---
title: "\"ГОСТ Р 50779.41-96 (ИСО 7873-93). Государственный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими границами\""
number: "ГОСТ Р 50779.41-96"
issuer: "Государственный комитет Российской Федерации по стандартизации и метрологии"
status: действует
canonical: "https://bukva.ai/docs/gost-r-50779-41-96"
---

## "ГОСТ Р 50779.41-96 (ИСО 7873-93). Государственный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими границами"

# "ГОСТ Р 50779.41-96 (ИСО 7873-93). Государственный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими границами"

(утв. и введен в действие Постановлением Госстандарта России от 14.08.1996 N 512)

> [!IMPORTANT]
> Документ включен в [Перечень](https://bukva.ai/docs/pravila-p-ssfzht-45iso-9001-2003#p101008) государственных стандартов и других нормативных документов, подлежащих применению в процессе разработки, проектирования, производства и испытаний (указание МПС России от 25.06.2003 N Р-634у).
> С 1 июля 2003 года до вступления в силу технических регламентов акты федеральных органов исполнительной власти в сфере технического регулирования носят рекомендательный характер и подлежат обязательному исполнению только в части, соответствующей целям, указанным в пункте 1 статьи 46 Федерального закона от 27.12.2002 N 184-ФЗ.
> Документ [введен](#p100010) в действие с 1 июля 1997 года.


<div align="right">

<a id="p100001"></a>Утвержден и введен в действие<br>
Постановлением Госстандарта России<br>
от 14 августа 1996 г. N 512

</div>


<a id="p100002"></a>**ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ**

<a id="p100003"></a>**СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ**

<a id="p100004"></a>**КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫ ДЛЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО**
**С ПРЕДУПРЕЖДАЮЩИМИ ГРАНИЦАМИ**

<a id="p100005"></a>Statistical methods. Control charts for arithmetic average
with warning limits

<a id="p100006"></a>**ГОСТ Р 50779.41-96**

<div align="center">

**(ИСО 7873-93)**

</div>


<div align="right">

<a id="p100007"></a>Группа Т59

<a id="p100008"></a>ОКС 03.120.30

<a id="p100009"></a>ОКСТУ 0011

<a id="p100010"></a>Дата введения

</div>

<div align="center">

1 июля 1997 года

</div>



### <a id="p100011"></a>Предисловие


1. <a id="p100012"></a>Разработан и внесен Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Стандартизация статистических методов управления качеством", Акционерным обществом "Нижегородский научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем" (АО "НИЦ КД").
2. <a id="p100013"></a>Утвержден и введен в действие Постановлением Госстандарта России от 14 августа 1996 г. N 512.
3. <a id="p100014"></a>Разделы (подразделы, Приложения) настоящего стандарта, за исключением [раздела 4](#p100033), представляют собой полный аутентичный текст ИСО 7873-93 "Контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими границами" с дополнительными требованиями, отражающими потребности экономики страны.
4. <a id="p100015"></a>Введен впервые.


### <a id="p100016"></a>Введение


<a id="p100017"></a>Статистическое управление процессом предусматривает использование контрольных карт для арифметического среднего с предупреждающими границами, которые являются модификацией контрольных карт Шухарта.
<a id="p100018"></a>Контрольные карты (КК) для арифметических средних с предупреждающими границами отличаются высокой чувствительностью к сдвигам уровня процесса.
<a id="p100019"></a>Эти КК позволяют фиксировать даже самые небольшие сдвиги уровня процесса на основе дополнительной информации, получаемой от точек, попавших в предупреждающую зону. При этом сохраняется возможность определения резких крупных сдвигов в уровне процесса, когда выборочные средние арифметические выходят за пределы границ регулирования. По сравнению с контрольными картами Шухарта предлагаемые КК более чувствительны к незначительным и медленно формирующимся ухудшениям уровня процесса (таким, как сдвиги, не превышающие $2,5\sigma/ \sqrt{n}$ , где $\sigma$ - стандартное отклонение контролируемого параметра и $n$ - объем выборки).


### 1. <a id="p100020"></a>Область применения


<a id="p100021"></a>Настоящий стандарт устанавливает процедуры статистического управления процессом с помощью контрольных карт (далее - КК), основанных на вычислении среднего арифметического в выборке и использующих предупреждающие границы и границы регулирования. Предполагают, что для крупных партий и для массового выпуска штучной и серийной продукции контролируемым параметром качества является случайная величина, которая должна подчиняться нормальному закону распределения. Если вычисляют и наносят на КК среднее по четырем или более изделиям, предположение о нормальности распределения необязательно [(4.2)](#p100036).


### 2. <a id="p100022"></a>Нормативные ссылки


<a id="p100023"></a>В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:
<a id="p100024"></a>ГОСТ Р 50779.21-96 Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение
<a id="p100025"></a>ИСО 3534-1-93 <1> Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Вероятность и основные статистические термины

<a id="p100026"></a>

---

<a id="p100027"></a><1> До прямого применения данного стандарта ИСО в качестве государственного стандарта распространение его осуществляет ВНИИКИ.

<a id="p100028"></a>ИСО 3534-2-93 <1> Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 2. Статистический контроль качества

<a id="p100029"></a>

---

<a id="p100030"></a><1> До прямого применения данного стандарта ИСО в качестве государственного стандарта распространение его осуществляет ВНИИКИ.


### 3. <a id="p100031"></a>Определения


<a id="p100032"></a>В настоящем стандарте применяют термины с соответствующими определениями, данные в ИСО 3534-1 и ИСО 3534-2.


### 4. <a id="p100033"></a>Условия применения


<a id="p100034"></a>4.1. Прежде чем применять методы статистического управления процессом, следует в течение базового периода провести статистический анализ интересующего показателя качества, чтобы установить связь между процессом и качеством продукции для выработки рекомендаций по наладке процесса.
<a id="p100035"></a>Если статистический анализ показывает, что процесс находится в статистически неуправляемом состоянии, и возможности процесса не соответствуют установленным требованиям, то необходимо определить причины сдвигов уровня процесса и способы его настройки.

#### <a id="p100036"></a>4.2 Прежде чем применять правила настоящего стандарта, необходимо в первую очередь установить следующее:

<a id="p100037"></a>а) выборочное среднее арифметическое $\overline{x}$ распределено по нормальному закону распределения. За исключением особых нетипичных случаев, распределение выборочного среднего арифметического для четырех и более изделий в выборке (согласно центральной предельной теореме) близко к нормальному закону, даже если отдельные наблюдения не подчиняются нормальному закону;
<a id="p100038"></a>б) индивидуальные измерения, используемые для вычисления $\overline{x}$ , должны быть проведены измерительным инструментом, деление шкалы которого не превышает $\sigma/2$ ;
<a id="p100039"></a>в) неизвестное значение математического ожидания $\mu$ выборочных средних $\overline{x}$ характеризует текущий уровень процесса. Если уровень процесса изменяется, то изменяется и $\mu$ . В этом случае уровень процесса должен быть скорректирован.
<a id="p100040"></a>*Примечание.* Следует обратить внимание на понятие "уровень процесса". Именно уровень процесса является объектом управления при применении КК. Поэтому сигналом к корректирующим действиям является не появление несоответствующих единиц продукции, а недопустимое изменение уровня процесса, например, выход $\mu$ за границы $\mu_{1}$ или $\mu_{- 1}$ , специально установленные для уровня процесса;

<a id="p100041"></a>г) при двустороннем критерии целевой уровень процесса $\mu_{0}$ соответствует значению центра поля допуска на контролируемый параметр, установленного в нормативной документации;
<a id="p100042"></a>д) стандартное отклонение $\sigma$ контролируемого параметра должно быть постоянным и приемлемым. Это предположение должно быть проверено по контрольной карте выборочных стандартных отклонений или размахов;
<a id="p100043"></a>е) при применении одностороннего критерия ( $\mu_{1}>\mu_{0}$ или $\mu_{- 1}<\mu_{0}$ ) целевой уровень процесса предполагают равным $\mu_{0}$ , а интерес представляет только нежелательное отклонение уровня процесса в том или ином направлении. Если процесс вышел из статистически управляемого состояния в соответствующем направлении, то необходима корректировка. Значения $\mu_{1}$ и $\mu_{- 1}$ выбирают так, чтобы указать такие сдвиги уровня процесса ( $\Delta = |\mu_{1} - \mu_{0}|$ или $\Delta = |\mu_{- 1} - \mu_{0}|$ ), которые недопустимы и должны быть быстро обнаружены. Эти значения определяют через недопустимое значение доли несоответствующих единиц продукции [(Приложение А)](#p100205).
<a id="p100044"></a>Примечание. Здесь важно подчеркнуть, что для статистического управления процессом изначально должны быть заданы и допуск на контролируемый параметр, и недопустимое значение возможной доли несоответствующих единиц продукции. По правилам [Приложения А](#p100205) эти требования к качеству продукции переводят в требования к качеству процесса через установление недопустимых сдвигов уровня процесса. Выполнение требований к качеству процесса означает выполнение требований к качеству продукции. КК служит инструментом для контроля выполнения требований к качеству процесса;

<a id="p100045"></a>ж) в случае двустороннего критерия ( $\mu_{1}>\mu_{0}$ или $\mu_{- 1}<\mu_{0}$ ) интерес представляют оба направления возможных отклонений уровня процесса от $\mu_{0}$ . Если процесс вышел из статистически управляемого состояния в любом направлении, то он должен быть скорректирован.
<a id="p100046"></a>Значение $\delta$ , которое характеризует приведенное значение математического ожидания (уровня процесса) для процесса, вышедшего из статистически управляемого состояния, рассчитывают через значения $\mu_{0}$ , $\delta$ , $\mu_{1}$ и (или) $\mu_{- 1}$ следующим образом:

<a id="p100047"></a> $\delta = \frac{\mu_{1} - \mu_{0}}{\sigma} = \frac{\mu_{0} - \mu_{- 1}}{\sigma}$ . (4.1)

<a id="p100048"></a>Когда величина $\sigma$ постоянна, процесс может выйти из статистически управляемого состояния вследствие изменения m под влиянием неслучайных причин.
<a id="p100049"></a>*Примечание.* Важно подчеркнуть, что при применении КК должны быть установлены три вида требований:
- <a id="p100050"></a>требование к качеству продукции - поле допуска контролируемого параметра и недопустимое значение возможной доли несоответствующих единиц продукции;
- <a id="p100051"></a>требование к качеству процесса - $\mu_{0}$ , $\mu_{1}$ и (или) $\mu_{- 1}$ ;
- <a id="p100052"></a>требование к выборочной характеристике $\overline{x}$ - контрольные границы (предупреждающие и границы регулирования).
<a id="p100053"></a>Требования к качеству продукции устанавливают в технических условиях и (или) в контракте, требования к качеству процесса - в технологической документации, а контрольные границы - в инструкции для контролера или оператора (наладчика).


### 5. <a id="p100054"></a>Описание метода


<a id="p100055"></a>5.1. Статистическое управление процессом осуществляют с использованием контрольных карт для арифметического среднего с предупреждающими границами.
<a id="p100056"></a>Контрольная карта - это графическое отражение состояния процесса, его уровня и изменчивости. Текущие выборочные значения $\overline{x}$ наносят на КК, как показано в Приложении Б [(рисунок Б.1)](#p100269).
<a id="p100057"></a>5.2. Контрольная карта для арифметического среднего с предупреждающими границами имеет целевую (центральную) линию процесса, соответствующую центру поля допуска контролируемого параметра. Эта линия соответствует значению $\mu_{0}$ , предупреждающие границы - значениям $\mu_{0} \pm B_{2}\sigma/ \sqrt{n}$ , а границы регулирования - значениям $\mu_{0} \pm B_{1}\sigma/ \sqrt{n}$ , где n - объем выборки. Предполагают, что значения индивидуальных измерений контролируемого параметра, используемые для вычисления $\overline{x}$ , статистически независимы.
<a id="p100058"></a> $B_{1}$ и $B_{2}$ - коэффициенты, определяющие расположение границ регулирования и предупреждающих границ на КК. Принцип выбора значений $B_{1}$ и $B_{2}$ описан в [разделе 6](#p100080).
<a id="p100059"></a>5.3. Контрольная карта может быть нанесена на бланке, на световом табло, приведена в памяти компьютера или представлена в другой удобной форме.
<a id="p100060"></a>5.4. КК должны находиться как можно блике к рабочим местам; ввод данных и построение графиков должны быть осуществлены чисто и подробно.
<a id="p100061"></a>5.5. Необходимо подготовить стандартные рабочие процедуры для определения, подготовки и использования КК как метода измерения изменчивости процесса. Данные по мере их получения должны быть своевременно нанесены на контрольную карту.
<a id="p100062"></a>5.6. Контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими границами могут быть использованы для процессов как с односторонним, так и с двусторонним критериями. Однако обычно используют двусторонний критерий.
<a id="p100063"></a>5.6.1. В случае, когда процесс находится в статистически управляемом состоянии и имеет двусторонний критерий, выделяют пять зон качества (рисунок 1):

<a id="p100064"></a> ![5. Описание метода](https://i.bukva.ai/mFJ8TPSo/img_0.png) 

<div align="center">

<a id="p100065"></a>Рисунок 1. Зоны качества для статистического управления<br>
процессом с двусторонним критерием

</div>


<a id="p100066"></a>а) зону T (целевую): выборочное среднее арифметическое находится между верхней и нижней предупреждающими границами;
<a id="p100067"></a>б) зоны $W_{+}$ и $W_{-}$ (предупреждающие): выборочное среднее арифметическое находится соответственно между верхней предупреждающей границей и верхней границей регулирования или между нижней предупреждающей границей и нижней границей регулирования;
<a id="p100068"></a>в) зоны $A_{+}$ и $A_{-}$ (критические): выборочное среднее арифметическое находится соответственно выше верхней или ниже нижней границ регулирования.
<a id="p100069"></a>5.6.2. В случае, когда процесс находится в статистически управляемом состоянии и имеет односторонний критерий, выделяют три зоны качества ([рисунки 2](#p100075) и [3](#p100078)):
<a id="p100070"></a>а) зону T (целевую): выборочное среднее арифметическое находится ниже верхней или выше нижней предупреждающих границ в зависимости от конкретного случая;
<a id="p100071"></a>б) зону W (предупреждающую): выборочное среднее арифметическое находится между предупреждающей границей и границей регулирования;
<a id="p100072"></a>в) зону A (критическую): выборочное среднее арифметическое находится за пределами границы регулирования.
<a id="p100073"></a>На рисунке 2 рассмотрен случай, когда нежелательный сдвиг уровня процесса связан с его возрастанием.

<a id="p100074"></a> ![5. Описание метода](https://i.bukva.ai/mFJ8TPSo/img_1.png) 

<div align="center">

<a id="p100075"></a>Рисунок 2. Зоны качества для статистического управления<br>
с односторонним критерием - верхние границы

</div>


<a id="p100076"></a>На рисунке 3 рассмотрен случай, когда нежелательный сдвиг уровня процесса связан с его убыванием.

<a id="p100077"></a> ![5. Описание метода](https://i.bukva.ai/mFJ8TPSo/img_2.png) 

<div align="center">

<a id="p100078"></a>Рисунок 3. Зоны качества для статистического управления<br>
с односторонним критерием - нижние границы

</div>


<a id="p100079"></a>5.7. Выборочное среднее арифметическое наносят на контрольную карту с предупреждающими границами следующим образом: для каждой выборки на КК наносят точку с указанием времени или порядкового номера в качестве абсциссы и соответствующего значения $\overline{x}$ - в качестве ординаты [(рисунок Б.1)](#p100269).


### 6. <a id="p100080"></a>Статистическое управление процессом


<a id="p100081"></a>6.1. Если хотя бы одна точка попала в верхнюю критическую зону $A_{+}$ или в нижнюю критическую зону $A_{-}$ , то это сигнал о выходе процесса из-под контроля. При получении такого сигнала должна быть определена и устранена причина выхода процесса из статистически управляемого состояния.
<a id="p100082"></a>6.2. Если установленное количество последовательных точек K попадает в одну из предупреждающих зон - верхнюю $W_{+}$ или нижнюю $W_{-}$ , то это служит сигналом о выходе процесса из-под контроля и необходимости корректировки.
<a id="p100083"></a>Значения различных параметров для планов статистического управления процессом выбирают в соответствии с разделом 7.


### 7. <a id="p100084"></a>Выбор значений параметров для планов статистического управления процессом



#### <a id="p100085"></a>7.1 При выборе плана статистического управления процессом необходимо установить следующие значения:

<a id="p100086"></a>а) объем выборки n (по [7.3](#p100194)) <1>;
<a id="p100087"></a>б) период отбора выборок t (по [7.3](#p100194)) <1>;

<a id="p100088"></a>

---

<a id="p100089"></a><1> Значения величин t и n устанавливают предварительно.

<a id="p100090"></a>в) количество последовательных точек K (по [6.2](#p100082));
<a id="p100091"></a>г) коэффициенты $B_{1}$ и $B_{2}$ (по [7.2.2](#p100097) и [7.4.1](#p100198)), - а также правила принятия решений для корректировки процесса.
<a id="p100092"></a>Исходными величинами для выбора плана статистического управления процессом являются $\mu_{0}$ , $\sigma$ , $\mu_{1}$ и (или) $\mu_{- 1}$ (в соответствии с [разделом 4](#p100033)); $L_{0}$ и $L_{1}$ [средние длины серий выборок для процессов соответственно в статистически управляемом и неуправляемом состояниях (в соответствии с [7.2](#p100093) и [Приложением В](#p100276))].
<a id="p100093"></a>7.2. Эффективность процедуры статистического управления процессом может быть оценена через средние длины серий выборок.
<a id="p100094"></a>7.2.1. Средняя длина серии выборок (ARL) процесса - это среднее число выборок, которые будут извлечены до получения сигнала о неуправляемом состоянии процесса, при неизменном уровне процесса. Значения ARL представлены в [таблицах 1](#p100099) - [4](#p100173). ARL имеет максимальное значение, когда уровень процесса совпадает с целевым уровнем $\mu_{0}$ ; значение ARL резко уменьшается, когда уровень процесса отклоняется от целевого. Контрольная карта должна быть рассчитана таким образом, чтобы были выполнены два условия:
<a id="p100095"></a>а) при совпадении уровня процесса с целевым уровнем $\mu_{0}$ средняя длина серий выборок обозначается $L_{0}$ и должна принимать большое значение. Это обеспечивает низкую вероятность возникновения ложных сигналов о выходе процесса из статистически управляемого состояния;
<a id="p100096"></a>б) при уровне процесса со значениями $\mu_{1}$ или $\mu_{- 1}$ средняя длина серий выборок обозначается $L_{1}$ и должна принимать малое значение. Это позволяет быстро обнаружить неудовлетворительное состояние процесса.
<a id="p100097"></a>7.2.2. Для одностороннего критерия в таблицах 1, [2](#p100124) и [3](#p100149) в строке $\delta \sqrt{n} = 0$ даны значения ARL, равные $L_{0}$ , и значения ARL, равные $L_{1}$ , - в строках, соответствующих различным значениям $\delta \sqrt{n}$ , как функции от K, $B_{1}$ , $B_{2}$ и $\delta \sqrt{n}$ . При выборе $L_{0}$ и $L_{1}$ необходимо установить несколько вариантов $B_{1}$ и $B_{2}$ ; из них, насколько это возможно, выбирают те, которые дают максимальное значение отношения $L_{0}/L_{1}$ .

<div align="center">

<a id="p100098"></a>Таблица 1

<a id="p100099"></a>Значения ARL для $B_{1} = 2,75$ (односторонний критерий)

</div>




<table>
<colgroup><col width="10%"><col width="5%"><col width="5%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"></colgroup>
<tr><td rowspan="3">_ дельта\/n</td><td colspan="5">K = 2</td><td colspan="5">K = 3</td><td colspan="5">K = 4</td></tr>
<tr><td colspan="5">B 2</td><td colspan="5">B 2</td><td colspan="5">B 2</td></tr>
<tr><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td></tr>
<tr><td>0,0</td><td>41,7</td><td>79,8</td><td>146,8</td><td>232,8</td><td>297,4</td><td>161,8</td><td>253,0</td><td>310,2</td><td>330,6</td><td>334,5</td><td>287,4</td><td>324,6</td><td>333,6</td><td>335,1</td><td>335,4</td></tr>
<tr><td>0,2</td><td>24,5</td><td>43,6</td><td>76,7</td><td>120,9</td><td>158,9</td><td>80,4</td><td>126,3</td><td>161,7</td><td>180,3</td><td>184,7</td><td>146,4</td><td>166,6</td><td>185,2</td><td>185,3</td><td>185,6</td></tr>
<tr><td>0,4</td><td>15,3</td><td>25,4</td><td>42,3</td><td>65,8</td><td>88,0</td><td>42,4</td><td>66,9</td><td>88,2</td><td>101,5</td><td>105,5</td><td>69,1</td><td>96,0</td><td>104,1</td><td>106,1</td><td>106,4</td></tr>
<tr><td>0,6</td><td>10,3</td><td>15,9</td><td>25,0</td><td>32,2</td><td>50,5</td><td>24,6</td><td>37,4</td><td>50,5</td><td>56,0</td><td>62,4</td><td>40,8</td><td>54,2</td><td>60,6</td><td>62,9</td><td>63,3</td></tr>
<tr><td>0,8</td><td>7,3</td><td>10,5</td><td>15,0</td><td>22,7</td><td>30,3</td><td>15,3</td><td>22,1</td><td>29,7</td><td>35,2</td><td>38,0</td><td>24,4</td><td>31,8</td><td>36,7</td><td>38,4</td><td>39,1</td></tr>
<tr><td>1,0</td><td>5,4</td><td>7,3</td><td>10,3</td><td>14,4</td><td>19,0</td><td>9,6</td><td>14,0</td><td>18,3</td><td>22,0</td><td>23,9</td><td>15,7</td><td>19,6</td><td>22,8</td><td>24,3</td><td>24,8</td></tr>
<tr><td>1,2</td><td>4,2</td><td>5,4</td><td>7,2</td><td>9,7</td><td>12,6</td><td>7,2</td><td>8,9</td><td>12,1</td><td>14,5</td><td>16,0</td><td>10,3</td><td>12,7</td><td>15,0</td><td>16,2</td><td>16,6</td></tr>
<tr><td>1,4</td><td>3,4</td><td>4,2</td><td>5,3</td><td>6,8</td><td>8,5</td><td>5,4</td><td>6,7</td><td>8,2</td><td>9,6</td><td>10,7</td><td>7,2</td><td>8,6</td><td>9,9</td><td>10,8</td><td>11,2</td></tr>
<tr><td>1,6</td><td>2,8</td><td>3,3</td><td>3,9</td><td>4,7</td><td>5,6</td><td>4,0</td><td>5,0</td><td>5,4</td><td>6,0</td><td>6,5</td><td>5,0</td><td>6,2</td><td>6,2</td><td>6,6</td><td>7,9</td></tr>
<tr><td>1,8</td><td>2,4</td><td>2,8</td><td>3,2</td><td>4,1</td><td>4,5</td><td>3,5</td><td>3,9</td><td>4,4</td><td>5,2</td><td>5,4</td><td>4,2</td><td>4,7</td><td>5,2</td><td>5,6</td><td>5,6</td></tr>
<tr><td>2,0</td><td>2,2</td><td>2,4</td><td>2,7</td><td>3,1</td><td>3,5</td><td>2,9</td><td>3,5</td><td>3,4</td><td>3,8</td><td>4,1</td><td>3,4</td><td>3,7</td><td>4,0</td><td>4,8</td><td>4,3</td></tr>
<tr><td>2,2</td><td>1,9</td><td>2,1</td><td>2,3</td><td>2,5</td><td>2,8</td><td>2,5</td><td>2,7</td><td>2,8</td><td>3,1</td><td>3,2</td><td>2,9</td><td>3,0</td><td>3,1</td><td>3,3</td><td>3,4</td></tr>
<tr><td>2,4</td><td>1,8</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>2,1</td><td>2,3</td><td>2,2</td><td>2,3</td><td>2,4</td><td>2,5</td><td>2,6</td><td>2,4</td><td>2,5</td><td>2,6</td><td>2,6</td><td>2,7</td></tr>
<tr><td>2,6</td><td>1,6</td><td>1,7</td><td>1,8</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>2,0</td><td>2,2</td><td>2,2</td><td>2,1</td><td>2,1</td><td>2,2</td><td>2,3</td><td>2,3</td></tr>
<tr><td>2,8</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>1,8</td><td>1,8</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>2,0</td><td>2,0</td></tr>
<tr><td>3,0</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,7</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,7</td><td>1,7</td></tr>
<tr><td>3,2</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td></tr>
<tr><td>3,4</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td></tr>
<tr><td>3,6</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td></tr>
<tr><td>3,8</td><td>1,1</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td></tr>
</table>


<div align="right">

<a id="p100123"></a>Таблица 2

</div>


<div align="center">

<a id="p100124"></a>Значения ARL для $B_{1} = 3,00$ (односторонний критерий)

</div>




<table>
<colgroup><col width="10%"><col width="5%"><col width="5%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"></colgroup>
<tr><td rowspan="3">_ дельта\/n</td><td colspan="5">K = 2</td><td colspan="5">K = 3</td><td colspan="5">K = 4</td></tr>
<tr><td colspan="5">B 2</td><td colspan="5">B 2</td><td colspan="5">B 2</td></tr>
<tr><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td></tr>
<tr><td>0,0</td><td>43,8</td><td>83,5</td><td>186,1</td><td>346,2</td><td>556,0</td><td>215,1</td><td>422,5</td><td>620,1</td><td>711,0</td><td>734,6</td><td>535,4</td><td>624,1</td><td>730,9</td><td>738,3</td><td>739,4</td></tr>
<tr><td>0,2</td><td>25,7</td><td>48,1</td><td>92,7</td><td>151,0</td><td>275,2</td><td>101,3</td><td>194,0</td><td>301,7</td><td>365,0</td><td>385,9</td><td>245,4</td><td>341,6</td><td>380,6</td><td>389,6</td><td>391,0</td></tr>
<tr><td>0,4</td><td>16,1</td><td>27,9</td><td>50,5</td><td>89,6</td><td>141,9</td><td>51,8</td><td>95,6</td><td>159,4</td><td>192,1</td><td>210,5</td><td>117,1</td><td>174,6</td><td>203,3</td><td>212,4</td><td>214,2</td></tr>
<tr><td>0,6</td><td>10,8</td><td>17,2</td><td>26,4</td><td>39,8</td><td>76,0</td><td>28,6</td><td>49,7</td><td>78,4</td><td>87,7</td><td>115,9</td><td>59,5</td><td>89,7</td><td>111,0</td><td>117,6</td><td>121,9</td></tr>
<tr><td>0,8</td><td>8,1</td><td>11,3</td><td>17,7</td><td>28,4</td><td>43,0</td><td>19,2</td><td>28,1</td><td>43,1</td><td>55,2</td><td>66,9</td><td>35,4</td><td>48,8</td><td>62,3</td><td>69,4</td><td>71,4</td></tr>
<tr><td>1,0</td><td>5,6</td><td>7,9</td><td>11,6</td><td>17,4</td><td>25,5</td><td>11,6</td><td>17,1</td><td>25,0</td><td>33,7</td><td>39,9</td><td>19,5</td><td>40,3</td><td>36,3</td><td>41,3</td><td>43,3</td></tr>
<tr><td>1,2</td><td>4,2</td><td>5,8</td><td>8,0</td><td>11,4</td><td>16,1</td><td>7,7</td><td>11,2</td><td>14,9</td><td>20,6</td><td>24,7</td><td>11,9</td><td>17,1</td><td>22,0</td><td>25,6</td><td>27,2</td></tr>
<tr><td>1,4</td><td>3,6</td><td>4,5</td><td>5,8</td><td>7,8</td><td>11,2</td><td>6,0</td><td>7,8</td><td>10,3</td><td>13,2</td><td>15,8</td><td>8,7</td><td>11,2</td><td>15,0</td><td>16,4</td><td>17,6</td></tr>
<tr><td>1,6</td><td>3,0</td><td>3,5</td><td>4,4</td><td>5,7</td><td>7,4</td><td>4,7</td><td>5,8</td><td>7,2</td><td>8,9</td><td>10,6</td><td>6,5</td><td>7,8</td><td>9,4</td><td>10,9</td><td>11,3</td></tr>
<tr><td>1,8</td><td>2,6</td><td>2,9</td><td>3,5</td><td>4,7</td><td>5,4</td><td>3,9</td><td>4,5</td><td>5,3</td><td>6,8</td><td>7,4</td><td>5,0</td><td>5,8</td><td>6,7</td><td>7,9</td><td>8,3</td></tr>
<tr><td>2,0</td><td>2,3</td><td>2,5</td><td>2,9</td><td>3,4</td><td>4,1</td><td>3,4</td><td>3,6</td><td>4,1</td><td>4,7</td><td>5,4</td><td>4,0</td><td>4,5</td><td>5,0</td><td>5,5</td><td>6,0</td></tr>
<tr><td>2,2</td><td>2,1</td><td>2,2</td><td>2,5</td><td>2,8</td><td>3,2</td><td>2,8</td><td>2,8</td><td>3,3</td><td>3,7</td><td>4,1</td><td>3,4</td><td>3,6</td><td>3,9</td><td>4,2</td><td>4,5</td></tr>
<tr><td>2,4</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>2,2</td><td>2,4</td><td>2,6</td><td>2,5</td><td>2,6</td><td>2,8</td><td>3,0</td><td>3,2</td><td>2,9</td><td>3,0</td><td>3,1</td><td>3,3</td><td>3,5</td></tr>
<tr><td>2,6</td><td>1,7</td><td>1,8</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>2,2</td><td>2,2</td><td>2,3</td><td>2,3</td><td>2,5</td><td>2,6</td><td>2,5</td><td>2,5</td><td>2,7</td><td>2,7</td><td>2,8</td></tr>
<tr><td>2,8</td><td>1,6</td><td>1,7</td><td>1,8</td><td>1,8</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>2,1</td><td>2,1</td><td>2,1</td><td>2,2</td><td>2,2</td><td>2,3</td><td>2,3</td><td>2,3</td><td>2,4</td></tr>
<tr><td>3,0</td><td>1,5</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,7</td><td>1,8</td><td>1,8</td><td>1,8</td><td>1,9</td><td>1,9</td><td>1,9</td><td>1,9</td><td>1,7</td><td>1,9</td><td>2,0</td></tr>
<tr><td>3,2</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,7</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,7</td></tr>
<tr><td>3,4</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td></tr>
<tr><td>3,6</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td></tr>
<tr><td>3,8</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,2</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td></tr>
</table>


<div align="center">

<a id="p100148"></a>Таблица 3

<a id="p100149"></a>Значения ARL для $B_{1} = 3,25$ (односторонний критерий)

</div>




<table>
<colgroup><col width="10%"><col width="5%"><col width="5%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="7%"><col width="7%"><col width="7%"><col width="6%"><col width="7%"><col width="7%"><col width="7%"><col width="7%"></colgroup>
<tr><td rowspan="3">_ дельта\/n</td><td colspan="5">K = 2</td><td colspan="5">K = 3</td><td colspan="5">K = 4</td></tr>
<tr><td colspan="5">B 2</td><td colspan="5">B 2</td><td colspan="5">B 2</td></tr>
<tr><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td></tr>
<tr><td>0,0</td><td>45,1</td><td>94,7</td><td>212,0</td><td>481,5</td><td>987,8</td><td>448,7</td><td>618,6</td><td>1176,0</td><td>1567,8</td><td>1698,7</td><td>904,8</td><td>1454,7</td><td>1675,9</td><td>1720,8</td><td>1730,4</td></tr>
<tr><td>0,2</td><td>26,4</td><td>50,7</td><td>105,3</td><td>223,3</td><td>432,2</td><td>116,2</td><td>263,9</td><td>469,5</td><td>744,9</td><td>843,6</td><td>369,7</td><td>653,0</td><td>819,6</td><td>864,3</td><td>872,9</td></tr>
<tr><td>0,4</td><td>16,6</td><td>29,2</td><td>55,6</td><td>110,2</td><td>207,6</td><td>58,0</td><td>121,2</td><td>230,3</td><td>360,3</td><td>430,2</td><td>161,3</td><td>299,9</td><td>392,2</td><td>446,9</td><td>455,8</td></tr>
<tr><td>0,6</td><td>11,0</td><td>18,0</td><td>31,7</td><td>58,4</td><td>105,3</td><td>32,1</td><td>60,7</td><td>112,3</td><td>178,9</td><td>225,1</td><td>99,5</td><td>140,1</td><td>204,6</td><td>216,4</td><td>235,7</td></tr>
<tr><td>0,8</td><td>7,8</td><td>11,8</td><td>19,3</td><td>30,2</td><td>56,5</td><td>19,3</td><td>33,3</td><td>58,1</td><td>92,1</td><td>117,2</td><td>40,3</td><td>69,9</td><td>104,2</td><td>118,1</td><td>133,2</td></tr>
<tr><td>1,0</td><td>6,8</td><td>8,2</td><td>12,5</td><td>20,0</td><td>32,3</td><td>12,6</td><td>19,8</td><td>32,2</td><td>49,8</td><td>67,1</td><td>23,3</td><td>37,5</td><td>56,2</td><td>71,4</td><td>95,1</td></tr>
<tr><td>1,4</td><td>3,7</td><td>4,7</td><td>6,2</td><td>6,7</td><td>12,6</td><td>6,6</td><td>8,8</td><td>12,4</td><td>17,4</td><td>23,2</td><td>10,1</td><td>13,9</td><td>19,2</td><td>24,7</td><td>28,6</td></tr>
<tr><td>1,6</td><td>3,3</td><td>3,7</td><td>4,7</td><td>6,3</td><td>8,6</td><td>5,1</td><td>6,5</td><td>8,5</td><td>11,3</td><td>14,7</td><td>7,4</td><td>9,5</td><td>12,4</td><td>15,6</td><td>18,2</td></tr>
<tr><td>1,8</td><td>2,7</td><td>3,1</td><td>3,8</td><td>4,7</td><td>6,1</td><td>4,2</td><td>4,9</td><td>6,2</td><td>7,8</td><td>9,8</td><td>5,7</td><td>6,9</td><td>8,5</td><td>10,4</td><td>12,0</td></tr>
<tr><td>2,0</td><td>2,4</td><td>2,7</td><td>3,1</td><td>3,7</td><td>4,5</td><td>3,5</td><td>3,9</td><td>4,7</td><td>5,5</td><td>6,6</td><td>4,6</td><td>5,2</td><td>6,0</td><td>6,9</td><td>7,9</td></tr>
<tr><td>2,2</td><td>2,1</td><td>2,4</td><td>2,6</td><td>3,1</td><td>3,6</td><td>3,1</td><td>3,4</td><td>3,8</td><td>4,4</td><td>5,1</td><td>3,9</td><td>4,3</td><td>4,8</td><td>5,4</td><td>6,0</td></tr>
<tr><td>2,4</td><td>2,0</td><td>2,1</td><td>2,3</td><td>2,6</td><td>2,9</td><td>2,7</td><td>2,9</td><td>3,2</td><td>3,5</td><td>3,9</td><td>3,3</td><td>3,5</td><td>3,8</td><td>4,1</td><td>4,4</td></tr>
<tr><td>2,6</td><td>1,9</td><td>1,9</td><td>2,1</td><td>2,2</td><td>2,5</td><td>2,4</td><td>2,5</td><td>2,7</td><td>2,9</td><td>3,1</td><td>2,9</td><td>3,0</td><td>3,1</td><td>3,3</td><td>3,5</td></tr>
<tr><td>2,8</td><td>1,9</td><td>1,8</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>2,1</td><td>2,2</td><td>2,3</td><td>2,3</td><td>2,5</td><td>2,6</td><td>2,5</td><td>2,6</td><td>2,6</td><td>2,7</td><td>2,8</td></tr>
<tr><td>3,0</td><td>1,6</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>1,8</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>2,0</td><td>2,1</td><td>2,1</td><td>2,2</td><td>2,2</td><td>2,2</td><td>2,3</td><td>2,3</td><td>2,4</td></tr>
<tr><td>3,2</td><td>1,5</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,8</td><td>1,8</td><td>1,8</td><td>1,8</td><td>1,9</td><td>1,9</td><td>1,9</td><td>1,9</td><td>2,0</td><td>2,0</td><td>2,0</td></tr>
<tr><td>3,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,6</td><td>1,6</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>1,8</td></tr>
<tr><td>3,6</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,5</td><td>1,6</td><td>1,6</td></tr>
<tr><td>3,8</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,3</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td><td>1,4</td></tr>
</table>


<div align="center">

<a id="p100172"></a>Таблица 4

<a id="p100173"></a>Значения ARL (двусторонний критерий)

</div>




<table>
<colgroup><col width="5%"><col width="10%"><col width="5%"><col width="5%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"><col width="6%"></colgroup>
<tr><td rowspan="3">B 1</td><td rowspan="3">_ дельта\/n</td><td colspan="5">K = 2</td><td colspan="5">K = 3</td><td colspan="5">K = 4</td></tr>
<tr><td colspan="5">B 2</td><td colspan="5">B 2</td><td colspan="5">B 2</td></tr>
<tr><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td><td>1,0</td><td>1,25</td><td>1,5</td><td>1,75</td><td>2,0</td></tr>
<tr><td>2,75</td><td>0,0 0,2 0,4 0,6 0,8</td><td>20,8 18,6 13,9 10,0 7,2</td><td>39,9 33,0 23,5 15,6 10,4</td><td>73,4 61,0 39,7 24,6 14,9</td><td>116,4 95,2 61,7 31,7 22,6</td><td>148,7 123,5 81,3 49,5 30,1</td><td>80,9 65,8 40,3 24,3 15,2</td><td>126,5 100,0 63,3 36,9 22,0</td><td>155,1 126,6 82,6 49,5 29,5</td><td>165,3 140,8 93,5 54,6 35,0</td><td>167,2 142,9 97,4 60,9 37,7</td><td>143,7 117,6 65,8 40,2 24,3</td><td>162,3 131,6 89,3 53,2 31,6</td><td>166,8 142,9 96,2 59,2 36,5</td><td>167,5 143,0 98,0 61,3 38,2</td><td>167,7 143,1 98,1 61,8 38,8</td></tr>
<tr><td>3,00</td><td>0,0 0,2 0,4 0,6 0,8</td><td>21,9 19,5 14,6 10,5 8,0</td><td>41,7 37,9 26,0 16,9 11,2</td><td>93,0 75,2 47,8 26,0 17,6</td><td>173,1 126,6 85,5 39,4 28,3</td><td>278,0 222,6 134,2 75,3 42,8</td><td>107,5 84,0 49,7 28,2 19,2</td><td>211,2 159,9 91,7 49,3 28,0</td><td>310,0 243,9 151,5 77,2 42,9</td><td>355,5 294,1 181,8 86,2 54,9</td><td>367,3 303,0 198,0 113,3 66,5</td><td>267,7 201,0 113,1 58,5 35,3</td><td>312,0 277,8 166,7 88,1 48,5</td><td>325,4 303,0 192,3 108,7 61,9</td><td>329,1 306,2 200,0 114,9 68,9</td><td>329,7 307,0 201,3 119,0 70,9</td></tr>
<tr><td>3,25</td><td>0,0 0,2 0,4 0,6 0,8</td><td>22,5 20,0 15,1 10,7 7,7</td><td>47,3 40,0 27,7 17,6 11,7</td><td>106,0 87,7 52,9 31,3 19,3</td><td>240,7 184,5 106,2 58,0 30,2</td><td>493,9 357,1 200,8 104,0 56,5</td><td>224,3 98,0 56,5 31,8 19,3</td><td>309,3 222,2 119,0 60,2 33,3</td><td>588,0 395,4 225,1 111,1 58,1</td><td>783,9 609,0 347,8 175,4 92,1</td><td>849,3 673,4 416,7 220,2 117,2</td><td>452,4 312,5 158,7 98,5 40,3</td><td>727,3 555,5 294,1 138,9 69,9</td><td>837,9 657,9 377,8 200,5 104,2</td><td>860,4 686,3 427,9 212,8 118,1</td><td>865,2 692,0 434,8 230,3 133,2</td></tr>
</table>


<a id="p100192"></a>7.2.3. Для двустороннего критерия следует использовать [таблицы 1](#p100099) - 4. Для процесса в статистически управляемом состоянии значения ARL, равные $L_{0}$ , определяют из таблицы 4 в строке $\delta \sqrt{n} = 0$ . Для процесса в статистически неуправляемом состоянии значения ARL, равные $L_{1}$ определяют по таблице 4 при $\delta \sqrt{n} <1$ и по [таблицам 1](#p100099) - [3](#p100149) при $\delta \sqrt{n} \geq 1$ , так как для $\delta \sqrt{n} \geq 1$ значения ARL для двустороннего критерия совпадают со значениями ARL для одностороннего критерия [(таблица В.1)](#p100311).
<a id="p100193"></a>7.2.4. Для значений $\delta \sqrt{n}$ , отсутствующих в [таблицах 1](#p100099) - [4](#p100173), соответствующие значения $L_{1}$ получают путем линейной интерполяции.
<a id="p100194"></a>7.3. Объем выборки n, как показано в формуле [(рисунок В.1)](#p100286) Приложения В, влияет на кривые ARL так же, как и параметры $\mu_{0}$ , $\mu_{1}$ , $\mu_{- 1}$ и K. Причем для того же самого числа наблюдений или измерений можно разработать контрольную карту с длительным периодом взятия выборок t и малым объемом выборок n или наоборот.
<a id="p100195"></a>В каждом практическом случае различные экспериментальные комбинации n и t должны быть тщательно проанализированы при построении КК и определении окончательных значений параметров $L_{0}$ и $L_{1}$ . Контрольная карта с окончательными значениями $L_{0}$ и $L_{1}$ должна быть оценена с учетом прошедшего протекания процесса.
<a id="p100196"></a>В большинстве случаев предварительный выборочный план (n, t) может служить в качестве базовой пробной комбинации. Другие пробные значения можно сравнить с ним путем сопоставления получающихся значений $L_{0}$ и $L_{1}$ и затрат.
<a id="p100197"></a>7.4. [Таблицы 1](#p100099) - [4](#p100173) предназначены для выбора планов статистического управления процессом.
<a id="p100198"></a>7.4.1. Если значения $\delta$ и n так же, как $L_{0}$ и $L_{1}$ (и ограничения для них) определены заранее, то значения параметров $B_{1}$ , $B_{2}$ и K могут быть найдены по значениям $\delta \sqrt{n}$ из [таблиц 1](#p100099) - [4](#p100173) (с интерполяцией в случае необходимости) [(Б.2)](#p100244).
<a id="p100199"></a>Если есть несколько планов статистического управления процессом, удовлетворяющих установленным требованиям (по [Б.2](#p100244)), то из них необходимо выбрать план, обеспечивающий максимум отношения $L_{0}/L_{1}$ , с учетом [7.2](#p100093). Если значение отношения $L_{0}/L_{1}$ высокое (больше или равно 40) для нескольких планов, то рекомендуется выбрать вариант с наименьшим значением $L_{1}$ .
<a id="p100200"></a>7.4.2. Если объем выборки n предварительно не указан, то его возможное значение может быть найдено по [таблицам 1](#p100099) - [4](#p100173). Для этого выбирают сначала те колонки в [таблицах 1](#p100099) - [4](#p100173), для которых значение $L_{0}$ удовлетворяет заданным ограничениям, а затем первое число, меньшее или равное заданному значению $L_{1}$ . После этого из соответствующего значения $\delta \sqrt{n}$ при известном $\delta$ вычисляют n и округляют до ближайшего целого числа (по [Б.4](#p100273)).
<a id="p100201"></a>В этом случае получается несколько вариантов планов статистического управления процессом, и предпочтение должно быть отдано тому плану, который обеспечивает наименьший объем выборки (с учетом [7.2](#p100093) и [7.4.1](#p100198)). Это особенно важно в ситуациях, когда затраты на контроль велики.
<a id="p100202"></a>7.5. В условиях промышленного производства продукции могут происходить различные изменения, например, замена операторов с разной квалификацией, смена поставляемых материалов, сужение или расширение границ регулирования по технологическим или экономическим соображениям и т.п. Все эти изменения должны быть незамедлительно отражены в планах статистического управления процессом.
<a id="p100203"></a>В нормативных документах должно быть записано, что в течение некоторых установленных периодов времени (месяца, квартала, года и т.д.) КК и другие нормативные документы должны быть подвергнуты статистическому анализу для их обновления. Частота такого анализа должна быть определена производственной необходимостью.





<div align="right">

<a id="p100204"></a>Приложение А<br>
(обязательное)

</div>


<div align="center">

<a id="p100205"></a>**ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕДОПУСТИМОГО ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНЕГО УРОВНЯ ПРОЦЕССА**<br>
**НА ОСНОВЕ ДОЛИ НЕСООТВЕТСТВУЮЩИХ ЕДИНИЦ ПРОДУКЦИИ**

</div>


<a id="p100206"></a>А.1. Односторонний критерий
<a id="p100207"></a>Пусть контролируют верхнее отклонение уровня процесса. Задана верхняя граница технического допуска $T_{\text{в}}$ для контролируемого параметра x. В этом случае долю несоответствующих единиц продукции $q_{0}$ для процесса в статистически управляемом состоянии определяют по формуле

<a id="p100208"></a> $q_{0} = 1 - \text{Ф }(\frac{T_{\text{в}} - \mu_{0}}{\sigma})$ . (А.1)

<a id="p100209"></a>Долю несоответствующих единиц продукции $q_{1}$ для процесса в статистически неуправляемом состоянии определяют по формуле

<a id="p100210"></a> $q_{1} = 1 - \text{Ф }(\frac{T_{\text{в}} - \mu_{1}}{\sigma})$ , (А.2)

<a id="p100211"></a>где Ф - функция стандартного нормального закона распределения.

<div align="center">

<a id="p100212"></a>Следовательно, если $T_{\text{в}}$ и $q_{1}$ известны, то $\mu_{1}$ может быть определено по формуле

<a id="p100213"></a> $\mu_{1} = T_{\text{в}} - \sigma z_{1 - q_{1}}$ , (А.3)

</div>


<a id="p100214"></a>где $z_{1 - q_{1}}$ - квантиль стандартного нормального закона распределения уровня $(1 - q_{1})$ .
<a id="p100215"></a>Аналогично, если контролируют нижнее отклонение уровня процесса и задана нижняя граница технического допуска $T_{\text{н}}$ для количественного признака $\overline{x}$ , то

<div align="center">

<a id="p100216"></a> $q_{0} = 1 - \text{Ф }(\frac{\mu_{0} - T_{\text{н}}}{\sigma})$ ; (А.4)

</div>



<a id="p100217"></a> $q_{1} = 1 - \text{Ф }(\frac{\mu_{- 1} - T_{\text{н}}}{\sigma})$ , (А.5)

<a id="p100218"></a>и $\mu_{- 1}$ можно определить по следующей формуле:

<div align="center">

<a id="p100219"></a> $\mu_{- 1} = T_{\text{в}} + \sigma z_{1 - q_{1}}$ , (А.6)

</div>


<a id="p100220"></a>где $q_{0}$ , $q_{1}$ и Ф определены выше.
<a id="p100221"></a>А.2. Двусторонний критерий

<a id="p100222"></a>Это тот же случай, что и случай, когда $T_{\text{в}} - \mu_{0} = \mu_{0} - T_{\text{н}}$ .
<a id="p100223"></a>Используя те же обозначения, что и в [А.1](#p100206), получают

<a id="p100224"></a> $q_{0} = 2[1 - \text{Ф }(\frac{T_{\text{в}} - \mu_{0}}{\sigma})]$ ; (А.7)

<a id="p100225"></a> ![формула](https://i.bukva.ai/mFJ8TPSo/img_3.png) . (А.8)

<a id="p100226"></a>Поскольку обычно

<a id="p100227"></a> $\frac{\mu_{1} - T_{\text{н}}}{\sigma} = \frac{T_{\text{в}} - \mu_{- 1}}{\sigma} >3$ ,

<a id="p100228"></a>то значениями

<a id="p100229"></a> $1 - \text{Ф }(\frac{\mu_{1} - T_{\text{н}}}{\sigma}) = 1 - \text{Ф }(\frac{T_{\text{в}} - \mu_{- 1}}{\sigma})$ 

<a id="p100230"></a>можно пренебречь. Тогда $\mu_{1}$ и $\mu_{- 1}$ могут быть определены с помощью формул [(А.3)](#p100213) и [(А.6)](#p100219) соответственно.





<div align="right">

<a id="p100231"></a>Приложение Б<br>
(информационное)

</div>


<a id="p100232"></a>*ПРИМЕР* ПРИМЕНЕНИЯ НАСТОЯЩЕГО СТАНДАРТА

<a id="p100233"></a>Б.1. Пример расчета контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами для производственного процесса поддержания концентрации азота в аммиаке
<a id="p100234"></a>25%-ю концентрацию азота в аммиаке считают нормальной для процесса в статистически управляемом состоянии.
<a id="p100235"></a>Даны пределы концентрации азота:
<a id="p100236"></a> $T_{\text{в}} = 27,5\%$ ;
<a id="p100237"></a> $T_{\text{н}} = 22,5\%$ .
<a id="p100238"></a>Максимально нежелательный уровень несоответствий равен 3%.
<a id="p100239"></a>Из предыдущих экспериментальных данных известно, что $\sigma = 1\%$ .
<a id="p100240"></a>Определяют значения $\mu_{1}$ и $\mu_{- 1}$ .
<a id="p100241"></a>Согласно формулам [(А.3)](#p100213) и [(А.6)](#p100219)
<a id="p100242"></a> $\mu_{1} = 27,50\% - 1\% \times z_{0,97} = 27,50\% - 1,88\% = 25,62\%$ ;
<a id="p100243"></a> $\mu_{- 1} = 22,50\% + 1,88\% = 24,38\%$ .
<a id="p100244"></a>Б.2. Значение объема выборки для условий примера [Б.1](#p100233) взято равным 5, т.е. n = 5. Контрольные границы на контрольной карте должны быть построены таким образом, чтобы ARL для процесса в статистически управляемом состоянии $(L_{0})$ составляла как минимум 300 и для процесса с максимально нежелательным уровнем процесса $(L_{1})$ - не превышала 12.
<a id="p100245"></a>Имеют

<a id="p100246"></a> $\delta = \frac{26,62 - 25}{1} = \frac{25 - 24,38}{1} = 0,62$ 

<a id="p100247"></a>и

<div align="center">

<a id="p100248"></a> $\delta \sqrt{n} = 0,62 \sqrt{5} = 1,39$ .

</div>


<a id="p100249"></a>Комбинацию коэффициентов, определяющих положение границ регулирования и предупреждающих границ на контрольных картах $B_{1}$ , $B_{2}$ , и количество последовательных точек K выбирают из [таблиц 1](#p100099) - [4](#p100173) (с интерполяцией для значения $\delta \sqrt{n} = 1,39$ ), так чтобы $L_{0} \geq 300$ и $L_{1}<12$ [(таблица 4)](#p100173), т.е. $L_{0} \geq 600$ и $L_{1}<12$ , если используют [таблицы 1](#p100099) - [3](#p100149) настоящего стандарта [(В.3)](#p100300).
<a id="p100250"></a>Результаты представлены в таблице Б.1.

<div align="right">

<a id="p100251"></a>Таблица Б.1

</div>



| N | K | B 1 | B 2 | L 0 | L 1 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 3 | 3,0 | 1,5 | 620,1 | 10,3 |
| 2 | 4 | 3,0 | 1,15 | 624,1 | 11,2 |
| 3 | 3 | 3,25 | 1,25 | 618,6 | 8,8 |
| 4 | 4 | 3,25 | 1,0 | 904,0 | 10,1 |


<a id="p100257"></a>Установленные исходные данные приводят к неоднозначности плана контроля (получилось четыре возможных варианта). Согласно [7.4.1](#p100198) (поскольку отношение $L_{0}/L_{1}>50)$ выбирают план с минимальным $L_{0}$ , т.е. третью строку в таблице Б.1.
<a id="p100258"></a>Таким образом, K = 3; $B_{1} = 3,25$ ; $B_{2} = 1,25$ .
<a id="p100259"></a>В соответствии с [разделом 5](#p100054) для нанесения на контрольную карту границ получены следующие значения:
<a id="p100260"></a>для границ регулирования

<div align="center">

<a id="p100261"></a> $25 + 3,25 \frac{1}{\sqrt{5}} = 26,45$ ;

</div>


<a id="p100262"></a> $25 - 3,25 \frac{1}{\sqrt{5}} = 23,55$ ;

<a id="p100263"></a>для предупреждающих границ

<a id="p100264"></a> $25 + 1,25 \frac{1}{\sqrt{5}} = 25,56$ ;

<div align="center">

<a id="p100265"></a> $25 - 1,25 \frac{1}{\sqrt{5}} = 24,44$ .

</div>


<a id="p100266"></a>Б.3. Для условий, приведенных в [Б.1](#p100233) и [Б.2](#p100244), были получены следующие значения $\overline{x}$ : 25,1; 25,2; 24,2; 25,6; 24,1; 24,3; 25,0; 25,3; 25,9; 24,7; 25,1; 25,3; 24,9; 25,4; 24,8; 24,7; 25,9; 25,6; 25,7% [(рисунок Б.1)](#p100269).
<a id="p100267"></a>После 19-й выборки необходимо принять решение о наладке процесса, так как последние три точки (25,9; 25,6; 25,7) находятся в зоне W между предупреждающей границей и границей регулирования.

<a id="p100268"></a> ![7. Выбор значений параметров для планов статистического управления процессом](https://i.bukva.ai/mFJ8TPSo/img_4.png) 

<div align="center">

<a id="p100269"></a>Рисунок Б.1. Пример контрольной карты для арифметического<br>
среднего с предупреждающими границами

</div>


<a id="p100270"></a>Следует обратить внимание на то, что две другие соседние точки (24,1 и 24,3) находятся в зоне $W_{+}$ , и корректировка процесса не может быть произведена, так как в соответствии с принятой процедурой этих точек должно быть три.
<a id="p100271"></a>Корректировка должна быть осуществлена немедленно при первом же значении $\overline{x}$ либо больше 26,45, либо меньше 23,55.
<a id="p100272"></a>Примечание. $3\sigma$ -границы показаны на [рисунке Б.1](#p100269) пунктирными линиями. Как видно из этого рисунка, контрольная карта Шухарта не позволила бы осуществить корректировку рассмотренного процесса.

<a id="p100273"></a>Б.4. Для $\sigma$ , $\mu_{0}$ , $\mu_{1}$ и $\mu_{- 1}$ , приведенных выше, а также условий, установленных для $L_{0}$ и $L_{1}$ , необходимо найти план контроля, дающий наименьший объем выборки. Из колонки [таблицы Б.1](#p100251), соответствующей $L_{0} \geq 600$ , находят, что минимальное значение $\delta \sqrt{n}$ , для которого $L_{1}<12$ , равно 1,4 (например, план с параметрами $B_{1} = 3,0$ , $B_{2} = 1,5$ , K = 3 дает $L_{1} = 10,3$ ; план с параметрами $B_{1} = 3,25$ , $B_{2} = 1,25$ и K = 3 дает $L_{1} = 8,8$ ).
<a id="p100274"></a>Отсюда $\sqrt{n} = \frac{1,4}{0,62} = 2,26$ и n = 5.





<div align="right">

<a id="p100275"></a>Приложение В

</div>

<div align="center">

(информационное)

<a id="p100276"></a>**ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ**

</div>


<a id="p100277"></a>В.1. Общая часть
<a id="p100278"></a>Контрольные карты, использующие только границы регулирования, не во всех случаях достаточно чувствительны к изменению уровня процесса.
<a id="p100279"></a>Средняя длина серии выборок, по результатам которых принимают решение о корректировке процесса, - критерий чувствительности КК к сдвигу уровня процесса. Если процесс находится в статистически управляемом состоянии, то решение о корректировке ошибочно. В этом случае средняя длина серии выборок должна быть максимально возможной.
<a id="p100280"></a>Если же процесс вышел из статистически управляемого состояния, то решение о его корректировке необходимо принять как можно быстрее. Здесь средняя длина серии выборок должна быть по возможности меньшей.
<a id="p100281"></a>Введение предупреждающих границ повышает чувствительность КК к определению состояния процесса.
<a id="p100282"></a>Если сравнить КК с предупреждающими границами с контрольными картами Шухарта для одного и того же значения $L_{0}$ , то, поскольку $\delta \sqrt{n} <2,5$ , КК с предупреждающими границами имеют гораздо меньшие значения $L_{0}$ .

<a id="p100283"></a> ![7. Выбор значений параметров для планов статистического управления процессом](https://i.bukva.ai/mFJ8TPSo/img_5.png) 

<a id="p100284"></a> $ARL = \frac{1}{1 - \text{Ф}(2,76 - \delta \sqrt{n})}$ ,

<div align="center">

<a id="p100285"></a>где Ф - функция нормального распределения.

<a id="p100286"></a>Рисунок В.1. Сравнение значений ARL, полученных<br>
для процесса, находящегося в статистически неуправляемом<br>
состоянии для обычной контрольной карты Шухарта (пунктирная

</div>

линия) и контрольной карты с предупреждающими
границами (сплошная линия)

<a id="p100287"></a>На рисунке В.1 сплошная линия представляет значения ARL для контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами с односторонним критерием с зонами качества при $B_{1} = 3,00$ ; $B_{2} = 1,75$ ; $\text{К } = 2$ ([таблица 2](#p100124) настоящего стандарта). Пунктирная линия показывает значения ARL для обычной КК Шухарта с односторонним критерием, рассчитанной для того же значения $L_{0} = 346,2$ , что и первая КК (границы будут на расстоянии $2,76 \times \sigma/ \sqrt{n}$ от центральной линии).
<a id="p100288"></a>Пример приведен для одностороннего критерия. Для двустороннего критерия кривые строят по тем же правилам [(7.2.3)](#p100192).

<div align="center">

<a id="p100289"></a>В.2. Формулы для вычисления ARL с односторонним критерием

</div>

<a id="p100290"></a>Точка на контрольной карте может попасть в зону T с вероятностью p, в зону W - с вероятностью q, а в зону A - с вероятностью $1 - p - q$ ([рисунок 2](#p100075) настоящего стандарта), где вероятности p и q определяют по формулам:

<a id="p100291"></a> $p = \text{Ф}(B_{2} - \delta \sqrt{n})$ ; (В.1)

<a id="p100292"></a> $q = \text{Ф}(B_{1} - \delta \sqrt{n}) - \text{Ф}(B_{2} - \delta \sqrt{n})$ , (В.2)

<a id="p100293"></a>где ![формула](https://i.bukva.ai/mFJ8TPSo/img_6.png) - функция стандартного нормального закона распределения, значения которой приведены в Приложении А ГОСТ Р 50779.21;
<a id="p100294"></a> $\xi$ - переменная интегрирования и $\delta = 0$ для процесса в статистически управляемом состоянии.
<a id="p100295"></a>Среднюю длину серий выборок L определяют по формуле

<a id="p100296"></a> $L = \frac{1 - q^{K}}{1 - p - q + pq^{K}}$ . (В.3)

<a id="p100297"></a>Когда K = 2, рекомендуют использовать формулу (В.3) в следующем виде:

<a id="p100298"></a> $L = \frac{1 + q}{1 - p - pq}$ . (В.4)

<a id="p100299"></a>Значения ARL в [таблицах 1](#p100099) - [3](#p100149) настоящего стандарта вычислены с использованием приведенных формул.
<a id="p100300"></a>В.3. Формула для вычисления ARL с двусторонним критерием
<a id="p100301"></a>В случае двустороннего критерия формула [(В.3)](#p100296) принимает вид (при K = 2):

<a id="p100302"></a> $L\prime = \frac{(1 + q_{1})(1 + q_{2})}{1 - q_{1}q_{2} - p\prime(1 + q_{1})(1 + q_{2})}$ , (В.5)

<a id="p100303"></a>где $q_{1}$ и $q_{2}$ - вероятности попадания в зоны $W_{+}$ и $W_{-}$ соответственно;
<a id="p100304"></a> $p\prime$ - вероятность попадания в зону T.

<div align="right">

<a id="p100305"></a>Очевидно, что $p\prime = 2p - 1$ , где p определяют по формуле [(В.1)](#p100291).<br>
<a id="p100306"></a>Когда $\delta \sqrt{n} = 0$ , то $q_{1} = q_{2} = q$ и формула [(В.4)](#p100298) принимает вид

</div>


<div align="center">

<a id="p100307"></a> ![формула](https://i.bukva.ai/mFJ8TPSo/img_7.png) . (В.6)

</div>


<a id="p100308"></a>Когда $\delta \sqrt{n} \neq 0$ , меньшая из вероятностей $q_{1}$ и $q_{2}$ (например, $q_{2}$ ) становится настолько малой, что ею можно пренебречь.
<a id="p100309"></a>Таким образом, для малых значений $\delta \sqrt{n}$ (0,2; 0,4) необходимо учитывать разницу между значениями ARL с односторонним и двусторонним критериями, но если $\delta \sqrt{n} >0,6$ , то эта разница становится настолько малой, что ею можно пренебречь (таблица В.1).

<a id="p100310"></a>Таблица В.1

<a id="p100311"></a>Значение ARL в случаях с двусторонним
и односторонним критериями


| _ дельта\/n | Случай двустороннего критерия | Случай одностороннего критерия |
| --- | --- | --- |
| 0,0 | 278,0 | 556,0 |
| 0,2 | 222,6 | 275,2 |
| 0,4 | 134,2 | 141,9 |
| 0,6 | 75,3 | 76,0 |
| 0,8 | 42,8 | 43,0 |
| 1,0 | 25,5 | 25,5 |


<a id="p100319"></a>Затем, если $q_{1} = q$ , $q_{2} = 0$ , то формула [(В.5)](#p100302) переходит в формулу [(В.4)](#p100298), т.е. ARL процесса, вышедшего из-под контроля, будет такой же, как и ARL процесса с односторонним критерием:

<a id="p100320"></a> $L_{1}\prime = L_{1}$ . (В.7)

<a id="p100321"></a>Например, если причиной выхода процесса из-под контроля служит увеличение значения уровня процесса, то возможность выхода за нижнюю предупреждающую границу можно не брать в расчет, как и в случае одностороннего критерия.

<div align="center">

<a id="p100322"></a>Формулы [(В.6)](#p100307) и [(В.7)](#p100320) также применимы для K = 3 и K = 4.<br>
<a id="p100323"></a>В.4. Взаимосвязь приведенных формул с теорией цепей Маркова<br>
<a id="p100324"></a>Формулы [(В.3)](#p100296), [(В.4)](#p100298) и [(В.5)](#p100302) могут быть выведены с помощью теории цепей Маркова.<br>
<a id="p100325"></a>Для процесса с односторонним критерием и K = 2 следует рассматривать цепь Маркова с тремя состояниями:<br>
<a id="p100326"></a>а) точка находится в зоне T;<br>
<a id="p100327"></a>б) точка находится в зоне W, в то время как предыдущая точка - в зоне T;<br>
<a id="p100328"></a>в) точка находится в зоне A или в зоне W вместе с предыдущей.

</div>




<a id="p100329"></a>

---