$r = \frac{W_{pl}}{A + 2\alpha(A_{sp} + A_{s}\prime_{p})} = \frac{7,61 \cdot 10^{6}}{250 \cdot 280 + 2 \cdot 6,1 \cdot 2 \cdot 1232} = 76\text{мм}$ .
Момент усилия предварительного обжатия относительно оси, проходящей через ядровую точку, определяем по [формуле (165)](#p100046):
$M_{rp} = P(e_{0p} + r) = 650 \cdot 10^{3} \cdot 76 = 49,4 \cdot 10^{6}H \cdot \text{мм } = 49,4\text{кН } \cdot \text{м}$ .
Момент внешней продольной силы относительно той же оси, согласно [формуле (167)](#p100062), равен:
$M_{r} = N(e_{0} + r) = 850 \cdot 10^{3}(52,9 + 76) = 109,6 \cdot 10^{6}H \cdot \text{мм}$ .
Проверяем условие трещинообразования [(163)](#p100041):
т.е. от действия всех нагрузок трещины образуются и требуется проверка их ширины раскрытия.
Пример 30. Дано: многопустотная плита перекрытия - по [черт. 43](#p100297); бетон легкий класса В15 ( $R_{bt,ser} = 1,15\text{МПа}$ , $R_{b,ser} = 11\text{МПа}$ ); передаточная прочность $R_{bp} = 12,5\text{МПа}$ ; ( $R_{b(t,s)er}^{p} = 1,0\text{МПа}$ , $R_{b(,s)er}^{p} = 9,5\text{МПа}$ ); геометрические характеристики приведенного сечения: площадь $A_{red} = 45,1 \cdot 10^{4}\text{мм}^{2}$ , расстояние от центра тяжести до растянутой (нижней) грани $y_{0} = 107\text{мм}$ , момент инерции $I_{red} = 2734 \cdot 10^{6}\text{мм}^{4}$ ; момент в середине пролета от всех нагрузок M = 133,7 кН x м; момент от веса плиты в стадии изготовления $M_{w} = 35,6\text{к}H \cdot \text{м}$ ; усилие предварительного обжатия при $\gamma_{sp} = 1,0$ с учетом первых потерь $\text{Р}_{1} = 765,8\text{к}H$ , а с учетом всех потерь $\text{Р}_{2} = 636\text{к}H$ ; требования к трещиностойкости 3-й категории.
а)
б)
Черт. 43. К примерам [расчета 30](#p100292) и [34](#p100648)
а - фактическое сечение плиты;
б - эквивалентное сечение плиты
Требуется проверить плиту по образованию трещин.
Расчет. Определяем моменты сопротивления относительно грани, растянутой от внешней нагрузки $W_{red}^{inf}$ и от предварительного обжатия $W_{red}^{sup}$ :
$W_{red}^{inf} = \frac{I_{red}}{y_{0}} = \frac{2734 \cdot 10^{6}}{107} = 25,5 \cdot 10^{6}\text{мм}^{3}$ ;
$W_{red}^{sup} = \frac{I_{red}}{h - y_{0}} = \frac{2734 \cdot 10^{6}}{220 - 107} = 24,2 \cdot 10^{6}\text{мм}^{3}$ .
Находим моменты сопротивления $W_{pl}$ по [формуле (175)](#p100093). Для этого представляем сечение плиты в виде двутаврового сечения, заменив пустоты прямоугольниками, эквивалентными по площади и моменту инерции.
Ширина и высота такого прямоугольника соответственно равны:
A = 0,907D = 0,907 x 159 = 144,2 мм;
B = 0,866D = 0,866 x 159 = 138 мм.
Тогда из [черт. 43](#p100297) имеем:
$b_{f} = b\prime_{f} = 3580\text{мм}$ ; b = 3580 - 18 x 144,2 = 984 мм;
$h_{f} = h\prime_{f} = \frac{220 - 138}{2} = 41\text{мм}$ .
Из [табл. 38](#p100096) для двутаврового симметричного сечения при $\frac{b_{f}}{b} = \frac{3580}{984} = 3,64>2$ и $\frac{b_{f}}{b} <6$ находим $\gamma = 1,5$ .
Отсюда
$W_{pl}^{inf} = \gamma W_{red}^{inf} = 1,5 \cdot 25,5 \cdot 10^{6} = 38,25 \cdot 10^{6}\text{мм}^{3}$ ;
$W_{pl}^{sup} = \gamma W_{red}^{sup} = 1,5 \cdot 24,2 \cdot 10^{6} = 36,3 \cdot 10^{6}\text{мм}^{3}$ .
Поскольку в плите располагается в основном только напрягаемая арматура, точка приложения усилия обжатия во всех стадиях совпадает с центром тяжести арматуры, т.е. $e_{0p} = y_{0} - a = 107 - 30 = 77\text{мм}$ . Определяем ядровые расстояния $r_{sup}$ и $r_{inf}$ по [формуле (168)](#p100067). При действии внешней нагрузки в стадии эксплуатации максимальное напряжение в сжатом бетоне (т.е. по верхней грани) равно:
$\sigma_{b} = \frac{P_{2}}{A_{red}} + \frac{M - P_{2}e_{0p}}{W_{red}^{sup}} = \frac{636 \cdot 10^{3}}{451 \cdot 10^{3}} + \frac{133,7 \cdot 10^{3} - 636 \cdot 10^{3} \cdot 77}{24,2 \cdot 10^{6}} = 4,91\text{МПа}$ .
Тогда $\varphi = 1,6 - \frac{\sigma_{b}}{R_{b,ser}} = 1,6 - \frac{4,91}{11} = 1,15>1$ . Принимаем $\varphi = 1$ и $r_{sup} = \varphi \frac{W_{red}^{inf}}{A_{red}} = \frac{25,5 \cdot 10^{6}}{451 \cdot 10^{3}} = 56,5\text{мм}$ .
При действии усилия обжатия $\text{Р}_{1}$ в стадии изготовления максимальное напряжение в сжатом бетоне (т.е. по нижней грани) равно:
При этом можно видеть, что минимальное напряжение бетона в этой стадии, равное $\frac{P_{1}}{A_{red}} - \frac{P_{1}e_{0p} - M_{w}}{W_{red}^{sup}}$ , будет больше нуля (1,7 > 0,95), т.е. будет сжимающим. Следовательно, верхние начальные трещины заведомо не образуются и образование нижних трещин проверяем без учета коэффициента $\theta$ .
Согласно [п. 4.2](#p100040), принимаем:
$M_{r} = M = 133,7\text{к}H \cdot \text{м}$ ;
$M_{rp} = P_{2}(e_{0p} + r_{sup}) = 636 \cdot 10^{3}(77 + 56,5) = 84,9\text{к}H \cdot \text{м}$ ;
т.е. нижние трещины образуются и, следовательно, расчет по раскрытию трещин необходим.
Пример 31. Дано: плита перекрытия по [черт. 44](#p100357); бетон тяжелый класса В25 ( $R_{bt,ser} = 1,6\text{МПа}$ , $R_{b,ser} = 18,5\text{МПа}$ , $E_{b} = 2,7 \cdot 10^{4}\text{МПа}$ ); передаточная прочность $R_{bp} = 20\text{МПа}$ ( $R_{b(t,s)er}^{p} = 1,4\text{МПа}$ , $R_{b(,s)er}^{p} = 15\text{МПа}$ ); напрягаемая арматура класса А-IV, площадью сечения $A_{sp} = 491\text{мм}^{2}$ $(1\text{Ø}25)$ ; ненапрягаемая арматура, растянутая и сжатая, класса А-III, площадью сечения соответственно $A_{s} = 78,5\text{мм}^{2}$ $(1\text{Ø}10)$ и $A_{s}\prime = 50,3\text{мм}^{2}$ $(1\text{Ø}8)$ ; геометрические характеристики приведенного сечения: площадь $A_{red} = 5,55 \cdot 10^{4}\text{мм}^{2}$ , расстояние от центра тяжести до растянутой (нижней) грани $y_{0} = 220\text{мм}$ , момент инерции $I_{red} = 718 \cdot 10^{6}\text{мм}^{4}$ ; максимальный момент при $\gamma_{f} = 1,0$ для половины сечения плиты M = 66 кН x м; момент от собственного веса плиты в стадии изготовления $M_{w} = 5,3\text{к}H \cdot \text{м}$ ; усилие предварительного обжатия (с учетом первых потерь и $\gamma_{sp} = 1,0$ ) $\text{Р}_{1} = 230\text{к}H$ ; его эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения $e_{0p} = 167\text{мм}$ ; усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и $\gamma_{sp} = 1,0$ ) $\text{Р}_{2} = 150\text{к}H$ ; его эксцентриситет $e_{0p} = 165\text{мм}$ ; требование к трещиностойкости 3-й категории.
Требуется определить момент трещинообразования $M_{crc}$ .
Расчет. Предварительно определяем моменты сопротивления и ядровые расстояния относительно грани, растянутой от внешней нагрузки ( $W_{red}^{inf}$ , $r_{sup}$ ) и от предварительного обжатия ( $W_{red}^{sup}$ , $r_{inf}$ ) (см. [черт. 39](#p100138)):
$W_{red}^{inf} = \frac{I_{red}}{y_{0}} = \frac{718 \cdot 10^{6}}{220} = 3,26 \cdot 10^{6}\text{мм}^{3}$ ;
$W_{red}^{sup} = \frac{I_{red}}{h - y_{0}} = \frac{718 \cdot 10^{6}}{350 - 220} = 5,52 \cdot 10^{6}\text{мм}^{3}$ .
Ядровые расстояния $r_{sup}$ и $r_{inf}$ определяем по [формуле (168)](#p100067).
При действии внешней нагрузки в стадии эксплуатации максимальное напряжение в сжатом бетоне равно:
$\sigma_{b} = \frac{P_{2}}{A_{red}} + \frac{M - P_{2}e_{0p}}{W_{red}^{sup}} = \frac{150 \cdot 10^{3}}{55,5 \cdot 10^{3}} + \frac{66 \cdot 10^{6} - 150 \cdot 10^{3} \cdot 165}{5,52 \cdot 10^{6}} = 10,17\text{МПа}$ .
Тогда $\varphi = 1,6 - \frac{\sigma_{b}}{R_{b,ser}} = 1,6 - \frac{10,17}{18,5} = 1,05>1,0$ . Принимаем $\varphi = 1,0$ и $r_{sup} = \varphi \frac{W_{red}^{inf}}{A_{red}} = \frac{3260 \cdot 10^{3}}{55,5 \cdot 10^{3}} = 58,7\text{мм}$ .
При действии усилия обжатия $\text{Р}_{1}$ в стадии изготовления максимальное напряжение в сжатом бетоне равно:
$\sigma_{b} = \frac{P_{1}}{A_{red}} + \frac{P_{1}e_{0p} - M_{w}}{W_{red}^{inf}} = \frac{230 \cdot 10^{3}}{55,5 \cdot 10^{3}} + \frac{230 \cdot 10_{\cdot}^{3}167 - 5,3 \cdot 10^{6}}{3,26 \cdot 10^{6}} = 14,3\text{МПа}$ .
Тогда $\varphi = 1,6 - \frac{\sigma_{b}}{R_{b(,s)er}^{p}} = 1,6 - \frac{14,3}{15} = 0,647<0,7$ . Принимаем $\varphi = 0,7$ и $r_{inf} = \varphi \frac{W_{red}^{sup}}{A_{red}} = 0,7 \frac{5520}{55,3} = 69,6\text{мм}$ .
Находим моменты сопротивления $W_{pl}^{inf}$ и $W_{pl}^{sup}$ по упрощенной [формуле (175)](#p100093):
$W_{pl}^{inf} = \gamma_{inf}W_{red}^{inf} = 1,75 \cdot 3,26 \cdot 10^{6} = 5,7 \cdot 10^{6}\text{мм}^{3}$ ;
$W_{pl}^{sup} = \gamma_{sup}W_{red}^{inf} = 1,5 \cdot 55,2 \cdot 10^{6} = 8,28 \cdot 10^{6}\text{мм}^{3}$
( $\gamma_{inf} = 1,75$ и $\gamma_{sup} = 1,5$ согласно [табл. 38](#p100096)).
Проверим образование верхних начальных трещин согласно [п. 4.5](#p100143):
т.е. верхние трещины образуются и, следовательно, значение $M_{crc}$ определяем с учетом коэффициента $\theta$ , вычисляемого согласно [п. 4.6](#p100151):
$\varphi_{m} = \frac{R_{b(t,s)er}^{p}W_{pl}^{sup}}{P_{1}(e_{0p} - r_{inf}) - M_{w}} = \frac{11,59}{17,1} = 0,678>0,45$ ;
$\delta = \frac{y_{0}}{h - y_{0}} \cdot \frac{A_{sp} + A_{s}}{A_{sp} + A_{s} + A_{s}\prime} = \frac{220}{350 - 220} \cdot \frac{491 + 78,5}{491 + 78,5 + 50,3} = 1,55>1,4$ .
Принимаем $\delta = 1,4$ ; тогда
$\theta = 1 - (1,5 - \frac{0,9}{\delta})(1 - \varphi_{m}) = 1 - (1,5 - \frac{0,9}{1,4})(1 - 0,678) = 0,724<1,0$ .
Определяем момент трещинообразования $M_{crc}$ согласно [п. 4.4, а](#p100127):
а с учетом коэффициента $\theta$
$M_{crc} = 0,724 \cdot 42,7 = 31\text{кН } \cdot \text{м}$ .
Пример 32. Дано: плита перекрытия по [черт. 44](#p100357); бетон тяжелый класса В25 ( $R_{b,ser} = 18,5\text{МПа}$ , $R_{bt,ser} = 1,6\text{МПа}$ , $E_{b} = 2,7 \cdot 10^{4}\text{МПа}$ ); передаточная прочность бетона $R_{bp} = 20\text{МПа}$ ; геометрические характеристики приведенного сечения: площадь $A_{red} = 5,55 \cdot 10^{4}\text{мм}^{2}$ , расстояние от центра тяжести сечения до растянутой грани $y_{0} = 220\text{мм}$ , момент инерции $I_{red} = 718 \cdot 10^{6}\text{мм}^{4}$ , расстояние от центра тяжести всей растянутой арматуры до растянутой грани a = 50 мм; напрягаемая арматура класса А-IV без анкеров $(E_{s} = 1,9 \cdot 10^{5}\text{МПа})$ , диаметром 25 мм; площадь сечения сжатой арматуры $A_{s}\prime = 50,3\text{мм}^{2}$ $(1\text{Ø}8)$ ; усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и $\gamma_{sp} = 1,0$ ) $\text{Р}_{2} = 150\text{к}H$ ; его эксцентриситет $e_{0p} = 165\text{мм}$ ; предварительное напряжение (с учетом потерь по [поз. 1](https://bukva.ai/docs/snip-2-03-01-84-gosstroy-sssr-gosudarstvennyy-2#p100187) - [5 табл. 4](https://bukva.ai/docs/snip-2-03-01-84-gosstroy-sssr-gosudarstvennyy-2#p100212)) $\sigma_{spI} = 475\text{МПа}$ ; поперечная сила от внешней нагрузки в опорном сечении (при $\gamma_{f} = 1,0$ ) $Q_{max} = 50\text{к}H$ ; требования к трещиностойкости 3-й категории.
а)
б)
Черт. 44. Предварительно напряженная плита перекрытия
а - приопорный участок; б - поперечное сечение
Требуется проверить, образуются ли наклонные трещины в пределах длины зоны передачи напряжений, и установить необходимость расчета по раскрытию наклонных трещин.
Расчет. Рассмотрим сечения у грани опоры (сечение I - I) и на расстоянии $l_{p}$ от торца плиты (сечение II - II) - в обоих случаях проверку производим в центре тяжести сечения $(y_{0} = 220\text{мм})$ .
Определяем значение $P_{2}$ в рассматриваемых сечениях. Для этого по [формуле (19)](https://bukva.ai/docs/snip-2-03-01-84-gosstroy-sssr-gosudarstvennyy-2#p101029) вычисляем длину зоны передачи напряжений $l_{p}$ , имея в виду, что $\sigma_{tp} = \sigma_{spI} = 475\text{МПа}$ ;
$l_{p} = (\omega_{p} \frac{\sigma_{tp}}{R_{bp}} + \lambda_{p})d = (0,25 \frac{475}{20} + 10)25 = 398\text{мм}$
( $\omega_{\text{р}} = 0,25$ и $\lambda_{\text{р}} = 10$ - из [табл. 24](https://bukva.ai/docs/snip-2-03-01-84-gosstroy-sssr-gosudarstvennyy-2#p100986)).
Для сечения I - I $l_{x} = 200\text{мм}$ ; в этом сечении, согласно [п. 1.19](https://bukva.ai/docs/snip-2-03-01-84-gosstroy-sssr-gosudarstvennyy-2#p100316),
$P_{2}^{I} = P_{2} \frac{l_{x}}{l_{p}} = 150 \frac{200}{398} = 75,3\text{кН}$ .
Для сечения II - II $l_{x} = l_{p}$ , следовательно, $P_{2}^{II} = 150\text{кН}$ .
Определяем нормальные напряжения $\sigma_{\text{х}}$ на уровне центра тяжести сечения по [формуле (10)](https://bukva.ai/docs/snip-2-03-01-84-gosstroy-sssr-gosudarstvennyy-2#p100335) при y = 0 и $\text{Р } = \text{Р}_{2}$ :
$\sigma_{x}^{I} = \frac{P_{2}^{I}}{A_{red}} = \frac{75,3 \cdot 10^{3}}{5,55 \cdot 10^{4}} = 1,36\text{МПа}$ ;
$\sigma_{x}^{II} = \frac{P_{2}^{II}}{A_{red}} = \frac{150 \cdot 10^{3}}{5,55 \cdot 10^{4}} = 2,7\text{МПа}$ .
Определяем касательные напряжения $\tau_{xy}$ по [формуле (189)](#p100240). Для этого вычисляем статический момент приведенной площади части сечения, расположенной выше центра тяжести сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения:
$\alpha = \frac{E_{s}}{E_{b}} = \frac{19 \cdot 10^{4}}{2,7 \cdot 10^{4}} = 7$ .
В сечении I - I принимаем $Q_{1} = Q_{max} = 50\text{кН}$ . Сечение II - II отстоит от точки приложения опорной реакции на расстоянии $x = l_{p} - 135 = 398 - 135 = 263\text{мм}$ (см. [черт. 44](#p100357)), следовательно, согласно [п. 3.22](https://bukva.ai/docs/snip-2-03-01-84-gosstroy-sssr-gosudarstvennyy-2#p101685), для этого сечения
$Q_{II} = Q_{max} - q_{1}x = 50 - 10,5 \cdot 0,263 = 47,2\text{кН}$ ,
где $q_{1} = g + v/2 = 3,5 + 14/2 = 10,5\text{кН}/\text{м}$ ;
g = 3,5 кН/м - постоянная нагрузка;
v = 14 кН/м - временная нагрузка.
Тогда
$\tau_{xy}^{I} = \frac{Q_{I}S_{red}}{I_{red}b} = \frac{50 \cdot 10^{3} \cdot 2835 \cdot 10^{3}}{718 \cdot 10^{6} \cdot 95} = 2,08\text{МПа}$ ;
$\tau_{xy}^{II} = \frac{Q_{II}S_{red}}{I_{red}b} = \frac{47,2 \cdot 10^{3} \cdot 2835 \cdot 10^{3}}{718 \cdot 10^{6} \cdot 95} = 1,96\text{МПа}$ .
Поскольку напрягаемая поперечная арматура отсутствует, $\sigma_{\text{ур}} = 0$ . Напряжения $\sigma_{y,loc}$ от местного действия опорной реакции $Q_{max} = F = 50\text{кН}$ определяем по [формуле (187)](#p100226).
Для сечения I - I: $x_{I} = 200 - 135 = 65\text{мм}$ (см. [черт. 44](#p100357)); $y_{I} = y_{0} = 220\text{мм}$ ; $\alpha_{I} = x_{I}/h = 65/350 = 0,186<0,7$ ; $\beta_{I} = y_{I}/h = 220/350 = 0,63$ .
Из [табл. 39](#p100188) имеем $\varphi_{y} = 0,45$ .
Тогда
$\sigma_{y,loc}^{I} = \varphi_{y} \frac{F}{bh} = 0,45 \frac{50 \cdot 10^{3}}{95 \cdot 350} = 0,676\text{МПа}$ .
Для сечения II - II: $x_{II} = 263\text{мм}$ ; $\alpha_{II} = 263/350 = 0,75>0,7$ , следовательно, принимаем $\sigma_{y,loc}^{II} = 0$ .
По [формуле (185)](#p100178) определяем главные растягивающие и главные сжимающие напряжения, принимая $\sigma_{y} = \sigma_{y,loc}$ :
Для сечения I - I:
$\sigma_{mt}^{I} = - 1,02 + 2,11 = 1,09\text{МПа}$ ; $\sigma_{mc}^{I} = 1,02 + 2,11 = 3,13\text{МПа}$ .
Для сечения II - II:
$\sigma_{mmtc}^{II} = \mp \frac{2,7}{2} + \sqrt{(\frac{2,7}{2})^{2} + 1,96^{2}} = (\mp 1,35 + 2,38)\text{МПа}$ ;
$\sigma_{mt}^{II} = - 1,35 + 2,38 = 1,03\text{МПа}$ ; $\sigma_{mc}^{II} = 1,35 + 2,38 = 3,73\text{МПа}$ .
