ГОСТ Р 50779.21-2004. Национальный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение

(утв. и введен в действие Постановлением Госстандарта России от 12.01.2004 № 3-ст)

ИСТОРИЯ ИЗМЕНЕНИЙ НОРМАТИВНО-ТЕХНИЧЕСКИХ АКТОВ

flowchart LR
  n0["ГОСТ Р 50779.21-96"]:::rst
  click n0 "https://bukva.ai/docs/pravila-bezopasnosti-zanyatiy-po-fizicheskoy" "ГОСТ Р 50779.21-96. Государственный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Ча"
  n1["ГОСТ Р 50779.21-2004"]:::doc
  click n1 "https://bukva.ai/docs/gost-r-50779-21-2004" "ГОСТ Р 50779.21-2004. Национальный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным... (утв. и "
  n0 --> n1
classDef rst fill:#FFEBEB,stroke:#8B0000,color:#000;
classDef doc fill:#EBFFEB,stroke:#006400,color:#000;
classDef notEnt fill:#FFFFEB,stroke:#FF8C00,color:#000;

Утвержден и введен в действие

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

ЧАСТЬ 1

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Statistical methods. Determination rules and methods for calculation of statistical characteristics based on sample data. Part 1. Normal distribution

ГОСТ Р 50779.21-2004

Группа Т59

ОКС 03.120.30

Дата введения

Предисловие

3. Утвержден и введен в действие Постановлением Госстандарта России от 12 января 2004 г. № 3-ст.

4. Настоящий стандарт разработан с учетом основных нормативных положений международного стандарта ИСО 2854:1976 «Статистическое представление данных. Методы оценки и проверки гипотез о средних значениях и дисперсиях» (ISO 2854:76 «Statistical interpretation of data — Techniques of estimation and tests relating to means and variance», NEQ).

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе «Национальные стандарты», а текст этих изменений — в информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе «Национальные стандарты».

Введение

Стандарт устанавливает процедуры и методы решения ряда практических задач статистики в случае, когда наблюдаемые величины являются случайными и распределены по нормальному закону.

В стандарте изложены методы решения следующих задач:

а) точечного оценивания параметров нормального распределения случайной величины;

б) точечного оценивания вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал и вне его;

в) интервального (доверительного) оценивания параметров нормального распределения и доли распределения;

г) проверки гипотез об этих же величинах. Все процедуры, приведенные в стандарте, используют ограниченный ряд статистически независимых наблюдений, полученных в производстве, в лабораторных условиях, при контроле, измерении, оценке и т.п.

1. Область применения

Настоящий стандарт устанавливает методы, применяемые для:

• оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;
• проверки гипотез относительно значений этих параметров;
• оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал. Примечание. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна доле распределения случайной величины в этом интервале. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие «доля распределения случайной величины в интервале», которое далее применено в настоящем стандарте.

Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:

• элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем выборки должен составлять не более 10% объема генеральной совокупности;
• наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако если распределение вероятностей несильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10 единиц, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.

2. Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения

ГОСТ Р 50779.11-2000 (ИСО 3534-2-93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения Примечание. При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю «Национальные стандарты», составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный документ заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться замененным (измененным) стандартом. Если ссылочный документ отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.

3. Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ Р 50779.10 и ГОСТ Р 50779.11, а также следующие термины с соответствующими определениями:

3.1 Точечное оценивание параметра: получение оценки параметра в виде одного численного значения;

3.2. Интервальное (доверительное) оценивание параметра: получение оценки параметра в виде доверительного интервала; 1 - \alpha 1 - \alpha

3.3. Доверительный интервал: интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью не менее (где — доверительная вероятность).

3.4. Нулевая гипотеза: предположение о распределении генеральной совокупности, которое проверяют по статистическим данным. Примечание. В частности, в настоящем стандарте рассмотрены предположения о значениях параметров распределения.

4. Обозначения

В настоящем стандарт \mu е применены следующие обозначения:

                 - математическое  ожидание    нормального     закона

                     распределения  (среднее    значение    генеральной

\mu_{0} совокупности, далее — средн \mu ее значение);

\mu_{1} \mu_{2} — известное значение параметра ; , — математические ожидания для двух различных

\mu генеральных совокупност \mu ей \mu = \overline{x} ;

\mu_{M} \mu_{L} — точечная оценка параметра ; ; \mu

(\mu_{1} - \mu_{2})^{{}^} , — верхняя и нижняя доверительные границы параме \mu_{1} тра ;

• точечная оц \mu_{2} енка разности значений параметров

\sigma и ; — стандартное (среднеквадратичное) отклонение

D_{0} D — дисперсия генеральной совокупности; ;

• известное знач D_{0} = \sigma_{0}^{2} ение дисперсии генеральной

\sigma_{0} совокупности, ; \sigma

\sigma_{01} \sigma_{02} — известное численное значение \sigma_{1} па \sigma_{2} раметра ; , — известные значения параметров и для двух

\sigma генеральных совокупносте \sigma й; \sigma = S

\sigma_{M} \sigma_{L} — точечная оценка параметра , ; , — верхняя и \sigma нижняя доверительные границы

параметра ;

D — точечная оценка дисперсии; x — выборочное значение наблюдаемой случайной

x_{1} величины; — выборочное значение случайной величины из первой

x_{2} генеральной совокупности;

n_{1} n_{2} — то же, из второй генеральной совокупности;

\overline{x} n \overline{x_{1}} , \overline{x_{2}} , — объемы выборок; , , — среднеарифметические значения (выборочные

S = \sqrt{\frac{(x - \overline{x})^{2}}{(n - 1)}} средние); — выборочное стандартное (среднеквадратичное)

S_{1} S_{2} отклонение;

, — \alpha то же, для двух выборок соответственно; — риск первого рода (вероятность отвергнуть

(1 - \alpha) гипотезу, когда она верна);

• уровень значимости при проверке 0<\alpha<1 гипотез, а также

доверительная вероятность ;

u_{1 - \alpha} u_{1 - \alpha/2} v — число степеней свободы; , — квантили стандартного нормальног 1 - \alpha о зак 1 - \alpha/2 она распределения уровней и

t_{1 - \alpha}(v) t_{1 - \alpha/2}(v) соответственно; , — квантили распределения Стьюде 1 - \alpha нта 1 - \alpha/2 с v степенями

F_{1 - \alpha}(v_{1},v_{2}) свободы уровней и со v_{1} отв v_{2} етственно;

• квантиль распределения Ф 1 - \alpha ишера с и степенями

\chi_{1 - \alpha}^{2}(v) \chi_{1 - \alpha/2}^{2}(v) \chi_{\alpha/2}^{2}(v) \chi^{2} свободы уровня ; , , — квантили распределения с v 1 - \alpha с 1 - \alpha/2 теп \alpha/2 енями свободы

                           уровней ,  и  соответственно;
                   L, M - нижняя     и     верхняя     границы    интервала

соответственно; p — доля распределения (вероятность попадания)

случайной величины в заданный интервал [L, M];

                      q - доля   распределения   (вероятность    попадания)
                          случайной величины  вне  интервала [L, M], причем

p q q + p = 1;

p_{L} , q_{L} — точечные оценки p и q; , — нижние односторонние доверительные границы для

p_{M} q_{M} p и q; , — верхние односторонние доверительные границы для

p и q; C — случайное событие: например, попадание случайной

{}_{Prob}{_{C}} величины в заданный интервал;

• в \sum x ероятность случайного события C; — сумма выборочных значений.

5. Общие требования

5.1. Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач, а также процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:

• точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;
• точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;
• точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.

5.2. Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6, 7, 8), включающие в себя:

1. статистические и исходные данные;

2. определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (Приложения А, Б, В, Г), а также проведение вычислений параметров и коэффициентов по приведенным формулам;

3. результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.

5.3. Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6, 7, 8 примерами.

5.4. Во всех приведенных задачах предполагается, что статистические и исходные данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.

5.5. Процедуры решения перечисленных в 5.1 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6, 7, 8). Номера таблиц разделов 6, 7, 8 для решения соответствующих задач перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.

Таблица 5.1

Таблица 5.2

Таблица 5.4

5.6. Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые в настоящем стандарте не приведены.

6. Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности

6.1. Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.

• односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что \mu не выше какого-то значения;
• односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что не ниже какого-то значения.

2. Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок — к \sigma_{0}^{2} ак в примере 1. \mu

3. Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т.е. известным параметром ), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую или меньшую стороны от центра настройки . Условие и возможные типы оценок — как в примере 1.

6.2. Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.

\sigma_{0}^{2}

Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т.е. значение известно.

Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равнов \mu_{0} озможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.

6.4. Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.

\sum x =

\sum x^{2} =

\mu_{0} =

t_{1 - \alpha}(v) =

(1 - \alpha/2)

t_{1 - \alpha/2}(v) =

3. Вычисляем: \overline{x} = \frac{1}{n} \sum x =

\frac{\sum (x - \overline{x})^{2}}{n - 1} = \frac{\sum x^{2} - (\sum x)^{2}/n}{n - 1} =

5. Степени свободы:

\alpha =

5. Вычисляем: S = \sqrt{\frac{\sum (x - \overline{x})^{2}}{n - 1}} =

Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |\overline{x} - \mu_{0}|>[t_{1 - \alpha/2}(v)/ \sqrt{n}]S

а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если: \overline{x}<\mu_{0} - [t_{1 - \alpha}(v)/ \sqrt{n}]S ; \mu_{0}

б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если: \overline{x}>\mu_{0} + [t_{1 - \alpha}(v)/ \sqrt{n}]S

Примечание. Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 Приложения Б.

Например, у пяти человек, купивших по 1 кг сливочного масла, проводят повторное взвешивание товара на контрольных, более точных весах. При этом должен быть получен ответ на вопрос: являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.

То же — при отпуске бензина и масел на автозаправочных станциях, то же — при продаже тканей в магазинах и т.п.

6.5. Алгоритм решения задачи сравнения двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.5.

u_{1 - \alpha} =

(1 - \alpha/2)

u_{1 - \alpha/2} =

\overline{x_{2}} = \frac{\sum x_{2}}{n_{2}} = \overline{x_{1}} = \frac{\sum x_{1}}{n_{1}} =

\sigma_{d} = \sqrt{\frac{\sigma_{01}^{2}}{n_{1}} + \frac{\sigma_{02}^{2}}{n_{2}}} =

n_{2} =

\sum x_{2} =

\sigma_{02}^{2} =

|\overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}|>u_{1 - \alpha/2}\sigma_{d}

2. В одностороннем случае:

а) предположение о том, что первое среднее не менее второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если: \overline{x_{1}}<\overline{x_{2}} - u_{1 - \alpha}\sigma_{d} ;

б) предположение о том, что первое среднее не более второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если: \overline{x_{1}}>\overline{x_{2}} + u_{1 - \alpha}\sigma_{d}

Примечание. Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 Приложения А.

1. Технологический процесс механической обработки проводят параллельно на двух станках, точность каждого из них известна, т.е. известны параметры и . Можно ли считать, что оба станка настроены одинаково? Можно ли смешивать детали, произведенные на этих двух станках? Это бывает существенно, если дальнейшие технологические процессы подстраивают под среднее значение — параметр данного технологического процесса.

2. Требуется определить, одинаково ли среднее значение — параметр содержания кофеина в двух партиях таблеток аскофена, выпущенных разными фармацевтическими заводами. При этом заранее известны характеристики разброса этого содержания (т.е. дисперсии) для каждого из двух заводов.

6.6. Алгоритм решения задачи сравнения двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.6.

t_{1 - \alpha}(v) =

t_{1 - \alpha/2}(v) =

\overline{x_{2}} = \frac{\sum x_{2}}{n_{2}} = \overline{x_{1}} = \frac{\sum x_{1}}{n_{1}} =

\sum x_{2} =

S_{d} = \sqrt{\frac{(n_{1} + n_{2})}{n_{1}n_{2}} \cdot \frac{\sum (x_{1} - \overline{x_{1}})^{2} + \sum (x_{2} - \overline{x_{2}})^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}} =

|\overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}|>t_{1 - \alpha/2}(v)S_{d}

\overline{x_{1}}<\overline{x_{2}} - t_{1 - \alpha}(v)S_{d} ; \mu_{1} \leq \mu_{2}

б) предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если: \overline{x_{1}}>\overline{x_{2}} + t_{1 - \alpha}(v)S_{d}

. Примечание. Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 Приложения Б.

Примеры

1. Примеры те же, что для 6.5, но дисперсии неизвестны. Применение этих задач может встречаться чаще, чем применение задач по 6.5, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.

2. Пример 2 по 6.5 может быть распространен на сравнение содержания различных химических веществ или примесей в двух совокупностях.

6.7. Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.7.

Первая выборка

Вторая выборка (1 - \alpha)

1. Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня : u_{1 - \alpha} =

(1 - \alpha/2)

2. Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня : u_{1 - \alpha/2} =

3. Вычисляем: \overline{x_{2}} = \frac{\sum x_{2}}{n_{2}} = \overline{x_{1}} = \frac{\sum x_{1}}{n_{1}} = ;

4. Вычисляем: \sigma_{d} = \sqrt{\frac{\sigma_{01}^{2}}{n_{1}} + \frac{\sigma_{02}^{2}}{n_{2}}} =

n_{2} =

\sum x_{1} = 2. Сумма значений наблюдаемых величин:

\sum x_{2} =

\sigma_{02}^{2} =

1 - \alpha =

\alpha = 4. Выбранный уровень значимости: тогда доверительная вероятность равна

(\mu_{1} - \mu_{2})^{{}^} = \overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}

(\mu_{1} - \mu_{2})<(\overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}) + u_{1 - \alpha}\sigma_{d}\text{или}

(\mu_{1} - \mu_{2})>(\overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}) - u_{1 - \alpha}\sigma_{d}

(\mu_{1} - \mu_{2})

(\overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}) - u_{1 - \alpha/2}\sigma_{d}<(\mu_{1} - \mu_{2})<(\overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}) + u_{1 - \alpha/2}\sigma_{d}

|\overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}|>u_{1 - \alpha/2}\sigma_{d}

. Примечание. Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 Приложения А.

Пример - Сопоставление однотипных средних значений показателя качества для двух технологических процессов или двух совокупностей изделий. Считается, что дисперсии для обоих технологических процессов или совокупностей известны.

Например, оценка разности средней толщины гальванического покрытия двух партий одинаковых изделий; оценка разности среднего содержания вредных примесей в двух партиях химикатов и т.п.

6.8. Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.8.

<*> Гипотезы равенства дисперсий двух генеральных совокупностей могут быть проверены по таблице 7.3 раздела 7.

			Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления		Первая выборка	Вторая выборка (1 - \alpha) 1. Квантиль распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы: t_{1 - \alpha}(v) = (1 - \alpha/2) 2. Квантиль распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы: t_{1 - \alpha/2}(v) = 3. Вычисляем: \overline{x_{2}} = \frac{\sum x_{2}}{n_{2}} = \overline{x_{1}} = \frac{\sum x_{1}}{n_{1}} =
;	n_{1} = 1. Объем выборки:	n_{2} =
	\sum x_{1} = 2. Сумма значений наблюдаемых величин:	\sum x_{2} =
	\sum x_{1}^{2} = 3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:	\sum x_{2}^{2} =
	v = n_{1} + n_{2} - 2 = 4. Степени свободы:
	1 - \alpha = 5. Выбранная доверительная вероятность:
			4. Вычисляем: 5. Вычисляем: S_{d} = \sqrt{\frac{(n_{1} + n_{2})}{n_{1}n_{2}} \cdot \frac{\sum (x_{1} - \overline{x_{1}})^{2} + \sum (x_{2} - \overline{x_{2}})^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}} =
Результаты \mu_{2} \mu_{1} 1. Точечная оценка равности между средними значениями параметров и для двух совокупностей: (\mu_{1} - \mu_{2})^{{}^} = \overline{x_{1}} - \overline{x_{2}} . (\mu_{1} - \mu_{2}) 2. Двусторонний доверительный интервал для разности : (\overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}) - t_{1 - \alpha/2}(v)S_{d}<(\mu_{1} - \mu_{2})<(\overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}) + t_{1 - \alpha/2}(v)S_{d} . (\mu_{1} - \mu_{2}) 3. Односторонний доверительный интервал для разности : (\mu_{1} - \mu_{2})<(\overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}) + t_{1 - \alpha}(v)S_{d}\text{или} (\mu_{1} - \mu_{2})>(\overline{x_{1}} - \overline{x_{2}}) - t_{1 - \alpha}(v)S_{d}
.

7. Точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности

Точечная и интервальная оценки дисперсии или стандартного отклонения

2. Оценка точности поддержания заданного значения параметра в системах автоматического регулировани \sigma^{2} я (на \sigma пример, температура в печи). \sigma \sigma^{2}

Если необходимо знать просто среднее значение показателя точности, то определяется точечная оценка или , а если необходима уверенность в том, что точность не хуже (разброс не выше) определенного значения, то определяют интервальную оценку или с верхней доверительной границей.

7.2. Алгоритм решения задачи сравнения дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной приведен в таблице 7.2.

5. Степени свободы: v = n — 1 = \alpha = 6. Выбранная доверительная вероятность:

\chi_{1 - \alpha}^{2}(v) = \chi_{\alpha/2}^{2}(v) = \chi_{1 - \alpha/2}^{2}(v) =

Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если: \frac{\sum (x - \overline{x})^{2}}{\sigma_{0}^{2}} <\chi_{\alpha/2}^{2}(v)\text{или} \frac{\sum (x - \overline{x})^{2}}{\sigma_{0}^{2}} >\chi_{1 - \alpha/2}^{2}(v) .

2. Односторонний случай:

а) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не более заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если: \frac{\sum (x - \overline{x})^{2}}{\sigma_{0}^{2}} >\chi_{1 - \alpha}^{2}(v)

б) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не менее заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

Примеры \sigma_{0}

1. Оценка точности одного оборудования или технологического процесса в сравнении с известной точностью (т.е. известным параметром ) другого оборудования или технологического процесса. \sigma_{0}

2. Сравнение степени однородности одной совокупности изделий (т.е. величины разброса показателя качества) с известной заранее степенью однородности, характеризуемой стандартным отклонением .

7.3. Алгоритм решения задачи сравнения дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей приведен в таблице 7.3.

\sum (x_{1} - \overline{x_{1}})^{2} = \sum x_{1}^{2} - \frac{1}{n_{1}} (\sum x_{1})^{2} =

\sum (x_{2} - \overline{x_{2}})^{2} = \sum x_{2}^{2} - \frac{1}{n_{2}} (\sum x_{2})^{2} =

S_{1}^{2} = \frac{\sum (x_{1} - \overline{x_{1}})^{2}}{n_{1} - 1} =

S_{2}^{2} = \frac{\sum (x_{2} - \overline{x_{2}})^{2}}{n_{2} - 1} =

F_{1 - \alpha/2}(v_{1},v_{2}) =

F_{1 - \alpha}(v_{1},v_{2}) =

n_{2} =

\sum x_{2}^{2} =

Результаты Сравнение дисперсий двух совокупностей:

1. Двусторонний случай: Предположение равенства дисперсии или равенства двух стандартных отклонений (нулевая гипотеза) отвергается, если:

\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} > \frac{1}{F_{1 - \alpha}(v_{1},v_{2})}

Примечание. Квантили распределения Фишера определяют по таблицам Г.1 — Г.9 Приложения Г.

Примеры

1. Сравнение точности двух станков-автоматов по результатам контроля геометрических размеров деталей.

2. Соотношение стабильности двух технологий, например отечественного и зарубежного предприятий, на основе сравнения результатов контроля двух выборок из двух соответствующих совокупностей изделий.

<*> Доля распределения случайной величины в заданном интервале равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал. В большинстве практических задач физический смысл, используемый в данном стандарте, имеет понятие — «доля распределения случайной величины в интервале», хотя все приведенные статистические выводы справедливы и для понятия «вероятность попадания случайной величины в интервал».

8.1. Алгоритм вычисления доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его при известных параметрах нормального распределения приведен в таблице 8.1.

Вычисление доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его при известных параметрах нормального распределения (вспомогательный алгоритм)

Примечание. Величины и представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 Приложения А.

\sigma^{2} \mu

Для решения данной задачи не используют выборочные данные, а значения параметров и считают известными. Таблица 8.1 содержит вспомогательный алгоритм для решения задач по 8.2 — 8.9. \sigma_{0}^{2}

Пример - Оценка ожидаемого уровня несоответствий показателя качества продукции (уровня несоответствий) при настройке станка на середину поля допуска или на номинальное значение и известную точность .

8.2. Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии приведен в таблице 8.2.

Таблица 8.2

Примечание. Величины и представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 Приложения А.

Пример - Оценка уровня несоответствия показателя качества продукции, который следует ожидать при работе станка или технологического процесса при установленном допуске и неизвестном уровне настройки. При этом считают, что точность станка или технологического процесса известна или достаточно точно оценена заранее.

8.3. Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его при неизвестной дисперсии приведен в таблице 8.3.

Точечная оценка доли распределения случайной

Примечание. Величины и представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 Приложения А.

Пример тот же, что в 8.2, но точность станка или технологического процесса неизвестна.

8.4. Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли р q_{M} аспределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней p_{L} границей L приведен в таблице 8.4.

Указанным в таблице 8.4 способом определяют верхнюю доверительную границу для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также нижнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в указанном интервале. Примечание. Здесь и далее следует различать заданный изначально односторонний или двусторонний интервал (допуск) с известной границей (границами) для случайной величины X и доверительный интервал для доли распределения случайной величины в этом допуске и вне его. Границы заданного интервала (допуска) L и M для случайной величины измеряют в тех же единицах величин, какие имеет случайная величина, например: в миллиметрах, граммах и т.п. Границы получаемого доверительного интервала являются безразмерными, как и сама вероятность.

1. Определение уровня несоответствий для показателя «толщина гальванопокрытия». Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента. 1 - \alpha q_{M} p_{L} p_{L} q_{M}

2. Оценка доли годных и несоответствующих p_{L} деталей по показателю качества «твердость после термической обработки». Требование (допуск) одностороннее: L = 45 ед. Роквелла. Оценка получается в виде верхней доверительной границы на долю несоответствующей продукции с твердостью ниже 45 ед. Кроме того, получается нижняя доверительная граница на долю продукции, соответствующей требованию, т.е. на долю деталей с твердостью не ниже 45 ед. Доверительные оценки и в отличие от точечных имеют характеристики достоверности утверждений (с вероятностью ):

истинная доля годной продукции — не менее ; q_{M} истинная доля несоответствующей продукции — не более .

Таблица 8.4

p_{L} q_{M}

для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

{}_{Prob}{_{p \geq p_{L}}}_{\geq 1 - \alpha} {}_{Prob}{_{q \leq q_{M}}}_{\geq 1 - \alpha}
Необходимые условия: ,	Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления 1. Объем выборки: n = \sum x = 2. Сумма значений наблюдаемых величин: \sum x^{2} = 3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 4. Степени свободы: v = n — 1 = 1 - \alpha = 5. Выбранная доверительная вероятность: 6. Нижняя граница одностороннего интервала:	L = (1 - \alpha_{\mu}^{j}) 1. Уста \mu навливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: (1 - \alpha_{\sigma}^{j}) — для \sigma и (1 - \alpha_{\mu}^{j})(1 - \alpha_{\sigma}^{j}) = 1 - \alpha — для , причем , где j = 1, 2, 3, тогда ; ; \alpha_{\sigma}^{j} = (\alpha - \alpha_{\mu}^{j})/(1 - \alpha_{\mu}^{j}) ; . 2. Процедура доверительного оценива \mu ния среднего значения и станда 1 - \alpha_{\mu} ртного отклонения: \mu_{L} = \overline{x} - l_{1}S 2.1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (2) таблицы 6.2).	1 - \alpha_{\sigma} \sigma \sigma_{M} = \sqrt{\sigma_{M}^{2}} 2.2. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью : (см. формулу (4) таблицы 7.1). Примечание. Указанную процедуру повторяют три раза. \sigma \mu q_{M}^{j} = 3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1): q_{M}^{1} 4. q_{M}^{2} П q_{M}^{3} осле повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , Результаты 1 - \alpha 1. Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности : {}_{q_{M} = min}{_{q_{M},q_{M},q_{M}}^{123}} . 2. Нижняя доверительная граница для p: p_{L} = 1 - q_{M}

8.5. Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли р q_{M} аспределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней p_{L} границей M приведен в таблице 8.5. Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей M, а также нижнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.5

p_{L} q_{M}

для доли распределения случайной величины в одностороннем

{}_{Prob}{_{p \geq p_{L}}}_{\geq 1 - \alpha} {}_{Prob}{_{q \leq q_{M}}}_{\geq 1 - \alpha}
Необходимые условия: ,	Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления 1. Объем выборки: n = \sum x = 2. Сумма значений наблюдаемых величин: \sum x^{2} = 3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 4. Степени свободы: v = n — 1 = 1 - \alpha = 5. Выбранная доверительная вероятность: 6. Нижняя граница одностороннего интервала:	M = (1 - \alpha_{\mu}^{j}) 1. Уста \mu навливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: (1 - \alpha_{\sigma}^{j}) — для \sigma ; (1 - \alpha_{\mu}^{j})(1 - \alpha_{\sigma}^{j}) = 1 - \alpha — для , причем , где j = 1, 2, 3, тогда: ; ; \alpha_{\sigma}^{j} = (\alpha - \alpha_{\mu}^{j})/(1 - \alpha_{\mu}^{j}) ; . 2. Процедура доверительного оценива \mu ния среднего значения и станда 1 - \alpha_{\mu} ртного отклонения: \mu_{M} = \overline{x} + l_{1}S 2.1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (1) таблицы 6.2).	1 - \alpha_{\sigma} \sigma \sigma_{M} = \sqrt{\sigma_{M}^{2}} 2.2. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью : (см. формулу (4) таблицы 7.1). Примечание. Данную процедуру повторяют три раза. \sigma \mu q_{M}^{j} = 3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1): q_{M}^{1} 4. q_{M}^{2} П q_{M}^{3} осле повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , Результаты 1 - \alpha 1. Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности : {}_{q_{M} = min}{_{q_{M},q_{M},q_{M}}^{123}} . 2. Нижняя доверительная граница для p: p_{L} = 1 - q_{M}

Пример - Определение уровня несоответствий для показателя «процент примесей» в металлургии или в фармакологии. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

8.6. Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величи q_{M} ны с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, M] и вне его приведен в таблиц p_{L} е 8.6. Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу для доли распределения вне интервала [L, M], а также нижнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в данном интервале.

p_{L} q_{M} Определение верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его (дисперсия неизвестна)

{}_{Prob}{_{p \geq p_{L}}}_{\geq 1 - \alpha} {}_{Prob}{_{q \leq q_{M}}}_{\geq 1 - \alpha}
Необходимые условия: ,	Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления 1. Объем выборки: n = \sum x = 2. Сумма значений наблюдаемых величин: \sum x^{2} = 3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 4. Степени свободы: v = n — 1 = 1 - \alpha = 5. Выбранная доверительная вероятность: 6. Границы интервала: L =	M = (1 - \alpha_{\mu}^{j}) 1. Уста \mu навливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: (1 - \alpha_{\sigma}^{j}) — для \sigma и (1 - \alpha_{\mu}^{j})(1 - \alpha_{\sigma}^{j}) = 1 - \alpha — для , причем , где j = 1, 2, 3, тогда: ; ; \alpha_{\sigma}^{j} = (\alpha - \alpha_{\mu}^{j})/(1 - \alpha_{\mu}^{j}) ; . 2. Процедура доверительного оценива \mu ния среднего значения и станда 1 - \alpha_{\mu} ртного отклонения: \mu_{L} = \overline{x} - l_{1}S 2. \mu_{M} = \overline{x} + l_{2}S 1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью : ;
(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).	\mu\prime \mu\prime = \mu_{L} 2.2. На \mu_{L} - A \leq B - \mu_{M} ихудшая точка : \mu\prime = \mu_{M} , если \mu_{L} - A>B - \mu_{M} ; , если . 1 - \alpha_{\sigma} \sigma \sigma_{M} = \sqrt{\sigma_{M}^{2}} 2.3. Интервальная оценка параметра , соответствующая доверительной вероятности : (см. формулу (4) таблицы 7.1). Примечание. Данную процедуру повторяют три раза. \sigma \mu q_{M}^{j} = 3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1): q_{M}^{1} 4. q_{M}^{2} П q_{M}^{3} осле повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , Результаты 1 - \alpha 1. Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности : {}_{q_{M} = min}{_{q_{M},q_{M},q_{M}}^{123}} . 2. Нижняя доверительная граница для p: p_{L} = 1 - q_{M}

Пример - тот же, что в 8.2, но точность станка заранее неизвестна. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного значения.

8.7. Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли q_{L} распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней p_{M} границей L приведен в таблице 8.7. Указанным в таблице 8.7 способом определяют нижнюю доверительную границу для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также верхнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.7

p_{M} q_{L}

для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

{}_{Prob}{_{p \leq p_{M}}}_{\geq 1 - \alpha} {}_{Prob}{_{q \geq q_{L}}}_{\geq 1 - \alpha}
Необходимые условия: ,	Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления 1. Объем выборки: n = \sum x = 2. Сумма значений наблюдаемых величин: \sum x^{2} = 3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 4. Степени свободы: v = n — 1 = 1 - \alpha = 5. Выбранная доверительная вероятность: 6. Нижняя граница одностороннего интервала:	L = (1 - \alpha_{\mu}^{j}) 1. Уста \mu навливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: (1 - \alpha_{\sigma}^{j}) — для \sigma и (1 - \alpha_{\mu}^{j})(1 - \alpha_{\sigma}^{j}) = 1 - \alpha — для , причем , где j = 1, 2, 3, тогда: ; ; \alpha_{\sigma}^{j} = (\alpha - \alpha_{\mu}^{j})/(1 - \alpha_{\mu}^{j}) ; . 2. Процедура доверительного оценива \mu ния среднего значения и станда 1 - \alpha_{\mu} ртного отклонения: \mu_{M} = \overline{x} + l_{1}S 2.1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (2) таблицы 6.2).	1 - \alpha_{\sigma} \sigma \sigma_{L} = \sqrt{\sigma_{L}^{2}} 2.2. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью : (см. формулу (3) таблицы 7.1). Примечание. Данную процедуру повторяют три раза. \sigma \mu q_{L}^{j} = 3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1): q_{L}^{1} 4. q_{L}^{2} П q_{L}^{3} осле повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , Результаты 1 - \alpha 1. Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности : {}_{q_{L} = max}{_{q_{L},q_{L},q_{L}}^{123}} . 2. Верхняя доверительная граница для p: p_{M} = 1 - q_{L}

Пример - Доказательство (с заданной вероятностью) того, что уровень несоответствий по данному показателю качества превышает установленное в нормативной документации предельное значение. Случай предъявления рекламаций на серийную или массовую продукцию по определенному показателю качества.

8.8. Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли q_{L} распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней p_{M} границей M приведен в таблице 8.8. Указанным в таблице 8.8 способом определяют нижнюю доверительную границу для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей M, а также верхнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.8

p_{M} q_{L}

для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей M (дисперсия неизвестна)

{}_{Prob}{_{p \leq p_{M}}}_{\geq 1 - \alpha} {}_{Prob}{_{q \geq q_{L}}}_{\geq 1 - \alpha}
Необходимые условия: ,	Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления 1. Объем выборки: n = \sum x = 2. Сумма значений наблюдаемых величин: \sum x^{2} = 3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 4. Степени свободы: v = n — 1 = 1 - \alpha = 5. Выбранная доверительная вероятность: 6. Верхняя граница одностороннего интервала:	M = (1 - \alpha_{\mu}^{j}) 1. Уста \mu навливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: (1 - \alpha_{\sigma}^{j}) — для \sigma и (1 - \alpha_{\mu}^{j})(1 - \alpha_{\sigma}^{j}) = 1 - \alpha — для , причем , где j = 1, 2, 3, тогда: ; ; \alpha_{\sigma}^{j} = (\alpha - \alpha_{\mu}^{j})/(1 - \alpha_{\mu}^{j}) ; . 2. Процедура доверительного оценива \mu ния среднего значения и станда 1 - \alpha_{\mu} ртного отклонения: \mu_{L} = \overline{x} - l_{1}S 2.1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (2) таблицы 6.2).	1 - \alpha_{\sigma} \sigma \sigma_{L} = \sqrt{\sigma_{L}^{2}} 2.2. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью : (см. формулу (3) таблицы 7.1). Примечание. Данную процедуру повторяют три раза. \sigma \mu q_{L}^{j} = 3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1): q_{L}^{1} 4. q_{L}^{2} П q_{L}^{3} осле повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , Результаты 1 - \alpha 1. Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности : {}_{q_{L} = max}{_{q_{L},q_{L},q_{L}}^{123}} . 2. Верхняя доверительная граница для p: p_{M} = 1 - q_{L}

.

8.9. Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли q_{L} распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, M p_{M} ] и вне его приведен в таблице 8.9. Указанным в таблице 8.9 способом определяют нижнюю доверительную границу для доли распределения вне интервала [L, M], а также верхнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в заданном интервале.

Таблица 8.9

p_{M} q_{L}

{}_{Prob}{_{p \leq p_{M}}}_{\geq 1 - \alpha} {}_{Prob}{_{q \geq q_{L}}}_{\geq 1 - \alpha}
Необходимые условия: ,	Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления 1. Объем выборки: n = \sum x = 2. Сумма значений наблюдаемых величин: \sum x^{2} = 3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: 4. Степени свободы: v = n — 1 = 1 - \alpha = 5. Выбранная доверительная вероятность: 6. Границы интервала: L =	M = (1 - \alpha_{\mu}^{j}) 1. Уста \mu навливаем соответственно три пары доверительных вероятностей: (1 - \alpha_{\sigma}^{j}) — для \sigma и (1 - \alpha_{\mu}^{j})(1 - \alpha_{\sigma}^{j}) = 1 - \alpha — для , причем , где j = 1, 2, 3, тогда: ; ; \alpha_{\sigma}^{j} = (\alpha - \alpha_{\mu}^{j})/(1 - \alpha_{\mu}^{j}) ; . 2. Процедура доверительного оценива \mu ния среднего значения и станда 1 - \alpha_{\mu} ртного отклонения: \mu_{L} = \overline{x} - l_{1}S 2. \mu_{M} = \overline{x} + l_{2}S 1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью : ;
(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).	\mu\prime \mu\prime = \mu_{M} 2.2. На \mu_{M}> \frac{A + B}{2} ихудшая точка : \mu\prime = \mu_{L} , если \mu_{L}< \frac{A + B}{2} ; (2.2.1) \mu\prime = \frac{A + B}{2} , если ; (2.2.2) , если формулы (2.2.1) и (2.2.2) не \sigma выполняются. 1 - \alpha_{\sigma} \sigma_{L} = \sqrt{\sigma_{L}^{2}} 2.3. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью : (см. формулу (3) таблицы 7.1). Примечание. Данную процедуру повторяют три раза. \sigma \mu q_{L}^{j} = 3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1): q_{L}^{1} 4. q_{L}^{2} П q_{L}^{3} осле повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , Результаты 1 - \alpha 1. Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности : {}_{q_{L} = max}{_{q_{L},q_{L},q_{L}}^{123}} . 2. Верхняя доверительная граница для p: p_{M} = 1 - q_{L}

.

(справочное)

\alpha t_{\alpha}(v)

Б.1. В таблице Б.1 приведены значен \alpha = 0,99 ия квантилей распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы.

(справочное)

\chi_{\alpha}^{2}

\alpha \chi^{2} \chi_{\alpha}^{2}(v)

В.1. В таблице В.1 пр \alpha = 0,98 иведены зн \chi_{0,98}^{2} = 19,679 ачения квантилей , т.е. квантилей распределения уровня с v степенями свободы.

В.2. Для промежуточных значений , лежащих между двумя соседними табличными значениями и :

\alpha_{1}<\alpha<\alpha_{2}

Приложение Г (справочное)

v_{2} v_{1} \alpha v_{2} v_{1} \alpha F_{\alpha}(v_{1},v_{2})

Г.1. В таблицах Г.1 — Г.9 содержатся зна \alpha чения квантилей при заданных уровнях для различных сочетаний степеней свободы и . Каждая таблица соответствует одному уровню , значение которого указано в заголовке таблицы, и различным значениям и . Г.1.1. Для определения квантилей уровня менее 0,5 следует использовать соотношение:

.

\alpha_{2} \alpha_{1} \alpha Г.1.2. Для промежуточных значений , лежащих между двумя соседними табличными значениями и :

,

F_{\alpha} значение квантиля может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):

Г.1.3. Для промежуточных значений и , лежащих между двумя соседними табличными значениями и или и , т.е.

v_{1}\prime<v_{1}<v_{1}\prime\prime\text{или }v_{2}\prime<v_{2}<v_{2}\prime\prime

F_{\alpha}(v_{2}) F_{\alpha}(v_{1}) значения квантилей , могут быть приближенно вычислены по формулам:

F_{\alpha}(v_{1}) = (v_{1} - v_{1}\prime) \frac{F_{\alpha}(v_{1}\prime\prime) - F_{\alpha}(v_{1}\prime)}{v_{1}\prime\prime - v_{1}\prime} + F_{\alpha}(v_{1}\prime)

F_{\alpha}(v_{2}) = (v_{2} - v_{2}\prime) \frac{F_{\alpha}(v_{2}\prime\prime) - F_{\alpha}(v_{2}\prime)}{v_{2}\prime\prime - v_{2}\prime} + F_{\alpha}(v_{2}\prime) .

1,0000