Приказ Росстрахнадзора от 28.06.1996 № 02-02/18

«О Методике расчета страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни»

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА РОССИИ ПО НАДЗОРУ ЗА СТРАХОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ

ПРИКАЗ от 28 июня 1996 г. № 02-02/18

О МЕТОДИКЕ РАСЧЕТА СТРАХОВЫХ ТАРИФОВ ПО ВИДАМ СТРАХОВАНИЯ, ОТНОСЯЩИМСЯ К СТРАХОВАНИЮ ЖИЗНИ

В целях установления единой методологической базы расчетов страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни:

1. Одобрить Методику расчета страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни.

2. Рекомендовать страховым организациям Российской Федерации использовать при подготовке документов для получения лицензии по страхованию жизни Методику расчета страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни.

МЕТОДИКА РАСЧЕТА СТРАХОВЫХ ТАРИФОВ ПО ВИДАМ СТРАХОВАНИЯ, ОТНОСЯЩИМСЯ К СТРАХОВАНИЮ ЖИЗНИ

Настоящая Методика разработана в целях оказания методической помощи при расчете страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни.

К страхованию жизни относятся виды личного страхования, предусматривающие обязанность страховщика по страховым выплатам в следующих случаях:

• дожитие застрахованного лица до срока или возраста, установленного договором страхования;
• смерть застрахованного.

Договоры страхования жизни заключаются на срок не менее одного года <*>. При этом договоры страхования жизни, заключаемые на случай дожития застрахованного до определенного срока или возраста, могут устанавливать в качестве страхового случая факт дожития застрахованного до срока, установленного не ранее чем через год после вступления договора страхования в силу. Исключение составляют договоры страхования жизни, заключенные на условиях выплаты страховой ренты, вступающие в силу с момента уплаченного единовременно страхового взноса.

<*> «Условия лицензирования страховой деятельности на территории Российской Федерации» утверждены Приказом Росстрахнадзора № 02-02/08 от 19.05.94.

Страховой тариф (брутто — ставка) формируется из нетто — ставки и нагрузки. Настоящая методика устанавливает порядок расчета нетто — ставки страхового тарифа.

Нетто — ставка страхового тарифа по страхованию жизни на дожитие до срока или возраста, установленного договором страхования, или на случай смерти застрахованного исчисляется исходя из условия обеспечения эквивалентности между страховыми взносами и доходностью от инвестирования средств страховых резервов, с одной стороны, и размером подлежащего выплате страхового обеспечения, с другой, по всем договорам страхования, заключенным с таким условием.

Размер нетто — ставки страхового взноса по страхованию жизни исчисляется в зависимости от следующих факторов:

1. возраста и пола страхователя на момент вступления договора страхования в силу либо застрахованного лица, если договор страхования заключается о страховании третьего лица;

2. вида, размера и срока выплаты страхового обеспечения;

3. срока и периода уплаты страховых взносов;

4. срока действий договора страхования;

5. планируемой нормы доходности от инвестирования средств страховых резервов по страхованию жизни, принятой при расчете.

Страховое обеспечение по договорам страхования жизни может выплачиваться страховщиком в виде:

• единовременной выплаты;
• ренты (в течение срока, установленного в договоре страхования, — срочная рента или пожизненно — пожизненная рента).

В договоре страхования жизни выделяют период уплаты страховой премии, выжидательный период и период страховых выплат.

Период уплаты страховой премии — срок, определенный в договоре страхования жизни, в течение которого страхователь обязан уплатить установленную договором страховую премию. При этом страховая премия может быть уплачена единовременным платежом или в рассрочку в течение срока, установленного в договоре страхования, в том числе до момента события (возможного страхового случая), с наступлением которого у страховщика возникает обязанность по страховой выплате.

Выжидательный период устанавливается в договорах страхования жизни, заключенных с условием дожития застрахованного до срока, определенного в договоре страхования, и представляет собой период времени между исполнением страхователем в полном объеме обязательств по уплате страховой премии и наступлением периода страховых выплат.

Период страховых выплат — период, в течение которого возникают и исполняются страховщиком обязательства по осуществлению страховых выплат. Период страховых выплат устанавливается в договоре страхования. Сумма страховой выплаты может быть выплачена единовременно или в виде страховой ренты: срочной или пожизненной.

При расчете страховых тарифов по договорам страхования жизни, заключенным на случай смерти застрахованного, имеют в виду, что страховой случай и обязанности по страховой выплате возникают у страховщика в течение срока, установленного в договоре страхования — срока страхования. При этом договор страхования может быть заключен на определенный срок (не менее одного года) либо пожизненно.

При расчете страховых тарифов по договорам страхования жизни, заключенным на случай дожития застрахованного до срока или возраста, установленного договором, имеют в виду, что обязательства по страховой выплате (в период страховых выплат) возникают у страховщика только при исполнении страхователем в полном объеме обязанности по уплате страховой премии (в период уплаты страховой премии).

Долгосрочность действия договоров страхования жизни и специфика страхового обязательства по страховой выплате определяют требования к расчету страховых тарифов. При этом при расчете страховых тарифов по договорам страхования жизни принимают во внимание следующие обстоятельства:

• увеличение возраста застрахованного в течение срока действия договора страхования жизни изменяет вероятность наступления страхового случая, при этом вероятность страхового случая определяется на основании таблиц смертности;
• суммы страховых выплат, подлежащие выплате при наступлении страхового случая, определяются с учетом процентного дохода от инвестирования средств страховых резервов (суммы страховых взносов в размере нетто — ставки страхового тарифа, уплаченной по договору страхования).

Методика расчета страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни, включает следующие основные этапы:

• по каждому риску рассчитывается ожидаемая стоимость страхового обеспечения на единицу страховой суммы, приведенная на момент заключения договора страхования (современная ожидаемая стоимость страхового обеспечения). Полученная величина принимается за единовременную нетто — ставку для конкретного риска. Совокупность нетто — ставок по всем рискам, рассчитанная с учетом характера рисков и их соотношения, представляет собой единовременную нетто — ставку по договору страхования;
• с учетом порядка уплаты взносов страховой премии, установленного договором страхования, определяется их ожидаемая стоимость, приведенная на начало действия договора страхования. В том случае, если условия договора страхования предполагают уплату страховой премии в рассрочку, полученная величина используется в качестве коэффициента рассрочки для расчета периодической годовой (месячной, квартальной, полугодовой) нетто — ставки;
• нетто — ставка по договору страхования, предусматривающему уплату страховой премии в рассрочку, определяется на основе единовременной нетто — ставки и соответствующих условиям страхования коэффициентов рассрочки;
• брутто — ставка рассчитывается на основании полученного значения нетто — ставки и принятой величины нагрузки с учетом, в необходимых случаях, характера распределения во времени расходов, входящих в нагрузку страховщика.

В настоящей Методике рассмотрен общий методический подход к расчету страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни, и приведены методы их расчета для некоторых часто применяемых условий страхования.

Во всех случаях предполагается, что норма доходности, принятая при расчете страховых тарифов, постоянна в течение срока действия договора страхования, а доход от инвестирования средств страховых резервов определяется по формуле сложных процентов.

Расчеты страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни, называют актуарными расчетами. При их проведении в большинстве стран принята единая система обозначений математических величин и показателей. С целью обеспечения единообразия расчетов такая система обозначений используется и в настоящей Методике.

Использование приближенных формул для высоких процентных ставок ведет к заметному огрублению полученных результатов. Поэтому для процентных ставок, превышающих 50%, рекомендуется использовать точные, а не приближенные формулы.

Примеры расчета страховых тарифов приводятся с использованием данных условной таблицы смертности населения при годовой норме доходности от инвестирования средств страховых резервов, составляющей пять процентов. При расчетах конкретных значений тарифных ставок необходимо использовать таблицы смертности, рассчитанные для региона, в котором проводится страхование, раздельно для мужчин и женщин в силу их различной средней продолжительности жизни. Кроме того, при страховании жизни групп населения, объединенных по некоторым специфическим признакам, например, по роду деятельности (шахтеры, металлурги и др.) или месту проживания (город, сельская местность) использование таблиц смертности, составленных конкретно для них, обеспечит более высокую надежность проводимых расчетов.

В целях обеспечения единообразия актуарных расчетов в настоящей Методике использованы следующие показатели, термины и обозначения.

2.1 Процентные ставки

2.1.1. Процентная ставка — величина дохода, приносимого единицей денежной суммы в течение определенного промежутка времени, обычно одного года, если не оговорено иного срока. Вместо выражения «процентная ставка» употребляют также термин «норма доходности».

2.1.2. i — эффективная процентная ставка. Определяет размер дохода, получаемого в конце года при инвестировании единичной денежной суммы на один год.

При инвестировании единичной суммы с эффективной процентной ставкой i через год будет получена сумма, равная (1 + i), рис. 1.

В финансовых расчетах часть используется также понятие процента, то есть размера дохода, приносимого денежной суммой в 100 единиц, или 100 i.

                             1  1+i



                             0   1   время

2.1.3. i (m) — номинальная годовая процентная ставка — совокупный размер дохода, получаемого за год при инвестировании единичной денежной суммы с начислением процентов через равные промежутки времени m раз в течение года по формуле сложных процентов с годовой процентной ставкой i.

Номинальная процентная ставка рассчитывается по формуле

                  1/m

i (m) = m ((1 + i) — 1)

В том случае, если число периодов начисления процентов за год составляет m, по окончании каждого периода действия инвестиционного договора на вложенный капитал начисляются проценты по ставке, рис. 2.

          (m)/m  (m)/m  (m)/m        (m)/m  (m)/m     (m)/m
      1  i      i      i            i      i       1+i

<pre class="legal-pre">      │    /\     /\     /\            /\     /\     /\
      \/   │      │      │             │      │      │
     ────────────────────────       ────────────────────────</pre>

  0   1/m    2/m    3/m          1-2/m   1-1/m   1       время

2.1.4. Доход от инвестирования денежной суммы исчисляется соразмерно времени инвестирования капитала.

В настоящей Методике расчет дохода, полученного от инвестирования страховых взносов, осуществляется с использованием сложных процентов.

В этом случае в конце каждого периода капитализации инвестированных средств полученный доход присоединяется к денежной сумме, которая имелась в момент инвестирования, и далее по истечении каждого периода капитализации происходит увеличение накопленной суммы в той же пропорции, то есть:

                 t     b x t
    S = P (1 + i)  = Pe     , b = ln (1 + i)

            t

где: (1 + i) — множитель наращения сложных процентов за t лет;

b = ln (1 + i) = — ln (1 — d) — «сила процента» или «сила роста».

Величина P в приведенном выражении представляет собой современную (приведенную, дисконтированную) стоимость выплаты (взноса) в размере S, которая должна быть произведена через t лет.

    Сила процента  (сила  роста)  характеризует   размер   дохода,
полученного  при  непрерывном  реинвестировании единичной денежной
суммы за бесконечно малый промежуток времени.  Сила процента (сила
роста)  может  быть  постоянной  или изменяющейся во времени,  она
используется,  как  правило,  для  учета  сложных  закономерностей
процесса  накопления  дохода на вложенный капитал.  При постоянной
силе    процента    накопленная   стоимость  вложенного капитала P

                                               b x t

через время t будет измеряться величиной, равной Pe .

2.1.5. v — дисконтирующий множитель за 1 год, определяемый в соответствии с формулой:

                            1

v = ----- 1 + i

Дисконтирующий множитель показывает, какая сумма должна быть инвестирована в начале года с эффективной процентной ставкой i для получения в конце года денежной суммы в размере 1, рис. 3.

                          v    1



                          0    1  время

Современная (дисконтирования) стоимость будущей выплаты (взноса) равна величине этой выплаты (взноса) S, умноженной на дисконтирующий множитель за соответствующее число лет:

                                 t

P = Sv

          t
Величина v  называется дисконтирующим за t лет множителем.

2.1.6. d — эффективная ставка дисконтирования за год, или годовой дискон. Эффективная ставка дисконтирования представляет собой годовой доход, полученный при инвестировании суммы v с эффективной процентной ставкой i с целью получения в конце года единичной денежной суммы.

Эффективная ставка дисконтирования рассчитывается по формуле

d = 1 — v

Годовой дисконт d представляет собой дисконтированную стоимость процентной ставки. Его можно рассматривать как годовой доход, полученный в результате инвестирования суммы v с годовой процентной ставкой i.

2.1.7 Между величинами i, d, v существует следующая взаимосвязь:

d = 1 — v = 1 — 1/(1 + i) = i/(1 + i) = iv

        (m)

2.1.8. d — номинальная ставка дисконтирования.

Номинальная ставка дисконтирования характеризует размер дохода, полученного при реинвестировании единичной денежной суммы m раз в году.

При инвестировании единичной денежной суммы инвестор в начале (m)

каждого периода реинвестирования получает доход в размере d  /m, а
в конце года ему  возвращается  первоначально  внесенный единичный

взнос, рис. 4.

         (m)     (m)    (m)                   (m)
      1-d   /m  d  /m  d  /m                 d  /m  1

<pre class="legal-pre">         │       /\     /\                     /\   /\
         \/      │      │                      │    │
      ──────────────────────                ──────────</pre>

     0      1/m    2/m                  1-1/m   1  время

Размер номинальной ставки дисконтирования рассчитывается в соответствии с формулой

                     (m)                 1/m
                    d    = m (1 - (1 - d)   )

2.1.9. В таблице 1 представлены эквивалентные выплаты, характеризующие различные способы получения дохода, исчисленного с единицы денежной суммы, в зависимости от способа инвестирования денежных средств.

2.2 Показатели, характеризующие продолжительность

2.2.1. (х) — лицо в возрасте x лет.

2.2.2. l — показатель таблицы смертности, характеризующий x число лиц из наблюдаемой совокупности, доживших до возраста x лет. Значения l приводятся в таблице смертности при целых x (x = 0, 1, 2,... w, где w — предельный возраст таблицы смертности).

    2.2.3. d  = l  - l     -  показатель    таблицы    смертности,
            x    x    x+1

характеризующий число лиц, умерших в возрасте от x лет до возраста x+1 год. l x+n

    2.2.4.  p  = ---- = вероятность для  лица  в  возрасте  x  лет
           n x   l

              x

дожить до возраста x+n лет. n-1

                 сумма d      l  - l
                  t=0   x+1    x    x+n
    2.2.5.  q  = ---------- = ---------  вероятность  для  лица  в
           n x      l            l
                     x            x

возрасте x лет умереть в течение предстоящих n лет.

Примечание. Если n = 1, то индекс 1 в двух вышестоящих обозначениях p и q опускается, так что px — вероятность того, что человек возраста x через год будет жив, qx — вероятность того, что человек возраста x умрет в предстоящем году.

2.2.6. q — вероятность того, что лицо, возраста x лет,

умрет в возрасте от x + n до x + n + 1 года.

2.2.7. q — вероятность того, что лицо, возраста x лет,

умрет в возрасте от x + n до x + n + m лет.

    2.2.8. D ,  N ,  S ,  C ,  M ,  R   - коммутационные функции -
            x    x    x    x    x    x
специальные функции,  введенные  для  упрощения  записи  актуарных

формул и снижения трудоемкости расчетов, проводимых вручную.

         x

    D  = l  v
     x    x

                         w

    N  = D  + D    + ... = сумма D
     x    x    x+1          t=x   t

                               w          w
    S  = N  + N    + ... + = сумма N  = сумма (t - x + 1) D
     x    x    x+1            t=x   t    t=x               t

      x+1

    C  = v    d
     x         x

                        w

    M  = C  + C    + ... = сумма C
     x    x    x+1          t=x   t

                             w          w
    R  = M  + M    + ... = сумма M  = сумма (t - x + 1) C
     x    x    x+1          t=x   t    t=x               t

2.2.9. Рента — последовательные выплаты, производимые в сроки, установленные договором страхования, например, ежегодно, раз в полугодие, квартал, месяц или с другой периодичностью.

2.2.10. Рента немедленная — рента, выплата которой начинает производиться в течение первого года действия договора страхования.

2.2.11. Рента отсроченная — рента, выплата которой начинается после дожития застрахованным до определенного срока.

2.2.12. Рента пожизненная — рента, выплачиваемая до момента смерти застрахованного лица.

2.2.13. Рента временная — рента, выплачиваемая застрахованному, не долее установленного договором страхования числа лет, или определенного числа раз.

2.2.14. Рента пренумерандо — рента, выплачиваемая в начале каждого страхового года или другого установленного договором страхования периода.

2.2.15. Рента постнумерандо — рента, выплачиваемая в конце периода, установленного для очередной выплаты страхового обеспечения.

2.2.16. По размеру выплачиваемой ренты (пенсии) различаются условия страхования с постоянными и переменными размерами выплат страхового обеспечения. В последних размер ренты (пенсии) изменяется во времени, следуя установленной договором страхования закономерности.

2.2.17. Аннуитет — в страховании жизни — ожидаемая дисконтированная (приведенная на определенный момент действия договора страхования) стоимость последовательных страховых взносов или выплат.

Аннуитеты используются в актуарных расчетах для оценки современной или наращенной стоимости ренты (пенсии), а также и в качестве коэффициентов рассрочки при определении годичных, полугодовых, квартальных, месячных тарифных ставок, если условиями договора страхования предусмотрена уплата страховых взносов в рассрочку.

Аннуитеты применяются при расчете выкупных сумм, если предусматривается условие досрочного расторжения договора страхования или возврат страховых взносов в случае смерти застрахованного в период действия договора страхования, при расчете нетто — ставок в страховании на дожитие до определенного срока с условием выплаты страхового обеспечения в виде ренты (пенсии) и в ряде других случаев.

2.3 Актуарные символы и формулы для расчета аннуитетов

Представленные в настоящем разделе аннуитеты являются приведенной ожидаемой стоимостью страховых взносов или страхового обеспечения, выплачиваемого страховщиком страхователю в виде ренты (пенсии) постоянной величины до тех пор, пока застрахованный жив. При этом сумма взносов (ренты, пенсии) за год составляет единичную денежную сумму.

Для записи актуарных символов при расчете аннуитетов используются формулы, приведенные ниже. (m)

2.3.1. Символом a _ — обозначается аннуитет

постнумерандо. При этом индекс справа внизу (х) определяет возраст

застрахованного  на момент заключения договора страхования.  В том
случае,  если буквы индекса внизу справа от символа, обозначающего

                                                _

означает  срок  действия  договора  страхования или период выплаты
ренты (пенсии).  Отсутствие символа  внизу  справа,  обозначающего
срок   действия  договора  страхования,  предполагает  пожизненный

аннуитет постнумерандо.

Индекс слева внизу (n), отделенный от символа «а» вертикальной чертой, используется для обозначения того, на сколько лет отложен срок начала уплаты взносов или выплаты страхового обеспечения (отложенный аннуитет постнумерандо). Отсутствие индекса внизу слева предполагает немедленный аннуитет постнумерандо.

Индекс вверху справа от символа «а», заключенный в круглые скобки (m), предназначен для указания числа периодических выплат ренты, пенсии (уплаты страховых взносов) в течение года. Если указанный индекс отсутствует, то это означает, что рента, пенсия выплачивается один раз в год, или что страховой взнос уплачивается ежегодно. «..»

    Символом  а  с  двумя  точками  сверху  обозначается  аннуитет
пренумерандо.  Индексы при символе "а" имеют то же значение, что и

при обозначении аннуитета постнумерандо.

2.3.2. а — немедленный пожизненный аннуитет постнумерандо — x

приведенная на  начало  действия  договора  страхования  стоимость
пожизненной   ренты,   пенсии,  выплачиваемой  с  начала  действия
договора страхования в конце каждого истекшего страхового года  до

тех пор, пока застрахованный жив.

           1     1
           /\    /\

     0     1     2

 ├─────┼─────┼────────S─────── возраст
 x    x+1   x+2     смерть
 /\

 a
  x

                               l          N
                          w     t   t-x    x+1
                   a  = сумма ---- v    = ----
                    x   t=x+1  l          D
                                x          x

       ..

2.3.3. а — немедленный пожизненный аннуитет пренумерандо — x

приведенная на  начало  действия  договора  страхования  ожидаемая
стоимость пожизненной ренты,  пенсии,  в размере 1,  выплачиваемой
немедленно  в  начале  каждого  истекшего  года  действия договора

страхования до тех пор, пока застрахованный жив.

     1     1     1
     /\    /\    /\

     0     1     2

 ├─────┼─────┼────────S─────── возраст
 x    x+1   x+2     смерть
 /\

 ..
 a
  x

                               l           N
                   ..     w     t   t-x     x
                   a  = сумма ---- v    = ----
                    x    t=x   l           D
                                x           x

    2.3.4.   a   -  отсроченный  на  n  лет  пожизненный  аннуитет

постнумерандо   -   приведенная   на   начало   действия  договора
страхования  ожидаемая  стоимость   пожизненной   ренты,   пенсии,

отсроченной на n лет, при условии, что первая выплата производится через n+1 год после начала действия договора страхования в конце каждого страхового года, если застрахованный к этому времени жив.

                                         1     1
                                        /\    /\

<pre class="legal-pre">                                        │     │
     ├─────┼─────┼────────S    S──┼─────┼─────┼──────S── время</pre>

     0     1     2                n    n+1   n+2

     ├─────┼─────┼────────S    S──┼─────┼─────┼──────S── возраст
     x    x+1   x+2              x+n  x+n+1  x+n+2
     /\                                            смерть

 a

                              l          N
                       w       t   t-x    x+n+1
                a  = сумма   ---- v    = ------

                           x          x

         ..

2.3.5. a — отсроченный на n лет пожизненный аннуитет

пренумерандо — приведенная на начало действия договора страхования ожидаемая стоимость пожизненной ренты, пенсии, отсроченной на n лет при условии, что первая выплата производится через n лет после начала действия договора страхования в начале каждого страхового года, если застрахованный к этому времени жив.

                                  1     1     1
                                  /\    /\    /\

     0     1     2                n    n+1   n+2

     ├─────┼─────┼────────S    S──┼─────┼─────┼──────S── возраст
     x    x+1   x+2              x+n  x+n+1  x+n+2
     /\                                            смерть

  ..
  a

                               l          N
                   ..     w     t   t-x    x+n
                   a  = сумма ---- v    = ----

                                x          x

    2.3.6. a     -     пожизненный     аннуитет     постнумерандо,

         (m)
        x

соответствующий    приведенной   на   начало   действия   договора
страхования  ожидаемой   стоимости   пожизненной   ренты,   пенсии
(взносов)  в  размере  1/m,  выплачиваемой  m  раз  в течение года
(ежемесячно,  ежеквартально,  раз  в  полугодие).  Первая  выплата
производится  по  истечении  1/m  части  года  от  начала действия

договора страхования.

          1/m   1/m               1/m   1/m   1/m
           /\    /\               /\    /\    /\

     0    1/m   2/m               1   1+1/m  1+2/m

     ├─────┼─────┼────────S    S──┼─────┼─────┼──────S── возраст
     x    x+1   x+2              x+n   x+n+1 x+n+2
     /\                                             смерть

 a
   (m)
  x

                        l                      N
               w    t-x  t           1          x           1
 a    = a(m) сумма v    -- - B(m) - --- = a (m -- - B(m) - --- ~
   (m)        t=x       l            m         D            m  ~
  x                      x                      x

                  l            N
         w    t-x  t   m + 1    x   m + 1
     ~ сумма v    -- - ----- = -- - -----
     ~  t=x       l     2m      x    2m
                   x           D

                              b    -b                2      2
              chb - 1        e  + e   - 2          (m - 1) b

a(m) = ------------- = ----------------- ~ 1 + ----------

            2               2  b/m   -b/m    ~           2
           m (ch(b/m)-1)   m (e   + e    -2)          12m

         b        b/m          b         b/m                   2
        e - 1 - me   + m     2e - 2 - 2me   + 2m     m - 1   (m - 1) b

В(m) = ---------------- = ---------------------- ~ ------ + ---------

        2                    2  b/m   -b/m        ~               2
      2m (ch (b/m) - 1)    2m (e   + e    - 2)       2m         6m

    Для упрощения  расчетов  ниже приведены значения коэффициентов
a    и B    для часто используемых значений m и i.
 (m)    (m)

                              a
                               (m)

                              B
                               (m)

       ..

2.3.7. a — немедленный пожизненный аннуитет пренумерандо, (m) x

соответствующий ожидаемой стоимости на  начало  действия  договора
страхования   пожизненной  ренты,  пенсии  (страховых  взносов)  в
размере 1/m,  выплачиваемой m  раз  в  течение  года  (ежемесячно,
ежеквартально,  раз  в полугодие) до тех пор,  пока застрахованный
жив.  Первая  выплата  совпадает  с  началом   действия   договора

страхования.

    1/m   1/m   1/m               1/m   1/m   1/m
     /\    /\    /\               /\    /\    /\

     0    1/m   2/m               1   1+1/m  1+2/m

     ├─────┼─────┼────────S    S──┼─────┼─────┼──────S── возраст
     x    x+1   x+2              x+n   x+n+1 x+n+2
     /\                                            смерть

 ..
 a
   (m)
  x

                           l                  N
    ..            w    t-x  t-x                x
    a    = a(m) сумма v    ---- - B(m) = a(m) -- - B(m) ~
      (m)        t=x       l                  D         ~
     x                      x                  x

                 l            N
        w    t-x  t    m-1     x    m-1
    ~ сумма v    -- - ----- = -- - -----
    ~  t=x       l     2m     D     2m
                  x            x

    2.3.8.   a    - отсроченный  на  n  лет  пожизненный  аннуитет

          x

постнумерандо, соответствующий приведенной на начало действия договора страхования ожидаемой стоимости пожизненной ренты, пенсии

(взносов)  в  размере  1/m,  выплачиваемой  m  раз  в течение года
(ежемесячно,  ежеквартально,  раз  в  полугодие).  Первая  выплата
производится  по  истечении  1/m  части  года  от  начала действия

договора страхования.

                         1/m         1/m   1/m
                          /\          /\    /\

  0     1           n    n+1/m       n+1  n+1+1/m

  ├─────┼─────S  S──┼─────┼─────S  S──┼─────┼─────────S────
  x    x+1         x+n               x+n+1                 возраст
  /\                                                смерть

a

x

                                l                   l
                       w    t-x  t            1   n  x+n
        a     = a(m) сумма v    -- - (B(m) + ---)v  ---- =

     x                       x                   x
                                                              n

        N                  D                 l              l    v
         x+n           1    x+n     w    t-x  t   (m + 1)    x+n
= a (m) ---- - (B(m)+ ---) ---- ~ сумма v    -- - ------- - ------- =
         D             m   D    ~ t=x+n      l      2m        l
          x                 x                 x                x

  N      (m + 1) D
   x+n            x+n

= ---- — ------------

  D         2mD
   x           x

         ..

2.3.9. a — отсроченный на n лет немедленный пожизненный

          x

аннуитет пренумерандо,  соответствующий  ожидаемой  стоимости   на
начало  действия  договора  страхования пожизненной ренты,  пенсии
(страховых взносов) в размере 1/m,  выплачиваемой m раз в  течение

года (ежемесячно, ежеквартально, раз в полугодие) до тех пор, пока застрахованный жив. Первая выплата совпадает с началом действия договора страхования.

                     1/m   1/m         1/m   1/m
                      /\    /\          /\    /\

    0     1           n    n+1/m       n+1  n+1+1/m

    ├─────┼─────S  S──┼─────┼─────S  S──┼─────┼───────S───
    x    x+1         x+n               x+n+1               возраст
    /\                                              смерть

..
a

 x

                           l            l           N
   ..             w    t-x  t         n  x+n         x+n
   a     = a(m) сумма v    -- - B(m) v  ---- = a(m) ---- -

x                       x            x            x

                                       n

       D                 l           l    v    N      (m - 1) D
        x+n     w    t-x  t  (m - 1)  x+n       x+n            x+n

• B(m) ---- ~ сумма v -- — ------ ------- = ---- — ------------

       D    ~ t=x+n      l     2m    l         D         2mD
        x                 x           x         x           x

    2.3.10. a  _  - временный немедленный аннуитет  постнумерандо,

         x:k│

соответствующий    приведенной   на   начало   действия   договора
страхования ожидаемой стоимости ренты,  пенсии в размере единичной
денежной   суммы,   выплачиваемой   ежегодно   в   течение  срока,
установленного договором страхования  (k  лет),  в  конце  каждого

страхового года при условии, что застрахованный жив.

           1     1                   1     1     1
           /\    /\                  /\    /\    /\

     0     1     2                  k-2   k-1   k

     ├─────┼─────┼────────S    S─────┼─────┼─────┼───S───возраст
     x    x+1   x+2               x+k-2  x+k-1  x+k
     /\                                            смерть

     a  _

  x:k│

                                  l      N    - N
                        x+k   t-x  t      x+1    x+k+1
               a  _  = сумма v    -- = ----------------

                               x         x
        ..

2.3.11. a _ — временный немедленный аннуитет пренумерандо, x:k│

соответствующий    приведенной   на   начало   действия   договора
страхования ожидаемой стоимости ренты,  пенсии в размере единичной
денежной   суммы,   выплачиваемой   ежегодно   в   течение  срока,
установленного договором страхования (k  лет),  в  начале  каждого

страхового года при условии, что застрахованный жив.

     1     1     1                   1     1
     /\    /\    /\                  /\    /\

     0     1     2                  k-2   k-1    k

     ├─────┼─────┼────────S    S─────┼─────┼─────┼───S───возраст
     x    x+1   x+2                x+k-2 x+k-1  x+k
     /\                                            смерть

 ..
 a  _
  x:k│

                                  l      N  - N
               ..      x+k-1  t-x  t      x    x+k
               a  _  = сумма v    -- = ------------

                                   x        x

    2.3.12.   a  _     -    временный     отсроченный     аннуитет

постнумерандо, соответствующий   приведенной  на  начало  действия
договора страхования ожидаемой стоимости отсроченной  на  m+1  год
временной ренты в размере единичной денежной суммы,  выплачиваемой
ежегодно,  начиная со срока, установленного договором страхования,
в  конце страхового года,  в течение определенного договором числа

лет (k лет), если застрахованный жив.

                           1           1        1
                           /\          /\       /\

     0     1          n   n+1        n+k-1     n+k

     ├─────┼───S    S─┼────┼────S  S───┼────────┼──────S───возраст
     x    x+1        x+n x+n+1       x+n+k-1  x+n+k
     /\                                              смерть

     a  _

                            l       N      - N
               x+n+k    t-x  t        x+n+1    x+n+k+1
       a  _  = сумма   v    -- = ------------------------

                         x             x
          ..

2.3.13. a _ — временный отсроченный аннуитет пренумерандо,

соответствующий ожидаемой стоимости отсроченной на m лет временной

ренты в размере единичной денежной суммы,  выплачиваемой ежегодно,
начиная со срока,  установленного договором страхования,  в начале
каждого страхового года,  в течение определенного договором  числа

лет (k лет), если застрахованный жив.

                      1    1           1        1
                      /\   /\          /\       /\

     0     1          n   n+1         n+k-1    n+k

     ├─────┼───S    S─┼────┼────S  S───┼────────┼──────S───возраст
     x    x+1        x+n x+n+1       x+n+k-1  x+n+k
     /\                                              смерть

 ..
 a  _

                            l      N    - N
       ..      x+n+k-1  t-x  t      x+n    x+n+k
       a  _  = сумма   v    -- = ----------------

                         x         x

         (m)

2.3.14. a _ — временный немедленный аннуитет постнумерандо, x:k│

соответствующий приведенной   на    начало    действия    договора
страхования   ожидаемой   стоимости   временной  ренты   в размере
1/m части годовой ренты,  выплачиваемой m  раз  в  год  в  течение
срока,  установленного договором страхования (k лет),  до тех пор,

пока застрахованный жив. В случае смерти застрахованного в течение

действия  договора страхования выплата ренты прекращается.  Первая
выплата ренты производится по истечении 1/m части года от  момента

начала действия договора страхования.

          1/m   1/m          1/m    1/m
           /\    /\           /\     /\

     0    1/m   2/m          k-1/m   k

     ├─────┼─────┼─(      (───┼──────┼────S──── возраст
     x    x+1  x+2/m        x+k-1/m x+k
     /\                                 смерть

  (m)
 a   _
   x:k│
                                                     k

                               l                   l  - v l
      (m)           x+k-1  t-x  t            1    ( x      x+k)
     a   _   = a(m) сумма v    -- - (B(m) + ---) --------------- =

                                x                       x

              N  - N                         D
               x    x+k             1         x+k

= a(m) ------------ — (B(m) + ---) (1 — ----) ~

                D                   m         D    ~
                 x                             x

             l                 l          N  - N               D
  x+k-1  t-x  t    m-1       k  x+k        x    x+k   m-1       x+k
~ сумма v    -- - ---- (1 - v  ----) = l ---------- - --- (1 - ----)
~  t=x       l     2m          l             D        2m        D
              x                 x             x                  x

        ..(m)

2.3.15. a _ — временный немедленный аннуитет x:k│ пренумерандо, соответствующий приведенной на начало действия договора страхования ожидаемой стоимости временной ренты в размере

1/m  части  годовой  ренты,  выплачиваемой  m  раз в год в течение
срока,  установленного договором страхования (k лет),  до тех пор,

пока застрахованный жив. В случае смерти застрахованного в течение

действия договора страхования выплата ренты  прекращается.  Первая
выплата  ренты  осуществляется  в  момент начала действия договора

страхования.

    1/m   1/m   1/m          1/m
     /\    /\    /\           /\

     0    1/m   2/m         k-1/m    k

     ├─────┼─────┼─S      S───┼──────┼────S─── возраст
     x    x+1  x+2/m        x+k-1/m x+k
     /\                                 смерть

 ..(m)
 a    _
    x:k│
                                             k

                               l           l  - v l
     ..(m)          x+k-1  t-x  t           x      x + k
     a    _  = a(m) сумма v    -- - B(m) (---------------) =

                                x               x

              N  - N                 D
               x    x+k               x+k

= a(m) ------------ — B(m) (1 — -----) ~

                D                     D     ~
                 x                     x

              l                  l        N  - N               D
   x+k-1  t-x  t    m-1        k  x+k      x    x+k   m+1       x+k
 ~ сумма v    -- - ----- (1 - v  ----) = ---------- - --- (1 - ----)
 ~  t=x       l     2m           l           D        2m        D
               x                  x           x                  x

           (m)

2.3.16. a _ — отсроченный на n лет временный немедленный

аннуитет постнумерандо,  соответствующий  приведенной  на   начало
действия  договора страхования ожидаемой стоимости временной ренты
в размере 1/m части годовой ренты,  выплачиваемой m раз  в  год  в
течение  срока,  установленного договором страхования (k лет),  до
тех пор,  пока застрахованный жив. В случае смерти застрахованного
в    течение   действия   договора   страхования   выплата   ренты
прекращается.  Первая  выплата  ренты  производится   по истечении

1/m части года от момента начала действия договора страхования.

                           1/m           1/m     1/m
                            /\            /\      /\

    0     1          n     n+1/m        n+k-1/m  n+k

    ├─────┼─────S S──┼──────┼──────S   S──┼───────┼─────S─ возраст
    x    x+1        x+n  x+n+1/m       x+n+k-1/m x+n+k
    /\                                                смерть

 (m)
a   _

                               l                  l
     (m)          x+n+k-1  t-x  t           1   n  x+n
    a   _  = a(m) сумма   v    -- - (B(m) + -)(v  ---- -

                                x                  x

       l              N    - N                   D    - D
   k+n  x+n+k          x+n    x+n+k           1   x+n    x+n+k

• v ------) = a(m) ------------- — (B(m) + -) ------------- ~

       l                 D                    m       D        ~
        x                 x                            x

               l              l           l         N    - N
  x+n+k-1  t-x  t   m + 1   n  x+n    k+n  x+n+k     x+n    x+n+k
~ сумма   v    -- - ----- (v  ---- - v    ------) = ------------- -
~ t=x+n        l      2m      l           l              D
                x              x           x              x

  (m + 1) (D    - D     )
            x+n    x+n+k

• ----------------------- 2mD x

          ..(m)
  

2.3.17. a _ — отсроченный на n лет временный

немедленный аннуитет пренумерандо, соответствующий приведенной на начало действия договора страхования ожидаемой стоимости временной ренты в размере 1/m части годовой ренты, выплачиваемой m раз в год

в течение срока,  установленного договором страхования (k лет), до
тех пор,  пока застрахованный жив. В случае смерти застрахованного
в   течение   действия   договора   страхования   выплата    ренты
прекращается.  Первая выплата ренты осуществляется в момент начала

действия договора страхования.

                    1/m    1/m              1/m    1/m
                     /\     /\               /\     /\

    0     1          n     n+1/m           n+k-1/m n+k

    ├─────┼─────S S──┼──────┼────────S    S──┼──────┼─────S─ возраст
    x    x+1        x+n   x+n+1/m        x+n+k-1/m x+n+k
    /\                                                  смерть

..(m)
a    _

                                l                l
    ..(m)          x+n+k-1  t-x  t             n  x+n
    a    _  = a(m) сумма   v    -- - B(m) +  (v  ---- -

                                 x                x

       l               N    - N              D    - D
   k+n  x+n+k           x+n    x+n+k          x+n    x+n+k

• v ------) = a(m) -------------- — B(m)+ ------------- ~

       l                  D                      D         ~
        x                  x                      x

               l              l           l          N    - N
  x+n+k-1  t-x  t   m - 1   n  x+n    k+n  x+n+k      x+n    x+n+k
~ сумма   v    -- - ----- (v  ---- - v    ------) = --------------- -
~ t=x+n        l     2m       l           l               D
                x              x           x               x

  (m - 1) (D    - D     )
            x+n    x+n+k

• ----------------------- 2mD x

2.4 Обозначения, используемые при расчете

2.4.1 A — единовременная нетто — ставка, используемая при

        x

расчете   страхового   взноса,   уплачиваемого   при    заключении
пожизненного   договора  страхования  на  случай  смерти  лицом  в
возрасте x лет,  с условием выплаты страхового обеспечения  лицам,
указанным  в  договоре  или  наследникам  единовременно,  в сумме,

равной 1, в конце страхового года смерти. 1

2.4.2 A _ — единовременная нетто — ставка, применяемая при

        x:n│

заключении договора страхования на определенный срок (n лет) лицом

в  возрасте x лет с условием выплаты страховой суммы в размере 1 в
случае    смерти    застрахованного    лица    выгодоприобретателю
(наследнику)  по  договору  страхования  в  конце  страхового года
смерти,  если застрахованное лицо умрет в течение  срока  действия

договора страхования.

           _    _1
    2.4.3. A ,  A  _   соответствуют   A   и  A  _ ,  определенным

выше, но выплата страхового обеспечения производится сразу после смерти застрахованного.

            (m)        1(m)                                 1
    2.4.4. A    ,     A    _       соответствуют    A    и A   _ ,

определенным в п. п. 2.4.1 — 2.4.2, но выплата страхового обеспечения производится по истечении 1/m-ой части страхового года после смерти застрахованного.

    2.4.5.  E    или   A        -  единовременная  нетто - ставка,
           n x          x:1/n│
устанавливаемая при заключении  договора  страхования  с  лицом  в
возрасте  x  лет  с  условием  выплаты  страховой  суммы в размере
единичной денежной суммы,  при дожитии застрахованным до окончания

действия договора страхования, заключенного на срок n лет.

2.4.6 A _ — единовременная нетто — ставка, устанавливаемая

        x:n│

при заключении договора смешанного страхования с лицом в  возрасте
x  лет  с  условием  выплаты  страховой  суммы в размере единичной
денежной суммы,  при дожитии застрахованным до окончания  действия
договора  страхования,  заключенного  на  срок  n лет или в случае

смерти застрахованного до окончания договора страхования.

2.4.7. (IA) — единовременная нетто — ставка при пожизненном x страховании лица в возрасте x лет на случай смерти. Если смерть произошла в промежутке от n — 1 до n лет после заключения договора

страхования,  то  в  конце  страхового  года,  в котором наступила
смерть  застрахованного,   выгодоприобретателю   или   наследникам
выплачивается  страховое  обеспечение,  численно равное количеству

лет, прошедших с начала действия договора страхования (n). _

2.4.8. (IA) — единовременная нетто — ставка, аналогичная x (IA) , но выплата страхового обеспечения производится сразу после x смерти. (m)_

2.4.9. (I A) — единовременная нетто — ставка при x

пожизненном страховании  лица  в  возрасте x лет на случай смерти.
Выплата страхового обеспечения в размере t  +  (k/m)  производится
сразу  после  смерти  застрахованного,  если  смерть  наступила  в
промежутке [t+(k-1)/m,  t+k/m] лет,  где t - целое число страховых
лет,  прошедших  с  момента  заключения договора страхования,  k -

часть текущего страхового года, в течение которой наступила смерть застрахованного, 1/m — часть страхового года, по истечении которой размер страхового обеспечения увеличивается на 1/m.

2.4.10 Если договор страхования на случай смерти заключается

на  n  лет,  то соответствующие единовременные взносы обозначаются
           1        _ 1        (m)  1
через  (IA)   _ , (IA)   _ , (I   A)   _

Показатель ожидаемой стоимости страхового обеспечения, приведенной на начало действия договора страхования, является основой для расчета нетто — ставок по видам страхования, относящимся к страхованию жизни.

В страховании жизни выделяется два основных вида страхования:

• страхования на случай смерти;
• страхование на случай дожития застрахованного до окончания действия договора страхования или другого установленного договором события.

Условиями договора страхования может предусматриваться комбинация основных видов страхования.

3.1 Страхование на случай смерти

Страхование на случай смерти может быть пожизненным или временным.

В пожизненном страховании на случай смерти страховщик принимает на себя обязательства, связанные с выплатой страховой суммы, установленной договором страхования, выгодоприобретателю или наследнику застрахованного сразу после его смерти, в конце страхового года, в котором наступила смерть застрахованного, или в конце определенной договором страхования части страхового года.

При временном страховании на случай смерти страховщик обязуется в случае смерти застрахованного в течение срока, установленного договором страхования, выплатить установленную сумму денег выгодоприобретателю (наследнику) застрахованного. Выплата страхового обеспечения может осуществляться сразу после смерти застрахованного, в конце страхового года, в котором наступила смерть застрахованного или в конце определенной договором страхования части страхового года.

В случае дожития застрахованного до окончания срока действия договора страхования страхование прекращается без денежной компенсации со стороны страховой организации.

В таблицах 2 и 3 представлены формулы для расчета ожидаемой стоимости страхового обеспечения, приведенной на начало действия договора страхования, при пожизненном и временном страховании на случай смерти.

┌────────────────┬──────────────────┬───────────────────────────────────┐
<pre class="legal-pre">│    Величина    │   Срок выплаты   │   Формулы для расчета ожидаемой   │
│   страхового   │    страхового    │ стоимости страхового обеспечения, │
│  обеспечения   │   обеспечения    │  приведенной на начало действия   │
│                │                  │       договора страхования        │</pre>
├────────────────┼──────────────────┼───────────────────────────────────┤
<pre class="legal-pre">│       1        │В конце страхового│         M  - M                    │
│                │года, в котором   │ 1        x    x+n                 │
│                │наступила смерть  │A   _  = ---------                 │
│                │застрахованного   │  x:n│      D                      │
│                │                  │             x                     │</pre>
├────────────────┼──────────────────┼───────────────────────────────────┤
<pre class="legal-pre">│       1        │Сразу после смерти│             M  - M                │
│                │застрахованного   │_1        i   x    x+n             │
│                │                  │A   _  = --- ---------             │
│                │                  │  x:n│    b     D                  │
│                │                  │                 x                 │</pre>
├────────────────┼──────────────────┼───────────────────────────────────┤
<pre class="legal-pre">│       1        │В конце m-ой части│ (m)      i    1                   │
│                │страхового года,  │A   _  = ---- A   _  =             │
│                │в котором         │  x:n│    (m)   x:n│               │
│                │наступила смерть  │         i                         │
│                │застрахованного   │                                   │
│                │                  │                      M  - M       │
│                │                  │         i             x    x+n    │
│                │                  │= ------------------ (---------)   │
│                │                  │            1/m                    │
│                │                  │   m((1 + i)    - 1)     D         │
│                │                  │                          x        │</pre>
├────────────────┼──────────────────┼───────────────────────────────────┤
<pre class="legal-pre">│k, если смерть  │В конце страхового│            R  - R    - nM         │
│наступила в     │года, в котором   │    1        x    x+n     x+n      │
│возрасте от     │наступила смерть  │(IA)   _  = -----------------      │
│x + k - 1 до    │застрахованного   │     x:n│           D              │
│x + k, k = 1, 2,│                  │                     x             │
│3...            │                  │                                   │</pre>
├────────────────┼──────────────────┼───────────────────────────────────┤
<pre class="legal-pre">│k, если смерть  │Сразу после смерти│  _ 1        i                     │
│наступила в     │застрахованного   │(IA)   _  = --- (IA)  _  ~         │
│возрасте от     │                  │     x:n│    b      x:n│ ~         │
│x + k - 1 до    │                  │                                   │
│x + k, k = 1, 2,│                  │              R  - R    - nM       │
│3,...           │                  │         1/2   x    x+n     x+n    │
│                │                  │~ (1 + i)    (-----------------)   │
│                │                  │~                     D            │
│                │                  │                       x           │</pre>
├────────────────┼──────────────────┼───────────────────────────────────┤
<pre class="legal-pre">│k/m, если смерть│Сразу после смерти│   (m)_ 1       i     1            │
│наступила в     │застрахованного   │ (I   A)   _  = - (IA)   _  -      │
│возрасте от     │                  │         x:n│   b      x:n│        │
│x + (k/m) - 1 до│                  │                                   │
│x + (k/m),      │                  │                     (m)           │
│k = 1, 2, 3,... │                  │    i   1       i - d    1         │
│                │                  │ - --- A   _  + ------  A   _      │
│                │                  │    b    x:n│    (m)      x:n│     │
│                │                  │                d   b              │</pre>
└────────────────┴──────────────────┴───────────────────────────────────┘

<*> При дожитии застрахованного до окончания действия договора страхования ответственность страховщика по договору не наступает.

3.2 Страхование на случай дожития застрахованного

При страховании на дожитие до определенного договором страхования срока (события) страховая организация берет на себя обязательство выплатить застрахованному определенную договором страхования сумму денег единовременно или в виде ренты (пенсии), если застрахованное лицо доживет до установленного срока. В случае смерти застрахованного ранее наступления этого срока страховая организация либо освобождается от обязательств по договору страхования, либо возвращает выкупную сумму в размере, не превышающем сумму резерва взносов на момент смерти застрахованного.

В таблицах 4 - 5 представлены формулы для расчета ожидаемой стоимости страхового обеспечения, приведенной на начало действия договора страхования, по страхованию на дожитие до срока, установленного договором страхования с различными условиями выплаты страхового обеспечения.

4.1 Методы расчета единовременных нетто — ставок

В качестве единовременных нетто — ставок по видам страхования, относящимся к страхованию жизни, условиями проведения которых не предусмотрен возврат страховых взносов при смерти застрахованного до наступления страхового случая, используются показатели ожидаемой стоимости страхового обеспечения, приведенной на начало действия договора страхования, соответствующие условиям проведения страхования.

В том случае, если страховщик принимает на себя обязательства по выплате страхового обеспечения по нескольким рискам на одинаковую страховую сумму, соответствующие нетто — ставки суммируются. Если по разным рискам договором страхования установлен различный лимит ответственности страховщика, нетто — ставки суммируются с весами, учитывающими размер обеспечения по каждому риску.

4.2 Методы расчета единовременных нетто — ставок

По договорам страхования, условиями которых предусмотрен возврат страховых взносов при смерти застрахованного до наступления страхового случая, размер единовременной нетто — ставки, учитывающей дожитие или ренту, определяется в соответствии с формулой

                              B

H = ----- 1 — F

где: H — единовременная нетто — ставка;

В — приведенная на начало действия договора страхования ожидаемая стоимость страхового обеспечения соответствующая условиям проведения страхования (см. таблицы 2 - 5);

F — приведенная на начало действия договора страхования ожидаемая стоимость страхового взноса при смерти застрахованного до наступления страхового случая (см. таблицы 2 - 3).

При условии уплаты страховой премии в рассрочку (ежегодно, раз в полугодие, ежеквартально, ежемесячно), с возвратом уплаченных взносов (с учетом их инвестирования или без такового) при смерти застрахованного до наступления страхового случая или без возврата взносов, уплаченных до наступления страхового случая, нетто — ставки рассчитываются путем деления единовременной нетто — ставки на коэффициенты рассрочки. В качестве коэффициентов рассрочки используются аннуитеты, соответствующие порядку уплаты взносов, установленному договором страхования, табл. 6.

┌───────────────────────┬───────────────┬───────────────┬───────────────┐
<pre class="legal-pre">│    Порядок уплаты     │      Без      │Возврат взносов│Возврат взносов│
│   страховых взносов   │   возврата    │ без учета их  │  с учетом их  │
│                       │    взносов    │инвестирования │инвестирования │</pre>
├───────────────────────┼───────────────┼───────────────┼───────────────┤
<pre class="legal-pre">│пожизненная ежегодная  │      ..       │               │               │
│уплата страховых       │      a        │       -       │       -       │
│взносов в начале       │       x       │               │               │
│страхового года        │               │               │               │</pre>
├───────────────────────┼───────────────┼───────────────┼───────────────┤
<pre class="legal-pre">│ежегодная уплата       │               │  ..           │               │
│взносов в течение k    │               │  a  _  -      │               │
│лет в начале           │     ..        │   x:k│        │       ..      │
│страхового года,       │     a  _      │      _ 1      │     P a _     │
│если застрахованный    │      x:k│     │  - (IA)   _   │    k x  k│    │
│жив                    │               │         x:k│  │               │</pre>
├───────────────────────┼───────────────┼───────────────┼───────────────┤
<pre class="legal-pre">│пожизненная уплата     │               │               │               │
│страховых взносов m    │               │               │               │
│раз в течение          │     .. (m)    │       -       │      -        │
│страхового года, в     │     a         │               │               │
│начале каждого m-го    │       x       │               │               │
│периода года           │               │               │               │</pre>
├───────────────────────┼───────────────┼───────────────┼───────────────┤
<pre class="legal-pre">│уплата взносов в       │               │ ..(m)         │               │
│течение действия k     │               │ a      _  -   │               │
│лет, m раз в течение   │   ..(m)       │      x:k│     │     ..(m)     │
│года, в начале каждого │   a      _    │               │   P a    _    │
│m-го периода года,     │        x:k│   │       _ 1     │  k x     k│   │
│если застрахованный    │               │- (I(m)A)   _  │               │
│жив                    │               │          x:k│ │               │</pre>
└───────────────────────┴───────────────┴───────────────┴───────────────┘

      ..

Здесь a _ есть стоимость на начальный момент времени t серии k│ из n выплат в сумме 1 каждая, производимых через единичные ..(m) интервалы времени, начиная с момента t. a _ — стоимость на k│ ..(m) интервалы времени, начиная с момента t. a _ — стоимость на k│

начальный момент времени t серии из nm  выплат в сумме 1/m каждая,
производимых  через  интервалы  времени  1/m, начиная с момента t.
          ..    ..(m)
Значения  a _ , a    _  вычисляются по формулам:

                 k                   n
     ..     1 - v     ..(m)     1 - v
     a _  = -------,  a    _  = --------

          iv                i   v

Значения других актуарных символов приведены в таблицах 2 - 5.

Во всех примерах расчета нетто — ставок эффективная процентная ставка i = 0,05.

В момент заключения договора застрахованному x = 35 лет.

Нетто — ставки определяются на основе таблицы смертности, приведенной в Приложении, и соответствующих ей коммутационных чисел.

Во всех примерах, кроме примера 6, страховая сумма равна 1. Если по договору страхования предусмотрено увеличение страхового обеспечения в зависимости от времени, истекшего с момента заключения договора, то их величины составляют 1, 2, 3,... Формулы для расчета аннуитетов приведены в разделе 2.3.

Пример 1. Пожизненное страхование на случай смерти.

1.1 Единовременная нетто — ставка.

Если выплата страхового обеспечения производится в конце страхового года, в котором наступила смерть застрахованного,

       M

            35   3252
     A   = --- = ----- = 0,190
      35   D     17121

        35

Если выплата страхового обеспечения производится сразу после смерти застрахованного,

     _      ------          -----
     A   ~ V 1 + i + A   = V 1,05 + 0,190 = 0,195
      35 ~            35

Если выплата страхового обеспечения производится в конце месяца, в котором наступила смерть застрахованного,

                   M

                  i     35            0,05
     A       = ----- + --- = ----------------------- + 0,190 = 0,194
        (12)    (12)   D                   1/12
      35       i        35   12 [(1 + 0,05)     - 1]

1.2. Страховые взносы уплачиваются ежегодно, в начале каждого года действия договора страхования. Выплата страхового обеспечения производится в конце страхового года, в котором наступила смерть застрахованного.

Единовременная нетто — ставка, когда выплата производится в конце страхового года, в котором наступила смерть застрахованного,

                                M
                                 35

                          Y = A   = ---
                               35   D

                                 35

Ожидаемая стоимость взносов, приведенная на начало действия договора страхования N

                             ..      35
                             a    = ---
                               35   D

                                 35

Ежегодная нетто — ставка

              A      M
               35     35    3252
    P (A  ) = ---- = --- = ------ = 0,011
        35    ..
              a      N     291229
                35    35

1.3. Страховые взносы уплачиваются в течение 10 лет в рассрочку, по 12 раз в году, в начале каждого месяца. Выплата страхового обеспечения производится сразу после смерти застрахованного.

Единовременная нетто — ставка при выплате страхового обеспечения сразу после смерти застрахованного равна

                      _

A = 0,195 35

Ожидаемая стоимость накопленных взносов описывается аннуитетом

                    N   - N                   D
     ..              35    45   12 - 1         45
     a     _ (12) ~ --------- - ------ + (1 - ---) =

                        35                     35

       291229 - 154123   11        10143

= --------------- — -- + (1 — -----) = 7,821 17121 24 17121

Отсюда, ежегодная нетто — ставка _ A

          _   (12)        35         0,195
     10P (A  )     = ------------- = ----- = 0,025
           35        ..(12)
                      a       __     7,821

                       35:10│

Ежемесячная нетто — ставка

          _   (12)
     10P (A  )

       35
 ------------- = 0,002
      12

Пример 2. Страхование на дожитие до окончания действия договора страхования сроком на 10 лет без возврата взносов при недожитии.

2.1 Единовременная нетто — ставка

                    D

      1                  45   10143
     A    __  =   E   = --- = ----- = 0,592

                     35

2.2. Страховые взносы уплачиваются ежегодно в начале страхового года в течение 10 лет. Их ожидаемая стоимость равна

                      N   - N
       ..              35    45
     P+a    __  = P + ---------

                      35

Ежегодная нетто — ставка

                         E         D
                       10 35        45
     P (A     __ ) = -------- = --------- = 0,074

                 a    __     35    45
                   35:10│

Пример 3. Страхование на случай дожития до окончания действия договора страхования и смерти в течение действия договора страхования.

Срок действия договора 10 лет. В случае смерти застрахованного, страховое обеспечение выплачивается в конце месяца, в котором наступила смерть застрахованного.

3.1 Единовременная нетто — ставка

      (12)         1
     A     __  = A            +   E

       1

Здесь A — единовременная нетто — ставка по риску __ (12) 35:10│ смерти с условием выплаты страхового возмещения в конце месяца, в котором наступила смерть застрахованного.

E — единовременная нетто — ставка на дожитие 10 35

застрахованного  до  окончания  действия  договора страхования (до
45 лет). Из предыдущего примера   E   = 0,592

                            10 35

Единовременная нетто — ставка на случай смерти

                             M   - M
      1               i       35    45
     A            = ----- + ----------- = 0,027
          __ (12)       (12)    D

Суммарная нетто — ставка

 A           = 0,592 + 0,027 = 0,619

__ (12) 35:10│

3.2. Взносы вносятся ежеквартально, в начале каждого квартала (m = 4). Их ожидаемая стоимость в момент заключения договора страхования

                                 N   - N              D
      (4)  ..(4)          (4)     35    45   4 - 1     45               (4)
     P   + a       __  = P   + [ --------- - ----- + (---)] = 7,855  + P

                                 35                35

так, что величина годовой нетто — ставки

                      (12)

                         A     __
      (4)  (12)             35:10│
     P   (A    __ ) = ------------- = 0,0788

                     a    __
                       35:10│

а ежеквартальная нетто — ставка

      1   (4)  (12)
     --- P   (A    __ ) = 0,0197
      4         35:10│

Пример 4. Страхование на дожитие до 50 лет с выплатой страхового обеспечения в виде одинаковых по величине пенсий, выплачиваемых по 12 раз в течение года, начиная с возраста 50 лет, в течение 5 лет. Если застрахованный умирает до 50 лет, его семье возвращается нетто — взнос (или взносы). Страховые взносы возвращаются сразу после смерти застрахованного.

    4.1. Страховые    взносы    возвращаются    без    учета    их
инвестирования.   Ожидаемую   стоимость   страхового   обеспечения

определяем по формуле из раздела 2.3. Из условий страхования _1 принимаем единовременный взнос на случай смерти равным A __ ,

<pre class="legal-pre">                                  ..(12)                   35:15│
а ожидаемые пенсионные выплаты 15│a        _ .</pre>
                                        35:5│

                      M    - M
     _1          ----  35     50
     A    __  = V1,05 ---------- = 0,0438

                       35

                     N   - N          D   - D
       ..(12)         50    55   11    50    55
     15a        _  ~ --------- - -- + --------- = 1,9586

                     35               35

Единовременный нетто — взнос Y

       ..(12)
       a        _

Y = ------------- ~ ------------ = 2,0482

               1       ~
          1 - A    __     1 - 0,0438

            35:15│

4.2. Годовые взносы, одинаковые по величине, вносятся ежегодно в начале каждого квартала в течение 15 лет. (4)

Годовой нетто — взнос P определим по формуле, из главы 5, с учетом условий договора таблицы 6:

                  ..(12)
                  a        _

     P    = ----------------------------
            ..(4)           (4)~ 1
            a       __  - (l   A)    __

                                                   (4)

  (4)_ 1          i    _ 1          i  _1         i - d    _1
(l   A)    __  = --- (lA)    __  - --- A    __  + -------  A    __

                                              b   b

Подставляя сюда

      (4)                 1/4            1/4
     d    = 4 [1 - (1 - d)   ] = 4 [1 - v   ] = 0/0485

        i            0,05

---------- = ------------- = 1,0248 ln (1 + i) ln (1 + 0,05)

ln (1 + i) = ln (1,05) = 0,0488

получаем

   (4)_ 1                   _ 1         _1                 _1
 (l   A)    __  = 1,0248 [(lA)    __  - A    __ ] + 0,6366 A    __ ] =

= 0,3560

                N    - N           D   - D
 ..(4)           35     50    3     35    50
 a       __ ] ~ ---------- - --- + --------- = 10,4636

                     35                35


  (4)        1,9586
 P    = ---------------- = 0,1938

    10,4636 - 0,3560

Ежеквартальный нетто — взнос

      1   (4)
     --- P    = 0,0484

  4

4.3. В случае, если застрахованный умрет до получения первой пенсии, страховые взносы возвращаются с процентами. Единовременный нетто — взнос Y определим по формуле:

        ..(12)
        a        _

Y = -------------- ~ --------- = 2,0976

               P        ~
             15 35        (l  /l  )
                            50  35

4.4. Годовые взносы, одинаковые по величине, вносятся ежегодно в начале каждого квартала в течение 15 лет. (4)

Годовой нетто — взнос P определим по формуле, из главы 5, с учетом условий договора таблицы 6:

           ..(12)
           a        _

     P    = -------------- = ------------- = 0,1960
            ..(4)                  15
            a    __    P      1 - v    l

                         (-----) + ---

                               (4)     l
                              d         35

Ежеквартальный нетто — взнос

      1   (4)
     --- P    = 0,0490

  4

Во всех приведенных примерах нетто — взносы приведены к единичной выплате. Если реальная выплата по условиям договора страхования должна быть равна C (или серия выплат — пенсий C, 2C, 3C,..), то полученные нетто — взносы надо умножить на c: годовые взносы равны CP, единовременный — CY.

Если возраст застрахованного в момент заключения договора страхования равен x + u, где x — целое число, а 0 < u < 1, то единовременный нетто — взнос Y(x + u) и ежегодные нетто — взносы P(x + u) допускается определять линейной интерполяцией между нетто — взносами, соответствующими возрастам x и x + 1:

Y(x + u) = (1 — u) Y(x) + uY(x + 1),

P(x + u) = (1 — u) P(x) + uP(x + 1).