---
title: "Без названия"
status: действует
canonical: "https://bukva.ai/docs/bez-nazvaniya-87"
---
## Без названия
# Документ 753
> [!NOTE]
> ИСТОРИЯ ИЗМЕНЕНИЙ НОРМАТИВНО-ТЕХНИЧЕСКИХ АКТОВ
```mermaid
flowchart LR
n0["ГОСТ 8.207-76"]:::rst
click n0 "https://bukva.ai/docs/gost-8-207-76" "ГОСТ 8.207-76. Государственный стандарт Союза ССР. Государственная система обеспечения единства измерений. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки... (утв. "
n1["ГОСТ Р 8.736-2011"]:::doc
n0 --> n1
classDef rst fill:#FFEBEB,stroke:#8B0000,color:#000;
classDef doc fill:#EBFFEB,stroke:#006400,color:#000;
classDef notEnt fill:#FFFFEB,stroke:#FF8C00,color:#000;
```
Утвержден и введен в действие
Приказом Федерального агентства
по техническому регулированию
и метрологии
от 13 декабря 2011 г. N 1045-ст
**НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ**
**ГОСУДАРСТВЕННАЯ СИСТЕМА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЕДИНСТВА ИЗМЕРЕНИЙ**
**ИЗМЕРЕНИЯ ПРЯМЫЕ МНОГОКРАТНЫЕ**
**МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.**
**ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ**
State system for ensuring the uniformity of measurements.
Multiple direct measurements. Methods of measurement
results processing. Main principles
**ГОСТ Р 8.736-2011**
Группа Т80
**ОКС 17.020**
**ОКСТУ 0008**
Дата введения
1 января 2013 года
Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-ФЗ "О техническом регулировании", а правила применения национальных стандартов Российской Федерации - ГОСТ Р 1.0-2004 "Стандартизация в Российской Федерации. Основные положения".
1. Разработан Федеральным государственным унитарным предприятием "Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д.И. Менделеева" (ФГУП "ВНИИМ им. Д.И. Менделеева") Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии.
2. Внесен Управлением метрологии Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии.
3. Утвержден и введен в действие Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 13 декабря 2011 г. N 1045-ст.
4. Введен впервые.
Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом информационном указателе "Национальные стандарты", а текст изменений и поправок - в ежемесячно издаваемых информационных указателях "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет.
**1. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ**
Настоящий стандарт распространяется на прямые многократные независимые измерения и устанавливает основные положения методов обработки результатов этих измерений и вычисления погрешностей оценки измеряемой величины.
В настоящем стандарте учтены требования, предъявляемые к методам и результатам измерений в соответствии с ГОСТ Р 5725-1, ГОСТ Р 5725-2, ГОСТ Р 5725-3, ГОСТ Р 5725-4, ГОСТ Р 5725-5, ГОСТ Р 5725-6.
**2. НОРМАТИВНЫЕ ССЫЛКИ**
В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие стандарты:
ГОСТ Р ИСО 5725-1-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 1. Основные положения и определения
ГОСТ Р ИСО 5725-2-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 2. Основной метод определения повторяемости и воспроизводимости стандартного метода измерений
ГОСТ Р ИСО 5725-3-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 3. Промежуточные показатели прецизионности стандартного метода измерений
ГОСТ Р ИСО 5725-4-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 4. Основные методы определения правильности стандартного метода измерений
ГОСТ Р ИСО 5725-5-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 5. Альтернативные методы определения прецизионности стандартного метода измерений
ГОСТ Р ИСО 5725-6-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 6. Использование значений точности на практике
Примечание. При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодно издаваемому информационному указателю "Национальные стандарты", который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим ежемесячно издаваемым информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный стандарт заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться заменяющим (измененным) стандартом. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.
**3. ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ**
В настоящем стандарте применены следующие термины с соответствующими определениями.
3.1
| результат измерения физической величины; результат измерения; результат: Значение величины, полученное путем ее измерения.
[Рекомендации по межгосударственной стандартизации [1], статья 8.1] |
| --- |
3.2. Неисправленный результат измерений величины: результат измерений величины, полученный до введения в него поправки в целях устранения систематических погрешностей.
3.3. Исправленный результат измерений величины: результат измерений величины, полученный после введения поправки в целях устранения систематических погрешностей в неисправленный результат измерений величины.
3.4. Неисправленная оценка измеряемой величины: среднее арифметическое значение результатов измерений величины до введения в них поправки в целях устранения систематических погрешностей.
3.5. Исправленная оценка измеряемой величины: среднее арифметическое значение результатов измерений величины после введения поправки в целях устранения систематических погрешностей в неисправленную оценку измеряемой величины.
3.6. Группа результатов измерений величин: несколько результатов измерений (не менее четырех, n >=4), полученных при измерениях одной и той же величины, выполненных с одинаковой тщательностью, одним и тем же средством измерений, одним и тем же методом и одним и тем же оператором.
3.7. Погрешность измерения: разность между результатом измерения величины и действительным (опорным) значением величины.
3.8. Случайная погрешность измерения; случайная погрешность: составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью.
3.9. Систематическая погрешность измерения; систематическая погрешность: составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью.
3.10. Неисключенная систематическая погрешность измерения: составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью оценивания систематической погрешности, на которую введена поправка, или систематической погрешностью, на которую поправка не введена.
3.11. Грубая погрешность измерения: погрешность измерения, существенно превышающая зависящие от объективных условий измерений значения систематической и случайной погрешностей.
4.1. Необходимость выполнения прямых многократных измерений устанавливают в конкретных методиках измерений.
Примечание. Под многократными измерениями понимают не менее четырех измерений.
4.2. При статистической обработке группы результатов прямых многократных независимых измерений выполняют следующие операции:
- исключают известные систематические погрешности из результатов измерений;
- вычисляют оценку измеряемой величины;
- вычисляют среднее квадратическое отклонение результатов измерений;
- проверяют наличие грубых погрешностей и при необходимости исключают их;
- проверяют гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному распределению;
- вычисляют доверительные границы случайной погрешности (доверительную случайную погрешность) оценки измеряемой величины;
- вычисляют доверительные границы (границы) неисключенной систематической погрешности оценки измеряемой величины;
- вычисляют доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины.
4.3. Проверку гипотезы о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, проводят с уровнем значимости q от 10% до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике измерений.
4.4. Для определения доверительных границ погрешности оценки измеряемой величины доверительную вероятность P принимают равной 0,95.
В случаях, когда измерение не представляется возможным повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности P = 0,95, допускается указывать границы для доверительной вероятности P = 0,99.
В особых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается кроме доверительной вероятности P = 0,99 указывать более высокую доверительную вероятность.
4.5. В настоящем стандарте изложены требования к методам обработки результатов измерений и к оцениванию точности измеряемой величины посредством погрешностей.
**5. ОЦЕНКА ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ И СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ**
**ОТКЛОНЕНИЕ**
5.1. Оценку измеряемой величины , за которую принимают среднее арифметическое значение исправленных результатов измерений, вычисляют по формуле
где - i-й результат измерений;
n - число исправленных результатов измерений.
Примечание. Если во всех результатах измерений содержится постоянная систематическая погрешность, ее допускается исключить после вычисления среднего арифметического значения неисправленных результатов измерений.
#### 5.2 В целях удобства вычислений формулу (1) допускается записать в виде
где a - близкое к значение, удобное для расчета;
.
#### 5.3 Среднее квадратическое отклонение S группы, содержащей n результатов измерений, вычисляют по формуле
Примечание. Наличие случайных погрешностей вызывает рассеяние результатов измерений. В качестве основной числовой характеристики случайного рассеяния результатов измерений принята дисперсия или стандартное отклонение . Ограниченное число результатов измерений позволяет получать лишь оценки этих характеристик ( и S). Математическое ожидание оценки равно дисперсии , однако математическое ожидание оценки S отлично от , так как оценка S смещена.
Несмещенную оценку S допускается вычислять по упрощенной формуле
В этом случае смещение оценки S не более 1%.
#### 5.4 Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического (оценки измеряемой величины) вычисляют по формуле
**6. ИСКЛЮЧЕНИЕ ГРУБЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ**
6.1. Для исключения грубых погрешностей используют критерий Граббса. Статистический критерий Граббса исключения грубых погрешностей основан на предположении о том, что группа результатов измерений принадлежит нормальному распределению. Для этого вычисляют критерии Граббса и , предполагая, что наибольший или наименьший результат измерений вызван грубыми погрешностями:
Сравнивают и с теоретическим значением критерия Граббса при выбранном уровне значимости q. Таблица критических значений критерия Граббса приведена в Приложении А.
Если , то исключают как маловероятное значение. Если , то исключают как маловероятное значение. Далее вновь вычисляют среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонения ряда результатов измерений и процедуру проверки наличия грубых погрешностей повторяют.
Если , то не считают промахом и его сохраняют в ряду результатов измерений. Если , то не считают промахом и его сохраняют в ряду результатов измерений.
**7. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТИ**
7.1. Доверительные границы случайной погрешности оценки измеряемой величины в соответствии с настоящим стандартом устанавливают для результатов измерений, принадлежащих нормальному распределению.
При невыполнении этого условия методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике измерений.
7.2. При числе результатов измерений n <= 15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. При этом вычисление доверительных границ случайной погрешности оценки измеряемой величины по методике, предусмотренной настоящим стандартом, допускается только в том случае, если заранее известно, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению.
Примечание. Если неизвестно распределение погрешностей оценки искомой величины, способы нахождения доверительных границ случайной погрешности могут быть указаны в методике измерений с учетом того, что подобные измерения повторяют.
7.3. При числе результатов измерений 15 < n <= 50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтителен составной критерий, приведенный в Приложении Б.
7.4. При числе результатов измерений n > 50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтителен один из критериев: К. Пирсона или Мизеса - Смирнова. Критерий К. Пирсона приведен в Приложении В, критерий Мизеса - Смирнова - в Приложении Г.
#### 7.5 Доверительные границы (без учета знака) случайной погрешности оценки измеряемой величины вычисляют по формуле
где t - коэффициент Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности P и числа результатов измерений n находят по таблице, приведенной в Приложении Д.
**8. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ НЕИСКЛЮЧЕННОЙ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ**
**ПОГРЕШНОСТИ**
8.1. Неисключенная систематическая погрешность (далее - НСП) оценки измеряемой величины образуется из составляющих, в качестве которых могут быть приняты НСП:
- метода;
- средства измерений;
- вызванные другими источниками.
В качестве границ составляющих НСП принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если случайные составляющие погрешности пренебрежимо малы.
8.2. Границу НСП оценки измеряемой величины при наличии менее трех (m < 3) НСП, каждая из которых представлена границами , оценивают по формуле
8.3. При наличии трех и более составляющих НСП распределение внутри границ этих составляющих (погрешности средств измерений каждого типа, погрешности поправок и т.д.) рассматривают как распределение случайных величин. При отсутствии данных о виде распределения случайных величин их распределения принимают равномерными.
8.4. При числе составляющих НСП более или равном трем (m >= 3) доверительные границы НСП оценки измеряемой величины вычисляют путем построения композиции НСП. При равномерном распределении НСП доверительные границы допускается вычислять по формуле
где - граница i-й НСП;
k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью, числом составляющих НСП и их соотношением между собой.
Для доверительной вероятности P = 0,95 коэффициент k пренебрежимо мало зависит от числа составляющих НСП и их соотношения, поэтому при указанной доверительной вероятности коэффициент k принимают равным 1,1.
Для доверительной вероятности P = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых НСП более четырех (m > 4). Если же число суммируемых НСП равно четырем или менее четырех (m <= 4), то коэффициент k определяют по графику зависимости k = f (m, I), приведенному на рисунке 1, где ось абсцисс соответствует значениям отношения . На рисунке 1 кривая 1 соответствует m = 2; кривая 2 - m = 3; кривая 3 - m = 4.
Рисунок 1. Зависимость k = f(m, l)
При трех или четырех суммируемых НСП в качестве принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других, в качестве следует принять ближайшую к составляющую.
8.5. Если НСП появляется в результате исключения систематической погрешности от воздействия влияющей величины Y на измеряемую величину X, то при исключении систематической погрешности, возникающей из-за изменения этой влияющей величины, необходимо определить зависимость измеряемой величины от влияющей величины [например, X = f (Y)]. В этом случае при вычислении границ НСП оценки измеряемой величины необходимо учитывать коэффициент влияния , получаемый при разложении функции влияния в ряд Тейлора.
При наличии одной НСП, представленной границами, и второй НСП, представленной с коэффициентом влияния, формула (7) будет иметь вид
При суммировании не более трех НСП (m <= 3), полученных от воздействия влияющих величин (и при отсутствии НСП, возникающих при непосредственном влиянии систематической погрешности на измеряемую величину), формула (7) будет иметь вид
При наличии числа НСП, представленных границами, и числа НСП, полученных от воздействия влияющих величин и представленных с коэффициентами влияния, формула (8) будет иметь вид
Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.
**9. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ПОГРЕШНОСТИ ОЦЕНКИ ИЗМЕРЯЕМОЙ**
**ВЕЛИЧИНЫ**
9.1. Доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины находят путем построения композиции распределений случайных погрешностей и НСП, рассматриваемых как случайные величины в соответствии с 8.3. Если доверительные границы случайных погрешностей найдены в соответствии с разделом 7, границы погрешности оценки измеряемой величины (без учета знака) вычисляют по формуле
где K - коэффициент, зависящий от соотношения случайной составляющей погрешности и НСП.
Суммарное среднее квадратическое отклонение оценки измеряемой величины вычисляют по формуле
где - среднее квадратическое отклонение НСП, которое оценивают в зависимости от способа вычисления НСП по формуле
где - границы НСП, которые определяют по одной из формул (7), (9), (10) или
где - доверительные границы НСП, которые определяют по одной из формул (8), (11);
k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью P, числом составляющих НСП и их соотношением между собой.
Коэффициент K для подстановки в формулу (12) в зависимости от числа НСП определяют по эмпирическим формулам соответственно
**10. ФОРМА ЗАПИСИ ОЦЕНКИ ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ**
10.1. Оформление записи оценок измеряемых величин проводят в соответствии с правилами по межгосударственной стандартизации [2].
10.2. Округление при обработке результатов измерений выполняют в соответствии с Приложением Е.
#### 10.3 При симметричных доверительных границах погрешности оценку измеряемой величины представляют в форме
где - оценка измеряемой величины.
Числовое значение оценки измеряемой величины должно оканчиваться цифрой того разряда, что и значение погрешности .
10.4. При отсутствии данных о виде функций распределений составляющих погрешности оценки измеряемой величины и необходимости дальнейшей обработки результатов измерений или анализа погрешностей оценки измеряемой величины представляют в форме
; ; n; . (18)
В случае когда границы неисключенной систематической погрешности вычисляют в соответствии с 8.5, следует дополнительно указывать доверительную вероятность P.
Примечание: оценки и могут быть выражены в абсолютной и относительной формах.
(справочное)
**КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ КРИТЕРИЯ ГРАББСА**
Таблица А.1
Критические значения для критерия Граббса
| n | Одно наибольшее или одно наименьшее значение при уровне значимости q |
| Свыше 1% | Свыше 5% |
| 3 | 1,155 | 1,155 |
| 4 | 1,496 | 1,481 |
| 5 | 1,764 | 1,715 |
| 6 | 1,973 | 1,887 |
| 7 | 2,139 | 2,020 |
| 8 | 2,274 | 2,126 |
| 9 | 2,387 | 2,215 |
| 10 | 2,482 | 2,290 |
| 11 | 2,564 | 2,355 |
| 12 | 2,636 | 2,412 |
| 13 | 2,699 | 2,462 |
| 14 | 2,755 | 2,507 |
| 15 | 2,806 | 2,549 |
| 16 | 2,852 | 2,585 |
| 17 | 2,894 | 2,620 |
| 18 | 2,932 | 2,651 |
| 19 | 2,968 | 2,681 |
| 20 | 3,001 | 2,709 |
| 21 | 3,031 | 2,733 |
| 22 | 3,060 | 2,758 |
| 23 | 3,087 | 2,781 |
| 24 | 3,112 | 2,802 |
| 25 | 3,135 | 2,822 |
| 26 | 3,157 | 2,841 |
| 27 | 3,178 | 2,859 |
| 28 | 3,199 | 2,876 |
| 29 | 3,218 | 2,893 |
| 30 | 3,236 | 2,908 |
| 31 | 3,253 | 2,924 |
| 32 | 3,270 | 2,938 |
| 33 | 3,286 | 2,952 |
| 34 | 3,301 | 2,965 |
| 36 | 3,330 | 2,991 |
| 38 | 3,356 | 3,014 |
| 40 | 3,381 | 3,036 |
(справочное)
**ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ**
ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ЧИСЛЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 15 < n <= 50
При числе результатов измерений n <= 50 нормальность их распределения проверяют с помощью составного критерия.
Б.1. Критерий
Вычисляют отношение
где S* - смещенное среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле
Результаты измерений в ряду считают распределенными нормально, если
где и - квантили распределения, получаемые из таблицы Б.1 по n, и , причем - заранее выбранный уровень значимости (1%, 5%, 99% или 95%).
Таблица Б.1
Квантили и распределения
| n | (q1/2)·100% | (1 - q1/2)·100% |
| 1% | 5% | 99% | 95% |
| 16 | 0,9137 | 0,8884 | 0,6829 | 0,7236 |
| 21 | 0,9001 | 0,8768 | 0,6950 | 0,7304 |
| 26 | 0,8901 | 0,8686 | 0,7040 | 0,7360 |
| 31 | 0,8826 | 0,8625 | 0,7110 | 0,7404 |
| 36 | 0,8769 | 0,8578 | 0,7167 | 0,7440 |
| 41 | 0,8722 | 0,8540 | 0,7216 | 0,7470 |
| 46 | 0,8682 | 0,8508 | 0,7256 | 0,7496 |
| 51 | 0,8648 | 0,8481 | 0,7291 | 0,7518 |
*Б.2. Критерий 2*
*Считают, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, если не более m разностей превысили значение ,*
*где S - среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле (3);*
*- верхний квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающий вероятности P/2.*
*Значения вероятности P определяют из таблицы Б.2 по выбранному уровню значимости , %, и числу результатов измерений n. Зависимость от P приведена в таблице Б.3.*
При уровне значимости, отличном от предусмотренных в таблице Б.2, значение P находят путем линейной интерполяции.
При несоблюдении хотя бы одного из критериев считают, что распределение результатов измерений группы не соответствует нормальному.
Таблица Б.2
Значения P для вычисления
| n | m | q2·100% |
| 1% | 2% | 5% |
| 10 | 1 | 0,98 | 0,98 | 0,96 |
| 11 - 14 | 1 | 0,99 | 0,98 | 0,97 |
| 15 - 20 | 1 | 0,99 | 0,99 | 0,98 |
| 21 - 22 | 2 | 0,98 | 0,97 | 0,96 |
| 23 | 2 | 0,98 | 0,98 | 0,96 |
| 24 - 27 | 2 | 0,98 | 0,98 | 0,97 |
| 28 - 32 | 2 | 0,99 | 0,98 | 0,98 |
| 33 - 35 | 2 | 0,99 | 0,98 | 0,98 |
| 36 - 49 | 2 | 0,99 | 0,99 | 0,98 |
| P | ZP/2 |
| --- | --- |
| 0,96 | 2,06 |
| 0,97 | 2,17 |
| 0,98 | 2,33 |
| 0,99 | 2,58 |
Приложение В
(справочное)
*ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ*
ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ЧИСЛЕ ИЗМЕРЕНИЙ n > 50
В.1. При числе результатов измерений n > 50 для проверки критерия согласия теоретического распределения с практическим чаще всего используют критерий К. Пирсона. Рекомендуемые числа интервалов r в зависимости от числа результатов измерений приведены в таблице В.1. Вычисления сводят в таблицу В.2, в которой приведен алгоритм вычислений для проверки гипотезы о нормальности распределения результатов измерений. При этом группируют результаты измерений. Группирование - разделение результатов измерений от наименьшего до наибольшего на r интервалов.
Таблица В.1
Рекомендуемые числа интервалов в зависимости от числа
результатов измерений
| Число результатов измерений n | Рекомендуемое число интервалов r |
| --- | --- |
| 40 - 100 | 7 - 9 |
| 100 - 500 | 8 - 12 |
| 500 - 1000 | 10 - 16 |
| 1000 - 10000 | 12 - 22 |
Таблица В.2
Вспомогательная таблица для проверки распределения
результатов измерений
| Номер интервала i | Середина интервала xi0 | Число результатов измерений в интервале | | | | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| | | | | | | |
*Ширину интервала h выбирают постоянной и вычисляют по формуле*
В.2. Установив границы интервалов, подсчитывают число результатов измерений , попавших в каждый интервал. Далее вычисляют: середины интервалов , среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение результатов измерений S. Определяют число результатов измерений , которое должно было бы находиться в интервале, если бы распределение результатов измерений было нормальным, по формуле
где - плотность нормального распределения
- вероятность попадания результатов измерений в i-й интервал.
В.3. Для каждого интервала вычисляют критерий К. Пирсона . Просуммировав по всем r интервалам, получают с определенным числом степеней свободы f. Для нормального распределения f = r - 3.
В.4. Выбрав уровень значимости q по таблицам распределения находят нижнее и верхнее (значения q-процентных точек для распределения , приведены в таблице В.3).
Выбрав уровень значимости критерия, определяют квантили и . Квантиль , вычисленный по результатам измерений, должен находиться между и .
Таблица В.3
Значения q-процентных точек для распределения
| Число степеней свободы f |
| 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
| 99,0 | 0,30 | 0,87 | 1,65 | 2,56 | 3,57 | 4,66 | 5,81 | 7,02 |
| 95,0 | 0,71 | 1,64 | 2,73 | 3,94 | 5,23 | 6,57 | 7,96 | 9,39 |
| 90,0 | 1,06 | 2,20 | 3,49 | 4,86 | 6,30 | 7,79 | 9,31 | 10,89 |
| 10,0 | 7,78 | 10,64 | 13,36 | 15,99 | 18,55 | 21,06 | 23,54 | 25,99 |
| 5,0 | 9,49 | 12,59 | 15,51 | 18,31 | 21,03 | 23,68 | 26,30 | 28,87 |
| 1,0 | 13,28 | 16,81 | 20,09 | 23,21 | 26,22 | 29,14 | 32,00 | 34,80 |
Приложение Г
(справочное)
**ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ**
ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ЧИСЛЕ ИЗМЕРЕНИЙ n >= 50, КРИТЕРИЙ
Г.1. Критерий Мизеса - Смирнова использует статистику, имеющую вид
где F(x) - теоретическая функция распределения;
- эмпирическая функция распределения;
- весовая функция, область определения которой представляет собой область значений функции F(x).
Конкретный вид статистики (или, точнее, ) зависит от вида весовой функции. Как правило, используют весовые функции двух видов: , при которой все значения функции распределения обладают одинаковым весом, и , при которой вес результатов измерений увеличивается на "хвостах" распределений. В приведенном критерии использована весовая функция второго вида, поскольку на практике различия между распределениями наиболее отчетливы в области крайних значений. Однако почти всегда малое число результатов измерений имеется как раз в области крайних значений. Поэтому целесообразно придать этим результатам больший вес.
Если принять весовую функцию второго вида, то статистика после выполнения интегрирования имеет вид
где - значение функции теоретического распределения при значении аргумента, равном ;
- результаты измерений, упорядоченные по значению.
Результаты измерений рекомендуется свести в таблицу, аналогичную таблице Г.1 расчетного примера применения критерия , а соответствующие им значения внести в третий столбец таблицы, аналогичной таблице Г.2 этого же примера.
Статистика подчиняется асимптотическому (при ) распределению
Значения функции распределения a(x) для 0 <= x < 2,6 с шагом 0,01 приведены в таблице Г.3.
Г.2. Применение критерия требует выполнения большого объема вычислительных операций, но этот критерий более мощный, чем критерий Пирсона . Число результатов измерений при использовании этого критерия должно быть более 50.
Г.3. При использовании критерия вычисления проводят в следующем порядке:
Г.3.1. Вычисляют значение статистики по формуле (Г.1).
Промежуточные вычисления по формуле (Г.1) рекомендуется сводить в таблицу, аналогичную таблице Г.2 примера. После заполнения таблицы суммируют значения, внесенные в ее последний столбец. Значение величины находят, подставляя полученную сумму в формулу (Г.1).
Г.3.2. По таблице Г.3 находят значение функции распределения a(x) для x, равного вычисленному значению .
Г.3.3. Задают уровень значимости . Рекомендуется выбирать значение , равное 0,1 или 0,2.
Г.3.4. Если , то гипотезу о согласии эмпирического и теоретического распределений отвергают, если , то гипотезу принимают.
Пример применения критерия .
Пример составлен при малом количестве данных в целях иллюстрации сложного вычислительного процесса при использовании критерия .
Результаты измерений приведены в таблице Г.1.
Таблица Г.1
Результаты измерений
| Номер результата измерений j | Результат измерений xj |
| --- | --- |
| 1 | 15,61 |
| 2 | 20,71 |
| 3 | 21,68 |
| 4 | 22,28 |
| 5 | 23,22 |
| 6 | 24,14 |
| 7 | 24,59 |
| 8 | 26,18 |
| 9 | 26,23 |
| 10 | 27,59 |
| 11 | 27,88 |
| 12 | 28,74 |
| 13 | 29,34 |
| 14 | 30,86 |
| 15 | 32,08 |
Требуется проверить гипотезу о том, что группа результатов измерений не противоречит нормальному распределению. Среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение результатов измерений, представленных в таблице Г.1, равные соответственно и , приняты в качестве параметров нормального распределения, значения функции распределения которого представлены в третьем столбце таблицы Г.2.
Результаты дальнейших вычислений также приведены в таблице Г.2.
Таблица Г.2
Результаты промежуточных вычислений значения статистики
по формуле (Г.1)
| j | A | B | C | D | E | F | G | H | I |
| | | | | | | | |
| 1 | 0,033 | 0,011726 | -2,14336 | -0,07145 | 0,9667 | 0,882740 | -0,12472 | -0,12057 | -0,19201 |
| 2 | 0,100 | 0,136321 | -1,99274 | -0,19927 | 0,9000 | 0,863679 | -0,14655 | -0,13190 | -0,33117 |
| 3 | 0,167 | 0,194344 | -1,63813 | -0,27302 | 0,8333 | 0,805656 | -0,21610 | -0,18008 | -0,45310 |
| 4 | 0,233 | 0,234533 | -1,45016 | -0,33837 | 0,7667 | 0,765467 | -0,26727 | -0,20491 | -0,54328 |
| 5 | 0,300 | 0,306428 | -1,18277 | -0,35483 | 0,7000 | 0,693572 | -0,36590 | -0,25613 | -0,61096 |
| 6 | 0,367 | 0,384761 | -0,95513 | -0,35022 | 0,6333 | 0,615239 | -0,48574 | -0,30764 | -0,65785 |
| 7 | 0,433 | 0,425046 | -0,85556 | -0,37074 | 0,5667 | 0,574954 | -0,55346 | -0,31363 | -0,68437 |
| 8 | 0,500 | 0,570639 | -0,56100 | -0,28050 | 0,5000 | 0,429361 | -0,84546 | -0,42273 | -0,70323 |
| 9 | 0,567 | 0,575345 | -0,55279 | -0,31325 | 0,4333 | 0,424655 | -0,85648 | -0,37114 | -0,68439 |
| 10 | 0,633 | 0,692869 | -0,36691 | -0,23238 | 0,3667 | 0,307131 | -1,18048 | -0,43284 | -0,66522 |
| 11 | 0,700 | 0,716339 | -0,33360 | -0,23352 | 0,3000 | 0,283661 | -1,25998 | -0,37799 | -0,61151 |
| 12 | 0,766 | 0,729350 | -0,31560 | -0,24196 | 0,2333 | 0,270650 | -1,30693 | -0,30495 | -0,54691 |
| 13 | 0,833 | 0,818325 | -0,20050 | -0,16708 | 0,1667 | 0,181675 | -1,70554 | -0,28426 | -0,45134 |
| 14 | 0,900 | 0,896346 | -0,10943 | -0,09849 | 0,1000 | 0,103654 | -2,26670 | -0,22667 | -0,32516 |
| 15 | 0,966 | 0,938585 | -0,06338 | -0,06127 | 0,0333 | 0,061415 | -2,79010 | -0,09300 | -0,15427 |
Примечания
1 В первой строке заголовочной части таблицы приведена нумерация столбцов со 2-го по 10-й заглавными буквами латинского алфавита (A, B, ..., I).
2 Во второй строке заголовочной части таблицы для столбцов с 4-го по 10-й (столбцы C, ..., I) приведены формулы для вычисления значений в строках, имеющих номер j (j = 1, ..., 15), использующие значения (Aj, ..., Hj), указанные на пересечении соответствующих столбцов и строк с номерами j.
3 Для вычисления значений Aj во втором столбце таблицы (столбец A) число измерений n = 15. |
Сумма значений, приведенных в столбце 10 таблицы Г.2, равна минус 7,61478. Тогда результат вычисления по формуле (Г.1) будет . Значение функции a(x), в соответствии с таблицей Г.3, для равно 0,016. Это значение достаточно мало (0,016 < 0,8 < 0,9), следовательно, в соответствии с Г.4, гипотеза о том, что выборка принадлежит нормально распределенной генеральной совокупности, не может быть отвергнута.
Таблица Г.3
Значения функции a(x)
| Значение x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0,0 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| 0,1 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,001 | 0,001 | 0,002 | 0,003 | 0,005 |
| 0,2 | 0,007 | 0,010 | 0,013 | 0,016 | 0,020 | 0,025 | 0,030 | 0,035 | 0,041 | 0,048 |
| 0,3 | 0,055 | 0,062 | 0,070 | 0,078 | 0,086 | 0,095 | 0,104 | 0,113 | 0,122 | 0,132 |
| 0,4 | 0,141 | 0,151 | 0,161 | 0,171 | 0,181 | 0,192 | 0,202 | 0,212 | 0,222 | 0,233 |
| 0,5 | 0,243 | 0,253 | 0,263 | 0,274 | 0,284 | 0,294 | 0,304 | 0,313 | 0,323 | 0,333 |
| 0,6 | 0,343 | 0,352 | 0,361 | 0,371 | 0,380 | 0,389 | 0,398 | 0,407 | 0,416 | 0,424 |
| 0,7 | 0,433 | 0,441 | 0,449 | 0,458 | 0,466 | 0,474 | 0,482 | 0,489 | 0,497 | 0,504 |
| 0,8 | 0,512 | 0,519 | 0,526 | 0,533 | 0,540 | 0,547 | 0,554 | 0,560 | 0,567 | 0,573 |
| 0,9 | 0,580 | 0,586 | 0,592 | 0,598 | 0,604 | 0,610 | 0,615 | 0,621 | 0,627 | 0,632 |
| 1,0 | 0,637 | 0,643 | 0,648 | 0,653 | 0,658 | 0,663 | 0,668 | 0,673 | 0,677 | 0,682 |
| 1.1 | 0,687 | 0,691 | 0,696 | 0,700 | 0,704 | 0,709 | 0,713 | 0,717 | 0,721 | 0,725 |
| 1,2 | 0,729 | 0,732 | 0,736 | 0,740 | 0,744 | 0,747 | 0,751 | 0,754 | 0,758 | 0,761 |
| 1,3 | 0,764 | 0,768 | 0,771 | 0,774 | 0,777 | 0,780 | 0,783 | 0,786 | 0,789 | 0,792 |
| 1,4 | 0,795 | 0,798 | 0,800 | 0,803 | 0,806 | 0,809 | 0,811 | 0,814 | 0,816 | 0,819 |
| 1,5 | 0,821 | 0,824 | 0,826 | 0,828 | 0,831 | 0,833 | 0,835 | 0,837 | 0,839 | 0,842 |
| 1,6 | 0,844 | 0,846 | 0,848 | 0,850 | 0,852 | 0,854 | 0,856 | 0,858 | 0,859 | 0,861 |
| 1,7 | 0,863 | 0,865 | 0,867 | 0,868 | 0,870 | 0,872 | 0,873 | 0,875 | 0,877 | 0,878 |
| 1,8 | 0,880 | 0,881 | 0,883 | 0,884 | 0,886 | 0,887 | 0,889 | 0,890 | 0,892 | 0,893 |
| 1,9 | 0,894 | 0,896 | 0,897 | 0,898 | 0,900 | 0,901 | 0,902 | 0,903 | 0,905 | 0,906 |
| 2,0 | 0,907 | 0,908 | 0,909 | 0,910 | 0,912 | 0,913 | 0,914 | 0,915 | 0,916 | 0,917 |
| 2,1 | 0,918 | 0,919 | 0,920 | 0,921 | 0,922 | 0,923 | 0,924 | 0,925 | 0,926 | 0,927 |
| 2,2 | 0,928 | 0,929 | 0,929 | 0,930 | 0,931 | 0,932 | 0,933 | 0,934 | 0,934 | 0,935 |
| 2,3 | 0,936 | 0,937 | 0,938 | 0,938 | 0,939 | 0,940 | 0,941 | 0,941 | 0,942 | 0,943 |
| 2,4 | 0,943 | 0,944 | 0,945 | 0,945 | 0,946 | 0,947 | 0,947 | 0,948 | 0,949 | 0,949 |
| 2,5 | 0,950 | 0,951 | 0,952 | 0,952 | 0,953 | 0,953 | 0,954 | 0,954 | 0,955 | 0,956 |
Приложение Д
(справочное)
ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ f ДЛЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Y, ИМЕЮЩЕЙ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА С n - 1 СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
| n - 1 | P = 0,95 | P = 0,99 |
| --- | --- | --- |
| 3 | 3,182 | 5,841 |
| 4 | 2,776 | 4,604 |
| 5 | 2,571 | 4,032 |
| 6 | 2,447 | 3,707 |
| 7 | 2,365 | 3,499 |
| 8 | 2,306 | 3,355 |
| 9 | 2,262 | 3,250 |
| 10 | 2,228 | 3,169 |
| 12 | 2,179 | 3,055 |
| 14 | 2,145 | 2,977 |
| 16 | 2,120 | 2,921 |
| 18 | 2,101 | 2,878 |
| 20 | 2,086 | 2,845 |
| 22 | 2,074 | 2,819 |
| 24 | 2,064 | 2,797 |
| 26 | 2,056 | 2,779 |
| 28 | 2,048 | 2,763 |
| 30 | 2,042 | 2,750 |
| | 1,960 | 2,576 |
Приложение Е
(обязательное)
**ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ**
Е.1. Точность результатов измерений и точность вычислений при обработке результатов измерений должны быть согласованы с требуемой точностью получаемой оценки измеряемой величины.
Е.2. Погрешность оценки измеряемой величины следует выражать не более чем двумя значащими цифрами.
Две значащие цифры в погрешности оценки измеряемой величины сохраняют:
- при точных измерениях;
- если первая значащая цифра не более трех.
Е.3. Число цифр в промежуточных вычислениях при обработке результатов измерений должно быть на две больше, чем в окончательном результате.
Е.4. Погрешность при промежуточных вычислениях должна быть выражена не более чем тремя значащими цифрами.
Е.5. Сохраняемую значащую цифру в погрешности оценки измеряемой величины при округлении увеличивают на единицу, если отбрасываемая цифра неуказываемого младшего разряда больше либо равна пяти, и не изменяют, если она меньше пяти.
**БИБЛИОГРАФИЯ**
| [1] | Рекомендации по межгосударственной стандартизации РМГ 29-99 | Государственная система обеспечения единства измерений. Метрология. Основные термины и определения |
| --- | --- | --- |
| [2] | Правила по межгосударственной стандартизации ПМГ 96-2009 | Государственная система обеспечения единства измерений. Результаты и характеристики качества измерений. Формы представления |
---
## Иллюстрации
$\overline{x}$
$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i},(1)$
$x_{i}$
$\overline{x} = a + \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i},(2)$
$\overline{x}$
$y_{i} = x_{i} - a$
$S = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}}{n - 1}} .(3)$
$D = \sigma^{2}$
$\sigma$
$S^{2}$
$S^{2}$
$(M[S^{2}]) = \sigma^{2}$
$\sigma$
$S = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overline{x})_{2}}{n - 1,5}} .$
$S_{x}$
$S_{x} = \frac{S}{\sqrt{n}} .(4)$
$G_{1}$
$G_{2}$
$x_{max}$
$x_{min}$
$G_{1} = \frac{|x_{max} - \overline{x}|}{S} ,G_{2} = \frac{|\overline{x} - x_{min}|}{S} .(5)$
$G_{1}$
$G_{2}$
$G_{T}$
$G_{1}>G_{T}$
$x_{max}$
$G_{2}>G_{T}$
$x_{min}$
$G_{1} \leq G_{T}$
$x_{max}$
$G_{2} \leq G_{T}$
$x_{min}$
$\chi^{2}$
$\omega^{2}$
$\chi^{2}$
$\omega^{2}$
$\epsilon$
$\epsilon = tS_{x},(6)$
$\Theta_{\Sigma}$
$\Theta_{i}$
$\Theta_{\Sigma} = \pm \sum_{i = 1}^{m} |\Theta_{i}|.(7)$
$\Theta_{\Sigma}(P)$
$\Theta_{\Sigma}$
$\Theta_{\Sigma}(P) = \pm k \sqrt{\sum_{i = 1}^{m} \Theta_{i}^{2}} ,(8)$
$\Theta_{i}$
$l = \frac{\Theta_{1}}{\Theta_{2}}$
$\Theta_{1}$
$\Theta_{2}$
$\Theta_{1}$
$\frac{\partial f}{\partial Y}$
$\Theta_{\Sigma} = \pm (|\Theta_{1}| + | \frac{\partial f}{\partial Y} \Theta_{2}|).(9)$
$\Theta_{\Sigma} = \pm \sum_{i = 1}^{m} | \frac{\partial f_{i}}{\partial Y_{i}} \Theta_{i}|.(10)$
$\mu$
$m - \mu$
$\Theta_{\Sigma}(P) = \pm k \sqrt{\sum_{i = 1}^{\mu} \Theta_{i}^{2} + \sum_{i = \mu + 1}^{m} (\frac{\partial f_{i}}{\partial Y_{i}} \Theta_{i})^{2}} .(11)$
$\Delta$
$\Delta = KS_{\Sigma},(12)$
$S_{\Sigma}$
$S_{\Sigma} = \sqrt{S_{\Theta}^{2} + S \frac{2}{x}} ,(13)$
$S_{\Theta}$
$S_{\Theta} = \frac{\Theta_{\Sigma}}{\sqrt{3}} ,(14)$
$\Theta_{\Sigma}$
$S_{\Theta} = \frac{\Theta_{\Sigma}(P)}{k \sqrt{3}} ,(15)$
$\Theta_{\Sigma}(P)$
$K = \frac{\epsilon + \Theta_{\Sigma}}{S_{x} + S_{\Theta}} ,K = \frac{\epsilon + \Theta_{\Sigma}(P)}{S_{x} + S_{\Theta}} .(16)$
$\overline{x} \pm \Delta,P,(17)$
$\overline{x}$
$\Delta$
$\overline{x}$
$S_{x}$
$\Theta_{\Sigma}$
$S_{x}$
$\Theta$
$G_{T}$
$\tilde{d}$
$\tilde{d} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} |x_{i} - \overline{x}|}{nS^{*}} ,(\text{Б}.1)$
$S^{*} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}}{n}} .(\text{Б}.2)$
$d_{1 - q/2}<\tilde{d} \leq d_{q/2},(\text{Б}.3)$
$d_{1 - q/2}$
$d_{q/2}$
$q_{1}/2$
$(1 - q_{1}/2)$
$q_{1}$
$d_{q/2}$
$d_{1 - q/2}$
$(x_{i} - \overline{x})$
$z_{P/2}·S$
$z_{P/2}$
$q_{2}$
$z_{P/2}$
$z_{P/2}$
$z_{P/2}$
$x_{min}$
$x_{max}$
$\tilde{n}_{i}$
$x_{i0} - \overline{x}$
$z_{i} = \frac{x_{i0} - \overline{x}}{S}$
$\chi_{i}^{2} = \frac{(\tilde{n}_{i} - n_{i})^{2}}{n_{i}}$
$h = \frac{x_{max} - x_{min}}{r} .(\text{В}.1)$
$\tilde{n}_{i}$
$x_{i0}$
$\overline{x}$
$n_{i}$
$n_{i} = n \frac{h}{S} \phi(\frac{x_{i0} - \overline{x}}{S}),(\text{В}.2)$
$\phi$
$\phi(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{\xi^{2}}{2}} ;$
$\phi(\frac{x_{i0} - \overline{x}}{S})$
$\chi_{i}^{2} = \frac{(\tilde{n}_{i} - n_{i})^{2}}{n_{i}}$
$\chi_{i}^{2}$
$\chi^{2} = \sum_{i = 1}^{r} [\frac{(\tilde{n}_{i} - n_{i})^{2}}{n_{i}}]$
$\chi^{2}$
$\chi_{\text{Н}}^{2}$
$\chi_{\text{В}}^{2}$
$\chi^{2}$
$\chi_{\text{Н}}^{2}$
$\chi_{\text{В}}^{2}$
$\chi^{2}$
$\chi_{\text{Н}}^{2}$
$\chi_{\text{В}}^{2}$
$\chi_{q}^{2}$
$\chi^{2}$
$P(\chi^{2} \geq \chi_{q}^{2})$
$\omega^{2}$
$\omega^{2}$
$\omega_{n}^{2}[\Psi(F)] = \int_{- \infty}^{\infty} [F_{n}(x) - F(x)]^{2}\Psi[F(x)]dF(x),$
$F_{n}(x)$
$\Psi[F(x)]$
$\omega_{n}^{2}$
$n\omega_{n}^{2}$
$\Psi(F) = 1$
$\Psi(F) = \frac{1}{F(1 - F)}$
$n\omega_{n}^{2}$
$n\omega_{n}^{2}[1/F(1 - F)] = n\Omega_{n}^{2} = - n - 2 \sum_{j = 1}^{n} \{ \frac{2j - 1}{2n} inF(x_{j}) + (1 - \frac{2j - 1}{2n})in[1 - F(x_{j})]\},(\text{Г}.1)$
$F(x_{j})$
$x_{j}(j = 1,...,n)$
$x_{1} \leq x_{2} \leq ... \leq x_{n}$
$x_{j}$
$\omega^{2}$
$F(x_{j})$
$n\Omega_{n}^{2}$
$n \rightarrow \infty$
$\omega^{2}$
$\chi^{2}$
$\omega^{2}$
$n\Omega_{n}^{2}$
$n\Omega_{n}^{2}$
$n\Omega_{n}^{2}$
$\alpha$
$\alpha$
$a \geq (1 - \alpha)$
$a<(1 - \alpha)$
$\omega^{2}$
$\omega^{2}$
$\overline{x} = 25,4087$
$S = 4,3241$
$F(x_{j})$
$n\Omega_{n}^{2}$
$A_{j} = \frac{2j - 1}{2n}$
$B_{j} = F(x_{j})$
$C_{j} = ln(B_{j})$
$D_{j} = (A_{j})·(C_{j})$
$E_{j} = 1 - (A_{j})$
$F_{j} = 1 - (B_{j})$
$G_{j} = ln(F_{j})$
$H_{j} = (E_{j})·(G_{j})$
$I_{j} = (D_{j}) + (H_{j})$
$n\Omega_{n}^{2} = - n - 2( - 7,61478) = 0,229554 \approx 0,23$
$x = n\Omega_{n}^{2} = 0,23$
$\infty$