или по формулам (2.10), при этом под \kappa понимается отношение
\kappa = \frac{M_{0(j)}^{2}}{M_{0(j)}^{1}} (2.21)
\kappa = \frac{Q_{0(j)}^{2}}{Q_{0(j)}^{1}} , (2.22)
где M_{0(j)}^{2} , Q_{0(j)}^{2} — амплитуды изгибающего момента и поперечной силы при действии нагрузки P_{i}^{(2)}cos2\omega t , вычисляемые по формуле (2.13) при частоте 2\omega . Фазы \psi_{1} и \psi_{2} в этом случае принимают вид
sin\psi_{m} = \frac{M_{0}\prime\prime_{(j)}^{m}}{M_{0(j)}^{m}} ,cos\psi_{m} = \frac{M_{0}\prime_{(j)}^{m}}{M_{0(j)}^{m}} (m = 1,2); (2.23)
sin\psi_{m} = \frac{Q_{0}\prime\prime_{(j)}^{m}}{Q_{0(j)}^{m}} ,cos\psi_{m} = \frac{Q_{0}\prime_{(j)}^{m}}{Q_{0(j)}^{m}} (m = 1,2). (2.24)
В. Конструкции, которые можно рассматривать как системы с бесконечным числом степеней свободы
Амплитуды перемещений балок, рассматриваемых как системы с непрерывной массой, при гармонических колебаниях, вызванных нагрузкой q(x)cos\omega t , можно определять по формуле
z_{0}(\alpha) = \sqrt{[z_{0}\prime]^{2} + [z_{0}\prime\prime]^{2}} , (2.25)
z_{0}\prime(\alpha) = \sum_{r = 1}^{k} B_{r}\chi_{r}X_{r}(\alpha);
z_{0}\prime\prime(\alpha) = - \gamma \sum_{r = 1}^{k} B_{r}X_{r}(\alpha);
B_{r} = \frac{b_{r}}{p_{r}^{2}(\chi_{r}^{2} + \gamma^{2})} ;\chi_{r} = 1 - \frac{\omega^{2}}{p_{r}^{2}} ;
b_{r} = \frac{1}{\mu_{r}l} \int_{0}^{1} q(\alpha)X_{r}(\alpha)d\alpha;
X_{r}(\alpha) — r-тая нормированная форма собственных колебаний балки (табл. 22 - 27).
Остальные обозначения такие же, как и в предыдущих пунктах.
Для сосредоточенной силы P, приложенной в точке x = x0:
b_{r} = \frac{P}{\mu_{r}l} X_{r}(\alpha_{0});\alpha_{0} = \frac{x_{0}}{l} . (2.26)
Для сосредоточенного момента M, приложенного в той же точке:
b_{r} = \frac{M}{\mu_{r}l^{2}} X_{r}\prime(\alpha_{0}). (2.27)
Амплитуды углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил определяются по формулам:
(2.28)\theta_{0}\prime(\alpha) = \sum_{r = 1}^{k} B_{r}\chi_{r}X_{r}\prime(\alpha),\theta_{0}\prime\prime(\alpha) = - \gamma \sum_{r = 1}^{k} B_{r}X_{r}\prime(\alpha);
M_{0}\prime(\alpha) = \sum_{r = 1}^{k} B_{r}\chi_{r}X_{r}\prime\prime(\alpha),M_{0}\prime\prime(\alpha) = - \gamma \sum_{r = 1}^{k} B_{r}X_{r}\prime\prime(\alpha);
Q_{0}\prime(\alpha) = \sum_{r = 1}^{k} B_{r}\chi_{r}X_{r}\prime\prime\prime(\alpha),Q_{0}\prime\prime(\alpha) = - \gamma \sum_{r = 1}^{k} B_{r}X_{r}\prime\prime\prime(\alpha).
При учете только первой формы колебаний, например когда \omega<p_{1} ,
(2.29)В тех случаях, когда частота вынужденных колебаний более чем на 10% отличается от ближайшей частоты собственных колебаний, в формулах (2.25), (2.28), (2.29) можно положить \gamma = 0 .
В случае резонанса по r-той форме собственных колебаний можно использовать приближенные формулы
(2.30)При этом возмущающая нагрузка не должна находиться вблизи точек, где она не вызывает колебаний по соответствующей форме, т.е. сосредоточенные силы не должны находиться вблизи узлов r-той формы колебаний, а сосредоточенные моменты — вблизи ее пучностей. В противном случае рекомендуется применять формулы (2.25), (2.28). При резонансе по первой форме собственных колебаний можно пользоваться формулами (2.29) независимо от места приложения нагрузки.
Амплитуда перемещений балок определяется вблизи точек, где имеют экстремумы те формы собственных колебаний, частота которых наименее удалена от частоты возмущающей нагрузки. Амплитуды изгибающих моментов определяются вблизи точек, где имеют экстремумы вторые производные указанных форм собственных колебаний. Амплитуды поперечных сил определяются только на опорах.
В случае резонанса амплитуды перемещений и изгибающих моментов определяются в точках, где имеют экстремумы резонирующая форма и ее вторая производная.
При расчетах на прочность с учетам выносливости изгибающие моменты следует также определять в сечениях, наиболее напряженных от статической нагрузки.
При действии на балку периодической нагрузки
q(\alpha,t) = q_{1}(\alpha)cos\omega t + q_{2}(\alpha)cos(2\omega t + \varphi_{1}) (2.31)
наибольшие перемещения можно определять по формуле
z_{max}(\alpha) = \Omega z_{0}^{(1)}(\alpha), (2.32)
где z_{0}^{(1)}(\alpha) — амплитуда перемещений в точке с приведенной координатой \alpha при действии нагрузки q_{1}(\alpha)cos\omega t , вычисляемая по формуле (2.25). Коэффициент \Omega определяется по графикам, приведенным на рис. 17 или по формулам (2.10), при этом принимается
\kappa = \frac{z_{0}^{(2)}(\alpha)}{z_{0}^{(1)}(\alpha)} , (2.33)
где z_{0}^{(2)}(\alpha) — амплитуда перемещений в точке с приведенной координатой \alpha при действии нагрузки q_{2}cos\omega t , вычисляемая по формуле (2.25);
(2.34)Наибольшие углы поворотов, изгибающие моменты и поперечные силы определятся по формулам
(2.35)где \theta_{0}^{(1)}(\alpha) , M_{0}^{(1)}(\alpha) , Q_{0}^{(1)}(\alpha) — амплитуды угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы при действии нагрузки q_{2}(\alpha)cos\omega t , вычисляемые по формуле (2.28). При определении коэффициента \Omega принимается
\kappa = \frac{\theta_{0}^{(2)}(\alpha)}{\theta_{0}^{(1)}(\alpha)} ;\kappa = \frac{M_{0}^{(2)}(\alpha)}{M_{0}^{(1)}(\alpha)} ;\kappa = \frac{Q_{0}^{(2)}(\alpha)}{Q_{0}^{(1)}(\alpha)} , (2.36)
где \theta_{0}^{(2)}(\alpha) , M_{0}^{(2)}(\alpha) , Q_{0}^{(2)}(\alpha) — амплитуды угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы при действии нагрузки q_{2}(\alpha)cos2\omega t , вычисляемые по формулам (2.28). Фазы \psi_{1} и \psi_{2} в этом случае принимают вид
sin\psi_{1} = \frac{\theta_{0}\prime\prime^{(1)}}{\theta_{0}^{(1)}} ,cos\psi_{1} = \frac{\theta_{0}\prime^{(1)}}{\theta_{0}^{(1)}} ; (2.37)
sin\psi_{2} = \frac{\theta_{0}\prime\prime^{(2)}}{\theta_{0}^{(2)}} ,cos\psi_{2} = \frac{\theta_{0}\prime^{(2)}}{\theta_{0}^{(1)}} \text{ит}.\text{д}. (2.38)
Амплитуды перемещений однопролетных плит при гармонических колебаниях, вызванных нагрузкой q(x,y)cos\omega t , можно определять по формулам
z_{0}(\alpha,\beta) \sqrt[=]{[z_{0}\prime]^{2} + [z_{0}\prime\prime]^{2}} = \sqrt{[\sum_{r,s = 1}^{k} B_{rs}\chi_{rs}\Phi_{rs}]^{2} + [\gamma \sum_{r,s = 1}^{k} B_{rs}\Phi_{rs}]^{2}} , (2.39)
(2.40)X_{r}(\alpha) , Y_{s}(\beta) — нормированные формы собственных колебаний однопролетной балки (табл. 22 - 27).
Остальные обозначения такие же, как и в приложении 2.
При сосредоточенной силе Pcos\omega t , приложенной в точке с приведенными координатами \alpha_{0} , \beta_{0} ,
b_{rs} = \frac{P}{\mu_{rs}l_{x}l_{y}} X_{r}(\alpha_{0})Y_{s}(\beta_{0}). (2.41)
Если в точке с теми же координатами приложен момент Mcos\omega t , действующий
а) в плоскости, нормальной к оси y, то
b_{rs} = \frac{P}{\mu_{rs}l_{x}^{2}l_{y}} X_{r}\prime(\alpha_{0})Y_{s}(\beta_{0}); (2.42)
б) в плоскости, нормальной к оси x, то
b_{rs} = \frac{M}{\mu_{rs}l_{x}l_{y}^{2}} X_{r}(\alpha_{0})Y_{s}\prime(\beta_{0}); (2.43)
в) в плоскости, нормаль к которой образует угол \alpha с осью y, то
b_{rs} = \frac{M}{\mu_{rs}l_{x}l_{y}} [\frac{cos\varphi}{l_{x}} X_{r}\prime(\alpha_{0})Y_{s}(\beta_{0}) + \frac{sin\varphi}{l_{y}} X_{r}(\alpha_{0})Y_{s}\prime(\beta_{0})]. (2.44)
Амплитуды углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил можно определять по формулам
(2.45)\Phi\prime_{rs}(\alpha,\beta) = X_{r}\prime(\alpha)Y_{s}(\beta)
для углов поворота \theta_{x} ;
\Phi\prime_{rs}(\alpha,\beta) = \eta X_{r}(\alpha)Y_{s}\prime(\beta)
для углов поворота \theta_{y} ;
\Phi\prime_{r}\prime_{s}(\alpha,\beta) = X_{r}\prime\prime(\alpha)Y_{s}(\beta) + \nu_{0}\eta^{2}X_{r}(\alpha)Y_{s}\prime\prime(\beta)
\Phi\prime_{r}\prime_{s}(\alpha,\beta) = \eta^{2}X_{r}(\alpha)Y_{s}\prime\prime(\beta) + \nu_{0}X_{r}\prime\prime(\alpha)Y_{s}(\beta)
\Phi\prime_{r}\prime\prime_{s}(\alpha,\beta) = X_{r}\prime\prime\prime(\alpha)Y_{s}(\beta) + (2 - \nu_{0})\eta^{2}X_{r}\prime(\alpha)Y_{s}\prime\prime(\beta)
\Phi\prime_{r}\prime\prime_{s}(\alpha,\beta) = \eta^{3}X_{r}(\alpha)Y_{s}\prime\prime(\prime\beta) + (2 - \nu_{0})\eta X_{r}\prime\prime(\alpha)Y_{s}\prime(\beta)
\nu_{0} — коэффициент Пуассона материала плиты;
\eta = l_{x}/l_{y} — отношение длины сторон плиты.
Амплитуды перемещений определяются вблизи тех точек пролета, где формы собственных колебаний, частоты которых наименее удалены от частоты вынужденных колебаний, имеют экстремумы. Амплитуды изгибающих моментов можно определять в середине и четвертях пролетов, в середине и четвертях кромок.
При расчете плит на прочность с учетом выносливости изгибающие моменты следует также определять в сечениях, наиболее напряженных от статической нагрузки.
При учете только первой формы колебаний
z_{0}(\alpha,\beta) = | \frac{b_{11}X_{1}(\alpha)Y_{1}(\beta)}{p_{11}^{2} \sqrt{\chi_{11}^{2} + y^{2}}} |. (2.46)
В случае резонанса с частотой prs амплитуды перемещений плит могут определяться по формуле
z_{0}(\alpha,\beta) = | \frac{b_{rs}X_{r}(\alpha)Y_{s}(\beta)}{p_{rs}^{2}\gamma} |. (2.47)
Формулой (2.47) не следует пользоваться, если сосредоточенная сила приложена вблизи узла резонирующей формы колебаний или момент приложен вблизи пучности этой формы.
Определение наибольших перемещений и внутренних усилий в плите при периодической нагрузке производится так же, как и в случае балок.
Расчет неразрезных плит на жестких опорах можно производить по формулам настоящего пункта, если под lx и ly понимать длину одного пролета, а под X_{r}(\alpha) , Y_{s}(\beta) — нормированные формы собственных колебаний неразрезных балок с соответствующими условиями закрепления (см. рис. 13).
Если частота вынужденных колебаний более чем на 10% отличается от ближайшей частоты собственных колебаний, в формулах (2.39), (2.45), (2.46) можно положить \gamma = 0 .
Г. Горизонтальные колебания зданий
Амплитуды перемещений и внутренних усилий при горизонтальных колебаниях зданий определяются по формулам параграфов А и Б настоящего приложения как для систем с конечным числом степеней свободы. При этом гармоническая нагрузка в уровне каждого этажа от машин одного типа определяется по формулам
P_{j} = \lambda \sum_{i = 1}^{m} R_{i} (2.48)
M_{j} = \lambda \sum_{i = 1}^{m} a_{i}R_{i},
где Pj — суммарная возмущающая сила, действующая в уровне j-того этажа;
Mj — суммарный возмущающий момент, действующий в уровне j-того этажа;
\lambda — коэффициент синфазности, определяемый по графикам (рис. 1 и 2) от полного числа машин данного типа, установленных на перекрытиях зданий;
Ri — расчетная или нормативная амплитуда инерционной силы одной машины;
m — число машин на i-том этаже;
ai — плечо инерционной силы i-той машины относительно центра вращения здания.
Амплитуды перемещений и внутренних усилий, определенные от нагрузок, приложенных в уровнях каждого этажа, суммируются. Если в здании установлены машины различных типов, развивающие нагрузки с разными частотами, то амплитуды перемещений и внутренних усилий, определенные от машин каждого типа, суммируются.
Амплитуды линейных перемещений на уровне j-того перекрытия здания при вращательных колебаниях определяются по формуле
где r — расстояние от линии, проходящей через данную точку в направлении колебаний до оси вращения;
\theta_{0j} — амплитуда угла поворота j-того перекрытия.
В тех случаях, когда поступательные и вращательные колебания здания происходят одновременно, суммарная амплитуда линейного перемещения здания в данном направлении будет равна сумме двух перемещений в том же направлении: амплитуды перемещения при поступательных колебаниях здания и амплитуды линейных перемещений при вращательных колебаниях, определяемой по формуле (2.41).
Аналогично вычисляются амплитуды перемещений и внутренних усилий площадок под машины.
При определении разности перемещений концов колонны в пределах этажа вследствие горизонтальных колебаний здания необходимо учитывать обе составляющие перемещений (z' и z»), например разность перемещений концов колонн j-того этажа определяется по формуле
\Delta_{z} = \sqrt{(z\prime_{j + 1} - z\prime_{j})^{2} + (z\prime_{j}\prime_{+ 1} - z\prime_{j}\prime)^{2}} . (2.50)
ТАБЛИЦЫ ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОПРОЛЕТНЫХ И НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК (БАЛОЧНЫХ ФУНКЦИЙ) И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ
Балка с левым защемленным и правым свободным концами
Балка со свободно опертыми концами
Балка с левым свободно опертым и правым защемленным концами
Балка с левым свободно опертым и правым свободным концами
1. Балки со свободно опертыми концами
II. Балки с защемленными концами
III. Балки с левым свободно опертым и правым защемленным концами
В настоящем приложении приводятся таблицы значений балочных функций X_{i}(\alpha) и их производных до третьей включительно для однопролетных и неразрезных равнопролетных балок с различными условиями закрепления концов в зависимости от относительной абсциссы \alpha = \frac{x}{l} (x — абсцисса точки оси балки, l — длина пролета балки; для неразрезных балок l — длина каждого из пролетов). Производные балочных функций X_{i}\prime(\alpha) , X_{i}\prime\prime(\alpha) , X_{i}\prime\prime\prime(\alpha) берутся по аргументу \alpha . Таблицы составлены на ЭЦВМ БЭСМ-2М для 2N последовательных тонов собственных колебаний балки, где N — число пролетов. Значения балочной функции и ее производной даются для каждого пролета отдельно. Относительная абсцисса \alpha (0<\alpha<1) отсчитывается в каждом пролете от его левого конца, шаг переменной \alpha равен 0,05.
Балочные функции удовлетворяют условию ортогональности
\sum_{r = 1}^{N} \int_{0}^{1} X_{ir}(\alpha)X_{jr}(\alpha)d\alpha = 0(i \neq j)
\sum_{r = 1}^{N} \int_{0}^{1} X_{ir}^{2}(\alpha)d\alpha = 1,
ПРИМЕР 1. Расчет каркасного здания ткацкой фабрики на действие горизонтальной динамической нагрузки от станков
Требуется рассчитать четырехэтажное здание ткацкого корпуса на действие горизонтальных динамических нагрузок от ткацких станков, располагаемых по 96 шт. (всего 192 станка) на втором и четвертом этажах.
План здания с поперечным разрезом представлен на рис. 18. Каркас здания компонуется из продольных и поперечных рам с жесткими узлами (рис. 19). Рамы в обоих направлениях образуются из типовых сборных железобетонных колонн и ригелей. В колоннах применен бетон марки 300, а в ригелях — марки 200; арматура из горячекатаной стали класса А-III.
Рис. 18. План расположения станков на этаже
Рис. 20. Опорные сечения ригеля
Колонны третьего и четвертого этажей приняты сечением 400 x 400 мм, а колонны первого и второго этажей — сечением 400 x 600 мм. При этом колонны расположены так, что большая сторона их поперечного сечения параллельна продольной оси здания.
Ригели приняты сечением 300 x 800 мм.
Стены панельные со сплошным ленточным остеклением. Гибкие крепления стеновых панелей не препятствуют независимому перемещению каркаса, поэтому жесткость каркаса подсчитывается без учета жесткости стеновых панелей.
На участках второго и четвертого этажей, свободных от оборудования, а также на третьем этаже размещены складские и производственные помещения, для которых принимается временная длительная нагрузка 500 кГ/м2.
План расположения станков на этаже представлен на рис. 18. Крепление станков к полу осуществлено путем их приклейки на мастике.
Вес одного ткацкого станка 1150 кГ. Число оборотов n0 = 180 об/мин или n_{0} = \frac{180}{60} = 3\text{об}/\text{сек} . Движение батанов всех станков направлено вдоль здания.
Схема приложения динамической нагрузки от ткацкого станка к перекрытию показана на рис. 21.
Рис. 21. Схема передачи динамической нагрузки от ткацкого станка на перекрытие
Вопросы расчета перекрытий на возникающую сосредоточенную моментную нагрузку, вызывающую вертикальные колебания перекрытий, в настоящем примере не рассматриваются.
Амплитуда горизонтальной инерционной силы ткацкого станка в рабочем режиме R0 = 282 кГ.
Средняя продолжительность работы станка между двумя последовательными пусками 4 ч, и, следовательно, среднее число включений станка в сутки равно 6.
Продолжительность пребывания обслуживающих станки людей на их рабочих местах — вся рабочая смена.
Технологические требования по ограничению амплитуд перемещений конструкций не предъявляются.
б) СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ КАРКАСА ЗДАНИЯ
Статический расчет каркаса здания выполнен исходя из условия упругой работы плоских рам продольного и поперечного направлений. При этом модуль упругости принят постоянным для всех элементов рам.
Продольные и поперечные рамы рассчитаны при значениях жесткостей, приведенных в табл. 40. При этом учтена повышенная жесткость элементов в местах соединения ригелей с колоннами (см. рис. 19).
Эпюры изгибающих моментов от единичных сил, полученные в результате статического расчета продольной рамы, приведены на рис. 31 - 34. На рис. 35 дана эпюра моментов \text{М}_{\text{с}}^{\text{р}} , возникающих в продольной раме от расчетных статических нагрузок (включая ветровую нагрузку).
Единичные перемещения эквивалентных продольной и поперечной рам \delta_{ik} (умноженные на 107) приведены в табл. 41 и 42.
| k i |
1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 207 | 244 | 245 | 245 |
| 2 | 244 | 512 | 550 | 551 |
| 3 | 245 | 550 | 1206 | 1251 |
| 4 | 245 | 551 | 1251 | 1923 |
| k i |
1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1261 | 1408 | 1410 | 1410 |
| 2 | 1408 | 2895 | 3043 | 3044 |
| 3 | 1410 | 3043 | 5078 | 5224 |
| 4 | 1410 | 3044 | 5224 | 7167 |
в) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ОТ ТКАЦКИХ СТАНКОВ
По характеру динамического воздействия данный ткацкий станок относится к I типу (табл. 5 Инструкции), по характерной продолжительности динамической нагрузки — к 1-й группе (табл. 6), а по динамичности — к III категории (табл. 8).
Поскольку центры жесткости и масс всех этажей лежат на одной и той же вертикальной оси, являющейся осью симметрии здания, то поступательные и вращательные колебания будем рассматривать раздельно. Считаем, что при поступательных колебаниях наиболее неблагоприятным будет случай, когда инерционные силы от всех станков находятся в одной фазе, а при вращательных — случай, когда инерционные силы от половины станков, расположенной выше или ниже оси B (рис. 18), находятся в одной фазе, а от другой половины станков — в противофазе.
В соответствии с п. 5.1 Инструкции для наиболее неблагоприятного случая при поступательных колебаниях определяем амплитудное значение равнодействующих нормативных динамических сил.
При среднем числе включений в сутки каждого станка N = 6 и числе машин m = 192 по графику, приведенному на рис. 2 Инструкции, с помощью интерполяции определяем коэффициент синфазности \lambda = 0,368 . Амплитуда равнодействующей динамической нагрузки, приложенной к одному перекрытию, будет равна:
R = R_{0}m_{1}\lambda = 0,282 \cdot 96 \cdot 0,368 = 9,975T
где R0 = 0,282 T — амплитуда горизонтальной инерционной силы одного станка;
m1 = 96 — количество станков на этаже.
Затем для наиболее неблагоприятного случая при вращательных колебаниях определим амплитудное значение нормативного динамического момента (см. п. 5.1 Инструкции), приложенного в уровне одного перекрытия:
M = 2·16·0,282(2,15 + 4,75 + 9,75)0,368 = 55,36 Т·м,
где 16 — количество станков в продольном ряду;
2,15, 4,75, 9,75 м — расстояния от осей продольных рядов станков до продольной оси здания;
0,368 — коэффициент синфазности \lambda , определяемый так же, как и в расчете на вынужденные поступательные колебания.
Круговая частота вынужденных колебаний
\omega = 2\pi n_{0} = 2 \cdot 3,14 \cdot 3 = 18,84\text{рад}/\text{сек}.
г) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНО ДОПУСТИМОЙ АМПЛИТУДЫ КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ
В соответствии с табл. 10 Инструкции для частоты n0 = 3 гц допускаемая амплитуда колебаний равняется a0 = 0,4 мм.
По технологическим требованиям
В соответствии с примечанием к табл. 11 Инструкции по табл. 12 устанавливаем, что ткацкий станок относится к III классу по чувствительности к колебаниям.
По табл. 11 Инструкции для найденного III класса и частоты n0 = 3 гц находим величину допускаемой амплитуды ускорения w0 = 250 мм/сек2.
Тогда допускаемая технологическими требованиями амплитуда перемещений определяется по формуле (14) Инструкции
a_{0} = \frac{w_{0}}{(2\pi n_{0})^{2}} = \frac{250}{4\pi^{2}3^{2}} = 0,704\text{мм}.
Согласно указаниям п. 5.9 Инструкции при числе машин m >= 10 допускаемую амплитуду перемещений можно увеличить на \frac{\sqrt{m}}{3} . Таким образом,
a_{0} = 0,4 \frac{\sqrt{192}}{3} = 1,85\text{мм}.
д) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЗДАНИЯ
В качестве эквивалентной рамы (см. п. 3.6 Инструкции) при поступательных колебаниях здания рассматриваем одну продольную раму с массами, сосредоточенными в уровнях ригелей и равными 1/5 (по числу продольных рам в каркасе здания) значений масс перекрытий. Такая расчетная схема приведена на рис. 22.
Рис. 22. Схема каркаса при рассмотрении поступательных колебаний
Суммарные нормативные нагрузки, действующие в уровнях перекрытий и покрытия, имеют следующие значения:
| для перекрытия первого этажа | P1 = 1923 | Т |
|---|---|---|
| « » второго «» | P2 = 1897 | «» |
| « » третьего «» | P3 = 1893 | «» |
| « покрытия» | P4 = 1185 | «» |
Приведенные значения суммарных нормативных нагрузок включают в себя вес оборудования, собственные веса ригелей, плит и пола, а также половину веса колонн и стен смежных этажей, примыкающих к перекрытию.
Для эквивалентной продольной рамы массы, сосредоточенные в уровнях перекрытий и покрытия, имеют следующие значения:
m_{2} = \frac{1897}{5g} T \cdot \text{сек}^{2}/\text{м}, m_{1} = \frac{1923}{5g} T \cdot \text{сек}^{2}/\text{м};
m_{4} = \frac{1185}{5g} T \cdot \text{сек}^{2}/\text{м}, m_{3} = \frac{1893}{5g} T \cdot \text{сек}^{2}/\text{м};
где g = 9,81 м/сек2 — ускорение силы тяжести.
В соответствии с п. 4.4 Инструкции определяем три первые частоты и формы собственных поступательных колебаний здания.
Подставляя значения единичных перемещений \delta_{ik} (взятых из табл. 41) и масс mi в систему уравнений (1.25), получаем
(4.1)Здесь для упрощения вычислений принято \zeta = \frac{50g}{p^{2}} .
Частоты и формы собственных колебаний будем определять методом последовательных приближений в форме, описанной в приложении 1 настоящей Инструкции.
Сначала определяем первую частоту и форму собственных колебаний. Для этого полученную систему (4.1) приводим к виду (1.29)
(4.2)Положим в качестве первого приближения \text{у}_{1(1)}^{1} = \text{у}_{1(2)}^{1} = \text{у}_{1(3)}^{1} = 1 и по принятым значениям неизвестных из последнего уравнения системы (4.2) найдем значения \zeta_{1}^{(1)} = 6,1637 (первое приближение в табл. 43).
| Номер приближения | y11 | y12 | y13 | \zeta_{1} |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 6,1637 |
| 2 | 0,262 | 0,5086 | 0,8567 | 4,9629 |
| 3 | 0,207 | 0,4356 | 0,8246 | 4,7849 |
| 4 | 0,2 | 0,4246 | 0,8187 | 4,7561 |
| 5 | 0,199 | 0,423 | 0,8177 | 4,7515 |
| 6 | 0,1988 | 0,4227 | 0,8176 | 4,7508 |
Далее по тем же значениям \text{у}_{1(1)}^{1} = \text{у}_{1(2)}^{1} = \text{у}_{1(3)}^{1} = 1 и найденному \zeta_{1} = 6,1637 из первых трех уравнений системы (4.2) определяем значения неизвестных (\text{у}_{1(1)}^{2} = 0,2620;\text{у}_{1(2)}^{2} = 0,5086;\text{у}_{1(3)}^{2} = 0,8567) следующего приближения (второе приближение в табл. 43).
Затем по найденным значениям \text{у}_{1(1)}^{2} , \text{у}_{1(2)}^{2} и \text{у}_{1(3)}^{2} опять из последнего уравнения системы (4.2) находим значение \zeta_{1}^{(2)} = 4,9629 следующего приближения и т.д., пока значения искомых неизвестных в очередной итерации не совпадут в третьей значащей цифре со значениями предыдущей итерации.
Вычисления сведены в табл. 43.
Окончательно принимаем \zeta_{1} = 4,751 :
y11 = 0,1988; y12 = 0,4227; y13 = 0,8176; y14 = 1.
Произведем нормировку первой формы.
Для этого находим нормирующий множитель по формуле (1.26)
Умножив теперь на этот множитель все амплитуды первой формы, получим
\varphi_{13} = 10,70 \cdot 10^{- 2}; \varphi_{12} = 5,530 \cdot 10^{- 2}; \varphi_{11} = 2,601 \cdot 10^{- 2};
\varphi_{14} = 13,08 \cdot 10^{- 2}.
Первая круговая частота собственных колебаний
p_{1} = \sqrt{\frac{50g}{\zeta_{1}}} = \sqrt{\frac{50g}{4,751}} = 10,16\text{рад}/\text{сек}.
Для определения второй частоты и формы собственных колебаний составляем условие ортогональности первой и второй формы по формуле (1.31):
\sum_{j = 1}^{4} m_{j}y_{1j}y_{2j} = 1923 \cdot 0,1988y_{21} + 1897 \cdot 0,4227y_{22} + 1893 \cdot 0,8176y_{23} + 1185 \cdot 1y_{24} = 0,
y24 = -0,3225y21 — 0,6765y22 — 1,3059y23. (4.3)
Подставляя значения y24 и y23 = 1 в первые три уравнения системы (4.2), получаем
y_{21} = \frac{1}{\zeta_{2}} (0,3044\text{у}_{21} + 0,2664\text{у}_{22} + 0,0846)
y_{22} = \frac{1}{\zeta_{2}} (0,2586\text{у}_{21} + 0,5294\text{у}_{22} + 0,1885)
\zeta_{2} = - 0,007048\text{у}_{21} + 0,04026\text{у}_{22} + 0,3470.
Эту систему уравнений также решаем методом последовательных приближений. В результате получаем
\zeta_{2} = 0,7188; y21 = 6,920; y22 = 10,446.
Значение y24 определяется из уравнения (4.3):
Произведем нормировку второй формы. Для этого находим нормирующий множитель:
Умножив теперь на этот множитель все амплитуды второй формы, получим
\varphi_{23} = 1,063 \cdot 10^{- 2}; \varphi_{22} = 11,10 \cdot 10^{- 2}; \varphi_{21} = 7,355 \cdot 10^{- 2};
\varphi_{24} = - 11,27 \cdot 10^{- 2}.
Вторая круговая частота собственных колебаний
p_{2} = \sqrt{\frac{50g}{\zeta_{2}}} = \sqrt{\frac{50g}{0,7188}} = 26,12\text{рад}/\text{сек}.
Для определения третьей частоты и формы собственных колебаний составляем условия ортогональности первой и третьей, второй и третьей форм:
1923·0,1988y31 + 1897·0,4227y32 + 1893·0,8175y33 +
- 1185·1y34 = 0;
1923·6,920y31 + 1897·10,446y32 + 1893·1y33 -
- 1185·10,604y34 = 0.
Выражая y33 и y34 через y31 и y32, полагая при этом y32 = 1, найдем
(4.4)Тогда первые два уравнения системы (4.2) приводятся к виду
(4.5)Из решения системы (4.5) получим
\zeta_{3} = 0,3353\text{и у}_{31} = 1,2192,
а из (4.4) - y33 = -2,7032 и y34 = 2,4604.
\varphi_{33} = - 11,80 \cdot 10^{- 2}; \varphi_{32} = 4,363 \cdot 10^{- 2}; \varphi_{31} = 5,320 \cdot 10^{- 2};
\varphi_{34} = 10,73 \cdot 10^{- 2}.
Третья круговая частота собственных колебаний
p_{3} = \sqrt{\frac{50g}{\zeta_{3}}} = \sqrt{\frac{50g}{0,3353}} = 38,25\text{рад}/\text{сек}.
По формуле (22) настоящей Инструкции определяем границы частотных зон с учетом величины возможной погрешности \epsilon_{0} = 0,25 , принятой по табл. 15:
Таким образом, частота вынужденных колебаний \omega = 18,84\text{рад}/\text{сек} попадает в первую межрезонансную зону.
е) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Расчетная схема рамного каркаса при вращательных колебаниях изображена на рис. 23.
Рис. 23. Схема каркаса при рассмотрении вращательных колебаний
В соответствии с п. 4.4 определяем две первые частоты и формы собственных вращательных колебаний.
Для системы с четырьмя степенями свободы уравнения собственных вращательных колебаний по аналогии с поступательными записываем в следующем виде:
(4.6)где \Theta (i = 1, 2, 3, 4) — моменты инерции масс перекрытий;
\delta_{ik} — угол поворота, на который поворачивается k-е перекрытие от действия единичного момента, приложенного к i-му перекрытию;
\theta_{i} (i = 1, 2, 3, 4) — амплитуды вращательных колебаний.
Момент инерции масс перекрытия первого этажа относительно вертикальной оси, проходящей через центр жесткости каркаса, равен:
где m_{0} = \frac{1606,4}{g} — суммарная масса первого перекрытия;
m_{a} = \frac{103,68}{g} и m_{b} = \frac{41,47}{g} — суммарные массы стенового заполнения соответственно поперечных стен длиной a = 24 м и продольных стен длиной b = 60 м;
m_{mn} = \frac{171,6}{g} — половина суммарной массы всех стоек первого и второго этажа;
\lambda_{m} = \frac{m + 1}{12(m - 1)} = \frac{5 + 1}{12(5 - 1)} = \frac{1}{8} ;
\lambda_{n} = \frac{n + 1}{12(n - 1)} = \frac{11 + 1}{12(11 - 1)} = \frac{1}{10} .
Моменты инерции масс остальных перекрытий имеют следующие значения:
| для перекрытия первого этажа | \Theta_{2} = 75276 | Т·сек2/м |
|---|---|---|
| « » третьего «» | \Theta_{3} = 74922 | «» |
| « покрытия» | \Theta_{4} = 45925 | «» |
Единичные углы поворота \delta_{ik} определяем по формуле (1.67) приложения 1.
Значения упругих коэффициентов ( \delta_{ik} умноженные на 108) приведены в табл. 44.
| k i |
1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2,049 | 2,288 | 2,292 | 2,292 |
| 2 | 2,288 | 4,829 | 5,075 | 5,077 |
| 3 | 2,292 | 5,075 | 9,267 | 9,543 |
| 4 | 2,292 | 5,077 | 9,543 | 13,518 |
Подставляя значения \Theta_{i} и коэффициентов \delta_{ik} в систему (4.6), получаем
(4.7)Здесь \zeta = \frac{10^{6}}{\text{р}^{2}} .
Дальнейшие вычисления аналогичны приведенным в настоящем примере при расчете на поступательные колебания.
Для определения первой формы и частоты запишем систему уравнений (4.7) в виде, удобном для последовательных приближений, полагая при этом \theta_{14} = 1 :
(4.8)Положим в качестве первого приближения \theta_{1(1)}^{1} = \theta_{1(2)}^{1} = \theta_{1(3)}^{1} = 1 и по принятым значениям неизвестных из последнего уравнения системы (4.8) найдем значение \zeta_{1} = 19011 (первое приближение в приводимой ниже табл. 45).
Далее по тем же значениям \theta_{1(1)}^{1} = \theta_{1(2)}^{1} = \theta_{1(3)}^{1} = 1 и найденному \zeta из первых трех уравнений системы (4.8) определяем значения неизвестных следующего (второго) приближения и т.д. до тех пор, пока значения \theta_{11} , \theta_{12} и \theta_{13} и \zeta_{1} в одном из последующих приближений не совпадут в третьей значащей цифре со значениями предыдущего приближения.
Результаты вычислений сведены в табл. 45.
Окончательно принимаем \zeta_{1} = 14968 :
\theta_{14} = 1 \theta_{13} = 0,8657; \theta_{12} = 0,5415; \theta_{11} = 0,2642;
\varphi_{13} = 2,416 \cdot 10^{- 3}; \varphi_{12} = 1,511 \cdot 10^{- 3}; \varphi_{11} = 0,7373 \cdot 10^{- 3};
\varphi_{14} = 2,791 \cdot 10^{- 3}.
Первая круговая частота собственных вращательных колебаний
p_{1} = \sqrt{\frac{10^{6}}{\zeta_{1}}} = 8,174\text{рад}/\text{сек}.
Для определения второй круговой частоты и второй формы собственных колебаний составляем условие ортогональности:
\sum_{j = 1}^{4} \Theta_{j}\theta_{1j}\theta_{2j} = 76438 \cdot 0,2642\theta_{21} + 75276 \cdot 0,5415\theta_{22} + 74922 \cdot 0,8657\theta_{23} + 45925 \cdot 1\theta_{24} = 0,
Принимаем \theta_{23} = 1 и выражаем \theta_{24} через остальные координаты второй формы:
\theta_{24} = - 0,4397\theta_{21} - 0,8876\theta_{22} - 1,4123. (4.9)
Подставляя значения \theta_{24} и \theta_{23} = 1 в первые три уравнения системы (4.8), получаем
\theta_{21} = \frac{1}{\zeta_{2}} (1094\theta_{21} + 802,7\theta_{22} + 235,2)
\theta_{22} = \frac{1}{\zeta_{2}} (749,4\theta_{21} + 1549\theta_{22} + 511,6)
\zeta_{2} = 144\theta_{21} - 48,85\theta_{22} + 741.
Эту систему уравнений также решаем методом последовательных приближений; в результате получаем
\zeta_{2} = 2077. \theta_{22} = - 8,232; \theta_{21} = - 6,485;
Значение \theta_{24} определяется из (4.9)
\varphi_{23} = 0,2898 \cdot 10^{- 3}; \varphi_{22} = - 2,386 \cdot 10^{- 3}; \varphi_{21} = - 1,879 \cdot 10^{- 3};
\varphi_{24} = 2,534 \cdot 10^{- 3}.
Вторая круговая частота собственных вращательных колебаний
p_{2} = \sqrt{\frac{10^{6}}{\zeta_{2}}} = 21,939\text{рад}/\text{сек}.
По формуле (22) Инструкции определяем границы частотных зон с учетом возможной погрешности \epsilon_{0} = 0,25 , принятой по табл. 15:
\text{р}_{1}\prime\prime = (1 + \epsilon_{0})\text{р}_{1}^{0} = (1 + 0,25)8,174 = 10,2174;
\text{р}_{2}\prime = (1 - \epsilon_{0})\text{р}_{2}^{0} = (1 - 0,25)21,939 = 16,4546.
Отсюда следует, что круговая частота вынужденных колебаний \omega = 18,84 совпадает со второй частотой собственных колебаний, т.е. имеем резонансный случай.
ж) ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУД ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЗДАНИЯ
Определим амплитуды вынужденных поступательных колебаний с учетом трех форм свободных колебаний при действии силы с амплитудой P = 1 т, приложенной в уровнях перекрытий первого и третьего этажей.
Сначала определяем амплитуды от силы, приложенной к перекрытию первого этажа.
В соответствии с п. 4.8 настоящей Инструкции определяем расчетные значения частот собственных колебаний:
| p1 = p'1 = 7,621 | рад/сек |
|---|---|
| p2 = p'2 = 19,59 | «» |
| p2 = p'3 = 28,69 | «» |
По формулам приложения 2 получаем
b_{1} = P\varphi_{11} = 1 \cdot 2,601 \cdot 10^{- 2} = 2,601 \cdot 10^{- 2};
b_{2} = P\varphi_{21} = 1 \cdot 7,355 \cdot 10^{- 2} = 7,355 \cdot 10^{- 2};
b_{3} = P\varphi_{31} = 1 \cdot 5,320 \cdot 10^{- 2} = 5,320 \cdot 10^{- 2};
\chi_{1} = 1 - \frac{\omega^{2}}{p_{1}^{2}} = 1 - \frac{18,84^{2}}{7,621^{2}} = - 5,111;
\chi_{2} = 1 - \frac{\omega^{2}}{p_{2}^{2}} = 1 - \frac{18,84^{2}}{19,59^{2}} = 0,07532;
\chi_{3} = 1 - \frac{\omega^{2}}{p_{3}^{2}} = 1 - \frac{18,84^{2}}{28,69^{2}} = 0,5687;
\chi_{1}^{2} + \gamma^{2} = 5,111^{2} + 0,1^{2} = 26,14;
\chi_{2}^{2} + \gamma^{2} = 0,07532^{2} + 0,1^{2} = 0,01567;
\chi_{3}^{2} + \gamma^{2} = 0,5687^{2} + 0,1^{2} = 0,3334.
Значение коэффициента неупругого сопротивления \gamma , равное 0,1, принято из табл. 2 настоящей Инструкции:
B_{1} = \frac{b_{1}}{p_{1}^{2}(\chi_{1}^{2} + \gamma^{2})} = \frac{2,601 \cdot 10^{- 2}}{7,621^{2} \cdot 26,14} = 0,1713 \cdot 10^{- 4};
B_{2} = \frac{b_{2}}{p_{2}^{2}(\chi_{2}^{2} + \gamma^{2})} = \frac{7,355 \cdot 10^{- 2}}{19,59^{2} \cdot 0,01567} = 122 \cdot 10^{- 4};
B_{3} = \frac{b_{3}}{p_{3}^{2}(\chi_{3}^{2} + \gamma^{2})} = \frac{5,320 \cdot 10^{- 2}}{28,69^{2} \cdot 0,3334} = 1,939 \cdot 10^{- 4}.
Вычисляем амплитуду колебаний перекрытия первого этажа.
B_{1}\varphi_{11} = 0,1713 \cdot 10^{- 4} \cdot 2,601 \cdot 10^{- 2} = 0,4456 \cdot 10^{- 6};
B_{2}\varphi_{21} = 122 \cdot 10^{- 4} \cdot 7,355 \cdot 10^{- 2} = 897,6 \cdot 10^{- 6};
B_{3}\varphi_{31} = 1,939 \cdot 10^{- 4} \cdot 5,320 \cdot 10^{- 2} = 10,31 \cdot 10^{- 6};
z_{1}\prime\prime_{1} = \gamma \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\varphi_{r1} = 0,1(0,4456 \cdot 10^{- 6} + 897,6 \cdot 10^{- 6} + 10,31 \cdot 10^{- 6}) = 90,83 \cdot 10^{- 6}.
z_{11} = \sqrt{[\sum_{r = 1}^{3} B_{r}\chi_{r}\varphi_{r1}]^{2} + [\gamma \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\varphi_{r1}]^{2}} = 1 \sqrt[0^{- 6}]{71,19^{2} + 90,83^{2}} = 115,4 \cdot 10^{- 6}\text{м } = 0,1154\text{мм}.
Вычисляем амплитуду колебаний перекрытия второго этажа:
B_{1}\varphi_{12} = 0,1713 \cdot 10^{- 4} \cdot 5,53 \cdot 10^{- 2} = 0,9475 \cdot 10^{- 6};
B_{2}\varphi_{22} = 122 \cdot 10^{- 4} \cdot 11,1 \cdot 10^{- 2} = 1355 \cdot 10^{- 6};
B_{3}\varphi_{32} = 1,939 \cdot 10^{- 4} \cdot 4,363 \cdot 10^{- 2} = 8,459 \cdot 10^{- 6};
z_{2}\prime\prime_{1} = \gamma \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\varphi_{r2} = 0,1 \cdot 10^{- 6}(0,9475 + 1355 + 8,459) = 136,4 \cdot 10^{- 6}.
z_{21} = 10^{-} \sqrt[6]{102^{2} + 136,4^{2}} = 170,3 \cdot 10^{- 6}\text{м } = 0,1703\text{мм}.
Вычисляем амплитуду колебаний перекрытия третьего этажа:
B_{1}\varphi_{13} = 0,1713 \cdot 10^{- 4} \cdot 10,7 \cdot 10^{- 2} = 1,833 \cdot 10^{- 6};
B_{2}\varphi_{23} = 122 \cdot 10^{- 4} \cdot 1,063 \cdot 10^{- 2} = 129,7 \cdot 10^{- 6};
B_{3}\varphi_{33} = - 1,939 \cdot 10^{- 4} \cdot 11,8 \cdot 10^{- 2} = - 22,87 \cdot 10^{- 6};
z_{3}\prime_{1} = \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\chi_{r}\varphi_{r3} = 10^{- 6}(- 1,833 \cdot 5,111 + 129,7 \cdot 0,07532 - 22,87 \cdot 0,5687) = - 12,60 \cdot 10^{- 4};
z_{3}\prime\prime_{1} = \gamma \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\varphi_{r3} = 0,1 \cdot 10^{- 6}(1,833 + 129,7 - 22,87) = 10,87 \cdot 10^{- 6}.
z_{31} = 10^{-} \sqrt[6]{12,60^{2} + 10,87^{2}} = 16,64 \cdot 10^{- 6}\text{м } = 0,01664\text{мм}.
Вычисляем амплитуду колебаний покрытия:
\text{В}_{1}\varphi_{14} = \frac{b_{1}}{p_{1}^{2}(\chi_{1}^{2} + \gamma^{2})} \varphi_{14} = 0,1713 \cdot 10^{- 4} \cdot 13,08 \cdot 10^{- 2} = 2,242 \cdot 10^{- 6};
\text{В}_{2}\varphi_{24} = \frac{b_{2}}{p_{2}^{2}(\chi_{2}^{2} + \gamma^{2})} \varphi_{24} = - 122 \cdot 10^{- 4} \cdot 11,27 \cdot 10^{- 2} = - 1375 \cdot 10^{- 6};
\text{В}_{3}\varphi_{34} = \frac{b_{3}}{p_{3}^{2}(\chi_{3}^{2} + \gamma^{2})} \varphi_{34} = 1,939 \cdot 10^{- 4} \cdot 10,73 \cdot 10^{- 2} = 20,81 \cdot 10^{- 6};
z_{4}\prime\prime_{1} = \gamma \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\varphi_{r4} = 0,1 \cdot 10^{- 6}(2,242 - 1375 + 20,81) = - 135,2 \cdot 10^{- 6};
z_{41} = 10^{-} \sqrt[6]{103,2^{2} + 135,2^{2}} = 170,1 \cdot 10^{- 6}\text{м } = 0,1701\text{мм}.
Теперь определим амплитуды вынужденных колебаний (также с учетом трех форм свободных колебаний) от единичной динамической силы, приложенной к перекрытию третьего этажа:
b_{1} = P\varphi_{13} = 1 \cdot 10,7 \cdot 10^{- 2} = 10,7 \cdot 10^{- 2};
b_{2} = P\varphi_{23} = 1 \cdot 1,063 \cdot 10^{- 2} = 1,063 \cdot 10^{- 2};
b_{3} = P\varphi_{33} = - 1 \cdot 11,8 \cdot 10^{- 2} = - 11,8 \cdot 10^{- 2};
\text{В}_{1} = \frac{b_{1}}{p_{1}^{2}(\chi_{1}^{2} + \gamma^{2})} = \frac{10,7 \cdot 10^{- 2}}{7,621^{2} \cdot 26,14} = 0,7047 \cdot 10^{- 4};
\text{В}_{2} = \frac{b_{2}}{p_{2}^{2}(\chi_{2}^{2} + \gamma^{2})} = \frac{1,063 \cdot 10^{- 2}}{19,59^{2} \cdot 0,01567} = 17,66 \cdot 10^{- 4};
\text{В}_{3} = \frac{b_{3}}{p_{3}^{2}(\chi_{3}^{2} + \gamma^{2})} = \frac{- 11,8 \cdot 10^{- 2}}{28,69^{2} \cdot 0,3334} = - 4,293 \cdot 10^{- 4}.
Вычисляем амплитуду колебаний перекрытия первого этажа:
B_{1}\varphi_{11} = 0,7047 \cdot 10^{- 4} \cdot 2,601 \cdot 10^{- 2} = 1,833 \cdot 10^{- 6};
B_{2}\varphi_{21} = 17,66 \cdot 10^{- 4} \cdot 7,355 \cdot 10^{- 2} = 129,9 \cdot 10^{- 6};
B_{3}\varphi_{31} = - 4,293 \cdot 10^{- 4} \cdot 5,320 \cdot 10^{- 2} = - 22,84 \cdot 10^{- 6};
z_{1}\prime_{3} = \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\chi_{r}\varphi_{r1} = 10^{- 6}(- 1,833 \cdot 5,111 + 129,9 \cdot 0,07532 - 22,84 \cdot 0,5687) = - 12,57 \cdot 10^{- 6};
z_{1}\prime\prime_{3} = \gamma \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\varphi_{r1} = 0,1 \cdot 10^{- 6}(1,833 + 129,9 - 22,84) = 10,89 \cdot 10^{- 6}.
z_{13} = 10^{-} \sqrt[6]{12,57^{2} + 10,89^{2}} = 16,63 \cdot 10^{- 6}\text{м } = 0,01663\text{мм}.
Вычисляем амплитуду колебаний перекрытия второго этажа:
B_{1}\varphi_{12} = 0,7047 \cdot 10^{- 4} \cdot 5,53 \cdot 10^{- 2} = 3,897 \cdot 10^{- 6};
B_{2}\varphi_{22} = 17,66 \cdot 10^{- 4} \cdot 11,1 \cdot 10^{- 2} = 196,09 \cdot 10^{- 6};
B_{3}\varphi_{32} = - 4,293 \cdot 10^{- 4} \cdot 4,363 \cdot 10^{- 2} = - 18,73 \cdot 10^{- 6};
z_{2}\prime_{3} = \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\chi_{r}\varphi_{r2} = 10^{- 6}(- 3,897 \cdot 5,111 + 196,09 \cdot 0,07532 - 18,73 \cdot 0,5687) = - 15,8 \cdot 10^{- 6};
z_{2}\prime\prime_{3} = \gamma \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\varphi_{r2} = 0,1 \cdot 10^{- 6}(3,897 + 196,09 - 18,73) = 18,13 \cdot 10^{- 6}.
z_{23} = 10^{-} \sqrt[6]{15,8^{2} + 18,13^{2}} = 24,05 \cdot 10^{- 6}\text{м } = 0,02405\text{мм}.
Вычисляем амплитуду колебаний перекрытия третьего этажа:
B_{1}\varphi_{13} = 0,7047 \cdot 10^{- 4} \cdot 10,7 \cdot 10^{- 2} = 7,537 \cdot 10^{- 6};
B_{2}\varphi_{23} = 17,66 \cdot 10^{- 4} \cdot 1,063 \cdot 10^{- 2} = 18,77 \cdot 10^{- 6};
B_{3}\varphi_{33} = 4,293 \cdot 10^{- 4} \cdot 11,8 \cdot 10^{- 2} = 50,64 \cdot 10^{- 6};
z_{3}\prime_{3} = \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\chi_{r}\varphi_{r3} = 10^{- 6}(- 7,537 \cdot 5,111 + 18,77 \cdot 0,07532 + 50,64 \cdot 0,5687) = - 8,315 \cdot 10^{- 6};
z_{3}\prime\prime_{3} = \gamma \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\varphi_{r3} = 0,1 \cdot 10^{- 6}(7,537 + 18,77 + 50,64) = 7,694 \cdot 10^{- 6}.
z_{33} = 10^{-} \sqrt[6]{8,315^{2} + 7,694^{2}} = 11,33 \cdot 10^{- 6}\text{м } = 0,01133\text{мм}.
Вычисляем амплитуду колебаний покрытия:
B_{1}\varphi_{14} = 0,7047 \cdot 10^{- 4} \cdot 13,08 \cdot 10^{- 2} = 9,22 \cdot 10^{- 6};
B_{2}\varphi_{24} = - 17,66 \cdot 10^{- 4} \cdot 11,27 \cdot 10^{- 2} = - 199,1 \cdot 10^{- 6};
B_{3}\varphi_{34} = - 4,293 \cdot 10^{- 4} \cdot 10,73 \cdot 10^{- 2} = - 46,09 \cdot 10^{- 6};
z_{4}\prime_{3} = \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\chi_{r}\varphi_{r4} = 10^{- 6}(- 9,22 \cdot 5,111 - 199,1 \cdot 0,07532 - 49,09 \cdot 0,5687) = - 88,33 \cdot 10^{- 6};
z_{4}\prime\prime_{3} = \gamma \sum_{r = 1}^{3} B_{r}\varphi_{r4} = 0,1 \cdot 10^{- 6}(9,22 - 199,1 - 46,09) = - 23,59 \cdot 10^{- 6}.
z_{43} = 10^{-} \sqrt[6]{88,33^{2} + 23,59^{2}} = 91,42 \cdot 10^{- 6}\text{м } = 0,09142\text{мм}.
Полученные значения амплитуд колебаний и их составляющих приведены в табл. 46.
Сопоставление данных таблицы показывает, что наибольшие перемещения испытывает перекрытие второго этажа.
Общее перемещение перекрытия второго этажа
z = Pz21 + Pz23 = P(z21 + z23) = = 1,995(0,1703 + 0,02405) = 0,388 мм < 1,85 мм.
Таким образом, полученное значение амплитуды перемещения не превышает величину допустимой амплитуды.
и) ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУД ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Амплитуды вынужденных вращательных колебаний от динамических моментов, приложенных в уровнях перекрытий первого и третьего этажей, определяются аналогично амплитудам поступательных колебаний с учетом двух форм свободных вращательных колебаний. Покажем последовательность вычислений на примере определения амплитуды \theta_{41} .
В соответствии с п. 4.8 Инструкции определяем расчетные значения частот собственных колебаний:
p_{1} = p_{1}^{0} \frac{\omega}{p_{2}^{0}} = 8,174 \frac{18,84}{21,94} = 7,019\text{рад}/\text{сек};
\text{р}_{2} = \omega = 18,84\text{рад}/\text{сек}.
По формулам приложения 2 получаем
b_{1} = \sum_{j = 1} M_{j}\varphi_{1j} = M_{1}\varphi_{11} = 1 \cdot 0,7373 \cdot 10^{- 3} = 0,7373 \cdot 10^{- 3};
b_{2} = \sum_{j = 1} M_{j}\varphi_{2j} = M_{2}\varphi_{21} = - 1 \cdot 1,879 \cdot 10^{- 3} = - 1,879 \cdot 10^{- 3};
\chi_{1} = 1 - \frac{\omega^{2}}{p_{1}^{2}} = 1 - \frac{18,84^{2}}{7,019^{2}} = - 6,205;
\chi_{2} = 1 - \frac{\omega^{2}}{p_{2}^{2}} = 1 - \frac{18,84^{2}}{18,84^{2}} = 0;
\chi_{1}^{2} + \gamma^{2} = - 6,205^{2} + 0,1^{2} = 38,51;
\chi_{2}^{2} + \gamma^{2} = 0^{2} + 0,1^{2} = 0,01;
\text{В}_{1} = \frac{b_{1}}{p_{1}^{2}(\chi_{1}^{2} + \gamma^{2})} = \frac{0,7373 \cdot 10^{- 3}}{7,019^{2} \cdot 38,51} = 0,3886 \cdot 10^{- 6};
\text{В}_{2} = \frac{b_{2}}{p_{2}^{2}(\chi_{2}^{2} + \gamma^{2})} = \frac{- 1,879 \cdot 10^{- 3}}{18,84^{2} \cdot 0,01} = - 529,5 \cdot 10^{- 6};
\text{В}_{1}\varphi_{14} = 0,3886 \cdot 10^{- 6} \cdot 2,791 \cdot 10^{- 3} = 1,084 \cdot 10^{- 9};
\text{В}_{2}\varphi_{24} = - 529,5 \cdot 10^{- 6} \cdot 2,534 \cdot 10^{- 3} = - 1342 \cdot 10^{- 9};
\theta_{4}\prime_{1} = \sum_{r = 1}^{2} B_{r}\chi_{r}\varphi_{r4} = - 1,084 \cdot 10^{- 9} \cdot 6,205 = - 6,73 \cdot 10^{- 9};
\theta_{4}\prime\prime_{1} = \gamma \sum_{r = 1}^{2} B_{r}\varphi_{r4} = 1,084 \cdot 10^{- 9} \cdot 0,1 - 1342 \cdot 10^{- 9} \cdot 0,1 = - 134,07 \cdot 10^{- 9}.
\theta_{41} = 10^{-} \sqrt[9]{(- 6,73)^{2} + (- 134,07)^{2}} = 1,342 \cdot 10^{- 7}\text{рад}.
Опуская последующие вычисления, приведем окончательную табл. 47 увеличенных в 107 раз амплитуд углов поворота и их составляющих от единичных динамических моментов.
Определим ту же амплитуду \theta_{41} по формуле (2.16), учитывающей только вторую — резонансную форму:
\theta_{41} = | \frac{b_{2}\varphi_{24}}{p_{2}^{2}\gamma} | = \frac{1,879 \cdot 10^{- 3} \cdot 2,534 \cdot 10^{- 3}}{18,84^{2} \cdot 0,1} = 1,342 \cdot 10^{- 7}\text{рад},
т.е. в этом случае формула (2.16) в сравнении с формулой (2.12) не дает никакой погрешности.
Из сопоставления элементов табл. 47 следует, что наибольшее закручивание получит перекрытие второго этажа (поворот покрытия не учитывается), равное:
\text{М }(\theta_{21} + \theta_{23}) = 55,36(1,264 + 0,2269)10^{- 7} = 82,54 \cdot 10^{- 7}\text{рад}.
Амплитуда вращательных колебаний угловой точки здания на уровне перекрытия второго этажа:
\text{а } = \sqrt{30^{2} + 12^{2}} \cdot 82,54 \cdot 10^{- 7} = 2,667 \cdot 10^{- 4}\text{м } = 0,2667\text{мм }<1,85\text{мм}.
Таким образом, и при вращательных колебаниях наибольшие амплитуды перемещений не превосходят предельно допустимых.
к) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ
Так как динамические перемещения при поступательных колебаниях значительно больше, чем при вращательных, то усилия в продольной раме определяем при поступательных колебаниях вдоль здания. Из подсчетов, произведенных на основании данных табл. 46, видно, что разность горизонтальных динамических перемещений нижнего и верхнего концов колонны в пределах четвертого этажа имеет наибольшее значение по сравнению с тремя другими этажами и равняется:
При расчетных значениях нагрузки разность перемещений будет
\Delta = 0,491 \cdot 1,3 = 0,6383\text{мм}.
Отношение разности перемещений концов колонны к высоте этажа
\frac{\Delta}{h} = \frac{0,6383}{4800} = \frac{1}{7520} > \frac{1}{50000} ,
Поэтому, согласно п. 2.7 Инструкции, требуется проверка несущей способности конструкций на динамические нагрузки. Здесь kд — коэффициент перегрузки, принимаемый из табл. 3 Инструкции равным 1,3.
В соответствии с п. 5.1 Инструкции расчет производим на расчетные динамические нагрузки.
Сначала строим эпюру моментов от действия динамической силы kдP = 1,3·1,995 Т = 2,593 Т, приложенной к перекрытию первого этажа. Для этого определяем инерционные силы по формулам (27) и (28) Инструкции. При этом используем значения составляющих z_{i}\prime_{k} = \sum_{r} B_{r}\chi_{r}\varphi_{ri} и z_{i}\prime\prime_{k} = \gamma \sum_{r} B_{r}\varphi_{ri} амплитуд от единичных динамических сил, полученные в разделе «ж» по формуле (2.12) Инструкции:
P_{1} = k_{\text{д}}P + k_{\text{д}}Pz_{1}\prime_{1}m_{1}\omega^{2} = 2,593 + 2,593 \cdot 71,19 \cdot 10^{- 6} \cdot 39,2 \cdot 18,84^{2} = 5,163T
P_{3}\prime = k_{\text{д}}Pz_{3}\prime_{1}m_{3}\omega^{2} = - 2,593 \cdot 12,6 \cdot 10^{- 6} \cdot 38,59 \cdot 18,84^{2} = - 0,4477T
P_{3}\prime\prime = k_{\text{д}}Pz_{3}\prime\prime_{1}m_{3}\omega^{2} = 2,593 \cdot 10,87 \cdot 10^{- 6} \cdot 38,59 \cdot 18,84^{2} = 0,3860T
P_{4}\prime = k_{\text{д}}Pz_{4}\prime_{1}m_{4}\omega^{2} = - 2,593 \cdot 103,2 \cdot 10^{- 6} \cdot 24,16 \cdot 18,84^{2} = - 2,295T
P_{4}\prime\prime = k_{\text{д}}Pz_{4}\prime\prime_{1} \cdot m_{4}\omega^{2} = - 2,593 \cdot 135,2 \cdot 10^{- 6} \cdot 24,16 \cdot 18,84^{2} = - 3,007T.
От системы сил P'j с помощью единичных эпюр (см. рис. 31 - 34) строим эпюру M'1 (рис. 24), а от системы сил P«j — эпюру M»1 (рис. 25).
После этого в соответствии с формулой (25) Инструкции строится окончательная эпюра амплитудных значений моментов M1 (рис. 26) от динамической силы, приложенной к перекрытию первого этажа.
Теперь строим эпюры моментов от действия динамической силы kд P = 1,3·1,995 Т = 2,593 Т, приложенной к перекрытию третьего этажа. Значения инерционных сил
P_{1}\prime = k_{\text{д}}Pz_{1}\prime_{3}m_{1}\omega^{2} = - 2,593 \cdot 12,57 \cdot 10^{- 6} \cdot 39,2 \cdot 18,84^{2} = - 0,4536T
P_{1}\prime\prime = k_{\text{д}}Pz_{1}\prime\prime_{3}m_{1}\omega^{2} = 2,593 \cdot 10,89 \cdot 10^{- 6} \cdot 39,2 \cdot 18,84^{2} = 0,393T
P_{2}\prime = k_{\text{д}}Pz_{2}\prime_{3}m_{2}\omega^{2} = - 2,593 \cdot 15,8 \cdot 10^{- 6} \cdot 38,67 \cdot 18,84^{2} = - 0,5626T
P_{2}\prime\prime = k_{\text{д}}Pz_{2}\prime\prime_{3}m_{2}\omega^{2} = 2,593 \cdot 18,13 \cdot 10^{- 6} \cdot 38,67 \cdot 18,84^{2} = 0,6453T
P_{3}\prime = k_{\text{д}}P + k_{\text{д}}Pz_{3}\prime_{3}m_{3}\omega^{2} = 2,593 - 2,593 \cdot 8,315 \cdot 10^{- 6} \cdot 38,59 \cdot 18,84^{2} = 2,2981T
P_{3}\prime\prime = k_{\text{д}}Pz_{3}\prime\prime_{3}m_{3}\omega^{2} = 2,593 \cdot 7,694 \cdot 10^{- 6} \cdot 38,59 \cdot 18,84^{2} = 0,273T
P_{4}\prime = k_{\text{д}}Pz_{4}\prime_{3}m_{4}\omega^{2} = - 2,593 \cdot 88,33 \cdot 10^{- 6} \cdot 24,16 \cdot 18,84^{2} = - 1,964T
P_{4}\prime\prime = k_{\text{д}}Pz_{4}\prime\prime_{3}m_{4}\omega^{2} = - 2,593 \cdot 23,59 \cdot 10^{- 6} \cdot 24,16 \cdot 18,84^{2} = - 0,5247T.
От системы сил P'j с помощью единичных эпюр (см. рис. 31 - 34) строим эпюру M'2 (рис. 27), а от системы сил P«j — эпюру M»2 (рис. 28).
После этого в соответствии с формулой (25) Инструкции строится окончательная эпюра амплитудных значений моментов M2 (рис. 29) от динамической силы, приложенной к перекрытию третьего этажа.
В результате сложения эпюр M1 (см. рис. 26) и M2 (рис. 29) получена «огибающая» эпюра M (рис. 30).
л) ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ
Несущая способность элементов конструкций, подвергаемых воздействию статических и динамических нагрузок, в соответствии с п. 2.2 Инструкции проверяется по прочности с учетом выносливости.
Проверка на прочность. Из рассмотрения эпюр, приведенных на рис. 30 и 35, видно, что наибольшего значения момент достигает на правой опоре ригеля AB:
M_{\text{д}}^{p} = 1,31\text{Т } \cdot \text{м}; M_{c}^{p} = 31,5\text{Т } \cdot \text{м};
M_{c}^{p} + M_{\text{д}}^{p} = 31,5 + 1,31 = 32,81\text{Т } \cdot \text{м}.
Рис. 31. Эпюра M1 при действии единичной силы
Рис. 32. Эпюра M2 при действии единичной силы
Рис. 33. Эпюра M3 при действии единичной силы
Рис. 34. Эпюра M4 при действии единичной силы
Рис. 35. Эпюра изгибающих моментов M_{c}^{p} от статических расчетных нагрузок
По этому сечению (принимая его для упрощения прямоугольным шириной b = 30 см и высотой h = 80 см и не учитывая влияния сил сухого трения, так как амплитуда перемещений больше 0,1 мм) произведем проверку прочности согласно СНиП II-В.1-62. Ригели приняты из серии типовых многоэтажных зданий. Характеристики сечения приведены на рис. 20. Марка бетона 200. Арматура из горячекатаной стали класса А-III марки 25Г2С; a = a' = 7,5 см; Fа = 18,46 см2; F'а = 13,61 см2.
Определим высоту сжатой зоны бетона из уравнения равновесия:
Rиbx — RаFа + Rа.сF'а = 100·30x — 3400·18,46 +
- 3400·13,61 = 0,
откуда x = 5,50 см. Так как x < 2a' = 15 см, момент, который может воспринять сечение, равен:
M = RаFа(h0 — a') = 3400·18,46(72,5 — 7,5) = = 4 079 660 кГ·см = 40,8 Т·м > 32,83 Т·м,
Проверка на выносливость. Расчет ригелей на выносливость, выполняемый по «Инструкции по проектированию железобетонных конструкций» (Госстройиздат, 1968), заключается в следующем.
1. Производится расчет на выносливость сечений, нормальных к продольной оси ригеля.
Для этого определяем наибольший и наименьший изгибающие моменты в сечении E (рис. 30, 35), как наиболее опасном. При этом пользуемся формулой (13) настоящей Инструкции.
M_{c}^{\text{н}} + M_{\text{д}}^{p} \leq \text{М}_{\text{вын}}
M_{\text{д}}^{p} = 1,18\text{Т } \cdot \text{м}
Высоту сжатой зоны бетона определим из уравнения
\frac{bx^{2}}{2} = n\prime F_{a}(h_{0} - x) - n\prime F_{a}\prime(x - a\prime),
считая при этом для простоты сечение прямоугольным и принимая коэффициент n' по табл. 8.1 «Инструкции по проектированию железобетонных конструкций» равным 25
\frac{30x^{2}}{2} = 25 \cdot 18,46(72,5 - \text{х}) - 25 \cdot 13,61(\text{х} - 7,5);
Центр тяжести приведенного сечения расположен на уровне нейтральной линии. Момент инерции приведенного сечения без учета площади растянутого бетона
Проверяем выносливость растянутой арматуры. Характеристики цикла напряжений в арматуре и бетоне
\rho_{\text{а}} = \rho_{\text{б}} = \frac{M_{min}}{M_{max}} = \frac{3,4}{5,76} = 0,59.
По табл. 8.3 «Инструкции по проектированию железобетонных конструкций» при \rho_{\text{а}} = 0,59 находим k_{\rho_{a}} = 0,77 . По табл. 8.4 той же Инструкции при ванной сварке находим kс = 0,8. Тогда расчетное сопротивление арматуры
R_{a}\prime = k_{c}k_{\rho_{a}}R_{a} = 0,8 \cdot 0,77 \cdot 3400 = 2094\text{кГ}/\text{см}^{2}.
Определяем наибольшее напряжение в растянутой арматуре, принимая
\sigma_{a.max} = n\prime \frac{M_{max}}{J_{\text{п}}} \text{у}_{\text{а}} = 25 \frac{576000}{1274461} 43,41 = 490\text{кГ}/\text{см}^{2},
что меньше R'а = 2094 кГ/см2, и выносливость растянутой арматуры обеспечена.
Проверяем выносливость сжатого бетона. Так как \rho_{\text{б}} = 0,59<0,6 (см. п. 8.9 «Инструкции по проектированию железобетонных конструкций»), проверка на выносливость сжатого бетона необходима. По табл. 8.2 той же Инструкции при \rho_{\text{б}} = 0,59 находим k_{\rho_{\text{б}}} = 0,995 . Расчетное сопротивление бетона при расчете на выносливость равно:
R_{\text{и}}\prime = k_{\rho_{\text{б}}}R_{\text{и}} = 0,995 \cdot 100 = 99,5\text{кГ}/\text{см}^{2}.
Краевое сжимающее напряжение в бетоне при y = x = 29,09 см:
\sigma_{\text{б}.max} = \frac{M_{max}}{J_{\text{п}}} \text{у} = \frac{576000 \cdot 29,09}{1274461} = 13,1\text{кГ}/\text{см}^{2},
что меньше R'и = 99,5 кГ/см2, и выносливость сжатого бетона обеспечена.
2. Производим расчет на выносливость наклонных сечений.
В том же сечении E, считая его наиболее опасным, определяем значения наибольшей и наименьшей поперечной силы путем дифференцирования эпюр, приведенных на рис. 30 и 35:
Qmin = 7,68 — 2,09 — 0,37 = 5,23 Т.
Проверяем условие \sigma_{\text{г}.pmax} \leq R_{\tau}\prime .
Для этого определяем главные растягивающие напряжения бетона. Поскольку для изгибаемых элементов без предварительного напряжения наибольшие главные растягивающие напряжения \sigma_{\text{г}.\text{р}} равны скалывающим напряжениям \tau на уровне центра тяжести приведенного сечения (местными сжимающими напряжениями пренебрегаем), то величину \sigma_{\text{г}.\text{р}} определяем по формуле для скалывающих напряжений в бетоне, учитывая полное сечение бетона (наличием арматуры пренебрегаем):
\sigma_{\text{г}.\text{р}} = \tau = \frac{QS_{\text{п}}}{J_{\text{п}}b} = \frac{Q \cdot 0,5b(0,5h)^{2}}{\frac{bh^{3}}{12} b} = \frac{1,5Q}{bh} = \frac{1,5 \cdot 5950}{30 \cdot 80} = 3,72\text{кГ}/\text{см}^{2}.
Характеристика цикла главных растягивающих напряжений бетона
\rho_{\text{б}} = \frac{Q_{\text{мин}}}{Q_{\text{макс}}} = \frac{5,23}{5,95} = 0,88.
По табл. 8.2 «Инструкции по проектированию железобетонных конструкций» при \rho_{\text{б}}>0,6 находим k_{\rho_{\text{б}}} = 1 .
Расчетное сопротивление бетона растяжению R'т равно:
R_{\text{т}}\prime = k_{\rho_{\text{б}}}R_{\text{т}} = 1 \cdot 10 = 10\text{кГ}/\text{см}^{2}>\sigma_{\text{г}.\text{р}} = 3,72\text{кГ}/\text{см}^{2},
т.е. наклонные трещины не образуются.
Аналогично производится проверка на прочность и выносливость при изгибе колонн.
ПРИМЕР 2. Расчет железобетонного ригеля перекрытия здания углеобогатительной фабрики
Требуется рассчитать ригель перекрытия здания углеобогатительной фабрики на действие вертикальных динамических нагрузок от молотковых дробилок, расположение которых указано на рис. 36.
Рис. 36. План расположения дробилок
Постоянная нагрузка q = 400 кГ/м2.
Временная длительная нагрузка:
| между рядами | 1 — 2, 4 — 5 - p = 800 кГ/м2 |
|---|---|
| « » | 2 — 4 в пролете А — Б - p = 2000 кГ/м2 |
| « » | 2 — 4 в пролете Б — В - p = 600 кГ/м2. |
Вес одной дробилки P0 = 7200 кг. Число оборотов n0 = 985 об/мин или n_{0} = \frac{985}{60} = 16,417\text{об}/\text{сек} .
Амплитуда вертикальной инерционной силы одной молотковой дробилки R0 = 1800 кГ.
Пребывание обслуживающего персонала на перекрытии не превышает 15% рабочего времени.
Величина амплитуд перемещений по технологическим требованиям не ограничивается.
Сечение ригеля приведено на рис. 37; бетон марки 300; продольная арматура из горячекатаной стали класса А-III с Fа = F'а = 14,73 см2 (3\text{Ø}25) .
Рис. 37. Поперечное сечение ригеля
Жесткость поперечного сечения ригеля EбJ равна 46 620 Тм2.
Статические нагрузки, действующие на ригель, определяются обычным путем в соответствии со схемой перекрытия (см. рис. 36).
По характеру динамического воздействия данная молотковая дробилка относится к I типу (табл. 5 Инструкции), по характеру продолжительности динамической нагрузки — ко 2-й группе (табл. 6 Инструкции), а по динамичности — к IV категории (табл. 8 Инструкции).
Динамические нагрузки от дробилок передаются на ригель через второстепенные балки в точках Г и Д (см. рис. 36). При этом динамические реакции, действующие в этих точках, подсчитываем по правилу рычага:
R = \frac{R_{0}}{2} \cdot \frac{3 - 2}{3} = \frac{1,8}{2} \cdot \frac{1}{3} = 0,3\text{Т}.
Коэффициент синфазности \lambda ввиду малого числа машин принят равным единице. Круговая частота вынужденных колебаний равна \omega = 2 \cdot 3,14 \cdot 16,417 = 103,1\text{рад}/\text{сек} .
в) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ РИГЕЛЯ
В качестве расчетной схемы ригеля принята неразрезная четырехпролетная балка со свободно опертыми концами (рис. 38).
Рис. 38. Расчетная схема ригеля
Для определения круговых частот pi по формуле (1.38) приложения 1 подсчитываем значения приведенных погонных масс:
\mu_{2} = \frac{q_{0}}{g} + \frac{P}{lg} \sum_{k = 1}^{2} X_{2}^{2}(\alpha_{k}) = \frac{7,2}{9,81} + \frac{3,6}{6 \cdot 9,81} 2 \cdot 0,2111^{2} = 0,7394\text{Т } \cdot \text{сек}^{2}/\text{м};
\mu_{3} = \frac{q_{0}}{g} + \frac{P}{lg} \sum_{k = 1}^{2} X_{3}^{2}(\alpha_{k}) = \frac{7,2}{9,81} + \frac{3,6}{6 \cdot 9,81} 2 \cdot 0,6825^{2} = 0,7909\text{Т } \cdot \text{сек}^{2}/\text{м};
\mu_{4} = \frac{q_{0}}{g} + \frac{P}{lg} \sum_{k = 1}^{2} X_{4}^{2}(\alpha_{k}) = \frac{7,2}{9,81} + \frac{3,6}{6 \cdot 9,81} 2 \cdot 0,6399^{2} = 0,784\text{Т } \cdot \text{сек}^{2}/\text{м};
\mu_{5} = \frac{q_{0}}{g} + \frac{P}{lg} \sum_{k = 1}^{2} X_{5}^{2}(\alpha_{k}) = \frac{7,2}{9,81} + \frac{3,6}{6 \cdot 9,81} 2 \cdot 0,6725^{2} = 0,7893\text{Т } \cdot \text{сек}^{2}/\text{м}.
По формуле (1.37) определяем значения круговых частот:
\text{р}_{r} = \frac{\lambda_{r}}{l^{2}} \sqrt[2]{\frac{D}{\mu_{r}}} ;
Согласно табл. 14 Инструкции величину погрешности в определении частот принимаем \epsilon = 0,3 . Границы частотных зон будут
Таким образом, возможно совпадение частоты вынужденных колебаний со второй, третьей и четвертой частотами собственных колебаний, поэтому следует рассмотреть три расчетных случая, соответствующих трем возможным резонансам.
г) ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУД КОЛЕБАНИЙ
Сначала определяем амплитуды для второго резонанса от динамической силы, приложенной во втором пролете, в сечениях, расположенных друг от друга на расстоянии 0,2 длины пролета, а также в сечениях под силами.
По формулам (2.26) и (2.30) приложения 2:
b_{2} = \frac{RX_{2}(\alpha_{0})}{\mu_{2}l} = - \frac{0,3 \cdot 0,2111}{0,7394 \cdot 6} = - 0,01418;
\frac{b_{2}}{\omega^{2}\gamma} = \frac{- 0,01418}{103,1^{2} \cdot 0,1} = - 0,1334 \cdot 10^{- 4}.
Значение коэффициента неупругого сопротивления \gamma , равное 0,1, принято из табл. 2 Инструкции.
Вычисляем по формуле (2.30) амплитуды для первого пролета:
По той же формуле вычисляем амплитуды для второго пролета:
По той же формуле — для четвертого пролета:
Теперь рассматриваем действие инерционной силы, приложенной в третьем пролете.
Для сил, расположенных симметрично, амплитуды колебаний совпадают, так как для таких сил множители \frac{b_{2}}{\omega^{2}\gamma} равны.
Поэтому для получения амплитуд вынужденных вертикальных колебаний балки от совместного действия двух сил следует удвоить полученные значения амплитуд.
Эпюра амплитуд колебаний балки по второму резонансу показана на рис. 39.
Рис. 39. Эпюра амплитуд колебаний при \omega = \text{р}_{2}
Аналогичным образом подсчитываются амплитуды колебаний балки по третьему и четвертому резонансам, эпюры которых показаны на рис. 40 и 41.
Рис. 40. Эпюра амплитуд колебаний при \omega = \text{р}_{3}
Рис. 41. Эпюра амплитуд колебаний при \omega = \text{р}_{4}
В соответствии с табл. 10 настоящей Инструкции и с учетом продолжительности пребывания людей на их рабочих местах, не превышающей 15% рабочего времени, для частоты 16,4 гц допускаемая амплитуда колебаний равна a0 = 0,084 мм.
Рассмотрение эпюр показывает, что амплитуды колебаний балки не превышают величину предельно допустимой.
д) ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ (МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ)
Наибольшая амплитуда от расчетных динамических нагрузок (см. рис. 41) равна:
aр = kдaн = 4·0,07276 = 0,29104 мм.
При этом коэффициент перегрузки kд для молотковой дробилки принят по «Инструкции по определению динамических нагрузок от машин, устанавливаемых на перекрытиях промышленных зданий», равным 4.
\frac{a_{\text{р}}}{l} = \frac{0,29104}{6000} = \frac{1}{20616} > \frac{1}{50000} ,
Поэтому, согласно п. 2.7 Инструкции, требуется проверка несущей способности ригеля.
Сначала находим усилия при втором резонансе от силы, приложенной во втором пролете. В соответствии с п. 5.1 усилия определяем от расчетных динамических нагрузок с коэффициентом перегрузки kд = 4.
По формулам (2.26) и (2.30) приложения 2 получаем
b_{2} = \frac{k_{\text{д}}RX_{2}(\alpha_{0})}{\mu_{2}l} = - \frac{4 \cdot 0,3 \cdot 0,2111}{0,7394 \cdot 6} = - 0,05672;
\text{Е}_{\text{б}}J \frac{b_{2}}{\omega^{2}\gamma l^{2}} = - 46620 \frac{0,05672}{103,1^{2} \cdot 0,1 \cdot 6^{2}} = - 0,0691;
\text{Е}_{\text{б}}J \frac{b_{2}}{\omega^{2}\gamma l^{3}} = - 46620 \frac{0,05672}{103,1^{2} \cdot 0,1 \cdot 6^{3}} = - 0,01152.
Теперь вычисляем по формулам (2.30) значения моментов и поперечных сил в сечениях, для которых выше были определены амплитуды колебаний. При этом вычисления проводим для двух левых пролетов, так как симметрия эпюры M и обратная симметрия эпюры Q позволяют построить эти эпюры на всей длине балки.
Q(0) = \text{Е}_{\text{б}}J \frac{b_{2}}{\omega^{2}\gamma l^{3}} X_{2}\prime\prime\prime(0) = 0,01152 \cdot 34,38 = 0,4061T
Q(0,2) = \text{Е}_{\text{б}}J \frac{b_{2}}{\omega^{2}\gamma l^{3}} X_{2}\prime\prime\prime(0,2) = 0,01152 \cdot 26,5 = 0,3058T
Q(0,4) = \text{Е}_{\text{б}}J \frac{b_{2}}{\omega^{2}\gamma l^{3}} X_{2}\prime\prime\prime(0,4) = 0,01152 \cdot 6,2 = 0,0714T
Чтобы определить моменты и поперечные силы от совместного действия двух сил, следует удвоить полученные значения (по соображениям, изложенным в предыдущем параграфе при вычислении амплитуд колебаний).
Эпюры моментов и поперечных сил при втором резонансе показаны на рис. 42 и 43.
Рис. 42. Эпюра изгибающих моментов M_{\text{д}}^{\text{р}} от расчетных динамических нагрузок при \omega = \text{р}_{2}
Рис. 43. Эпюра поперечных сил Q_{\text{д}}^{\text{р}} от расчетных динамических нагрузок при \omega = \text{р}_{2}
Аналогичным образом подсчитываются усилия при третьем и четвертом резонансах, эпюры которых показаны на рис. 44 - 47.
Рис. 44. Эпюра изгибающих моментов M_{\text{д}}^{\text{р}} от расчетных динамических нагрузок при \omega = \text{р}_{3}
Рис. 45. Эпюра поперечных сил Q_{\text{д}}^{\text{р}} от расчетных динамических нагрузок при \omega = \text{р}_{3}
Рис. 46. Эпюра изгибающих моментов M_{\text{д}}^{\text{р}} от расчетных динамических нагрузок при \omega = \text{р}_{4}
Рис. 47. Эпюра поперечных сил Q_{\text{д}}^{\text{р}} от расчетных динамических нагрузок при \omega = \text{р}_{4}
На рис. 48 и 49 показаны огибающие эпюр моментов (рис. 42, 44 и 46) и эпюр поперечных сил (рис. 43, 45 и 47).
Рис. 48. Огибающая эпюра изгибающих моментов от расчетных динамических нагрузок M_{\text{д}}^{\text{р}}
Рис. 49. Огибающая эпюра поперечных сил от расчетных динамических нагрузок Q_{\text{д}}^{\text{р}}
На рис. 50 и 51 показаны эпюры моментов и поперечных сил от статических (расчетных и нормативных) нагрузок.
Рис. 50. Эпюра моментов от статических расчетных M_{\text{с}}^{\text{р}} (нормативных M_{\text{с}}^{\text{н}} ) нагрузок
Рис. 51. Эпюра поперечных сил от статических расчетных Q_{\text{с}}^{\text{р}} (нормативных Q_{\text{с}}^{\text{н}} ) нагрузок
е) ПРОВЕРКА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
Проверка несущей способности, согласно п. 2.2 Инструкции, включает в себя проверку на прочность и выносливость. Проиллюстрируем последовательность операций при проведении этих проверок на примере какого-нибудь произвольного сечения ригеля, например сечения под силой во втором пролете.
Проверка на прочность. Расчет производим в соответствии с п. 2.3 по формуле (12) настоящей Инструкции:
M_{\text{с}}^{\text{р}} + M_{\text{д}}^{\text{р}} \leq \text{М}^{\text{р}}.
Из эпюр, приведенных на рис. 48 и 50, для принятого сечения имеем
M_{\text{с}}^{\text{р}} + M_{\text{д}}^{\text{р}} = 10,57 + 4,05 = 14,62\text{Т } \cdot \text{м}
Дальнейший расчет выполняем согласно СНиП II-В.1-62.
Определяем высоту сжатой зоны бетона из уравнения равновесия:
Поскольку Fа = F'а, x = 0. Так как x < 2a' = 15 см, момент, который может воспринять сечение, равен:
M = RаFа(h0 — a') = 3400·14,73(72,5 — 7,5) = = 3 255 330 кГ·см = 32,55 Т·м > 14,62 Т·м,
Проверка на выносливость. Расчет на выносливость выполняем согласно «Инструкции по проектированию железобетонных конструкций». Коэффициент перегрузки kд при расчете на выносливость принимаем равным 1 (см. п. 1.34 настоящей Инструкции).
I. Расчет на выносливость сечений, нормальных к продольной оси ригеля
Для этого определяем наибольший и наименьший изгибающие моменты в принятом сечении:
Высоту сжатой зоны бетона определим из уравнения
\frac{bx^{2}}{2} = n\prime F_{a}(h_{0} - x) - n\prime F_{a}\prime(x - a\prime),
принимая при этом коэффициент n' по табл. 8.1 «Инструкции по проектированию железобетонных конструкций» равным 20:
\frac{30x^{2}}{2} = 20 \cdot 14,73(72,5 - \text{х}) - 20 \cdot 14,73(\text{х} - 7,5);
Центр тяжести приведенного сечения расположен на уровне нейтральной линии. Момент инерции приведенного сечения без учета площади растянутого бетона
Проверяем выносливость растянутой арматуры. Характеристики цикла напряжений в арматуре и бетоне
\rho_{\text{а}} = \rho_{\text{б}} = \frac{M_{min}}{M_{max}} = \frac{6,78}{8,80} = 0,77.
Так как \rho_{\text{а}} = 0,77<0,9 (см. п. 8.11 названной Инструкции), проверка на выносливость арматуры необходима.
По табл. 8.3 той же Инструкции при \rho_{\text{а}} = 0,77 находим k_{\rho_{\text{а}}} = 0,95 . По табл. 8.4 при ванной сварке находим kс = 0,8. Тогда расчетное сопротивление арматуры равно:
R_{a}\prime = k_{c}k_{\rho_{a}}R_{a} = 0,8 \cdot 0,95 \cdot 3400 = 2584\text{кГ}/\text{см}^{2}.
Определяем наибольшее напряжение в растянутой арматуре, принимая
y = h — a - x = 80 — 7,5 — 24,60 = 47,9 см:
\sigma_{\text{а}.max} = n\prime \frac{M_{max}}{J_{\text{п}}} \text{у}_{\text{а}} = 20 \frac{880000}{910976} 47,90 = 925\text{кГ}/\text{см}^{2},
что меньше R'а = 2584 кГ/см2, и выносливость растянутой арматуры обеспечена.
Так как \rho_{\text{б}} = 0,77>0,6 (см. п. 8.9 «Инструкции по проектированию железобетонных конструкций»), проверка на выносливость сжатого бетона не требуется.
2. Расчет на выносливость наклонных сечений
Из эпюр, приведенных на рис. 49 и 51, для принятого сечения имеем
Значения наибольшей и наименьшей поперечной силы
Проверяем условие \sigma_{\text{г}.\text{р}max} \leq R_{\text{т}}\prime .
Для этого определяем по той же формуле, что и в примере 1, главные растягивающие напряжения бетона:
\sigma_{\text{г}.\text{р}} = \frac{1,5Q}{bh} = \frac{1,5 \cdot 11440}{30 \cdot 80} = 7,15\text{кГ}/\text{см}^{2}.
Характеристика цикла главных растягивающих напряжений бетона
\rho_{\text{б}} = \frac{Q_{min}}{Q_{max}} = \frac{8,80}{11,44} = 0,77.
По табл. 8.2 той же Инструкции при \rho_{\text{б}}>0,60 находим k_{\rho_{\text{б}}} = 1 .
Расчетное сопротивление бетона растяжению R'т равно:
R_{\text{т}}\prime = k_{\rho_{\text{б}}}R_{\text{т}} = 1 \cdot 10 = 10\text{кГ}/\text{см}^{2}>\sigma_{\text{г}.\text{р}} = 7,15\text{кГ}/\text{см}^{2},
т.е. наклонные трещины не образуются.