РД 50-25645.217-90. Руководящий нормативный документ. Методические указания. Безопасность радиационная экипажа космического аппарата в космическом полете. Методики расчета микродозиметрических характеристик космических излучений
(утв. и введен в действие Постановлением Госстандарт СССР от 27.03.1990 № 624)
Примечание
Документ введен в действие с 01.07.1991.
Утвержден и введен в действие Постановлением Государственного комитета СССР по управлению качеством продукции и стандартам от 27 марта 1990 г. № 624
РУКОВОДЯЩИЙ НОРМАТИВНЫЙ ДОКУМЕНТ
БЕЗОПАСНОСТЬ РАДИАЦИОННАЯ ЭКИПАЖА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В КОСМИЧЕСКОМ ПОЛЕТЕ
МЕТОДИКИ РАСЧЕТА МИКРОДОЗИМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОСМИЧЕСКИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
Дата введения 1 июля 1991 года
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ДАННЫЕ
1. РАЗРАБОТАН И ВНЕСЕН Минздравом СССР
А.С. Александров, д.-р физ.-мат. наук; С.Г. Андреев, канд. физ.-мат. наук; П.Н. Белоногий, канд. физ.-мат. наук; В.Г. Виденский, д.-р биол. наук; А.А. Волобуев; А.И. Григорьев, д.-р мед. наук; А.Т. Губин, канд. физ.-мат. наук; А.Н. Деденков, д.-р мед. наук; В.И. Иванов, д.-р физ.-мат. наук; Е.Е. Ковалев, д.-р техн. наук; Е.Н. Лесновский, канд. техн. наук; Ю.Л. Минаев; В.А. Панин; Е.В. Пашков, канд. техн. наук; С.М. Перфильева; В.А. Питкевич, канд. физ.-мат. наук; В.А. Сакович, д.-р физ.-мат. наук
2. УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Государственного комитета СССР по управлению качеством продукции и стандартам от 27.03.90 № 624
4. Срок первой проверки — III кв. 1996 г.; периодичность проверки — 5 лет
5. ССЫЛОЧНЫЕ НОРМАТИВНО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ДОКУМЕНТЫ
| Обозначение НТД, на который дана ссылка | Номер пункта приложения |
| РД 50-25645.206-84 | 2.3, 3.3 |
| ГОСТ 15484-81 Приложение 1 | |
| ГОСТ 18622-79 | Приложение 4 |
| Настоящие методические указания устанавливают методики расчета спектров линейной энергии для тяжелых заряженных частиц (далее — ТЗЧ) с зарядом от 1 до 32 единиц абсолютной величины заряда электрона и энергией на нуклон от 0,1 до 104 МэВ в тканеэквивалентном веществе при размерах шарового микрообъема от 0,1 до 20 мкм. | |
Методические указания предназначены для расчетов микродозиметрических характеристик полей ионизирующих излучений (далее — микродозиметрических характеристик), воздействующих на биологические объекты в космических полетах.
Пояснения терминов, применяемых в методических указаниях, приведены в приложении 1.
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1. Под линейной энергией y, кэВ/мкм, понимают относящуюся к событию поглощения стохастическую величину, равную частному от деления фактически поглощенной в микрообъеме энергии \epsilon на среднюю длину его хорды \overline{l}
y = \epsilon/\overline{l}. (1)
Для шарового микрообъема диаметром l0: \overline{l} = 2l_{0}/3 .
Различают частотный и дозовый спектры линейной энергии (далее — СЛЭ). Под частотным СЛЭ f(y), мкм/кэВ, понимают относительное число событий поглощения в микрообъеме, приходящихся на элементарный интервал значений линейной энергии в окрестности y. Под дозовым СЛЭ d(y), мкм/кэВ, понимают относительную долю поглощенной дозы, приходящейся на элементарный интервал значений линейной энергии в окрестности y. Частотный и дозовый СЛЭ нормированы на единицу.
1.2. В качестве основных микродозиметрических характеристик выбирают частотный f(y) и дозовый d(y) СЛЭ, а также определяемые по ним частотное \overline{y_{F}} и дозовое \overline{y_{D}} средние значения линейной энергии:
\overline{y_{F}} = \int_{0}^{\infty} y \cdot f(y) \cdot dy; (2)
\overline{y_{D}} = \int_{0}^{\infty} y \cdot d(y) \cdot dy. (3)
Другие микродозиметрические характеристики вычисляют по f(y), d(y), \overline{y_{F}} и \overline{y_{D}} с помощью соотношений, приведенных в приложении 2.
1.3. Методики, представленные в разд. 2 и 3, основаны на предположениях, что при расчете СЛЭ пренебрегают:
- кривизной траекторий ТЗЧ вблизи и внутри микрообъема;
- дополнительными событиями поглощения в микрообъеме и изменением энергий заряженных частиц, обусловленными ядерными взаимодействиями и радиационными потерями вблизи и внутри микрообъема.
1.4. СЛЭ для ТЗЧ, рассчитываемые по методикам разд. 2 и 3, относятся к шаровому микрообъему, выделенному в однородном тканеэквивалентном веществе.
1.5. Методика расчета СЛЭ по методу Монте-Карло (разд. 2) установлена для случая, когда относительная погрешность вычисления \overline{y_{D}} или \overline{y_{F}} , обусловленная пренебрежением разбросом энергетических потерь заряженных частиц вблизи и внутри микрообъема и переносом энергии дельта-электронами, превышает 5 и 10% соответственно. В случае непревышения этих пределов используют аналитическую методику, установленную в разд. 3.
2. МЕТОДИКА РАСЧЕТА СЛЭ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
2.1. Настоящая методика основана на моделировании методом Монте-Карло прохождения ТЗЧ, а также возникающих под их действием дельта-электронов вблизи и внутри микрообъема и вычислении поглощенных энергий в нем, соответствующих прохождениям отдельных ТЗЧ. Считают, что центр микрообъема помещен в начало декартовой системы координат {0x1, 0x2, 0x3}, а ТЗЧ движутся в направлении оси 0x3. Изменением энергии ТЗЧ в слое вещества толщиной, достаточной для установления электронного равновесия, пренебрегают.
2.2 В качестве исходных данных для расчета частотного f(y) и дозового d(y) СЛЭ выбирают:
- энергию E, МэВ, атомный номер Z и массовое число A ТЗЧ;
- диаметр l0, мкм, шарового микрообъема;
- значения линейной энергии yj, кэВ/мкм, определяющие интервалы \Delta y_{0} = 0 , \Delta y_{j} = y_{j} - y_{j - 1}(j = 1,2,...,J) для усреднения значений СЛЭ. Полагают y0 = 0.
Примечание. Следует применять логарифмическую сетку, удовлетворяющую требованию, чтобы дополнительная погрешность вычисления дозового среднего значения линейной энергии по формуле
\overline{y_{D}} = \sum_{j = 1}^{J} \frac{y_{j} + y_{j - 1}}{2} d(\frac{y_{j} + y_{j - 1}}{2})(y_{j} - y_{j - 1}), (4)
связанная с выбором значений линейной энергии yj, не превышала 2%.
2.3 Вычисляют параметры, используемые в дальнейших расчетах при выбранных значениях E, Z, A, l0:
T_{max} = 1022\beta^{2}/(1 - \beta^{2}); (5)
\beta^{2} = (2E_{A} + E_{A}^{2})/(1 + E_{A})^{2}; (6)
- линейную передачу энергии L_{T_{0}} , кэВ/мкм, ТЗЧ в тканеэквивалентном веществе, относящуюся к немоделируемым столкновениям, по формуле
L_{T_{0}} = - \frac{dE}{dx} - \xi(ln \frac{T_{max}}{T_{0} + I} - \beta^{2}), (8)
где dE/dx — ионизационные потери ТЗЧ в тканеэквивалентном веществе, кэВ/мкм;
T0 - минимальная энергия моделируемых дельта-электронов, определяемая из соотношения: T0 = max{0,1; 0,007l0}, кэВ;
I — средний эффективный потенциал ионизации вещества по РД 50-25645.206, кэВ;
\xi = 8,46 \cdot 10^{- 3} \cdot Z_{\text{эфф}}^{2}/\beta^{2}; (9)
Z_{\text{эфф}} = Z(1 - e^{- 125\beta/Z^{23}}); (10)
- граничную энергию Tm, кэВ, дельта-электронов, до которой учитывается пространственная корреляция траекторий дельта-электронов с траекторией ТЗЧ, по формуле
(11)где Rp(Tmax) — практический пробег, мкм, электрона с энергией Tmax;
T(10l0) — кинетическая энергия электрона, практический пробег которого равен 10l0, кэВ;
- долю ионизационных потерь ТЗЧ, \mu^{(e)} , приходящуюся на дельта-электроны с энергией свыше T, по формуле
\mu^{(e)} = \xi[ln \frac{T_{max}}{T_{m}} - \beta^{2}(- \frac{T_{m}}{T_{max}})]| \frac{dE}{dx} |; (12)
- радиус am, мкм, сечения области моделирования плоскостью, перпендикулярной траектории ТЗЧ, по формуле
a_{m} = R_{p}(T_{m}) \sqrt{1 - T_{m}/T_{max}} + l_{0}/2, (13)
где Rp(Tm) — практический пробег электрона с энергией Tm.
1. Значения dE/dx вычисляют при E/A >= 2 МэВ/нуклон по РД 50-25645.206, а при E/A < 2 МэВ/нуклон — по данным табл. 1 и формуле (124) приложения 3. Практические пробеги электронов определяют по данным табл. 2 приложения 4.
2. Область моделирования — микрообъем и прилегающие к нему слои вещества, в пределах которых производится моделирование прохождения ТЗЧ и возникающих дельта-электронов с учетом пространственной корреляции их траекторий.
2.4 Область моделирования определяют неравенствами
\sqrt{[R_{p}(T_{m}) + l_{0}/2]^{2} - x_{1}^{2}} \leq x_{3} \leq \sqrt{l_{0}^{2} - x_{1}^{2}} . (16)
2.5. Алгоритм расчета СЛЭ для ТЗЧ, пересекающих область моделирования, состоит в следующем.
2.5.1. По очередному случайному числу \gamma , равномерно распределенному в интервале (0,1) (далее — очередному \gamma ), вычисляют декартовы координаты {x1,0, x2,0, x3,0} точки входа ТЗЧ в область моделирования для очередной n-й истории по формулам:
x_{3,0} = - \sqrt{[R_{p}^{2}(T_{m}) + l_{0}/2]^{2} - x_{1,0}^{2}} . (19)
2.5.2 Вычисляют параметры n-й истории:
x_{3,\text{вых}} = \sqrt{l_{0}^{2} - x_{1,0}^{2}} ; (21)
- угол \varphi_{0} между плоскостями, касательными к шару x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = l^{2}/4 и пересекающимися по линии, совпадающей с траекторией ТЗЧ, по формуле
(22)где l — свободный параметр (l0 < l <= 10l0), мкм, выбираемый из условия, чтобы вероятностью попадания в микрообъем дельта-электронов с энергией менее Tm, вылетающих из точки возникновения с x1,0 >= l в противоположном по отношению к нему направлении, можно было бы пренебречь.
2.5.3. Среднюю энергию \overline{\epsilon_{p}} , кэВ, переданную ТЗЧ микрообъему в результате немоделируемых взаимодействий внутри него, рассчитывают следующим образом
(23)Истинное значение энергии \epsilon_{p} , кэВ, переданной в таких взаимодействиях, рассчитывают согласно п. 2.5.4 в зависимости от значения
\kappa = 2\sigma_{T_{0}} \sqrt{l_{0}^{2}/4 - x_{1,0}^{2}} , (24)
где \sigma_{T_{0}} — макроскопическое сечение неупругих взаимодействий в тканеэквивалентном веществе с потерей энергии менее T0 для ТЗЧ, мкм-1, определяемое по макроскопическому сечению соответствующих неупругих взаимодействий \sigma_{in} для электрона одинаковой с ТЗЧ скорости по формуле
\sigma_{T_{0}} = \sigma_{in}Z_{\text{эфф}}^{2}. (25)
Значения \sigma_{in} рассчитывают по данным табл. 4 приложения 4.
2.5.4 При \kappa = 0 полагают \epsilon_{p} = 0 .
\epsilon_{p} = mL_{T_{0}}/\sigma_{T_{0}}, (26)
где m — целое число, удовлетворяющее, при очередном \gamma , условиям:
\sum_{i = 0}^{m = 1} \frac{\kappa^{i}}{i!} <\gamma e^{\kappa} \leq \sum_{i = 0}^{m} \frac{\kappa^{i}}{i!} .
При 20<\kappa \leq 400 полагают
\epsilon_{p} = \overline{\epsilon_{p}} + \alpha L_{T_{0}} \sqrt{\kappa} /\sigma_{T_{0}},
где \alpha — случайное число, распределенное по нормальному закону.
При \kappa>400 полагают \epsilon_{p} = \overline{\epsilon_{p}} .
2.5.5. По очередному \gamma рассчитывают координату x3,i точки i-го взаимодействия ТЗЧ с веществом, сопровождающегося испусканием дельта-электрона с энергией между T_{\Delta} и Tm:
x_{3,i} = x_{3,i - 1} - ln\gamma/(\sigma_{i}\varphi_{0}/\pi), (27)
где \sigma_{i} — макроскопическое сечение ионизации с потерей энергии между T_{\Delta} + I и Tm + I для ТЗЧ, проходящей на расстоянии x1,0, от центра микрообъема, мкм-1.
Значения \sigma_{i} рассчитывают по формуле
\sigma_{i} = \xi(\frac{1}{T_{\Delta} + I} - \frac{1}{T_{m} + I} - \frac{\beta^{2}}{T_{max}} ln \frac{T_{m} + I}{T_{\Delta} + I}), (28)
(29)а Tr — энергия дельта-электрона, имеющего практический пробег
R_{p}(T_{r}) = \sqrt{x_{1,0}^{2} + x_{2,0}^{2}} - \frac{l_{0}}{2} ,\text{кэВ}.
2.5.6. При x3,i >= x3,вых полагают \epsilon_{n} = \epsilon_{i} + \epsilon_{p} и переходят к вычислениям п. 2.5.11.
При x3,i < x3,вых по очередным \gamma\prime и \gamma\prime\prime рассчитывают энергию Ti, кэВ,
T_{i} = (T_{\Delta} + I)/[1 - \gamma\prime \cdot (1 - \frac{T_{\Delta} + I}{T_{m}})], (30)
значения величин \mu_{1} и \mu_{2} , характеризующих направление вылета дельта-электрона из точки {x1,0, x2,0, x3,i} относительно направления движения ТЗЧ
\mu_{1} = \sqrt{(T_{i} + I)/T_{max}} ; (31)
\mu_{2} = cos(\gamma\prime\prime\varphi_{0}) (32)
и статистический вес WT,i энергии Ti дельта-электрона
W_{T,i} = 1 - \beta^{2} \cdot T_{i}/T_{max}. (33)
2.5.7. При x_{1,0}^{2} + x_{3,i}^{2} \leq l_{0}^{2}/4 к текущему значению \epsilon_{p} прибавляют I.
При x_{1,0}^{2} + x_{3,i}^{2} \leq l^{2}/4 переходят к вычислениям п. 2.6.
2.5.8 Вычисляют значения D по формуле
D = l^{2}/4 - x_{1,0}^{2} \sqrt{1 - \mu_{2}^{2}} - (x_{1,0}\mu_{1} - x_{3,i} \sqrt{1 - \mu_{1}^{2}})^{2}. (34)
При D <= 0 повторяют вычисления с п. 2.5.5.
2.5.9. Расстояние S0 от точки испускания i-го дельта-электрона до ближайшей точки пересечения луча в направлении движения дельта-электрона с поверхностью x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = \frac{l^{2}}{4} вычисляют по формуле
S_{0} = x_{1,0} \sqrt{1 - \mu_{1}^{2}} + x_{3,i}\mu_{1} - \sqrt{D} . (35)
Далее переходят к п. 2.6.
2.5.10. К текущему значению \epsilon_{i} поглощенной энергии в микрообъеме добавляют вклад от i-го дельта-электрона \epsilon_{i}^{*} и повторяют расчет, начиная с п. 2.5.5.
2.5.11 При \epsilon_{n} = 0 переходят к п. 2.5.1.
Значение линейной энергии yn и статистический вес Wn для n-й истории вычисляют по формулам:
y_{n} = \epsilon_{n}/ \frac{2}{3} l_{0}; (36)
W_{n} = W_{R} \prod_{i = 1}^{i_{0}} W_{T,i}, (37)
где i0 — номер дельта-электрона последнего перед выходом ТЗЧ из области моделирования.
Находят наименьшее значение индекса jm, при котором yn <= yj, где yj — выбранные узлы разбиения шкалы линейной энергии (j = 1, 2, ..., J). (Далее j = jm).
2.5.12. В сумматоры yF, yD, f*(yj) и d*(yj) заносят вклады от n-й истории, равные, соответственно, ynWn, y_{n}^{2}W_{n} , Wn и ynWn:
y_{F}^{*} = \sum_{K = 1}^{n} y_{K}W_{K}; (38)
y_{D}^{*} = \sum_{K = 1}^{n} y_{K}^{2}W_{K}; (39)
f*(y_{j}) = \sum_{K = 1}^{n} W_{K}\delta_{j}^{K}; (40)
d*(y_{j}) = \sum_{K = 1}^{n} W_{K}y_{K}\delta_{j}^{K}, (41)
где \delta_{j}^{K} — символ Кронекера, определяемый как
(42)2.5.13. В сумматор числа событий поглощения № заносят единицу. При № не кратном 20 повторяют вычисления по п. 2.5.1.
2.5.14. Вычисляют и запоминают оценки частотного и дозового средних значений линейной энергии для очередной серии из 20 событий поглощения:
\overline{y_{F,m}} = \sum_{K = 1}^{20} y_{K,m}W_{K,m}/ \sum_{K = 1}^{20} W_{K,m}; (43)
\overline{y_{D,m}} = \sum_{K = 1}^{20} y_{K,m}^{2}W_{K,m}/ \sum_{K = 1}^{20} y_{K,m}W_{K,m}, (44)
где m — индекс, означающий, что помеченная им величина относится к m-й серии, а также текущие значения \overline{y_{F}} и \overline{y_{D}} , полученные по всем № событиям поглощения:
\overline{y_{F}} = \sum_{K = 1}^{N} y_{K}W_{K}/ \sum_{K = 1}^{N} W_{K}; (45)
\overline{y_{D}} = \sum_{K = 1}^{N} y_{K}^{2}W_{K}/ \sum_{K = 1}^{N} y_{K}W_{K}. (46)
2.5.15 При выполнении условия (для m > 10)
\sum_{K = 1}^{m} (1 - \frac{\overline{y_{D,K}}}{\overline{y_{D}}})^{2} \leq 10^{- 4} \cdot m^{2} и \sum_{K = 1}^{m} (1 - \frac{\overline{y_{F,K}}}{\overline{y_{F}}})^{2} \leq 4 \cdot 10^{- 4} \cdot m^{2} (47)
моделирование траекторий ТЗЧ прекращают, переходя к п. 2.5.16, если иначе, то продолжают расчет, начиная с п. 2.5.1.
2.5.16. Рассчитывают окончательные оценки частотного \overline{y_{F}^{(i)}} и дозового \overline{y_{D}^{(i)}} средних значений линейной энергии, частотный f(i)(y) и дозовый d(i)(y) СЛЭ для событий поглощения, обусловленных прохождением ТЗЧ через область моделирования, по формулам:
\overline{y_{F}^{(i)}} = y_{F}^{*}/W; (48)
\overline{y_{D}^{(i)}} = y_{D}^{*}/y_{F}^{*}; (49)
f^{(i)}(y_{j}) = f*(y_{j})/W/\Delta y_{j}, j = 1, 2,..., J, (50)
d^{(i)}(y_{j}) = d*(y_{j})/W/\Delta y_{j}, j = 1, 2,..., J, (51)
W = \sum_{j = 1}^{J} f*(y_{j}). (52)
Далее переходят к вычислению п. 2.7.
2.6. Траектории дельта-электронов (далее — электронов) моделируют с учетом их кривизны и возможности рождения вторичных, третичных и т.д. поколений электронов. Процедура вычисления энергии \epsilon_{i}^{*} , переданной электроном микрообъему, состоит в следующем.
2.6.1 Присваивают исходные значения сумматору поглощенных энергий \epsilon_{i}^{*} = 0 , а также:
- направляющим косинусам единичного вектора \vec{\omega}_{0} = {\omega_{1,0},\omega_{2,0},\omega_{3,0}} , задающего начальное направление движения электрона в системе координат {0x1, 0x2, 0x3},
\omega_{1,0} = \mu_{2} \sqrt{1 - \mu_{1}^{2}} , (53)
\omega_{2,0} = \mu_{1} \sqrt{1 - \mu_{2}^{2}} , (54)
- координатам радиуса-вектора \vec{\rho}_{0} = {\xi_{1,0},\xi_{2,0},\xi_{3,0}} , задающего точку начала моделируемой траектории (j = 1, 2, 3):
(56)
(57)где Rp — практический пробег электрона с энергией Ti;
\psi(x) — энергия электрона, выраженная в единицах начальной его энергии, на глубине x, выраженной в единицах Rp.
Значения Rp и \psi(x) для интересующих энергий следует рассчитывать по данным табл. 2 и 3 приложения 4.
2.6.2. Ограниченные линейные передачи энергии L_{e,\Delta} , кэВ/мкм, суммарное макроскопическое сечение \sigma_{tot}^{\Delta} , мкм-1, неупругих с передачей более \Delta = 0,1\text{кэВ} и упругих взаимодействий, полное \sigma_{el} , мкм-1, и парциальные \sigma_{el,k} , мкм-1, макроскопические сечения упругого рассеяния на элементах тканеэквивалентного вещества для электрона с энергией \tau вычисляют по данным табл. 4 и 5 приложения 4.
2.6.3 Длину пути \lambda , мкм, электрона до очередного моделируемого взаимодействия рассчитывают по формуле
\lambda = - ln\gamma/\sigma_{tot}^{\Delta}, (58)
Координаты радиуса-вектора \vec{\rho} = {\xi_{1},\xi_{2},\xi_{3}} точки взаимодействия вычисляют по формуле (j = 1, 2, 3):
\xi_{j} = \lambda_{j,0} + \lambda\omega_{j,0}. (59)
2.6.4. При |\vec{\rho}|> \frac{l}{2} расчет траектории электрона данного поколения прекращают. Проверяют, имеются ли электроны старшего поколения. Если имеются, то координатам вектора \vec{\rho} и направляющим косинусам \vec{\omega}_{0} присваивают ранее определенные значения, соответствующие самому младшему из нерассмотренных поколений электронов, и переходят к п. 2.6.13, в противном случае возвращаются в п. 2.5.10.
2.6.5. Длине S части отрезка |\vec{\rho}_{0} - \vec{\rho}| , принадлежащей микрообъему, присваивают в зависимости от знака параметра
D = (\vec{\omega}\vec{\rho}_{0})^{2} - (\vec{\rho}_{0}\vec{\rho}_{0}) + l_{0}^{2}/4 (60)
(61)
(62)2.6.6 Тип взаимодействия в точке \vec{\rho} определяют по очередному \gamma :
если \gamma>\sigma_{el}/\sigma_{tot}^{\Delta} , то взаимодействие неупругое. Для его моделирования переходят к п. 2.6.10.
2.6.7. Энергию электрона в точке \vec{\rho} вычисляют, вычитая из \tau непрерывные потери \lambda L_{e,\Delta} . К текущему значению \epsilon_{i}^{*} прибавляют порцию энергии, равную SL_{e,\Delta} .
2.6.8. Элемент, на котором произошло упругое рассеяние, определяют по очередному \gamma путем выбора номера k, удовлетворяющего условиям
\sum_{i = 1}^{k - 1} \sigma_{el,i}<\gamma\sigma_{el} \leq \sum_{i = 1}^{k} \sigma_{el,i}. (63)
2.6.9. Величины \mu_{1} = cos\theta и \mu_{2} = cos\varphi , определяющие направление вылета электрона из точки упругого взаимодействия, вычисляют по формулам
\mu_{1} = 1 - 2\gamma\prime F(\tau,Z_{k})/[1 - \gamma\prime + F(\tau,Z_{k})]; (64)
\mu_{2} = cos(2\pi\gamma\prime\prime), (65)
где \gamma\prime и \gamma\prime\prime — очередные случайные числа;
F( \tau , Zk) — параметр экранирования ядра электронами при энергии налетающего электрона \tau для ядра с атомным номером Zk, определяемый согласно приложению 4.
Далее выполняют вычисления, начиная с п. 2.6.14.
2.6.10. Потерю энергии \Delta\tau электрона с энергией \tau\prime = \tau - \lambda L_{e,\Delta} в точке неупругого взаимодействия вычисляют по очередному \gamma согласно алгоритму, изложенному в приложении 5.
Энергии электронов, покидающих точку \vec{\rho} , и косинусы углов \theta_{1} , \theta_{2} и \varphi_{1} , \varphi_{2} , определяющих направление вылета электронов из этой точки, рассчитывают по формулам:
\tau_{1} = \tau - \lambda L_{e,\Delta} - \Delta_{\tau}; (66)
\tau_{2} = \Delta\tau - I; (67)
cos\Theta_{1} = \sqrt{\frac{(1 - \Delta\tau/\tau)(2 + \tau/mc^{2})}{2 + (\tau - \Delta\tau)/mc^{2}}} ; (68)
cos\varphi_{1} = cos(2\pi\gamma); (69)
cos\Theta_{2} = \sqrt{\frac{\Delta\tau}{mc^{2}} \frac{1 + 2mc^{2}/\tau}{2 + \Delta\tau/mc^{2}}} ; (70)
cos\varphi_{2} = - cos\varphi_{1}; (71)
где \gamma — очередное случайное число.
2.6.11. При |\vec{\rho}|<l_{0}/2 к текущему значению \epsilon_{i}^{*} прибавляют порцию энергии \Delta\epsilon , вычисляемую по формуле
(72)2.6.12. При \tau_{2}>0,1\text{кэВ} запоминают радиус-вектор \vec{\rho} , вектор \vec{\omega}_{0} и значения \tau_{1} , cos\theta_{1} и cos\varphi_{1} , а переменным \tau , \mu_{1} , \mu_{2} присваивают значения, соответствующие наиболее медленному из электронов, покидающих точку \vec{\rho} :
\mu_{2} = cos\varphi_{2}; (75)
и переходят к п. 2.6.14.
2.6.13 Переменным \tau , \mu_{1} и \mu_{2} присваивают значения:
\mu_{2} = cos\varphi_{1}. (78)
2.6.14 В случае выполнения хотя бы одного из следующих условий:
R_{e}(\tau)<|l_{0}/2 - |\vec{\rho}||, (79)
где R_{e}(\tau) — длина ионизационного пробега электрона с энергией \tau
моделирование траектории электрона данного поколения прекращают. При |\vec{\rho}|<l_{0}/2 к текущему значению \epsilon_{i}^{*} прибавляют \tau . Если имеются электроны старшего поколения, то координатам вектора \vec{\rho} и направляющим косинусам \vec{\omega}_{0} присваивают ранее определенные значения, соответствующие самому младшему из нерассмотренных поколений электронов, и переходят к п. 2.6.13, в противном случае возвращаются в п. 2.5.10.
В случае невыполнения условий (79) и (80) переходят к следующему пункту.
2.6.15. Направляющие косинусы вектора \vec{\omega} = {\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}} , задающего направление движения рассматриваемого электрона из точки \vec{\rho} , вычисляют по следующим формулам:
\omega_{1} = \omega_{1,0}\mu_{1} - \frac{(\omega_{1,0}\omega_{3,0}\mu_{2} + \omega_{2,0} \sqrt{1 - \mu_{2}^{2}}) \sqrt{1 - \mu_{1}^{2}}}{\sqrt{1 - \omega_{3,0}^{2}}} ; (81)
\omega_{2} = \omega_{2,0}\mu_{1} - \frac{(\omega_{2,0}\omega_{3,0}\mu_{2} - \omega_{1,0} \sqrt{1 - \mu_{2}^{2}}) \sqrt{1 - \mu_{1}^{2}}}{\sqrt{1 - \omega_{3,0}^{2}}} ; (82)
\omega_{3} = \omega_{3,0}\mu_{1} + \mu_{2} \sqrt{1 - \omega_{3,0}^{2}} \sqrt{1 - \mu_{1}^{2}} . (83)
2.6.16. Координатам вектора \vec{\rho}_{0} и направляющим косинусам вектора \vec{\omega} присваивают новые значения (j = 1, 2, 3):
\omega_{j,0} = \omega_{j}; (85)
и повторяют расчеты начиная с п. 2.6.2.
2.7. При \mu^{(e)} = 0 расчет завершают, полагая искомые \overline{y_{F}} , \overline{y_{D}} , f(yj) и d(yj) равными \overline{y_{F}^{(i)}} , \overline{y_{D}^{(i)}} , f(i)(yj) и d(i)(yj) соответственно, а при \mu^{(e)}>0 вычисляют их по формулам:
\overline{y_{F}} = \frac{1}{(1 - \mu^{(e)})/\overline{y_{F}^{(i)}} + \mu^{(e)}/\overline{y_{F}^{(e)}}} ; (86)
\overline{y_{D}} = (1 - \mu^{(e)})\overline{y_{D}^{(i)}} + \mu^{(e)}\overline{y_{D}^{(e)}}; (87)
f(y_{j}) = (1 - \mu^{(e)}) \frac{\overline{y_{F}^{(i)}}}{\overline{y_{F}}} f^{(i)}(y_{j}) + \mu^{(e)} \frac{\overline{y_{F}^{(e)}}}{\overline{y_{F}}} f^{(e)}(y_{j}); (88)
d(y_{j}) = (1 - \mu^{(e)})d^{(e)}(y_{j}) + \mu^{(e)}d^{(e)}(y_{j}), (89)
где помеченные индексом (e) величины относятся к событиям поглощения, формируемым дельта-электронами с энергиями свыше Tm. Эти величины, одинаковые для всех ТЗЧ одной скорости, но разных зарядов, рассчитывают согласно п. 2.8.
2.8. Методика расчета \overline{y_{F}^{(e)}} , \overline{y_{D}^{(e)}} , f(e)(yj) и d(e)(yj), основанная на использовании приближения непрерывного замедления для вычисления дифференциального энергетического распределения электронов на поверхности сферы x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = l^{2}/4 , концентричной рассматриваемому шаровому микрообъему диаметром l0, и моделировании прохождения электронов внутри этой сферы методом Монте-Карло состоит в следующем.
2.8.1. Нормированный на единицу интегральный спектр флюенса Ф(T) у поверхности сферы диаметром l вычисляют по формулам:
(90)
(91)где Le(T) — линейная передача энергии, кэВ/мкм, для электрона с энергией T в тканеэквивалентном веществе, определяемая по данным табл. 4 приложения 4.
2.8.2. Для точки вылета электрона в n-й истории принимают x1,0 = 0, x2,0 = 0, x3,i = -l/2, \mu_{2} = 1 и рассчитывают энергию Ti, кэВ, и значение величины \mu_{1} , характеризующей направление вылета электрона относительно оси 0x3, по формулам:
T_{i} = \text{Ф}^{- 1}(\gamma\prime); (92)
\mu_{1} = \sqrt{\gamma\prime\prime} , (93)
где \text{Ф}^{- 1}(\gamma\prime) — функция, обратная Ф(T);
\gamma\prime , \gamma\prime\prime — последовательные случайные числа.
2.8.3. Выполняют вычисления согласно п. 2.6 с той лишь разницей, что вместо предусмотренного в пп. 2.6.4, 2.6.6 и 2.6.14 перехода в п. 2.5.10, переходят в п. 2.8.4.
2.8.4. В случае \epsilon_{i}^{*} = 0 повторяют вычисления с п. 2.8.2, иначе полагают \epsilon_{n} = \epsilon_{i}^{*} , Wn = 1 и переходят к вычислениям пп. 2.5.11 - 2.5.14, минуя формулу (37). При выполнении условия (47) дальнейшее моделирование траекторий не производят, а переходят в п. 2.8.5. При невыполнении условия (47) повторяют вычисления с п. 2.8.2.
2.8.5. Окончательные оценки искомых величин для событий поглощения, формируемых дельта-электронами с энергией более Tm, рассчитывают по формулам:
\overline{y_{F}^{(e)}} = y_{F}^{*}/W; (94)
\overline{y_{D}^{(e)}} = y_{D}^{*}/y_{F}^{*}; (95)
f^{(e)}(y_{j}) = f*(y_{j})/W/\Delta y_{j}; j = 1, 2, ..., J; (96)
d^{(e)}(y_{j}) = d*(y_{j})/W/\Delta y_{j}; j = 1, 2, ..., J, (97)
W = \sum_{j = 1}^{J} f*(y_{j}). (98)
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА СЛЭ
3.1. Методика основана на предположении, что разбросом энергетических потерь ТЗЧ на отрезках траекторий внутри микрообъема можно пренебречь и что вся потерянная ТЗЧ энергия поглощается в точках их взаимодействий с веществом.
3.2 В качестве исходных данных для расчетов частотного f(y) и дозового d(y) СЛЭ выбирают:
3.3. Линейные передачи энергии L = -dE/dx, кэВ/мкм, и ионизационные пробеги R, мкм, ТЗЧ в тканеэквивалентном веществе, используемые в расчетах, вычисляют при E/A >= 2 МэВ/нуклон по РД 50-25645.206, а при меньших энергиях — по формулам и данным приложения 3.
3.4 В случае, когда соблюдается условие
применяют следующие формулы для СЛЭ, частотного \overline{y_{F}} и дозового \overline{y_{D}} средних значений линейной энергии:
f(y) = \frac{8}{9} \frac{y}{L^{2}} (0 \leq y \leq \frac{3}{2} L); (100)
d(y) = \frac{8}{9} \frac{y^{2}}{L^{3}} (0 \leq y \leq \frac{3}{2} L); (101)
\overline{y_{D}} = \frac{9}{8} L. (103)
3.5. В случае, когда условие (99) не соблюдается, частотный f(y) и дозовый d(y) СЛЭ представляют в виде:
f(y) = c \sum_{i = 1}^{4} N_{i}(y); (104)
d(y) = c \sum_{i = 1}^{4} N_{i}(y)y/\overline{y_{F}}, (105)
где c — постоянная величина, определяемая из условия нормировки на единицу
c = 1/ \sum_{i = 1}^{4} \int_{0}^{\infty} N_{i}(y)dy. (106)
Физический смысл и формулы для расчета каждого слагаемого при равномерно распределенных в среде источниках ТЗЧ приведены в пп. 3.5.1 - 3.5.4.
3.5.1. Слагаемое N1(y) определяет вклад в СЛЭ от ТЗЧ, треки которых полностью принадлежат микрообъему. Значения N1(y) рассчитывают по формуле
(107)где \delta(E - E_{y}) дельта-функция, а
F_{i}(R) = 1 - \frac{3}{2} \frac{R}{l_{0}} + \frac{1}{2} \frac{R^{3}}{l_{0}^{3}} . (108)
Здесь и далее Ey = 2·10-3l0y/3.
3.5.2. Слагаемое N2(y) определяет вклад в СЛЭ от ТЗЧ, треки которых начинаются внутри микрообъема, но заканчиваются вне его. Значения N2(y) рассчитывают по формуле
(109)f_{i}(x) = 3(1 - x^{2}/l_{0}^{2})/2l_{0}. (110)
3.5.3. Слагаемое N3(y) определяет вклад в СЛЭ от ТЗЧ, треки которых начинаются вне микрообъема, но заканчиваются внутри него. Значения N3(y) рассчитывают по формуле
(111)где F_{\mu}(R) = 1 - R^{2}/l_{0}^{2} .
3.5.4. Слагаемое N4(y) определяет вклад в СЛЭ от ТЗЧ, пронизывающих микрообъем. Значения N4(y) рассчитывают по формуле
(112)f_{\mu}(x) = 2x/l_{0}^{2}. (113)
3.5.5. Частотное \overline{y_{F}} и дозовое \overline{y_{D}} средние значения линейной энергии рассчитывают по полученным f(y) и d(y) согласно формулам (2) и (3) соответственно.
ПОЯСНЕНИЯ К ТЕРМИНАМ, ПРИМЕНЯЕМЫМ В МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЯХ
СВЯЗЬ ДРУГИХ МИКРОДОЗИМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СО СПЕКТРАМИ ЛИНЕЙНОЙ ЭНЕРГИИ (СЛЭ)
В микродозиметрии и ее приложениях, помимо линейной энергии y, частотного f(y) и дозового d(y) СЛЭ, частотного \overline{y_{F}} и дозового \overline{y_{D}} средних значений линейной энергии, широко используют удельную энергию z, частотную f1(z) и дозовую d1(z) плотности распределения удельной энергии в одиночном событии поглощения, частотное \overline{z_{F}} и дозовое \overline{z_{D}} средние значения удельной энергии, а также плотность распределения fD(z) удельной энергии при заданной поглощенной дозе D.
Под удельной энергией z, Гр, понимают стохастическую величину, равную частному от деления фактически поглощенной в микрообъеме энергии \epsilon , Дж, на массу m, кг, содержащегося в нем вещества
При y, кэВ/мкм, z, Гр, и диаметре шарового микрообъема l0, мкм, справедливы следующие соотношения:
\overline{z_{F}} = 0,204\overline{y_{F}}/l_{0}^{2}; (116)
\overline{z_{D}} = 0,204\overline{y_{D}}/l_{0}^{2}; (117)
f_{1}(z) = \frac{l_{0}^{2}}{0,204} f(y); (118)
d_{1}(z) = \frac{l_{0}^{2}}{0,204} d(y). (119)
Для вычисления плотности распределения удельной энергии при заданной поглощенной дозе следует использовать формулу
f_{D}(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(D/\overline{z_{F}})^{k}}{k!} e^{- D/z_{F}}f^{(k)}(z), (120)
где f(k)(z) — k-кратная свертка от f1(z), определяемая с помощью рекуррентного соотношения
(121)При достаточно больших (D/\overline{z_{F}}>20) и достаточно малых (D/\overline{z_{F}}<0,01) поглощенных дозах fD(z) вычисляют по формулам:
f_{D}(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\overline{z_{D}}D}} exp[- \frac{(z - D)^{2}}{2\overline{z_{D}} \cdot D}] (122)
f_{D}(z) = (1 - D/\overline{z_{F}})\delta(z) + D/\overline{z_{F}}f_{1}(z) (123)
соответственно, где \delta(z) — дельта-функция.
ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ И ПРОБЕГИ ТЯЖЕЛЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ (ТЗЧ) С ЭНЕРГИЯМИ НА УКЛОН МЕНЕЕ 2 МэВ
Ионизационные потери dE/dx, кэВ/мкм, в тканеэквивалентном веществе для ТЗЧ при энергиях на нуклон менее 2 МэВ следует рассчитывать по ионизационным потерям (dE/dx)p для протонов, представленным в таблице, согласно формуле:
dE/dx = (dE/dx)p·Zэфф(Z)2/Zэфф(1)2, (124)
где Zэфф(Z) — эффективный заряд ТЗЧ с зарядом ядра Z, определяемый формулой (10) разд. 2.
Ионизационные пробеги R(E), мкм, ТЗЧ, включая протоны, следует определять по ее ионизационным потерям согласно формуле
R(E) = 1000 \int_{0}^{E} \frac{1}{dE/dx} dE, (125)
Ионизационные потери протонов в тканеэквивалентном веществе
Примечание. Для получения dE/dx при промежуточных значениях E следует применять линейную интерполяцию в двойном логарифмическом масштабе, а при E < 0,001 МэВ/нуклон — линейную экстраполяцию в обычном масштабе.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕКТРОНОВ В ТКАНЕЭКВИВАЛЕНТНОМ ВЕЩЕСТВЕ
В табл. 2 представлены значения практического пробега Rp электрона в тканеэквивалентном веществе при энергиях T в диапазоне от 0,1 до 200 кэВ. Значения Rp для энергий этого диапазона, не представленных в табл. 2, следует вычислять методом линейной интерполяции в двойном логарифмическом масштабе.
Значения практического пробега электрона в тканеэквивалентном веществе
| Энергия T, кэВ | Практический пробег Rp, мкм | Энергия T, кэВ | Практический пробег Rp, мкм |
|---|---|---|---|
| 0,1 | 0,008 | 10,0 | 1,74 |
| 0,2 | 0,011 | 20,0 | 6,06 |
| 0,5 | 0,020 | 50,0 | 32,4 |
| 1,0 | 0,043 | 100,0 | 116,0 |
| 2,0 | 0,115 | 200,0 | 350,0 |
| 5,0 | 0,515 |
В табл. 3 представлены значения функции \psi(S/R_{p}) , определяющей зависимость энергии электрона от глубины его проникновения S, мкм, в тканеэквивалентное вещество
T(S) = T(0)\psi(S/R_{p}), (126)
где T(0) — начальная энергия электрона, кэВ;
Rp — практический пробег, мкм, электрона с энергией T(0).
Значения Rp при промежуточных T следует вычислять методом линейной интерполяции в обычном масштабе.
Значения функции \psi_{(x)} для тканеэквивалентного вещества
| x | \psi_{(x)} | x | \psi_{(x)} |
|---|---|---|---|
| 0,0 | 1,000 | 0,7 | 0,176 |
| 0,1 | 0,924 | 0,8 | 0,0944 |
| 0,2 | 0,818 | 0,9 | 0,0456 |
| 0,3 | 0,692 | 1,0 | 0,0185 |
| 0,4 | 0,554 | 1,1 | 0,0055 |
| 0,5 | 0,415 | 1,2 | 0,0011 |
| 0,6 | 0,285 | 1,3 | 0,0000 |
В табл. 4 и 5 представлены значения ионизационных пробегов Re, полных Le и ограниченных L_{e,\Delta} линейных передач энергии, а также макроскопических сечений взаимодействия электронов в тканеэквивалентном веществе: полного макроскопического сечения неупругих взаимодействий \sigma_{in} , суммы неупругих взаимодействий с передачей энергии свыше \Delta = 0,1\text{кэВ} и полного упругих взаимодействий \sigma_{tot}^{\Delta} , полного упругих взаимодействий \sigma_{el} и макроскопических сечений упругих взаимодействий для отдельных элементов \sigma_{el_{k}} .
Значения представленных в табл. 4 и 5 величин при промежуточных T следует получать методом линейной интерполяции в двойном логарифмическом масштабе.
Значения Re, Le, L_{e,\Delta} , \sigma_{in} и \sigma_{tot}^{\Delta} для электронов в тканеэквивалентном веществе
Значения \sigma_{el} , \sigma_{el,1} , \sigma_{el,2} , \sigma_{el,3} и \sigma_{el,4} для электронов в тканеэквивалентном веществе
Параметр экранирования ядра атомными электронами F(\tau,Z_{k}) рассчитывают по формуле
F(\tau,Z_{k}) = 1,70 \cdot 10^{- 5}\eta_{k} \frac{Z_{k}^{2/3}}{\tau(\tau + 2)} , (127)
где \tau — кинетическая энергия рассеиваемого электрона, выраженная в единицах энергии покоя электрона;
Zk — атомный номер k-го элемента;
\eta_{k} — множитель, характеризующий k-й элемент.
Нумерация и значения параметров Zk, \eta_{k} для элементов тканеэквивалентного вещества по ГОСТ 18622 представлены в табл. 6.
Нумерация и значения параметров Zk, \eta_{k} для элементов тканеэквивалентного вещества
| Элемент | O | H | C | N |
|---|---|---|---|---|
| Номер | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Zk | 8 | 1 | 6 | 7 |
| \eta_{k} | 1,29 | 1,13 | 1,23 | 1,26 |
АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНОВ В НЕУПРУГИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ
Потери энергии электронов в неупругих взаимодействиях с атомными электронами в тканеэквивалентном веществе, превышающие заданный порог \Delta\tau_{0} , моделируют в приближении свободных электронов методом композиции. В качестве исходных данных выбирают энергию электрона \tau и \Delta\tau , выраженные в единицах массы покоя электрона (511 кэВ). Алгоритм моделирования потери энергии \Delta\tau , кэВ, в неупругом взаимодействии установлен в пп. 1 - 8.
1. Вычисляют параметры неупругого взаимодействия при энергии электрона \tau по формулам:
c_{0} = \Delta\tau/\tau; (128)
c_{2} = (1 + 2\tau)/(1 + \tau)^{2}; (130)
a2 = c1/(1 — c0) — c2ln[2(1 — c0)]; (132)
a_{3} = c_{1}[\tau/(1 + \tau)]^{2}/2; (133)
a_{\Sigma} = a_{1} + a_{2} + a_{3}. (134)
2. Для очередного случайного числа \gamma , равномерно распределенного в интервале (0,1) (далее — очередного \gamma ), проверяют соблюдение условия
\gamma<a_{1}/a_{\Sigma}. (135)
Если оно выполнено, то переходят в п. 3, в противном случае — в п. 5.
3. Вычисляют потерю энергии \Delta\tau* (в единицах \tau ), соответствующую очередному \gamma , по формуле
\Delta\tau* = c_{0}/(1 - \gamma c_{1}). (136)
4. Для очередного \gamma проверяют соблюдение условия
\gamma>(1 - c_{2} \cdot \Delta\tau*)/(1 - c_{0}c_{2}). (137)
Если оно выполнено, то возвращаются в п. 3, в противном случае переходят в п. 8.
5. Для очередного \gamma проверяют соблюдение условия
\gamma<(a_{1} + a_{2})/a_{\Sigma}. (138)
Если оно выполнено, то переходят в п. 6, в противном случае вычисляют \Delta\tau* , соответствующую очередному \gamma , по формуле
\Delta\tau* = c_{0} + \gamma c_{1}/2 (139)
и переходят в п. 8.
6. Вычисляют \Delta\tau* , соответствующую очередному \gamma , по формуле
\Delta\tau* = (c_{0} + \gamma c_{1})/(1 + \gamma c_{1}). (140)
7. Для очередного \gamma проверяют соблюдение условия
\gamma>[1 - c_{2}(1 - \Delta\tau*)]/(1 - c_{1}/2). (141)
Если оно выполнено, то возвращаются в п. 6, в противном случае переходят к следующему пункту.
8. Расчет заканчивают, определяя, кэВ, по формуле
\Delta\tau = 511\tau \cdot \Delta\tau*. (142)