--- title: "\"МИ 1730-87. Методические указания. Государственная система обеспечения единства измерений. Погрешности косвенных измерений характеристик процессов. Методы расчета\"" number: "МИ 1730-87" issuer: "Государственный комитет СССР по стандартам" status: действует canonical: "https://bukva.ai/docs/ukazanie-ukazaniya-mi-1730-87" --- ## "МИ 1730-87. Методические указания. Государственная система обеспечения единства измерений. Погрешности косвенных измерений характеристик процессов. Методы расчета" # "МИ 1730-87. Методические указания. Государственная система обеспечения единства измерений. Погрешности косвенных измерений характеристик процессов. Методы расчета" (утв. ВНИИМС)
Утверждаю
Зам. директора
**Э.Э.ЗУЛЬФУГАРЗАДЕ**
1987 г. **МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ** **ГОСУДАРСТВЕННАЯ СИСТЕМА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЕДИНСТВА ИЗМЕРЕНИЙ.** **ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССОВ.** **МЕТОДЫ РАСЧЕТА** МИ 1730-87 Настоящие методические указания распространяются на нормативно-техническую документацию, регламентирующую проведение аттестации методик выполнения косвенных измерений (МВИ) математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайных стационарных эргодических процессов, и устанавливает основные положения определения характеристик погрешности измерений при условии, что параметры исследуемого процесса определяются путем обработки результатов прямых измерений мгновенных значений процессов, функционально связанных с исследуемым процессом. ### 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1.1 Определение характеристик погрешности МВИ при ее аттестации производятся с целью установления значений характеристик погрешности МВИ, либо с целью проверки нахождения характеристик погрешности МВИ в допускаемых пределах. 1.2 Вычисление результатов измерений параметров процесса Z(t) производится с использованием установленной для МВИ функциональной зависимости Z(t) = F(X1(t),... Xj(t),... Xm(t)), (1) где Z(t) - процесс, параметры которого определяются путем обработки результатов прямых измерений мгновенных значений процессов Xj(t). #### 1.3 При проведении косвенных измерений обычно используются два метода определения результата измерений: - метод, при котором значение параметра процесса Z(t) определяют по мгновенным значениям этого процесса, вычисляемым в соответствии с [(1)](#p100009) по результатам синхронных измерений мгновенных значений процессов Xj(t) - метод 1; - метод, при котором значение параметра процесса Z(t) определяют по оценкам аналогичных параметров процессов Xj(t) - метод 2. 1.4 В качестве характеристик погрешности МВИ используются следующие характеристики, регламентированные [МИ 1317-86](https://bukva.ai/docs/mi-1317-86): - наибольшее возможное значение среднего квадратичного отклонения неисключенной систематической составляющей погрешности измерений $\sigma_{\text{м}}[\Delta_{s}]$ или - границы $\pm \Delta_{sh}$ , в которых неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений находится с заданной вероятностью; - наибольшее возможное значение среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности измерений $\sigma_{\text{м}}[\Delta^{°}]$ ; - наибольшее возможное значение среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности измерений $\sigma_{\text{м}}[\Delta]$ или - границы $\pm \Delta_{h}$ , в которых погрешность измерений находится с заданной вероятностью. 1.5 Оценивание характеристик погрешности МВИ производится на основании функциональной зависимости, учитывающей влияние погрешностей $\Delta X_{j}(t)$ прямых измерений мгновенных значений процессов Xj(t) $\hat{Z}(t) = F(\hat{X}_{1}(t),...\hat{X}_{j}(t)....\hat{X}_{m}(t))$ , (2) где $\hat{X}_{j}(t) = X_{j}(t) + \Delta X_{j}(t)$ . #### 1.6 Для расчета характеристик погрешности МВИ в общем случае необходимо располагать следующими данными: - значениями характеристик погрешностей прямых измерений мгновенных значений процессов Xj(t); - значениями математических ожиданий и средних квадратических отклонений процессов Xj(t), при которых погрешность МВИ для объектов измерений определенного типа имеет максимальное значение; - значением составляющей погрешности МВИ, обусловленной влиянием взаимной корреляции процессов $\hat{X}_{j}(t)$ , при котором погрешность МВИ принимает максимальное значение. Примечания: 1. Предполагается, что для объектов измерений определенного типа, являющихся источниками процессов Xj(t), известны диапазоны возможных значений математических ожиданий и средних квадратических отклонений процессов Xj(t). 2. Проверка необходимости учета влияния взаимной корреляции процессов $\hat{X}_{j}(t)$ при расчете характеристик погрешности МВИ проводится в соответствии с [Приложением 1](#p100128). ##### 1.6.1 В качестве характеристик погрешностей прямых измерений мгновенных значений процессов Xj(t) используются: - наибольшее возможное значение среднего квадратического отклонения неисключенной систематической составляющей погрешности измерений $\sigma_{\text{м}}[\Delta_{sj}]$ или - границы $\pm \Delta_{shj}$ , в которых находится неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений; - наибольшее возможное значение среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности измерений $\sigma_{\text{м}}[\Delta_{j}^{°}]$ . 1.7 Расчет характеристик неисключенной систематической составляющей погрешности МВИ производится исходя из предположения о равновероятном распределении неисключенных систематических составляющих погрешностей измерений мгновенных значений процессов Xj(t) в пределах границ $\pm \Delta_{shj}$ . 1.8 Метод расчета интервальных характеристик погрешности МВИ, рекомендуемый МИ, может применяться если имеется основание считать, что законы распределения мгновенных значений процессов $\hat{X}_{j}(t)$ являются симметричными, одномодельными и усеченными. 1.9 При наличии тренда процесса Z(t) оценивание характеристик тренда и проверка необходимости учета тренда при определении характеристик погрешности измерений производится в соответствии с [Приложением 2](#p100166). 1.10 Необходимым условием правильности оцениваемых в соответствии с МИ характеристик погрешности МВИ является выбор интервала дискретизации процессов Xj(t) большим или равным интервалу корреляции процесса $\hat{Z}(t)$ . Методика экспериментального определения интервала дискретизации процессов Xj(t) приведена в [Приложении 3](#p100194). 1.11 По виду функциональной [зависимости (1)](#p100009) МИ разграничивают косвенные измерения на линейные и нелинейные. Учет составляющей погрешности, обусловленной нелинейностью [зависимости (1)](#p100009), производится в случае существенности этой составляющей по сравнению с результирующей других составляющих погрешности, либо по сравнению с нормой, заданной на погрешность МВИ. 1.12 По наличию взаимной корреляции между процессами $\hat{X}_{j}(t)$ МИ разграничивают косвенные измерения на коррелированные и некоррелированные. Учет влияния корреляции производится в случае существенности корреляционной погрешности по сравнению с результирующей других составляющих погрешности измерений, либо по сравнению с заданной нормой на погрешность МВИ. 1.13 При аттестации МВИ допускается применение других методов расчета характеристик погрешности МВИ при условии, что эти методы позволяют оценить характеристики погрешности с требуемой достоверностью. ### 2. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ПРОЦЕССА ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ 2.1 Процесс Z(t) связан с процессами Xj(t), мгновенные значения которых определяются прямыми измерениями, линейной зависимостью $Z(t) = \sum_{j = 1}^{m} B_{j}X_{j}(t)$ , (3) где Bj - постоянные коэффициенты. 2.2 Характеристики погрешности измерений для обоих методов определения результата измерений [(п. 1.3)](#p100011) имеют одинаковые значения и вычисляются по одним и тем же формулам независимо от степени взаимной корреляции процессов $\hat{X}_{j}(t) = X_{j}(t) + \Delta X_{j}(t)$ . 2.3 Расчет наибольшего возможного значения среднего квадратического отклонения неисключенной систематической составляющей погрешности измерений производится по формуле $\sigma_{\text{м}}[\Delta_{s}] = \sqrt{\sum_{1} m \frac{B_{j}^{2}\Delta_{shj}^{2}}{3}}$ . (4) 2.3.1 Расчет границ, в которых неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений находится с вероятностью P, производится по формуле $\Delta_{sh} = \sum_{1}^{L} B_{j}\Delta_{shj} - 2 \sqrt[L]{\frac{L!}{2} (1 - P) \prod_{1}^{L} B_{j}\Delta_{shj}}$ (5) При вычислении $\Delta_{sh}$ необходимо учитывать лишь L <= m наибольших по значению составляющих $(B_{1}\Delta_{sh1} \geq B_{2}\Delta_{sh2} \geq ...B_{L}\Delta_{shL})$ . Число L составляющих $B_{j}\Delta_{shj}$ , учитываемых в [(5)](#p100048), определяется исходя из выполнения неравенства $\sum_{L + 1}^{m} B_{j}\Delta_{shj} \leq 0,1 \sum_{1}^{m} B_{j}\Delta_{shj}$ (6) Примечание. При L <= 8 относительная погрешность оценивания $\Delta_{sh}$ по [п. 2.3.1](#p100047) для любых соотношений между $\Delta_{shj}$ не превышает 5% при P = 0,9 + 0,99 и 10% при P > 0,99. 2.4 Расчет наибольшего возможного значения среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности измерений производится по формуле
$\sigma_{\text{м}}[\Delta^{°}] = \frac{\sqrt{\sum_{1}^{m} B_{j}^{2}(\sigma_{\text{м}}^{2}[X_{j}] + \sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{j}^{°}])} + \Delta_{\sigma\text{к}}}{\sqrt{n}}$ (7)
где $\sigma_{\text{м}}[X_{j}]$ - наибольшие возможные для объектов измерений определенного типа значения средних квадратических отклонений процессов Xj(t); $\sigma_{\text{м}}[\Delta_{j}^{°}]$ - наибольшие возможные значения средних квадратических отклонений случайных составляющих погрешностей измерений мгновенных значений процессов Xj(t); $\Delta_{\sigma\text{к}}$ - значение составляющей среднего квадратического отклонения погрешности измерений, обусловленной взаимной корреляцией процессов $\hat{X}_{j}(t)$ ; n - объем выборки, используемой для оценивания математического ожидания процесса Z(t). Примечание. Оценивание составляющей погрешности $\Delta_{\sigma\text{к}}$ и проверка необходимости ее учета производится в соответствии с [Приложением 1](#p100128), либо с помощью других методов, позволяющих сделать вывод о необходимости учета корреляции погрешности, и в случае необходимости оценить ее значение. 2.5 Расчет наибольшего возможного значения среднего квадратического отклонения погрешности измерений производится по формуле $\sigma_{\text{м}}[\Delta] = \sqrt{\sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{s}] + \sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta^{°}]}$ . (8) #### 2.6 Расчет границ, в которых погрешность измерений находится с вероятностью P, производится по формуле $\Delta_{h} = K \cdot \sigma_{\text{м}}[\Delta^{°}] + \frac{\Delta_{sh}}{\sigma_{\text{м}}[\Delta_{s}]} (\sigma_{\text{м}}[\Delta] - \sigma_{\text{м}}[\Delta^{°}])$ , (9) где K - квантиль нормированной интегральной функции нормального распределения, соответствующий вероятности P (K = 1,96 при P = 0,95, K = 2,58 при P = 0,99). ### 3. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ ПРОЦЕССА ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ 3.1 Вычисление результата измерений среднего квадратического отклонения процесса Z(t) производится по приближенной формуле - при использовании метода 1 [(п. 1.3)](#p100011)
$\tilde{\sigma}[Z] \approx \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (Z_{i} - \tilde{M}[\hat{Z}])^{2}}{n - 1}} ,$ (10) где $Z_{i} = \sum_{1}^{m} B_{j}\hat{X}_{j}(t_{i})$ - оценка мгновенного значения процесса Z(t) в момент времени ti;
$\tilde{M}[\hat{Z}] = \frac{1}{n} \sum_{1}^{n} Z_{i}$ - оценка математического ожидания процесса Z(t)
- при использования метода 2
$\tilde{\sigma}[Z] \approx \sqrt{\sum_{1}^{m} B_{j}^{2}\tilde{\sigma}^{2}[\hat{X}_{j}]}$ (11)
где $\tilde{\sigma}[\hat{X}_{j}] = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (\hat{X}_{ji} - \tilde{M}[\hat{X}_{j}])^{2}}{n - 1}}$ - оценка среднего квадратического отклонения процесса Xj(t). 3.1.1 Результаты измерений, вычисляемые по [п. 3.1](#p100065), содержат систематическую погрешность $\Delta_{\sigma s}$ , обусловленную пренебрежением случайной составляющей погрешности измерений мгновенных значений процессов Xj(t) и влиянием взаимной корреляции процессов $\hat{X}_{j}(t)$ . Расчет систематической составляющей погрешности результата измерений производится по формуле:
- для метода 1
$\Delta_{\sigma s} = \frac{\sum_{1}^{m} B_{j}^{2}\sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{j}^{°}]}{4 \sqrt{\sum_{1}^{m} B_{j}^{2}\sigma_{\text{н}}^{2}[X_{j}]}} + \frac{\Delta_{\sigma\text{к}1}}{2}$ , (12) где $\Delta_{\sigma\text{к}1} = \frac{\sum_{j $\sigma_{\text{н}}[X_{j}]$ - наименьшее возможное для объектов измерений определенного типа значение среднего квадратического отклонения процессов Xj(t); rjl - коэффициент корреляции процессов $\Delta X_{j}(t)$ , $\Delta X_{l}(t)$ . *- для метода 2* *$\Delta_{\sigma s} = \frac{\sum_{1}^{m} B_{j}^{2}\sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{j}^{°}]}{4 \sqrt{\sum_{1}^{m} B_{j}^{2}\sigma_{\text{н}}^{2}[X_{j}]}} + \frac{\Delta_{\sigma\text{к}2}}{2}$ , (13)* *где $\Delta_{\sigma\text{к}2} = \frac{\sum_{j Rjl - коэффициент корреляции процессов Xj(t), Xl(t). Примечание. Учет систематической погрешности $\Delta_{\sigma s}$ в виде поправки в результатах измерений целесообразно производить в том случае, если значение $\Delta_{\sigma s}$ существенно по сравнению с граничным значением случайной составляющей погрешности измерений при используемом объеме выборки n. 3.2 Расчет наибольшего возможного значения среднего квадратического отклонения неисключенной систематической составляющей погрешности измерений производится по формуле
$\sigma_{\text{м}}[\Delta_{\sigma s}] = \frac{\Delta_{\sigma s}}{\sqrt{3}}$ . (14)
3.3 Расчет наибольшего возможного значения среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности измерений производится по формуле: - для метода 1 $\sigma_{\text{м}}[\Delta_{\sigma}^{°}] = \frac{\sqrt{\sum_{1}^{m} B_{j}^{2}(\sigma_{\text{м}}^{2}[X_{j}] + \sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{j}^{°}]} + \Delta_{\sigma\text{к}}}{\sqrt{2(n - 1)}}$ (15) *- для метода 2* *$\sigma_{\text{м}}[\Delta_{\sigma}^{°}] = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{m} B_{j}^{4}(\sigma_{\text{м}}^{2}[X_{j}] + \sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{j}^{°}])^{2}}{2(n - 1) \sum_{1}^{m} B_{j}^{2}(\sigma_{\text{м}}^{2}[X_{j}] + \sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{j}^{°}]}}$ (16)* Примечание. Оценивание корреляционной погрешности и проверка необходимости ее учета производится в соответствии с [Приложением 1](#p100128), либо с помощью других методов, позволяющих сделать вывод о необходимости учета корреляционной погрешности и в случае необходимости оценить ее значение. *3.4 Расчет наибольшего возможного значения среднего квадратического отклонения погрешности измерений производится по формуле* *$\sigma_{\text{м}}[\Delta_{\sigma}] = \sqrt{\sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{\sigma s}] + \sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{\sigma}^{°}]}$ (17)* #### 3.5 Расчет границ, в которых погрешность измерений находится с вероятностью P, производится по формуле *$\Delta_{h\sigma} = \pm K\sigma_{\text{м}}[\Delta_{\sigma}]$ , (18)* *где K - коэффициент, определяемый в соответствии с [МИ 1317-86](https://bukva.ai/docs/mi-1317-86).* ### 4. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ПРОЦЕССА ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ *4.1 При расчете характеристик погрешности косвенных измерений с нелинейной функциональной зависимостью применяется метод линеаризации (использование в разложении нелинейной функциональной зависимости в ряд Тейлора только членов первого порядка) с оцениванием и учетом в случае необходимости составляющей погрешности, связанной с пренебрежением членов разложения более высокого порядка.* *4.2 В случае несущественности составляющей погрешности, обусловленной пренебрежением нелинейных членов разложения, по сравнению с результирующей других составляющих погрешности, либо с заданной нормой на погрешность МВИ, характеристики погрешности измерений математического ожидания процесса вычисляются в соответствии с формулами [раздела 2](#p100040), в которых вместо коэффициентов Bj используются первые производные нелинейной функциональной зависимости по соответствующим аргументам Xj* *4.3 Расчет наибольшего возможного значения составляющей систематической погрешности, обусловленной использованием при расчете характеристик погрешности измерений метода линеаризации производится по формуле:* *- для метода 1* *$\Delta_{\text{н}} = \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{m} (\frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}})_{h}(\sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{sj}] + \sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{j}^{°}]) + \Delta_{\text{мк}1}$ , (19)* *где $\Delta_{\text{мк}1} = \sum_{l>j} (\frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}\partial X_{l}})_{h}r_{jl}\sigma_{\text{м}}[\Delta_{j}^{°}]\sigma_{\text{м}}[\Delta_{l}^{°}]$ - составляющая погрешности, обусловленная взаимной корреляцией процессов $\Delta X_{j}(t)$ , $\Delta X_{l}(t)$ ;* *rjl - коэффициент взаимной корреляции между погрешностями измерений мгновенных значений процессов Xj(t) и Xl(t);* *- для метода 2* *$\Delta_{\text{н}} = \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{m} (\frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}})_{h}(\sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{sj}] + \sigma_{\text{м}}^{2}[X_{j}]) + \Delta_{\text{мк}2}$ , (20)* *где $\Delta_{\text{мк}2} = - \sum_{l>j} (\frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}\partial X_{l}})_{h}R_{jl}\sigma_{\text{м}}[X_{j}]\sigma_{\text{м}}[X_{l}]$ - составляющая погрешности, обусловленная взаимной корреляцией процессов Xj(t), Xl(t).* *Индекс h в [(19)](#p100102), [(20)](#p100106) показывает, что в выражениях для частных производных в качестве аргументов Xj используются те значения математических ожиданий процессов Xj(t) в диапазоне их возможных значений, при которых значение систематической составляющей погрешности измерений принимает наибольшее значение.* *4.3 Относительная погрешность оценивания $\Delta_{\text{н}}$ при симметричных законах распределения мгновенных значений процессов Xj(t) и погрешностей их измерений определяется по формуле:* *- для метода 1* *$\varphi = \frac{\sum_{1}^{m} \frac{\partial^{4}f}{\partial X_{j}^{4}} {}_{h}\sigma_{\text{м}}^{4}[\Delta_{j}^{°}]}{4 \sum_{1}^{m} \frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}^{2}} {}_{h}\sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{j}^{°}]} ()$ ; (21)* *- для метода 2* *$\varphi = \frac{\sum_{1}^{m} \frac{\partial^{4}f}{\partial X_{j}^{4}} {}_{h}\sigma_{\text{м}}^{4}[X_{j}]}{4 \sum_{1}^{m} \frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}^{2}} {}_{h}\sigma_{\text{м}}^{2}[X_{j}]} ()$ . (22)* *Примечание. Условием допускающим применение метода линеаризации при оценивании характеристик погрешностей измерений является $\varphi \leq 0,2$ .* *4.4 В тех случаях, когда составляющая систематической погрешности $\Delta_{\text{н}}$ существенна по сравнению с другими характеристиками погрешности измерений или по сравнению с заданной нормой на погрешность измерений, в результат измерений математического ожидания процесса X(t) вводится поправка $\lambda = - \Delta_{\text{н}}/2$ . При этом в качестве дополнительной составляющей среднего квадратического отклонения неисключенной систематической составляющей погрешности используется $\sigma_{\text{д}}[\Delta_{s}] = \Delta_{\text{н}}/ \sqrt{12}$ .* ### 5. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ ПРОЦЕССА ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ *5.1 При расчете характеристик погрешности измерений среднего квадратического отклонения процесса при нелинейной функциональной зависимости применяется метод линеаризации с оцениванием и учетом в случае необходимости составляющей погрешности, обусловленной пренебрежением членов разложения более высокого порядка.* *5.2 В случае несущественности составляющей погрешности, обусловленной линеаризацией нелинейной зависимости, по сравнению с другими составляющими погрешности, либо с заданной нормой на погрешность МВИ характеристики погрешности измерений среднего квадратического отклонения процесса вычисляются в соответствии с формулами [раздела 3](#p100064), в которых вместо коэффициентов Bj используются первые производные нелинейной функциональной зависимости по соответствующим аргументам Xj.* *5.3 Расчет наибольшего возможного значения составляющей систематической погрешности измерений, обусловленной использованием метода линеаризации производится по формуле:* *- для метода 1* *$\Delta_{\sigma\text{н}} = \frac{\sum_{j = 1}^{m} (\frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}^{2}})_{h}^{2}\sigma_{\text{м}}^{4}[\Delta_{j}^{°}]}{4 \sqrt{\sum_{j = 1}^{m} (\frac{\partial f}{\partial X_{j}})_{h}^{2}\sigma_{\text{н}}^{2}[X_{j}]}}$ ; (23)* *- для метода 2* *$\Delta_{\sigma\text{н}} = - \frac{\sum_{j = 1}^{m} (\frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}^{2}})_{h}^{2}\sigma_{\text{м}}^{4}[X_{j}]}{4 \sqrt{\sum_{j = 1}^{m} (\frac{\partial f}{\partial X_{j}})_{h}^{2}\sigma_{\text{н}}^{2}[X_{j}]}}$ (24)* *5.4 В тех случаях, когда $\Delta_{\sigma\text{н}}$ существенна по сравнению с результирующей других составляющих погрешности, или по сравнению с заданной нормой на погрешность измерений, в результат измерений вводится поправка $\lambda = - \Delta_{\sigma\text{н}}/2$ . При этом в качестве дополнительной составляющей среднего квадратического отклонения неисключенной погрешности измерений используется $\sigma_{\text{д}}[\Delta_{s}] = \Delta_{\sigma\text{н}}/ \sqrt{12}$ .* *Нач. отдела 13 ВНИИМС* *В.П.КУЗНЕЦОВ* *Рук. темы*
**В.А.КУЛИКОВ**
*Приложение 1* *Справочное*
**ПРОВЕРКА НЕОБХОДИМОСТИ УЧЕТА ВЛИЯНИЯ КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ РАСЧЕТЕ**
*ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА* *Проверка необходимости учета влияния корреляции при расчете характеристик погрешности измерений параметров процесса проводится в тех случаях, когда есть основания полагать, что имеется взаимная корреляция между процессами $\hat{X}_{j}(t)$ функциональной [зависимости (2)](#p100021). В общем случае такая проверка проводится в два этапа: ориентированный расчет корреляционной погрешности и, в случае необходимости, экспериментальное определение корреляционной погрешности. Необходимость проведения экспериментального определения корреляционной погрешности устанавливается в зависимости от результата ориентировочного расчета.* *При ориентировочном расчете корреляционной погрешности предполагается, что каждый коэффициент взаимной корреляции коррелированных процессов $\hat{X}_{j}(t)$ , $\hat{X}_{l}(t)$ при l > j может с равной вероятностью иметь значение в диапазоне +/- 1. Экспериментальное определение корреляционной погрешности проводится в том случае, если характеристики МВИ, вычисленные с учетом ориентировочного значения корреляционной погрешности, существенно отличаются от характеристик погрешности МВИ, вычисленных без учета влияния взаимной корреляции, либо превышают заданные нормы на характеристики погрешности измерений.* *Экспериментальное определение корреляционной погрешности производится по результатам экспериментального исследования N объектов измерений определенного типа. Количество N исследуемых объектов измерений устанавливается в каждом конкретном случае в зависимости от степени существенности корреляционной составляющей погрешности измерений, а также от степени разброса оценок корреляционной погрешности при экспериментальном исследовании объектов измерений определенного типа.* *Ориентировочный расчет составляющей погрешности $\Delta_{\sigma\text{к}}$ , отражающей в [(7)](#p100053), [(15)](#p100088) влияние взаимной корреляции процессов $\hat{X}_{j}(t)$ , производится по формуле* *![формула](https://i.bukva.ai/d6iqSivx/img_0.png) . (1.1)* *Ориентировочный расчет составляющих $\Delta_{\sigma\text{к}1}$ , $\Delta_{\sigma\text{к}2}$ , отражающих в [(12)](#p100075), [(13)](#p100080) влияние взаимной корреляции соответствующих процессов, производится по формулам:* *![формула](https://i.bukva.ai/d6iqSivx/img_1.png) (1.2)* *![формула](https://i.bukva.ai/d6iqSivx/img_2.png) . (1.3)* *Ориентировочный расчет составляющих $\Delta_{\text{мк}1}$ , $\Delta_{\text{мк}2}$ , отражающих в [(19)](#p100102), [(20)](#p100106) влияние взаимной корреляции соответствующих процессов, производится по формулам:* *$\Delta_{\text{мк}1} \approx \sqrt{\frac{4}{3} \sum_{l>j} (\frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}\partial X_{l}})_{h}^{2}\sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{j}^{°}]\sigma_{\text{м}}^{2}[\Delta_{l}^{°}]}$ , (1.4)* *$\Delta_{\text{мк}2} \approx \sqrt{\frac{4}{3} \sum_{l>j} (\frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}\partial X_{l}})_{h}^{2}\sigma_{\text{м}}^{2}[X_{j}]\sigma_{\text{м}}^{2}[X_{l}]}$ (1.5)* *В приведенных формулах учитываются характеристики только тех процессов Xj(t) и тех погрешностей прямых измерений, между которыми предполагается наличие взаимной корреляции.* *В том случае, когда заданы нормы на характеристики погрешности МВИ, экспериментальное определение корреляционной погрешности производится в том случае, если учет ориентировочного значения корреляционной погрешности приводит к существенному увеличению расчетных значений характеристик погрешности МВИ и превышению ими заданных норм. В том случае, когда нормы на характеристики погрешности МВИ не заданны и установление значений характеристик погрешности, приписываемых МВИ, производится с использованием результатов метрологической аттестации экспериментальное определение корреляционной погрешности производится в том случае, если характеристики погрешности МВИ, вычисленные с учетом и без учета ориентировочного значения корреляционной погрешности отличаются друг от друга более чем на $15 \div 20\%$ .* *Экспериментальное определение корреляционной погрешности для конкретного объекта измерений основано на получении для одной и той же реализации случайного процесса Z(t) двух оценок среднего квадратического отклонения мгновенных значений процесса. Одна из оценок определяется с использованием оценочной функции* *$\sigma_{1}[Z(t)] = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (Z_{i} - \tilde{M}_{Z})^{2}}{n - 1}}$ (1.6)* *где $\tilde{M}_{Z} = \frac{1}{n} \sum_{1}^{n} Z_{i}$ .* *Вторая оценка определяется по формуле* *$\sigma_{2}[Z(t)] = \sqrt{\sum_{1}^{m} (\frac{\partial f}{\partial X_{j}})^{2}\tilde{\sigma}^{2}[X_{j}(t)]}$ . (1.7)* *Полученная разность* *$\tilde{\Delta}_{\sigma\text{к}} = \sigma_{2}[Z(t)] - \sigma_{1}[Z(t)]$ (1.8)* *сравнивается с расчетной интервальной оценкой для $\Delta_{\sigma\text{к}}$ , полученной для случая отсутствия корреляции между процессами $\hat{X}_{j}(t)$* *$\Delta_{\sigma r} = K_{c} \frac{\sum_{l>j} (\frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}\partial X_{l}})_{h}\tilde{\sigma}[\hat{X}_{j}]\tilde{\sigma}[X_{l}]}{\sqrt{n} \tilde{\sigma}[\hat{Z}(t)]}$ (1.9)* *где Kc - коэффициент Стьюдента, соответствующий вероятности P = 0,95 и объему выборки n.* *В том случае, когда экспериментально полученное значение $\tilde{\Delta}_{\sigma\text{к}}$ не выходит за границы интервала $\pm \Delta_{\sigma r}$ , при расчете характеристик погрешности измерений влиянием взаимной корреляции можно пренебречь. В противном случае влиянием корреляции можно пренебречь, лишь в том случае, если учет ее интервальной оценки $\Delta_{\sigma\text{к}} = \tilde{\Delta}_{\sigma\text{к}} \pm \Delta_{\sigma r}$ не приводит к существенному изменению характеристик погрешности МВИ.* *Экспериментальное определение корреляционной погрешности $\Delta_{\text{мк}} \approx \Delta_{\text{мк}1} \approx \Delta_{\text{мк}2}$ для конкретного образца объекта измерений основано на получении для одной и той же реализации случайного процесса Z(t) двух оценок $\tilde{M}_{1}[\hat{Z}(t)]$ , $M_{2}[\hat{Z}(t)]$ математического ожидания процесса Z(t). Одна из оценок определяется с использованием оценочной функции* *$\tilde{M}_{1}[\hat{Z}(t)] = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \hat{Z}(t_{i})$ , (1.10)* *а вторая с использованием оценочной функции* *$\tilde{M}_{2}[\hat{Z}(t)] = F(\tilde{M}[\hat{X}_{1}(t)],...\tilde{M}[\hat{X}_{j}(t)],...\tilde{M}[\hat{X}_{m}(t)])$ . (1.11)* *Полученная разность* *$\tilde{\Delta}_{\text{мк}} = \tilde{M}_{2}[Z(t)] - \tilde{M}_{1}[Z(t)]$ (1.12)* *сравнивается с расчетной интервальной оценкой, полученной без учета влияния корреляции между процессами Xj(t),* *$\Delta_{\text{мкр}} = \tilde{M}[\tilde{\Delta}_{\text{мк}}] \pm K_{c}\tilde{\sigma}[\tilde{\Delta}_{\text{мк}}]$ , (1.13)* *где $\tilde{M}[\tilde{\Delta}_{\text{мк}}] = \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{m} (\frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}^{2}})_{h}\tilde{\sigma}^{2}[\hat{X}_{j}]$ ,* *$\tilde{\sigma}[\tilde{\Delta}_{\text{мк}}] = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{l>j} (\frac{\partial^{2}f}{\partial X_{j}\partial X_{l}})_{h}^{2}\tilde{\sigma}^{2}[\hat{X}_{j}]\tilde{\sigma}^{2}[X_{l}]}$* *В том случае, когда экспериментально полученное значение $\Delta_{\text{мк}}$ не выходит за границы интервала $\Delta_{\text{мкр}}$ , при расчете характеристик погрешности измерений влиянием взаимной корреляции можно пренебречь. В противном случае влиянием корреляции можно пренебречь, если учет ее интервальной оценки приводит к существенному изменению характеристик погрешности МВИ.* *Определение наибольшей возможной корреляционной погрешности для объектов измерений определенного типа производится по результатам экспериментального исследования нескольких объектов измерений. Количество исследуемых объектов измерений должно устанавливаться в каждом конкретном случае в зависимости от степени существенности корреляционной погрешности, а также от степени разброса оценок корреляционной погрешности у объектов измерений одного и того же типа.* *Приложение 2* *Справочное* *ПРОВЕРКА ОТСУТСТВИЯ ТРЕНДА НА ИНТЕРВАЛЕ ИЗМЕРЕНИЯ* *При проверке отсутствия тренда процесса Z(t) и оценивании характеристик тренда принимается следующая модель процесса* *Z(t) = Z1(t) + B·t, (2.1)* *где Z1(t) - стационарный процесс, обладающий эргодическим свойством;* *B - крутизна тренда, аппроксимируемого линейной функцией.* *Проверка отсутствия тренда процесса Z(t) на интервале измерения $T = \Delta T(n - 1)$ производится по n результатам измерений мгновенных значений Zi, используемых для оценивания параметров M[Z(t)], $\sigma[Z(t)]$ процесса Z(t).* *Процедура обработки результатов измерений Zi с целью проверки отсутствия тренда заключается в следующем:* *- измерительный интервал T делится на два равных участка и на каждом участке оцениваются средние значения процесса по формулам:* *$\tilde{M}_{Z1} = \frac{2}{n - 1} \frac{n + 1}{\sum^{2} 1} Z_{i},\tilde{M}_{Z2} = \frac{2}{n - 1} \frac{\sum^{n} n + 1}{2} Z_{i}$ , (2.2)* *в которых предполагается нечетное значение n;* *- вычисляется разность* *$\Delta_{Z} = \tilde{M}_{Z2} - \tilde{M}_{Z1}$ ; (2.3)* *- оценивается крутизна тренда* *$B = \frac{2\Delta_{Z}}{T}$ (2.4)* *- оценивается среднее квадратическое отклонение процесса Z(t) на участке T* *$\tilde{\sigma}[Z(t)] = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (Z_{i} - \tilde{M}_{Z})^{2}}{n - 1}} ,$ (2.5)* *где $\tilde{M}_{Z} = \frac{1}{n} \sum_{1}^{n} Z_{i}$ ;* *- оценивается среднее квадратическое отклонение оценки крутизны тренда* *$\tilde{\sigma}[\tilde{B}] = \frac{4\tilde{\sigma}[Z_{1}(t)] \sqrt{n - 1}}{T(n + 1)}$ , (2.6)* *где в качестве среднего квадратического отклонения процесса Z1(t) [модели (2.1)](#p100168) принимается* *$\tilde{\sigma}[Z_{1}(t)] = \sqrt{\tilde{\sigma}^{2}[Z(t)] - \frac{\Delta_{Z}^{2}}{3}}$ ; (2.7)* *- определяется интервальная оценка для крутизны линейной аппроксимации тренда* *$\tilde{B}_{\text{в}(\text{н})} = \tilde{B} \pm K_{c}\tilde{\sigma}[Z_{1}(t)]$ , (2.8)* *где Kc - коэффициент Стьюдента, соответствующий вероятности P = 0,95 и числу степеней свободы к = (n - 2).* *В том случае, если в пределах интервальной [оценки (2.8)](#p100188) находится значение B = 0, то при оценивании параметров M[Z(t)], $\sigma[Z(t)]$ принимается, что тренд отсутствует. В том случае, когда интервальная [оценка (2.8)](#p100188) не накрывает значение B = 0, в качестве оценки параметров $\sigma[Z(t)]$ используется оценка $\sigma[Z_{1}(t)]$ , а в качестве оценки параметра M[Z(t)] используется* *$\tilde{M}[Z(t)] = \tilde{M}_{Z} - \Delta_{Z}$ (2.9)* *В этом случае процесс Z(t) дополнительно должен характеризоваться крутизной тренда с указанием интервальной оценки погрешности ее определения. Если погрешность оценивания крутизны тренда не удовлетворяет требованиям к погрешности измерений параметров процесса Z(t), то оценивание крутизны тренда производится на интервале T1 > T, выбираемом исходя из требуемой точности оценивания крутизны тренда.* *Приложение 3* *Справочное* *ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛА КОРРЕЛЯЦИИ ПРОЦЕССА* *Для определения интервала корреляции процесса Z(t) вычисляются значения нормализованной автокорреляционной функции ( ) при $\tau = m\Delta T$ (где m = 1, 2, ... l)* *$R_{Z}(m \cdot \Delta T) = \frac{n \sum_{1}^{n - m} (Z_{i} - \tilde{M}[Z_{i}])(Z_{i + m} - \tilde{M}[Z_{i}])}{(n - m) \sum_{1}^{n} (Z_{i} - \tilde{M}[Z_{i}])^{2}}$ , (3.1)* где $\Delta T$ - интервал дискретизации процесса Z(t); n - количество результатов измерений мгновенных значений процесса Z(t). В качестве оценки интервала корреляции принимается значение $\tau_{\text{к}}$ начиная с которого выполняется соотношение $|R_{Z}(\tau)| \leq 0,1$ при $\tau>\tau_{\text{к}}$ . Длительность исследуемой реализации случайного процесса Z(t) выбирается из условия $T = \Delta T(n - 1) \geq 50\tau_{\text{к}}$ . Длительность интервала дискретизации процесса Z(t), выбирается из условия $\Delta T \leq 0,5\tau_{\text{к}}$ . Количество оцениваемых значений функции $R_{Z}(\tau)$ выбирается в зависимости от характера изменения функции (обычно l ~= 10). ---