РД 50-453-84. Методические указания. Характеристики погрешности средств измерений в реальных условиях эксплуатации. Методы расчета
(утв. Постановлением Госстандарта СССР от 08.02.1984 № 448)
Внимание
Документ утратил силу на территории Российской Федерации в связи с изданием Приказа Росстандарта от 11.06.2019 № 1386. Документ введен в действие с 01.01.1986.
от 8 февраля 1984 г. № 448
РУКОВОДЯЩИЙ НОРМАТИВНЫЙ ДОКУМЕНТ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ В РЕАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ЭКСПЛУАТАЦИИ
Утверждены Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 8 февраля 1984 г. № 448.
Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 28 мая 1985 г. № 1501 срок введения установлен с 01.01.1986.
Настоящие методические указания устанавливают методы расчета характеристик составляющей погрешности прямых однократных измерений — погрешности средства измерений (СИ) — по нормируемым в соответствии с ГОСТ 8.009-84 метрологическим характеристикам СИ, известным характеристикам влияющих величин и входного сигнала.
Методические указания предназначены для использования при разработке нормативно-технических документов по расчету погрешности измерений или соответствующих разделов других нормативно-технических документов; при разработке методик выполнения измерений, в частности, при выборе методов измерений и СИ, обеспечивающих заданные нормы точности измерений.
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1. Методы, рекомендуемые данными МУ, позволяют рассчитать следующие характеристики погрешности СИ.
1.1.1. Математическое ожидание M[\Delta_{\text{си}}] и среднее квадратическое отклонение \sigma[\Delta_{\text{си}}] погрешности СИ <*>.
<*> Список обозначений приведен в Приложении 1.
1.1.2. Нижнюю \Delta_{\text{си}.\text{н}} и верхнюю \Delta_{\text{си}.\text{в}} границы интервала, в котором с вероятностью P находится погрешность СИ.
1.2. Для расчета характеристик погрешности СИ рекомендуется использовать один из методов, в зависимости от задач измерений, экономической целесообразности и доступной исходной информации.
1.2.1. Первый метод (п. 3.1) включает в себя расчет статистических моментов составляющих погрешности СИ и позволяет определить характеристики погрешности СИ как по п. 1.1.1, так и по п. 1.1.2.
Этот метод дает более рациональную (при числе составляющих погрешности СИ более трех) оценку погрешности СИ за счет пренебрежения редко реализующимися значениями погрешности, для чего назначается P < 1.
1.2.2. Второй метод (п. 3.2) включает в себя расчет наибольших возможных значений составляющих погрешности СИ и позволяет определить характеристики погрешности СИ только по п. 1.1.2 и только при P = 1. Этот метод дает грубую (при числе составляющих погрешности СИ более трех), хотя и надежную оценку погрешности СИ, включающую в себя редко реализующиеся значения погрешности.
Второй метод расчета целесообразно использовать, если:
хотя бы маловероятное нарушение требований к точности измерений может привести к серьезным отрицательным техническим или экономическим последствиям или связано с угрозой здоровью и жизни людей;
завышение требований к метрологическим характеристикам СИ, к которому ведет применение данного метода расчета при заданной норме точности измерений, и связанные с этим дополнительные затраты не препятствуют применению таких СИ.
1.3. В данных методических указаниях излагаются методы расчета, для которых в качестве исходных данных используются комплексы метрологических характеристик СИ, предусмотренные ГОСТ 8.009-84. В обоснованных случаях, в частности, для комплексов метрологических характеристик, отличающихся от предусмотренных ГОСТ 8.009-84, допускается применение других методов расчета характеристик погрешности СИ.
1.4. Характеристики погрешности СИ, рассчитанные в соответствии с настоящими методическими указаниями, в общем случае не следует отождествлять с характеристиками погрешности измерений. Помимо погрешности СИ погрешность измерений включает в себя методическую составляющую; составляющую от взаимодействия СИ с объектом измерений; составляющую, вносимую оператором при отсчете результатов измерений, методы расчета характеристик которых в данных методических указаниях не рассматриваются.
2. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ
2.1. Для расчета характеристик погрешности СИ в реальных условиях эксплуатации необходимо располагать следующими исходными данными:
нормируемыми метрологическими характеристиками СИ (пп. 2.2.1 или 2.3.1);
характеристиками влияющих величин (пп. 2.2.2 или 2.3.2);
характеристиками входного сигнала (пп. 2.2.3 или 2.3.3).
2.2. В качестве исходных данных при расчете характеристик погрешности СИ первым методом (п. 3.1) используются следующие характеристики.
2.2.1 Нормируемые метрологические характеристики СИ:
математическое ожидание M[\Delta_{os}] систематической составляющей основной погрешности СИ;
среднее квадратическое отклонение \sigma[\Delta_{os}] систематической составляющей основной погрешности СИ;
предел \sigma_{p}[\Delta_{0}^{{}^{\circ}}] допускаемого среднего квадратического отклонения случайной составляющей основной погрешности СИ;
предел H_{op} допускаемой вариации СИ при нормальных условиях;
номинальная цена \mu_{sf} единицы наименьшего разряда кода цифрового измерительного прибора (аналого-цифрового измерительного преобразователя);
номинальные функции влияния \Psi_{s.sf}(\xi_{j}) , j = 1, 2, ..., n на систематическую составляющую погрешности СИ;
номинальные функции влияния \Psi_{\sigma.sf}(\xi_{j}) , j = 1, 2, ..., l на среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности СИ;
номинальные функции влияния \Psi_{\text{н}.sf}(\xi_{j}) , j = 1, 2, ..., k на вариацию СИ;
одна из полных динамических характеристик СИ: номинальная переходная характеристика h_{sf}(t) , номинальная импульсная переходная характеристика g_{sf}(t) , номинальная амплитудно-фазовая характеристика G_{sf}(j\omega) , номинальная передаточная функция G_{sf}(S) .
Примечания. 1. Перечисленные нормируемые метрологические характеристики указываются в нормативно-технической документации на СИ как характеристики любого экземпляра СИ данного типа. Вместо этих характеристик в качестве исходных данных могут использоваться индивидуальные метрологические характеристики СИ, определяемые в результате исследования конкретного экземпляра СИ:
наибольшая возможная по абсолютной величине \Delta_{sm} неисключенная систематическая составляющая погрешности СИ;
среднее квадратическое отклонение \sigma[\Delta^{{}^{\circ}}] случайной составляющей погрешности СИ;
цена \mu единицы наименьшего разряда кода цифрового измерительного прибора (аналого-цифрового измерительного преобразователя);
функции влияния \Psi_{s}(\xi_{j}) , j = 1, 2, ..., n на систематическую составляющую погрешности СИ;
функции влияния \Psi_{o}(\xi_{j}) , j = 1, 2, ..., l на среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности СИ;
функции влияния \Psi_{\text{н}}(\xi_{j}) , j = 1, 2, ..., k на вариацию СИ;
одна из полных динамических характеристик СИ: переходная характеристика h(t), импульсная переходная характеристика g(t), амплитудно-фазовая характеристика G(j\omega) , передаточная функция G(S).
2. В п. 2.2.1 указаны только те метрологические характеристики СИ из числа вошедших в комплексы, предусмотренных в ГОСТ 8.009-84, которые необходимы для расчета характеристик погрешности СИ.
3. В исходные данные могут входить не все метрологические характеристики, перечисленные в п. 2.2.1 и примечании 1 к нему, если некоторые из них несущественны для СИ.
2.2.2 Характеристики влияющих величин \xi_{j} .
2.2.2.1. Значения \xi_{j} , j = 1, 2, ..., n (l, k) влияющих величин.
2.2.2.2. Математические ожидания M[\xi_{j}] , средние квадратические отклонения \sigma[\xi_{j}] , наименьшие \xi_{\text{н}j} и наибольшие \xi_{\text{в}j} значения влияющих величин, соответствующие реальным условиям эксплуатации СИ, j = 1, 2, ..., n (l, k).
2.2.3. Характеристики входного сигнала x: спектральная плотность S_{x}(\omega) или автокорреляционная функция R_{x}(\tau) входного сигнала СИ, соответствующие реальным условиям эксплуатации СИ.
2.3. В качестве исходных данных при расчете характеристик погрешности СИ вторым методом (п. 3.2) используются следующие характеристики.
2.3.1 Нормируемые метрологические характеристики СИ:
предел \Delta_{op} допускаемых значений основной погрешности СИ;
наибольшие допускаемые изменения \epsilon_{p}(\xi_{j}) , j = 1, 2, ..., n погрешности СИ, вызванные изменением влияющих величин или неинформативных параметров входного сигнала (в дальнейшем, влияющих величин) \xi_{j} в установленных пределах;
номинальная амплитудно-частотная характеристика A_{sf}(\omega) СИ.
2.3.2 Характеристики влияющих величин \xi_{j} .
2.3.2.1 Значения \xi_{j} , j = 1, 2, ..., n влияющих величин.
2.3.2.2. Наименьшие \xi_{\text{н}j} и наибольшие \xi_{\text{в}j} , j = 1, 2, ..., n значения влияющих величин, соответствующие реальным условиям эксплуатации СИ.
Примечание. Под реальными условиями эксплуатации СИ понимаются условия конкретного применения СИ, составляющие часть или, в частном случае, совпадающие с рабочими условиями, регламентированными в нормативно-технической документации на СИ.
2.3.3. Характеристики входного сигнала x: нижняя \omega_{\text{н}} и верхняя \omega_{\text{в}} границы спектра частот реального входного сигнала СИ.
2.4. Все исходные данные, используемые для расчета, должны быть приведены к одной и той же точке схемы измерений: входу или выходу СИ — и выражены в единицах, обеспечивающих получение всех составляющих погрешности СИ в одних и тех же абсолютных или относительных (в долях или процентах от одного и того же значения измеряемой величины) единицах.
3. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ В РЕАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ЭКСПЛУАТАЦИИ
3.1. Первый метод расчета характеристик погрешности СИ в реальных условиях эксплуатации (примеры расчета см. в Приложении 2).
3.1.1. Математическое ожидание M[\Delta_{\xi}] статической составляющей погрешности СИ при реальных значениях влияющих величин вычисляется по формулам:
если исходные данные о влияющих величинах \xi_{j} заданы в соответствии с п. 2.2.2.1, то
если исходные данные о влияющих величинах \xi_{j} заданы в соответствии с п. 2.2.2.2, то
Суммирование выполняется для n влияющих величин, для которых нормированы метрологические характеристики \Psi_{s.sf}(\xi_{j}) , j = 1, 2, ..., n СИ по п. 2.2.1 и значения которых в момент измерения отличаются от установленных для данного СИ нормальных значений.
3.1.1.1. Для линейных функций влияния \Psi_{s.sf}(\xi_{j}) = K_{s.sfj}(\xi_{j} - \xi_{ref.j}) значения M[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})] вычисляются по формуле
3.1.2.1. Для вычисления M[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})] нелинейной функции влияния \Psi_{s.sf}(\xi_{j}) необходимы данные о законе распределения \varphi(\xi_{j}) влияющей величины \xi_{j} .
M[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})] = \int_{\xi_{\text{н}j}}^{\xi_{\text{в}j}} \Psi_{s.sf}(\xi_{j}) \cdot \varphi(\xi_{j})d\xi_{j} . (4)
Приближенные значения M[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})] нелинейных функций влияния вычисляются по формуле
M[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})] = \Psi_{s.sf}(M[\xi_{j}]) + 0,5\Psi'_{s}'_{.sf}(M[\xi_{j}]) \cdot \sigma^{2}[\xi_{j}] . (5)
Примечания. 1. Если для СИ нормирован предел \Delta_{osp} допускаемых значений систематической составляющей основной погрешности без указания значения M[\Delta_{os}] и если нет оснований предполагать несимметричность распределения указанной погрешности в пределах \Delta_{osp} , то допускается для расчетов характеристик погрешности СИ пользоваться предположением M[\Delta_{os}] = 0 .
2. Для СИ с индивидуальными метрологическими характеристиками (п. 2.2.1, примечание 1) для расчетов характеристик погрешности СИ принимается M[\Delta_{os}] = 0 .
3. Если для j-й влияющей величины известны только ее наименьшее \xi_{\text{н}j} и наибольшее \xi_{\text{в}j} значения, соответствующие реальным условиям эксплуатации СИ, и нет оснований выделить области предпочтительных значений влияющей величины в границах от \xi_{\text{н}j} до \xi_{\text{в}j} , несимметрично расположенные относительно центра интервала, определяемого указанными границами, то допускается для расчетов характеристик погрешности СИ пользоваться предположением
3.1.2. Дисперсия D[\Delta_{\xi}] статической составляющей погрешности СИ при реальных значениях влияющих величин вычисляется по формулам:
если исходные данные о влияющих величинах \xi_{j} заданы в соответствии с п. 2.2.2.1, то
D[\Delta_{\xi}] = \sigma^{2}[\Delta_{os}] + {\sigma_{p}[\Delta_{0}^{{}^{\circ}}] + \sum_{j = 1}^{l} \Psi_{\sigma.sf}(\xi_{j})}^{2} + \frac{1}{12} \times [H_{op} + \sum_{j = 1}^{k} \Psi_{\text{н}.sf}(\xi_{j})]^{2} + \frac{\mu_{sf}^{2}}{12} , (6)
если исходные данные о влияющих величинах \xi_{j} заданы в соответствии с п. 2.2.2.2, то
. (7)Для аналоговых СИ \mu_{sf} = 0 .
Суммирование выполняется для n, l и k влияющих величин, для которых нормированы метрологические характеристики \Psi_{s.sf}(\xi_{j}) , j = 1, 2, ..., n; \Psi_{\sigma.sf}(\xi_{j}) = 1, 2, ..., l; \Psi_{\text{н}.sf}(\xi_{j}) , j = 1, 2, ..., k по п. 2.2.1 и значения которых в момент измерения отличаются от установленных для данного СИ нормальных значений.
3.1.2.1. Для линейных функций влияния \Psi_{s.sf}(\xi_{j}) = K_{s.sfj}(\xi_{j} - \xi_{ref.j}) значение D[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})] вычисляется по формуле
3.1.2.2. Для вычисления D[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})] нелинейной функции влияния \Psi_{s.sf}(\xi_{j}) необходимы данные о законе распределения \varphi(\xi_{j}) влияющей величины \xi_{j}
D[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})] = \int_{\xi_{\text{н}j}}^{\xi_{\text{в}j}} {\Psi_{s.sf}(\xi_{j}) - M[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})]}^{2}\varphi(\xi_{j})d\xi_{j} . (9)
Приближенные значения D[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})] для нелинейных функций влияния вычисляются по формуле
D[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})] = [\Psi'_{s.sf}(M[\xi_{j}])]^{2}\sigma^{2}[\xi_{j}] + 0,4[\Psi_{s.sf}^{"}(M[\xi_{j}])]^{2}\sigma^{4}[\xi_{j}] , (10)
где M[\Psi_{s.sf}(\xi_{j})] вычисляется в соответствии с (4), (5).
Примечания. 1. Если для СИ нормирован предел \Delta_{osp} допускаемых значений систематической составляющей основной погрешности без указания значения \sigma[\Delta_{os}] и если нет оснований предполагать несимметричность и полимодальность распределения указанной погрешности в пределах \Delta_{osp} , то допускается для расчетов характеристик погрешности СИ пользоваться предположением \sigma[\Delta_{os}] = \Delta_{osp}/ \sqrt{3} .
2. Для СИ с индивидуальными метрологическими характеристиками (п. 2.2.1, примечание 1) для расчетов характеристик погрешности СИ принимается \sigma[\Delta_{os}] = \Delta_{sm}/ \sqrt{3} .
3. Если для j-й влияющей величины известны только ее наименьшее \xi_{\text{н}j} и наибольшее \xi_{\text{в}j} значения, соответствующие реальным условиям эксплуатации СИ, и нет оснований выделить области предпочтительных значений влияющей величины в границах от \xi_{\text{н}j} до \xi_{\text{в}j} , за исключением, может быть, области вокруг центра интервала, определяемого указанными границами, то допускается для расчетов характеристик погрешности СИ пользоваться предположением
3.1.3. Дисперсия D[\Delta_{dyn}] приведенной к выходу динамической составляющей погрешности аналогового СИ вычисляется по формуле
D[\Delta_{dyn}] = 2 \int_{0}^{\infty} |G_{sf}(j\omega) - G_{sf}(j\omega_{0})|^{2}S_{x}(\omega)d\omega . (11)
Примечания. 1. Если в качестве характеристики входного сигнала задана его автокорреляционная функция R_{x}(\tau) (п. 2.2.3), то предварительно вычисляется спектральная плотность входного сигнала по формуле
2. Если в качестве динамической характеристики нормирована передаточная функция G_{sf}(S) (п. 2.2.1), то предварительно заменой аргумента S на j\omega получают амплитудно-фазовую характеристику G_{sf}(j\omega) .
3. Если в качестве динамической характеристики нормирована импульсная переходная характеристика g_{sf}(t) , то предварительно вычисляют амплитудно-фазовую характеристику G_{sf}(j\omega) по формуле
4. Если в качестве динамической характеристики нормирована переходная характеристика h_{sf}(t) , то предварительно вычисляют амплитудно-фазовую характеристику по формуле
5. Рекомендуемые методы расчета динамической погрешности применимы для таких аналоговых СИ, которые могут рассматриваться как линейные.
6. Динамическая погрешность цифровых СИ рассчитывается в соответствии с рекомендациями РД 50-148-79 «Нормирование и определение динамических характеристик аналого-цифровых преобразователей мгновенного электрического напряжения и тока».
3.1.4. Определение характеристик погрешности СИ в реальных условиях его эксплуатации.
3.1.4.1 Характеристики погрешности СИ по п. 1.1.1 вычисляются по формулам
M[\Delta_{\text{си}}] = M[\Delta_{\xi}] , (15)
\sigma[\Delta_{\text{си}}] = \sqrt{D[\Delta_{\xi}] + D[\Delta_{dyn}]} . (16)
3.1.4.2 Характеристики погрешности СИ по п. 1.1.2 вычисляются по формулам
\Delta_{\text{си}.\text{н}} = M[\Delta_{\text{си}}] - K\sigma[\Delta_{\text{си}}] , (17)
\Delta_{\text{си}.\text{в}} = M[\Delta_{\text{си}}] - K\sigma[\Delta_{\text{си}}] . (18)
3.1.5. Значение K зависит от вида закона распределения погрешности \Delta_{\text{си}} и выбранного значения вероятности P. Приближенное значение K может быть найдено в соответствии с рекомендациями пп. 3.1.5.1 и 3.1.5.2.
3.1.5.1. Если закон распределения погрешности \Delta_{\text{си}} может быть отнесен к числу симметричных законов распределения с невозрастающей плотностью по мере удалений от центра распределения, то в качестве значения K может быть принято K_{cp} . График зависимости K_{cp}(P) приведен на рисунке.
Заштрихованная на рисунке область соответствует возможным значениям K. Разность между кривой K_{cp} и любой из граничных кривых определяет погрешность коэффициента K_{cp} (при P = 0,95 эта погрешность лежит в границах +/- 16%, при P = 0,99 — в границах +/- 30%).
3.1.5.2. Для грубых, ориентировочных расчетов, если есть основания предполагать, что закон распределения погрешности \Delta_{\text{си}} примерно удовлетворяет условиям п. 3.1.5.1, значение K может вычисляться по формуле
Эта формула дает значения K несколько завышенные по отношению K_{cp} .
3.1.5.3. Если для закона распределения погрешности \Delta_{\text{си}} , удовлетворяющего условиям п. 3.1.5.1, известна оценка параметра \lambda , равного \lambda = \Delta/2\sigma , где \Delta — основание усеченной функции плотности распределения вероятностей (т.е. длина интервала погрешности, соответствующая P = 1), то значения коэффициента K могут выбираться по таблице, где также указана \delta_{K} , %, — наибольшая возможная относительная погрешность K.
3.2. Второй метод расчета характеристик погрешности СИ в реальных условиях эксплуатации.
3.2.1. Наибольшее по абсолютной величине возможное значение \Delta_{cjm} дополнительной погрешности СИ от j-й влияющей величины вычисляется по формуле
, (21)если диапазон изменения \Delta\xi_{\in j} влияющей величины, для которого нормирована метрологическая характеристика \in _{p}(\xi_{j}) , равен диапазону рабочих условий применения СИ; или
если диапазон изменения \Delta\xi_{\in j} влияющей величины, для которого нормирована метрологическая характеристика \in _{p}(\xi_{j}) , равен лишь части диапазона рабочих условий применения СИ, причем для любой части рабочих условий нормируется одно и то же значение \in _{p}(\xi_{j}) .
Примечание. Выражение (21) предполагает наихудший из всех возможных характер зависимости (ступенчатая функция) дополнительной погрешности СИ \Delta_{cj} от \xi_{j} в рабочей области значений влияющей величины. Если в результате исследования определена функция влияния конкретного экземпляра СИ, то расчет \Delta_{cjm} может производиться с использованием этой функции влияния. Например, если в результате исследования установлен линейный характер зависимости \Delta_{cj} от \xi_{j} , то для расчета может использоваться выражение (22) вместо (21).
3.2.1.1. Если исходные данные о влияющих величинах \xi_{j} заданы в соответствии с п. 2.3.2.1, то при определении значения K_{\in}(\xi_{j}) в соответствии с выражениями (21) и (22) в качестве \xi_{j} используются конкретные значения влияющей величины.
3.2.1.2. Если исходные данные о влияющих величинах заданы в соответствии с п. 2.3.2.2, то при определении значения K_{\in}(\xi_{j}) в соответствии с выражениями (21) и (22) в качестве \xi_{j} используется то из значений \xi_{\text{н}j} или \xi_{\text{в}j} , при котором K_{\in}(\xi_{j}) имеет наибольшее значение.
3.2.2. Оценка сверху относительного значения \delta_{dyn.m} динамической погрешности для СИ с линейной фазово-частотной характеристикой вычисляется по формуле
где A_{sf}(\omega_{0}) — номинальная амплитудно-частотная характеристика при нормальном значении \omega_{0} частоты;
A_{sf}(\omega_{m}) — номинальная амплитудно-частотная характеристика, наиболее отклоняющаяся на интервале \omega_{\text{н}} \leq \omega_{m} \leq \omega_{\text{в}} (п. 2.3.3) от значения A_{sf}(\omega_{0}) .
3.2.3. Нижняя \Delta_{\text{си}.\text{н}} и верхняя \Delta_{\text{си}.\text{в}} — границы интервала, в котором с вероятностью P = 1 находится погрешность СИ в реальных условиях эксплуатации (п. 1.1.2), вычисляются но формулам
\Delta_{\text{си}.\text{в}} = \Delta_{\text{ор}} + \sum_{j = 1}^{n} \Delta_{cjm} + \delta_{dyn.m}R ; (24)
\Delta_{\text{си}.\text{н}} = - \Delta_{\text{си}.\text{в}} , (25)
Суммирование выполняется для n влияющих величин, для которых нормированы метрологические характеристики \in _{p}(\xi_{j}) , j = 1, 2, ..., n СИ по п. 2.3.1 и значения которых в момент измерения отличаются от установленных для данного СИ нормальных значений.
\Delta_{\text{си}} — погрешность СИ в реальных условиях эксплуатации;
\Delta_{\text{си}.\text{н}},\Delta_{\text{си}.\text{в}} — нижняя и верхняя границы интервала, в котором с вероятностью P находится погрешность СИ;
\Delta_{os} — систематическая составляющая основной погрешности СИ;
\Delta_{sm} — наибольшее возможное по абсолютной величине значение неисключенной систематической составляющей погрешности конкретного экземпляра СИ;
\sigma_{p}[\Delta_{0}^{{}^{\circ}}] — предел допускаемого среднего квадратического отклонения случайной составляющей основной погрешности конкретного экземпляра СИ;
H_{op} — предел допускаемой вариации СИ при нормальных условиях;
\mu_{sf} — номинальная цена единицы наименьшего разряда кода цифрового измерительного прибора (аналого-цифрового измерительного преобразователя);
\Psi_{s.sf}(\xi_{j}) — номинальная функция влияния j-й влияющей величины на систематическую составляющую погрешности СИ;
\Psi_{\sigma.sf}(\xi_{j}) — номинальная функция влияния j-й влияющей величины на среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности СИ;
\Psi_{\text{н}.sf}(\xi_{j}) — номинальная функция влияния j-й влияющей величины на вариацию СИ;
\in _{\text{р}}(\xi_{j}) — наибольшее допускаемое изменение погрешности СИ, вызванное отклонением j-й влияющей величины от нормального значения;
\Delta\xi_{\in j} — приращение j-й влияющей величины, для которой нормирована метрологическая характеристика \in _{\text{р}}(\xi_{j}) ;
K_{s.sfj} — номинальный коэффициент влияния j-й влияющей величины на систематическую составляющую погрешности СИ;
K_{\sigma.sfj} — номинальный коэффициент влияния j-й влияющей величины на среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности СИ;
K_{\text{н}.sfj} — номинальный коэффициент влияния j-й влияющей величины на вариацию СИ;
\Delta_{op} — предел допускаемой основной погрешности СИ;
h_{sf}(t) — номинальная переходная характеристика СИ;
g_{sf}(t) — номинальная импульсная переходная характеристика СИ;
G_{sf}(j\omega) — номинальная амплитудно-фазовая характеристика;
G_{sf}(S) — номинальная передаточная функция;
A_{sf}(\omega) — номинальная амплитудно-частотная характеристика;
\xi_{j} — j-я влияющая величина;
\xi_{\text{н}j},\xi_{\text{в}j} — наименьшие и наибольшие значения j-й влияющей величины, соответствующие реальным условиям эксплуатации СИ;
\xi_{ref.j} — нормальное значение j-й влияющей величины;
\varphi(\xi_{j}) — закон распределения влияющей величины \xi_{j} ;
x — значение входного сигнала;
\omega_{\text{н}},\omega_{\text{в}} — нижняя и верхняя границы спектра частот входного сигнала СИ;
S_{x}(\omega) — спектральная плотность входного сигнала СИ;
R_{x}(\tau) — автокорреляционная функция входного сигнала СИ;
\Delta_{\xi} — статическая составляющая погрешность СИ при реальных значениях влияющих величин;
\Psi_{s.sf}(M[\xi_{j}]) — номинальная функция влияния \Psi_{s.sf}(\xi_{j}) при \xi_{j} = M[\xi_{j}] ;
\Psi'_{s.sf}(M[\xi_{j}]),\Psi_{s.sf}^{"}(M[\xi_{j}]) — первая и вторая производные от номинальной функции влияния \Psi_{s.sf}(\xi_{j}) при \xi_{j} = (M[\xi_{j}]) ;
\Psi_{\text{н}.sfm}(\xi_{j}),\Psi_{\sigma.sfm}(\xi_{j}) — наибольшие на интервале \xi_{\text{н}j} \leq \xi_{j} \leq \xi_{\text{в}j} номинальные функции влияния \Psi_{\text{н}.sf}(\xi_{j}) и \Psi_{\sigma.sf}(\xi_{j}) ;
\Delta_{dyn} — динамическая составляющая погрешности СИ;
K — коэффициент, используемый для вычисления интервальной оценки погрешности СИ по ее среднему квадратическому отклонению;
\Delta_{cjm} — наибольшая возможная дополнительная погрешность СИ от j-й влияющей величины;
K_{\in}(\xi_{j}) — коэффициент, используемый для вычисления наибольшей возможной дополнительной погрешности СИ;
\delta_{dyn.m} — оценка сверху относительной динамической погрешности СИ;
M[ \cdot ] — символ математического ожидания;
D[ \cdot ] — символ дисперсии;
\sigma[ \cdot ] — символ среднего квадратического отклонения.
Пример 1. Расчет характеристик погрешности аналогового средства измерений мгновенных значений напряжения по первому методу (п. 3.1)
1.1 Исходные данные.
1.1.1 Нормируемые метрологические характеристики СИ:
предел допускаемой систематической составляющей основной погрешности \Delta_{osp} = 10 мВ;
предел допускаемого среднего квадратического отклонения случайной составляющей основной погрешности \sigma_{p}[\Delta_{0}^{{}^{\circ}}] = 5 мВ;
предел допускаемой вариации H_{op} = 6 мВ;
номинальные функции влияния на систематическую составляющую погрешности
\Psi_{s.sf}(\xi_{1}) = K_{s.sf1}(\xi_{1} - \xi_{ref.1}),\Psi_{s.sf}(\xi_{2}) = K_{s.sf2}(\xi_{2} - \xi_{ref.2}) ,
где K_{s.sf1} = 0,5 мВ/°C; K_{s.sf2} = 0,4 мВ/В — номинальные значения коэффициентов влияния температуры и напряжения питания на систематическую составляющую погрешности;
\xi_{ref.1} = 20 °C; \xi_{ref.2} = 220 В — нормальные значения влияющих величин;
номинальные функции влияния на среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности
\Psi_{\sigma.sf}(\xi_{1}) = K_{\sigma.sf1}(\xi_{1} - \xi_{ref.1}),\Psi_{\sigma.sf}(\xi_{2}) = K_{\sigma s.sf2}(\xi_{2} - \xi_{ref.2}) ,
где K_{\sigma.sf1} = 0,1 мВ/°C; K_{\sigma.sf2} = 0,1 мВ/В — номинальные значения коэффициентов влияния температуры и напряжения питания на среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности;
номинальная амплитудно-фазовая характеристика
где K_{sf} = 1 — номинальный коэффициент преобразования СИ при нормальном значении \omega_{0} = 0 частоты входного сигнала; T = 5 мс — постоянная времени.
1.1.2 Характеристики влияющих величин.
1.1.3. Автокорреляционная функция измеряемого напряжения (характеристика входного сигнала) R(\tau) = D_{u}' \cdot e^{- \alpha\pi} , где D_{u} = 0,1 B^{2} — дисперсия измеряемого напряжения;
1.2. Расчет математического ожидания и дисперсии статической составляющей погрешности СИ при значениях влияющих величин, отличающихся от нормальных значений.
1.2.1. Математическое ожидание M[\Delta_{\xi}] статической составляющей погрешности СИ для заданных характеристик влияющих величин вычисляется по формулам п. 3.1.1.
Для случая, когда нет оснований предполагать несимметричность распределения значений систематической составляющей основной погрешности в интервале ( - \Delta_{osp},\Delta_{osp} ) и значений влияющих величин \xi_{1},\xi_{2} в интервалах ( \xi_{\text{н}1},\xi_{\text{в}1} ), ( \xi_{\text{н}2},\xi_{\text{в}2} )
M[\Delta_{os}] = 0,M[\xi_{1}] = 0,5(\xi_{\text{н}1} + \xi_{\text{в}1}) = 0,5(25 + 35) = 30 °C,
M[\xi_{2}] = 0,5(\xi_{\text{н}2} + \xi_{\text{в}2}) = 0,5(200 + 230) = 215 В.
В соответствии с формулами (2), (3)
M[\Delta_{\xi}] = M[\Delta_{os}] + K_{s.sf1}(M[\xi_{1}] - \xi_{ref.1}) + K_{s.sf2}(M[\xi_{2}] - \xi_{ref.2}) = 0,5 \cdot 10 - 0,4 \cdot 5 = 3 мВ.
1.2.2. Дисперсия D[\Delta_{\xi}] статической составляющей погрешности СИ для заданных характеристик влияющих величин вычисляется по формулам (7), (8)
D[\Delta_{\xi}] = [\sigma^{2}[\Delta_{os}] + {\sigma_{p}[\Delta_{0}^{{}^{\circ}}] + K_{\sigma.sf1}(\xi_{\text{в}1} - \xi_{ref.1}) + K_{\sigma.sf2}(\xi_{\text{н}2} - \xi_{ref.2})}^{2} +
+ K_{s.sf1}^{2}\sigma^{2}[\xi_{1}] + K_{s.sf2}^{2}\sigma^{2}[\xi_{2}] + H_{op}^{2}/12 .
Для случая, когда нет оснований выделить область предпочтительных значений систематической составляющей основной погрешности в интервале ( - \Delta_{osp},\Delta_{osp} ) и области предпочтительных значений влияющих величин \xi_{1},\xi_{2} в интервалах ( \xi_{\text{н}1},\xi_{\text{в}1} ), ( \xi_{\text{н}2},\xi_{\text{в}2} )
D[\Delta_{os}] = \frac{\Delta_{osp}^{2}}{3} = \frac{100}{3} = 33,3\text{мВ}^{2} ;
\sigma[\xi_{1}] = \frac{\xi_{\text{в}1} - \xi_{\text{н}1}}{\sqrt{12}} = \frac{35 - 25}{\sqrt{12}} = 2,9 °C;
\sigma[\xi_{2}] = \frac{\xi_{\text{в}2} - \xi_{\text{н}2}}{\sqrt{12}} = \frac{230 - 200}{\sqrt{12}} = 8,7 В.
С учетом полученных значений средних квадратических отклонений
D[\Delta_{\xi}] = 33,3 + (5 + 1,5 + 2)^{2} + 0,25 \cdot 2,9^{2} + 0,16 \cdot 8,7^{2} + \frac{6^{2}}{12} = 123\text{мВ}^{2} .
1.3. Расчет дисперсии D[\Delta_{dyn}] динамической составляющей погрешности СИ производится по формулам (11), (12) п. 3.1.3. Предварительно по автокорреляционной функции измеряемого напряжения вычисляется спектральная плотность энергии измеряемого напряжения
S_{u}(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{\infty} D_{u}e^{- 2|\tau|}e^{- j\omega\tau}d\tau = \frac{D_{u}\alpha}{\pi(\alpha^{2} + \omega^{2})} [\frac{\text{мВ}^{2}}{\text{рад}}] .
Дисперсия динамической составляющей погрешности, приведенной к входу СИ, вычисляется по формуле
D[\Delta_{dyn}] = 2 \int_{0}^{\infty} | \frac{1}{1 + j\omega T} - 1|^{2}S_{u}(\omega)d\omega = \frac{D_{u}\alpha T}{1 + \alpha T} =
= \frac{1 \cdot 10^{5} \cdot 0,2 \cdot 0,005}{1 + 0,2 \cdot 0,005} = 100\text{мВ}^{2} .
1.4. Расчет характеристик погрешности СИ в реальных условиях его эксплуатации.
1.4.1. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение погрешности СИ вычисляется по формулам (15), (16) п. 3.1.4.
\text{М }[\Delta_{\text{си}}] = M[\Delta_{\xi}] = 3\text{мВ} ;
\sigma[\Delta_{\text{си}}] = \sqrt{D[\Delta_{\xi}] + D[\Delta_{dyn}]} = \sqrt{123 + 100} = 15\text{мВ} .
1.4.2. Границы интервальной оценки погрешности СИ вычисляются по формулам (17), (18) п. 3.1.4.2. Если есть основания предполагать, что закон распределения погрешности \Delta_{\text{си}} является симметричным, одномодальным и не более островершинным, чем нормальное распределение, то значение коэффициента K_{cp} можно определять по кривой, представленной на рисунке. Для значения P = 0,95 коэффициент K_{cp} составляет 1,95, тогда
\Delta_{\text{си}.\text{н}} = \text{М }[\Delta_{\text{си}}] - K_{\text{ср}}\sigma[\Delta_{\text{си}}] = 3 - 1,95 \cdot 15 = - 26,3\text{мВ} ;
\Delta_{\text{си}.\text{в}} = \text{М }[\Delta_{\text{си}}] + K_{\text{ср}}\sigma[\Delta_{\text{си}}] = 3 + 1,95 \cdot 15 = 32,3\text{мВ} .
Пример 2. Расчет характеристик погрешности аналогового средства измерений мгновенных значений напряжения по второму методу (п. 3.2)
2.1 Исходные данные.
2.1.1 Нормируемые метрологические характеристики СИ:
предел допускаемых значений основной погрешности \Delta_{\text{ор}} = 20 мВ;
наибольшее допускаемое изменение \in _{\text{р}}(\xi_{1}) погрешности, вызванное отклонением температуры от нормального значения (20 °C), составляет 5 мВ на каждые 10 °C отклонения температуры;
наибольшее допускаемое изменение \in _{\text{р}}(\xi_{2}) погрешности, вызванное отклонением напряжения питания от нормального значения (220 В) на +/- 10%, составляет 10 мВ;
номинальная амплитудно-частотная характеристика
где K_{sf} = 1 — номинальный коэффициент преобразования СИ при нормальном значении \omega_{0} = 0 частоты входного сигнала;
T = 5 мс — постоянная времени.
2.1.2 Характеристики влияющих величин
2.1.3. Спектр частот входного сигнала лежит в диапазоне 0 — 10 Гц (характеристика входного сигнала).
2.2 Расчет наибольших возможных значений дополнительных погрешностей (п. 3.2.1)
\Delta_{c1m} = \in _{p}(\xi_{1}) \frac{\xi_{\text{в}1} - \xi_{ref.1}}{\Delta\xi_{\in 1}} = \frac{(35 - 20)5}{10} = 7,5\text{мВ} ;
\Delta_{\text{с}2m} = \in _{p}(\xi_{2}) \cdot K_{\in}(\xi_{2}) = 10\text{мВ} .
2.3 Расчет оценки сверху относительного значения динамической погрешности (п. 3.2.2)
\delta_{dyn.m} = |1 - \frac{K_{sf}}{A_{sf}(\omega_{\text{в}})} | = |1 - \sqrt{1 + \omega_{\text{в}}^{2}T^{2}} | = 0,05 .
2.4. Расчет характеристик погрешности СИ в реальных условиях эксплуатации (п. 3.2.3).
Нижняя \Delta_{\text{си}.\text{н}} и верхняя \Delta_{\text{си}.\text{в}} границы интервала, в котором с вероятностью P = 1 находится погрешность СИ, вычисляется в соответствии с формулами (24), (25)
\Delta_{\text{си}.\text{н}} = - (\Delta_{\text{ор}} + \Delta_{c1m} + \Delta_{c2m} + \delta_{dyn.m}U) = - (20 + 7,5 + 10 + 0,05U)\text{мВ } = - (37,5 + 0,05U)\text{мВ} ,
\Delta_{\text{си}.\text{в}} = - \Delta_{\text{си}.\text{н}} = (37,5 + 0,05U)\text{мВ} .
Для конкретного значения измеренного мгновенного напряжения U = 0,6 В границы интервала погрешности составляют \Delta_{\text{си}.\text{н}} = -68 мВ, \Delta_{\text{си}.\text{в}} = 68 мВ.
Пример 3. Расчет характеристик погрешности аналого-цифрового преобразователя постоянного тока (п. 3.1).
3.1 Исходные данные.
3.1.1 Нормируемые метрологические характеристики АЦП:
предел допускаемых значений систематической составляющей основной погрешности \Delta_{osp} = 1 мА;
предел допускаемых значений среднего квадратического отклонения случайной составляющей основной погрешности \sigma_{p}[\Delta_{0}^{{}^{\circ}}] = 0,3 мА;
номинальная функция влияния температуры на систематическую составляющую погрешности
\Psi_{s.sf1}(\xi_{1}) = K_{s.sf1}(\xi_{1} - \xi_{ref.1})^{2},\Psi_{s.sf1}(\xi_{1}) = 0 при \xi_{1} \leq \xi_{ref.1} ,
где K_{s.sf1} = 0,001\text{мА}/(°\text{С})^{2},\xi_{ref.1} = 20°\text{С} ;
номинальная цена единицы наименьшего разряда кода \mu_{sf} = 1 мА.
3.1.2 Характеристики влияющей величины:
3.2. Расчет математического ожидания и дисперсии статической составляющей погрешности АЦП при значениях влияющей величины, отличающихся от нормального значения.
3.2.1. Математическое ожидание M[\Delta_{\xi}] статической составляющей погрешности для заданных характеристик влияющей величины вычисляется по формулам п. 3.1. Для случая, когда нет оснований выделить области предпочтительных значений систематической составляющей основной погрешности в интервале ( - \Delta_{osp},\Delta_{osp} ) и области предпочтительных значений влияющей величины в интервале ( \xi_{\text{в}1},\xi_{\text{н}1} ), несимметрично расположенные относительно центров указанных интервалов, получим
В соответствии с формулами (2), (3), (5) и принятым способом представления нормированной основной погрешности АЦП
M[\Delta_{\xi}] = M[\Delta_{osp}] + K_{s.sf1}(M[\xi_{1}] - \xi_{ref.1})^{2} + K_{s.sf1}\sigma^{2}(\xi_{1}) =
= 1 \cdot 10^{- 3}(45 - 20)^{2} + 1 \cdot 10^{- 3} \frac{(60 - 30)^{2}}{12} = 0,7\text{мА} .
3.2.2. Дисперсия D[\Delta_{\xi}] статической составляющей погрешности АЦП для заданных характеристик влияющей величины вычисляется по формулам (7), (8), (10)
D[\Delta_{\xi}] = \sigma^{2}[\Delta_{osp}] + [2K_{s.sf1}(M[\xi_{1}] - \xi_{ref.1})]^{2}\sigma^{2}[\xi_{1}] + 1,6K_{s.sf1}^{2}\sigma^{4}[\xi_{1}] +
+ \sigma_{p}^{2}[\Delta_{0}^{{}^{\circ}}] + \frac{\mu_{sf}^{2}}{12} = 0,33 + (2 \cdot 10^{- 3})^{2}(45 - 20)^{2} \frac{(60 - 30)^{2}}{12} +
+ 1,6 \cdot 1 \cdot 10^{- 6} \frac{(60 - 30)^{4}}{12^{2}} + 0,09 + 0,083 = 0,7\text{мА}^{2} .
3.2.3. Расчет границ интервальной оценки погрешности АЦП производится по формулам (17), (18). Для случая, когда закон распределения погрешности может быть отнесен к числу симметричных законов распределения с невозрастающей плотностью по мере удаления от центра распределения, значение коэффициента K_{cp} вычисляется по формуле (19). Для значения P = 0,9 коэффициент K_{cp} равен 2, тогда
\Delta_{\text{си}.\text{н}} = M[\Delta_{\text{си}}] - K_{cp}\sigma[\Delta_{\text{си}}] = 0,7 - 1,7 \cdot 0,84 = - 0,7\text{мА} ;
\Delta_{\text{си}.\text{в}} = M[\Delta_{\text{си}}] + K_{cp}\sigma[\Delta_{\text{си}}] = 0,7 + 1,7 \cdot 0,84 = 2,1\text{мА} .