ГОСТ 32298-2013 (EN 12603:2002). Межгосударственный стандарт. Стекло и изделия из него. Порядок определения критерия согласия и доверительных интервалов по распределению Вейбулла для значений прочности стекла
(введен в действие Приказом Росстандарта от 08.11.2013 № 1508-ст)
Примечание
Документ введен в действие с 01.01.2015.
Введен в действие Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 8 ноября 2013 г. № 1508-ст
ПОРЯДОК ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЯ СОГЛАСИЯ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕЙБУЛЛА ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ ПРОЧНОСТИ СТЕКЛА
Glass and glass products. Procedures for goodness of fit and confidence intervals for Weibull distributed glass strength data
ГОСТ 32298-2013 (EN 12603:2002)
Дата введения 1 января 2015 года
Предисловие
Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандартизации установлены ГОСТ 1.0-92 «Межгосударственная система стандартизации. Основные положения» и ГОСТ 1.2-2009 «Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Порядок разработки, принятия, применения, обновления и отмены»
Сведения о стандарте
1 ПОДГОТОВЛЕН Открытым акционерным обществом «Институт стекла» на основе собственного аутентичного перевода на русский язык стандарта, указанного в пункте 5
2 ВНЕСЕН Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии
3 ПРИНЯТ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол от 28 августа 2013 г. № 58-П)
4 Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 08 ноября 2013 № 1508-ст межгосударственный стандарт ГОСТ 32298-2013 введен в действие в качестве национального стандарта Российской Федерации с 1 января 2015 г.
5 Настоящий стандарт модифицирован по отношению к европейскому стандарту EN 12603:2002 Glass in building — Procedures for goodness of fit and confidence intervals for Weibull distributed glass strength data (Стекло в строительстве. Порядок определения критерия согласия и доверительных интервалов по распределению Вейбулла для значений прочности стекла) путем изменения и дополнения отдельных фраз, слов, которые выделены полужирным курсивом, а также изменения разделов «Область применения» и «Нормативные ссылки».
Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования европейского стандарта в связи с особенностями построения межгосударственной системы стандартизации.
Европейский стандарт разработан Европейским комитетом по стандартизации (CEN) ТК 129 «Стекло в строительстве».
Европейский стандарт, на основе которого подготовлен настоящий стандарт, реализует существенные требования безопасности Директивы EC (89/106/EEC) по строительным материалам.
Перевод с английского языка (en).
Степень соответствия — модифицированная (MOD).
Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном информационном указателе «Национальные стандарты», а текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет
1 Область применения
Настоящий стандарт устанавливает методику оценки данных выборки посредством двухпараметрической функции распределения Вейбулла.
Настоящий стандарт основывается на предположении, что статистическое распределение величины, принимаемое в рассмотрение, может быть представлено единственной функцией распределения Вейбулла, даже если в некоторых случаях (например, измерение срока службы) часто наблюдается смешанное распределение. По этой причине пользователю стандарта необходимо проверить тест на критерий согласия: могут ли данные измерений по выборке быть представлены с помощью единственной функции Вейбулла. Только в этом случае может быть принята гипотеза и применен метод, описанный в данном стандарте.
Пользователь принимает решение по этому вопросу, также рассматривая все предыдущие значимые данные и общий уровень знаний в конкретной области. Каждая экстраполяция в диапазонах квантилей, не согласованная с измеренными значениями, требует особой тщательности, настолько большей, насколько дальнейшая экстраполяция превышает диапазон измерений.
Примечание - Трехпараметрическую функцию Вейбулла определяют по формуле:
G(x) = 1 - exp[- (\frac{x - x_{0}}{\theta})^{\beta}]. (1)
Если предположить x0 = 0, получится двухпараметрическая функция Вейбулла:
G(x) = 1 - exp[- (\frac{x}{\theta})^{\beta}], (2)
которая может быть переписана в виде
x = \theta[ln(\frac{1}{1 - G(x)})]^{\frac{1}{\beta}} . (3)
Расчеты могут основываться на любой нецензурированной или цензурированной выборках. Существует несколько способов цензурирования. В настоящем стандарте рассматривается только следующий способ цензурирования:
2 Нормативные ссылки
В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на [1] и [2].
Примечание - При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю «Национальные стандарты», составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный стандарт заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться заменяющим (измененным) стандартом. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.
3 Термины и определения
В настоящем стандарте применяются термины и определения, установленные в [1].
4 Обозначения
В настоящем стандарте применены следующие обозначения:
x, xi, xr — значения величины X;
G(x) — функция распределения X = процент неблагоприятного исхода;
x0, \beta , \theta — параметры трехпараметрической функции Вейбулла;
- опознавательный знак, указывающий на оценку параметра (например, \hat{\beta} , \hat{\theta} , \hat{G} );
li — значение, используемое в критерии согласия;
L — значение, используемое в критерии согласия;
r — количество образцов, значения величин xi которых были измерены;
Примечание - Выборка упорядочена, т.е. x1 <= x2 <= x3 ... <= xrr <= n;
kn, kr;n — множители, используемые в оценивании \hat{\beta} ;
cr;n — множитель, используемый в оценивании \hat{\theta} ;
s — int(0,84n) = наибольшему целому числу < 0,84n;
\eta , \xi — ордината и абсцисса на диаграмме Вейбулла;
\chi^{2} — функция распределения хи-квадрат;
y, v, \gamma — вспомогательные коэффициенты, используемые в оценивании границ доверительного интервала G(x);
A, B, C — константы, используемые при оценивании v;
H(f2) — переменная, используемая при оценивании \gamma ;
T_{n;a/2} , T_{n;1 - a/2} — коэффициенты, используемые при оценке доверительных интервалов значений \theta .
un — нижняя граница доверительного интервала;
ob — верхняя граница доверительного интервала;
z — доверительный интервал, ограниченный с двух сторон.
5 Критерий согласия
Отсортировать r значений величины x по возрастанию.
Вычислить для каждого значения от i = 1 до i = r — 1:
(4)L = \frac{i = [\sum^{r - 1} r/2] + 1 \frac{l_{i}}{[(r - 1)/2]}}{[\sum^{r2} i = /1] \frac{l_{i}}{[r/2]}} , (5)
где [r/2] — символ, используемый для обозначения наибольшего целого числа, меньшего или равного r/2.
Отвергнуть гипотезу, что данные из распределения Вейбулла на \alpha - \text{уровне} значимости, если:
L \geq F_{\alpha}(2[(r - 1)/2],2[r/2]). (6)
Значения квантиля F распределения можно найти, например, в [2].
6 Точечная оценка для параметров \beta и \theta распределения
6.1 Цензурированная выборка
\hat{\beta} = \frac{nk_{r;n}}{rlnx_{r} - \sum_{i = 1}^{r} lnx_{i}} ; (7)
\hat{\theta} = exp[lnx_{r} - C_{r;n} \frac{1}{\hat{\beta}}]. (8)
Коэффициенты kr;n и Cr;n приведены в таблицах 1 и 2.
6.2 Нецензурированная (полная) выборка
\hat{\beta} = \frac{nk_{n}}{\frac{s}{n - s} \sum_{i = s + 1}^{n} lnx_{i} - \sum_{i = 1}^{s} lnx_{i}} , (10)
\hat{\theta} = exp[\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} lnx_{i} + 0,5772 \frac{1}{\beta}]. (11)
Коэффициент kn приведен в таблице 3.
7 Оценка данных и критерии
7.1 Диаграмма Вейбулла
График вероятностей для распределения Вейбулла составляется таким образом, чтобы функция распределения двухпараметрического распределения Вейбулла была представлена прямой линией.
Ось ординат градуирована в соответствии с функцией:
\eta = ln(ln(\frac{1}{1 - G(x)})) (12)
и ось абсцисс согласно функции:
\xi = lnx\text{или }\xi = logx. (13)
Примечание - Такие формы доступны. Как правило, надо использовать диаграммы с интервалом G значений от G = 1 x 10-3 = 0,1% до G = 0,999 = 99,9%. Необходимый диапазон x-значений зависит от величины параметра формы \beta .
7.2 Графическое представление оцениваемой функции распределения
Точки оценок параметра формы \beta и параметра масштаба \theta задают прямую линию на диаграмме Вейбулла. Этот способ подходит, чтобы определить данную прямую по двум следующим точкам:
x = \hat{\theta}G(x) = 0,6321 = 63,21\%, (14)
x = \hat{\theta} \times 0,01005^{\frac{1}{\beta}} G(x) = 0,01 = 1\%. (15)
Эту прямую линию следует нанести на диаграмму.
7.3 Нанесение данных выборки на диаграмму Вейбулла
7.3.1 Однозначность
Размер цензурированной или нецензурированной выборки дает r или n значений xi величины X. Эти значения xi следует упорядочить для формирования упорядоченной выборки.
Каждое значение xi упорядоченной выборки следует сопоставить с оценкой:
\hat{G}(x_{i}) = \frac{i - 0,3}{n + 0,4} . (16)
Таким образом, точки, представляющие измеренные значения выборки, следует графически нанести на диаграмму Вейбулла.
7.3.2 Классифицированные значения
В случае очень большого объема выборки диапазон измеренных x-значений может быть разделен на интервалы, как правило, содержащие одинаковое количество значений. Долю x-значений, просуммированную в каждом рассматриваемом интервале, следует нанести на верхнюю границу этого интервала.
7.4 Оценка выборочных данных
Прямую линию, построенную согласно 7.2, и точки, которые представляют измеренные значения выборки, построенные согласно 7.3, можно сравнивать визуально.
Систематические отклонения могут быть подробно проанализированы с учетом фундаментальных технических и научных знаний и результатов ранее выполненных соответствующих исследований. Например, если распределение значений величины может быть аппроксимировано кусочно-прямыми линиями с различным наклоном, можно предположить смешанное распределение Вейбулла. Это можно принять как свидетельство того, что несколько основных механизмов определяют значения величины xi. Такое подробное рассмотрение выходит за рамки настоящего стандарта.
8 Доверительный интервал
Уравнения следующих подпунктов применимы в том случае, когда доверительные интервалы ограничены с двух сторон (индекс z). В том случае, когда доверительные интервалы ограничены только с одной стороны, \alpha/2 должна быть заменена на \alpha в следующих уравнениях.
Уровень доверия (1 - \alpha) выбирает пользователь настоящего стандарта.
8.1 Доверительный интервал для параметра формы \beta
Верхняя граница доверительного интервала для параметра формы \beta при уровне доверия (1 - \alpha) :
\beta_{ob;z} = \hat{\beta} \frac{\chi_{f_{1};1 - \alpha/2}^{2}}{f_{1}} (17)
\beta_{un;z} = \hat{\beta} \frac{\chi_{f_{1};\alpha/2}^{2}}{f_{1}} , (18)
f1 следует получить с помощью умножения данных из таблицы 4, зная размер выборки n.
Величины \chi_{f_{1};1 - \alpha/2}^{2} и \chi_{f_{1};\alpha/2}^{2} — квантиль распределения хи-квадрат с числом степеней свободы f1. Значения приведены в таблице 5.
2,5% и 97,5% квантилей для распределения \chi^{2}
8.2 Доверительный интервал для значения функции распределения G(x) при заданном значении x величины X
Границы двустороннего доверительного интервала для G при уровне доверия (1 - \alpha) для рассматриваемого значения x величины X следует вычислять с помощью трех вспомогательных факторов y, v и \gamma .
Уравнение для вспомогательного фактора y:
y = \hat{\beta}ln \frac{\hat{\theta}}{x} = - ln[ln(\frac{1}{1 - G(x)})]. (19)
Уравнение для вспомогательного фактора v:
Константы A, B, C должны быть получены путем деления значений, полученных из таблицы 6, учитывая размер выборки n.
Уравнение для дополнительного фактора \gamma :
\gamma = exp( - y + H(f_{2})), (21),
где f2 и H(f2) определяются из таблицы 7.
Примечание - \gamma и f2 зависят от значения \hat{G}(x) , объема выборки n и соотношения r/n. \gamma и f2 являются независимыми от \hat{\beta} .
Тогда границы доверительного интервала для G:
G_{ob;z} = 1 - exp[- \gamma \frac{\chi_{f_{2};1 - \alpha/2}}{f_{2}}]; (22)
G_{un;z} = 1 - exp[- \gamma \frac{\chi_{f_{2};\alpha/2}}{f_{2}}]. (23)
8.3 Доверительный интервал для параметра масштаба \theta
8.3.1 Метод для всех выборок
Границы двусторонних доверительных интервалов для параметра масштаба \theta при уровне доверия (1 - \alpha) рассчитывается методом итераций:
\theta_{ob;z;j + 1} = \frac{\theta_{ob;z;j}}{[ln \frac{1}{1 - G_{un;z}(x = \theta_{ob;z;j})}]^{\frac{1}{\hat{\beta}}}} , (24)
\theta_{un;z;j + 1} = \frac{\theta_{un;z;j}}{[ln \frac{1}{1 - G_{ob;z}(x = \theta_{un;z;j})}]^{\frac{1}{\hat{\beta}}}} . (25)
Итерации могут быть начаты с \theta_{ob;z;0} = \theta_{un;z;0} = \hat{\theta} .
После каждой итерации новые значения G_{ob,z}(x = \theta_{un;z;j}) и G_{un,z}(x = \theta_{ob;z;j}) рассчитываются по методу, описанному в 8.2.
Итерации должны быть прекращены, когда два последовательных значения как \theta_{ob;z} , так и \theta_{un;z} равны с требуемой точностью. Например, для оценки результатов испытаний прочности разница меньше 0,1% дает достаточную точность.
8.3.2 Метод для нецензурированной выборки
В случае нецензурированной (полной) выборки могут быть использованы следующие простые уравнения:
\theta_{ob;z}^{*} = \hat{\theta}exp[- \frac{T_{n;\alpha/2}}{\hat{\beta}}], (26)
\theta_{un;z}^{*} = \hat{\theta}exp[- \frac{T_{n;1 - \alpha/2}}{\hat{\beta}}] (27)
с коэффициентами T_{n;\alpha/2} и T_{n;1 - \alpha/2} , взятыми из таблицы 8.
8.4 Доверительный интервал для значения x величины X заданного значения G(x) функции распределения
8.4.1 Метод для всех выборок
Доверительный интервал для x заданной G(x) может быть вычислен путем решения трансцендентного уравнения:
Gun;z(x = xob;z) = Gob;z(x = xun;z) = G. (28)
Эти уравнения могут быть решены путем варьирования переменной x процедурой, описанной в 8.3.1, в качестве метода последовательных приближений.
Однако в большинстве случаев доверительные интервалы для x могут быть быстрее определены для заданного значения G(x) по диаграмме Вейбулла. Для этой цели границы доверительного интервала, определенные в соответствии с 8.2, например Gob;z(x) и Gun;z(x), должны быть рассчитаны для ограниченного числа значений x и нанесены на диаграмму Вейбулла. В пределах графика на диаграмме Вейбулла доверительные интервалы для x, задаваемого G(x), могут быть определены напрямую.
Эта процедура становится неточной при малых значениях G(x), как в случаях, когда степень свободы f2 распределения хи-квадрат принимает значения меньше 1. Предельные кривые доверительного интервала функции распределения G(x) должны быть линейно экстраполированы, графически или численно.
Графическая экстраполяция позволяет непосредственно определить границы доверительного интервала x из диаграммы Вейбулла.
Для численного определения доверительного интервала заданного значения \hat{x}_{2} по точкам следует выбирать значения \hat{x}_{1}>\hat{x}_{2} , и для этого \hat{x}_{1} доверительный интервал функции распределения G(x1) рассчитывается по 8.2 для получения доверительных интервалов G_{ob;z}(\hat{x}_{1}) и G_{un;z}(\hat{x}_{1}) .
Выбранное значение \hat{x}_{1} должно соответствовать приблизительно нижней границе диапазона измеренных значений x.
Тогда границы доверительного интервала значения \hat{x}_{2} следует вычислять с использованием следующих уравнений:
x_{2;ob;z} = \hat{x}_{1}[\frac{ln(1 - \hat{G}(\hat{x}_{2}))}{ln(1 - G_{un;z}(\hat{x}_{1}))}]^{\frac{1}{\beta_{ob;z}}} , (29)
x_{2;un;z} = \hat{x}_{1}[\frac{ln(1 - \hat{G}(\hat{x}_{2}))}{ln(1 - G_{ob;z}(\hat{x}_{1}))}]^{\frac{1}{\beta_{un;z}}} . (30)
8.4.2 Метод для нецензурированной выборки
Для G <= 0,632 могут быть использованы следующие простые уравнения:
x_{ob;z} = \theta_{ob;z}[ln \frac{1}{1 - \hat{G}(\hat{x})}]^{\frac{1}{\beta_{ob;z}}} , (31)
x_{un;z} = \theta_{un;z}[ln \frac{1}{1 - \hat{G}(\hat{x})}]^{\frac{1}{\beta_{un;z}}} . (32)
Значения \theta_{ob;z} и \theta_{un;z} должны быть рассчитаны в соответствии с 8.3.1 или 8.3.2.
Этот упрощенный метод расчета приводит к более осторожной оценке доверительного интервала x, по сравнению с более точным методом экстраполяции, как описано в 8.4.1.
В выборках, где n >= 20 и \beta \geq 5 , и для значений G < 0,1 должны быть использованы следующие уравнения, дающие лучшее приближение к точному методу, описанному в 8.4.1:
x_{ob;z} = \hat{\theta}[ln \frac{1}{1 - \hat{G}(\hat{x})}]^{\frac{1}{\beta_{ob;z}}} , (33)
x_{un;z} = \hat{\theta}[ln \frac{1}{1 - \hat{G}(\hat{x})}]^{\frac{1}{\beta_{un;z}}} . (34)
Результаты эксперимента по определению напряжения разрушения
Метод описан в 6.2.
Из таблицы 3, для n = 24, kn = 1,4975:
Отсюда \hat{\beta} = 18,67 и \hat{\theta} = 49,26N/mm^{2} .
A.1.2.2 Оценка доверительных интервалов
Для коэффициента доверия 95% доверительные интервалы: 1 - \alpha/2 = 0,975 и \alpha/2 = 0,025 .
а) Метод определения доверительного интервала для параметра формы приведен в 8.1.
Из таблицы 4, с помощью линейной интерполяции, f1/n = 2,918, так что f1 = 70,03.
Из таблицы 5, \chi_{70,03;0,975}^{2} = 95,05 и \chi_{70,03;0,025}^{2} = 48,78 .
Отсюда \beta_{ob;z} = 25,34 и \beta_{un;z} = 13,01 .
б) Метод определения доверительных интервалов для G(x) приведен в 8.2, и результаты вычислений приведены в таблице A.2.
Результаты вычислений согласно 8.2
Рисунок 1 показывает значения G(x), Gob;z, Gun;z из таблицы A.2, графически нанесенные на вейбулловскую (вероятностную) бумагу соответственно для каждого \hat{x} из таблицы A.2, вместе с результатами данных предела прочности из таблицы A.1.
Рисунок A.1 — Оценка выборки из таблицы A.1
c) Метод определения доверительных интервалов параметра масштаба приводится в 8.3.
Таблица A.3, полученная с использованием метода 8.3.1, показывает результаты последовательных итераций для определения \theta_{ob;z} и \theta_{un;z} .
Результаты последовательных итераций согласно п. 8.3.1
| Номер итерации | \theta_{ob;z} | \theta_{un;z} |
|---|---|---|
| 0 | 49,26 | 49,26 |
| 1 | 50,47 | 48,19 |
| 2 | 50,44 | 48,08 |
| 3 | 50,44 | 48,06 |
После трех итераций разница достаточно мала, что позволяет остановить итерационный процесс.
Отсюда \theta_{ob;z} = 50,44N/mm^{2} и \theta_{un;z} = 48,06N/mm^{2} .
Тем не менее, так как это нецензурированная выборка, упрощенная процедура, описанная в п. 8.3.2, также может быть использована.
Из таблицы 8, T24;0,025 = -0,4669 и T24;0,975 = 0,4719.
Отсюда \theta_{ob;z}^{*} = 50,51N/mm^{2} и \theta_{un;z}^{*} = 48,03N/mm^{2} .
д) С коэффициентом доверия 95% доверительные интервалы для x при G = 0,1% могут быть определены либо графически из рисунка A.1, или численно методом, описанным в 8.4.1.
Графическая экстраполяция на рисунке A.1 дает:
xob;z = 38,0 N/mm2 \hat{x} = 34,0N/mm^{2} xun;z = 30,1 N/mm2.
Для численного метода удобно полагать \hat{x}_{1} = 38,50N/mm^{2} , что соответствует \hat{G} = 1\% . По таблице A.2 уже были проведены расчеты и получено:
G_{ob;z}(\hat{x}_{1}) = 3,86\% и G_{un;z}(\hat{x}_{1}) = 0,14\% .
Отсюда x2;ob;z = 38,00 N/mm2 и x2;un;z = 29,03 N/mm2.
Существует хорошее соответствие между графическим и численным методами.
Для нецензурированной выборки упрощенный метод, описанный в 8.4.2, может быть использован.
Поскольку n > 20, G < 0,1 и \hat{\beta}>5 , полученные из A.1.2.1 значения \hat{\theta} могут быть использованы в уравнениях 8.4.2.
Отсюда xob;z = 37,51 N/mm2 и xun;z = 28,97 N/mm2.
Это также дает хорошее соответствие между графическим и полным численным методами.
Та же выборка, что приведена в таблице A.1, используется для этого примера, но предполагается, что образцы не могут иметь напряжение разрушения больше 50 N/mm2. Таким образом, данные принимают вид, показанный в таблице A.4.
Результаты эксперимента для определения напряжения разрушения
Уровень цензурирования определяется значениями: n = 24, r = 15 и r/n = 0,625.
Метод описан в 6.1.
Для n = 24 и r/n = 0,625, из таблицы 1, kr;n = 0,7271 и, из таблицы 2, Cr;n = -0,0937.
Отсюда \hat{\beta} = 14,67 и \hat{\theta} = 49,95N/mm^{2} .
A.2.2.2 Оценка доверительных интервалов
Для коэффициента доверия 95% доверительные интервалы: 1 - \alpha/2 = 0,975 и \alpha/2 = 0,025 .
а) Метод определения доверительного интервала для параметра формы приведен в B.1.
Из таблицы 4, с помощью линейной интерполяции, f1/n = 1,411, так что f1 = 33,86.
Из таблицы 5, \chi_{33,86;0,975}^{2} = 51,80 и \chi_{33,86;0,025}^{2} = 19,69 .
Отсюда, \beta_{ob;z} = 22,44 и \beta_{un;z} = 8,53 .
б) Метод определения доверительного интервала для G(x) приведен в 8.2.
Из таблицы 6, B = 0,05951, C = 0,02062 и A = 0,0781.
Результаты вычислений приведены в таблице A.5.
Результаты вычислений согласно 8.2
На рисунке 2 приведены значения величин G(x), Gob;z и Gun;z из таблицы A.5, нанесенные на бумагу Вейбулла соответственно каждому значению \hat{x} из таблицы A.5, вместе с результатами данных прочности из таблицы A.4.
Рисунок A.2 — Оценка выборки из таблицы A.4
c) Метод определения доверительных интервалов параметра масштаба приведен в 8.3.1.
В таблице A.6 приведены результаты последовательных итераций для определения \theta_{ob;z} и \theta_{un;z} .
Результаты последовательных итераций согласно 8.3.1
| Номер итерации | \theta_{ob;z} | \theta_{un;z} |
|---|---|---|
| 0 | 49,95 | 49,95 |
| 1 | 51,98 | 48,24 |
| 2 | 52,54 | 48,30 |
| 3 | 52,75 | 48,30 |
| 4 | 52,84 | 48,30 |
| 5 | 52,88 | 48,30 |
После пяти итераций, разница достаточно мала, что позволяет остановить итерационный процесс.
Отсюда \theta_{ob;z} = 52,88N/mm^{2} и \theta_{un;z} = 48,30N/mm^{2} .
д) С коэффициентом доверия 95% доверительные интервалы для x при G = 0,1% могут быть определены либо графически на рисунке A.1, либо численно методом, описанным в 8.4.1.
Графическая экстраполяция на рисунке A.2 дает:
xob;z = 35,8 N/mm2, \hat{x} = 30,2N/mm^{2} , xun;z = 25,3 N/mm2.
Для численного метода удобно полагать \hat{x}_{1} = 39,37N/mm^{2} , что соответствует \hat{G} = 3\% . Из таблицы A.5, расчеты уже были произведены и получено:
G_{ob;z}(\hat{x}_{1}) = 10,63\% , G_{un;z}(\hat{x}_{1}) = 0,474\% .
Отсюда x2;ob;z = 36,73 N/mm2 и x2;un;z = 22,63 N/mm2.
Существует хорошее соответствие между графическим и численным методами.
ВЕЙБУЛЛОВСКАЯ (ВЕРОЯТНОСТНАЯ) БУМАГА
БИБЛИОГРАФИЯ
| [1] | ИСО 3534 <1> | Статистика — Словарь и условные обозначения. |
| ISO 3534 | Statistics — Vocabulary and symbols. | |
| [2] | ИСО 2854:1976 | Статистическое представление данных — Методы оценки и проверки гипотез о средних и дисперсиях. |
| ISO 2854:1976 | Statistical interpretation of data — Techniques of estimation and tests relating to means and variances. | |
| [3] | Бейн Л.Дж.: Статистический анализ надежности и испытание на стойкость (долговечность) модели. Теория и методы: Марсель Деккер Издательство: 1978. Bain L.J.: Statistical Analysis of Reliability and Life Testing Models; Theory and Methods: Marcel Dekker Publishing Corp.: 1978. | |
| [4] | МЭК 56 (ЦС) 162 | Методика для проверки степени согласия, доверительных интервалов и нижней доверительной границы для данных распределения Вейбулла. |
| IEC 56 (CO) 162 | Procedures for goodness-of-fit tests, confidence intervals and lower confidence limits for Weibull distributed data. | |
| [5] | ДИН 55303-7 | Статистический анализ данных — Часть 7: Опыт и метод испытаний двухпараметрической функции распределения Вейбулла. |
| DIN 55303-7 | Statistische Auswertung von Daten — Teil 7: Schatz- und Testverfahren bei zweiparametriger Weibull-Verteilung. |
<1> В Российской Федерации действует ГОСТ Р 50779.10-2000.
| УДК 666.151:006.354 | МКС 81.040.01 | MOD |
| Ключевые слова: прочность; распределение Вейбулла; критерий согласия; доверительный интервал; уровень доверия; цензурированная выборка | ||