Методические рекомендации по учету влияния ползучести бетонов при расчете сборно-монолитных стержневых конструкций
(одобрены Протоколом Госстроя СССР от 18.08.1982 № 10)
Одобрены Протоколом секции № 1 Научно-технического совета НИИСК Госстроя СССР от 18 августа 1982 г. № 10
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО УЧЕТУ ВЛИЯНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНОВ ПРИ РАСЧЕТЕ СБОРНО-МОНОЛИТНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Изложены инженерные методы оценки влияния ползучести бетонов, вызванной длительным действием нагрузок (собственный вес сборных элементов и монолитного бетона, внешние нагрузки, силы предварительного обжатия) и деформаций (мгновенное смещение опор, усадка бетонов) на напряженно-деформированное состояние статически определимых и статически неопределимых сборно-монолитных конструкций; приведены формулы для определения напряжений в сечениях, нормальных к продольной оси конструкции, и усилий в многопролетных неразрезных балках, а также формулы для расчета по образованию трещин, нормальных к продольной оси конструкции, ширине раскрытия и закрытию таких трещин; даны рекомендации по определению параметров усадки и ползучести бетонов.
Задачи решаются для области линейной ползучести. В основу решений положен технический вариант феноменологической теории ползучести — модернизированная теория старения.
В качестве иллюстрации приведены числовые примеры.
Рекомендации распространяются на конструкции из тяжелых бетонов и легких бетонов плотной структуры.
Рассчитаны на инженерно-технических работников проектных и научно-исследовательских организаций, а также на студентов и аспирантов вузов и факультетов строительного профиля.
Разработаны Курским ПИ (канд. техн. наук В.П. Полищук, инж. И.Г. Чернушиц), НИИСК (докт. техн. наук А.Б. Голышев, канд. техн. наук В.Ф. Усманов) и ЦНИИС Минтрансстроя СССР (канд. техн. наук Е.Н. Щербаков - раздел 8).
Отзывы и замечания направлять по адресу: 252180 Киев-180, ул. И. Клименко, 5/2, НИИСК Госстроя СССР, лаборатория теории расчета железобетонных конструкций.
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1. В методических рекомендациях рассматриваются с.о.к. и с.н.к.
Рис. 1. Поперечные сечения с.о.к. и пролетных участков с.н.к.
1 — предварительно напряженные сборные элементы; 2 — монолитный бетон
На надопорных участках с.н.к. (ограничиваемых в ту и другую сторону от рассматриваемой опоры нулевыми точками на эпюре изгибающих моментов) монолитный бетон выходит на растянутую грань конструкции. В качестве растянутой рабочей арматуры надопорных участков используются напрягаемые или ненапрягаемые стальные стержни (рис. 2).
Рис. 2. Надопорные участки с.н.к.
1 — предварительно напряженные сборные элементы; 2 — монолитный бетон; 3 — надопорная напрягаемая или ненапрягаемая арматура
1.2 Расчет на ползучесть производится для двух стадий работы конструкции:
до приобретения монолитным бетоном заданной прочности (учет влияния ползучести, вызванной действием нагрузок и деформаций, возникающих в период строительства);
после приобретения монолитным бетоном заданной прочности (учет влияния ползучести, вызванной действием нагрузок и деформаций, возникающих в период строительства и в процессе эксплуатации сооружения).
Оценка влияния ползучести на напряженно-деформированное состояние до приобретения монолитным бетоном заданной прочности выполняется в соответствии с рекомендациями работы [3], после приобретения монолитным бетоном заданной прочности — в соответствии с настоящими методическими рекомендациями.
Примечание. Применительно к с.н.к. под «приобретением монолитным бетоном заданной прочности» подразумевается замыкание системы, т.е. создание неразрезности конструкции.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
2.1 На участках, где не образуются нормальные трещины, напряжения от усадки бетонов определяются по формулам:
\sigma_{\text{ау}} = n_{\text{а}}(\frac{N_{\text{у}}}{F} \pm \frac{M_{\text{у}}}{I} y_{\text{а}}^{*}) ; (2.1)
\sigma_{\text{му}} = \frac{n_{\text{м}}}{\gamma_{\text{м}}} (\frac{N_{\text{у}}}{F} \pm \frac{M_{\text{у}}}{I} y_{\text{м}}^{*} - \epsilon_{\text{му}}E_{\text{с}}) ; (2.2)
\sigma_{\text{су}} = \frac{1}{\gamma_{\text{с}}} (\frac{N_{\text{у}}}{F} \pm \frac{M_{\text{у}}}{I} y_{\text{с}}^{*} - \epsilon_{\text{су}}E_{\text{с}}) . (2.3)
N_{\text{у}} = \epsilon_{\text{му}}E_{\text{м}}F_{\text{м}} \frac{\gamma_{\text{с}}}{\gamma_{\text{м}}} + \epsilon_{\text{су}}E_{\text{с}}F_{\text{с}} ; (2.4)
M_{\text{у}} = \epsilon_{\text{му}}E_{\text{м}}F_{\text{м}}i_{\text{м}} \frac{\gamma_{\text{с}}}{\gamma_{\text{м}}} + \epsilon_{\text{су}}E_{\text{с}}F_{\text{с}} ; (2.5)
F = n_{\text{м}}F_{\text{м}} \frac{\gamma_{\text{с}}}{\gamma_{\text{м}}} + F_{\text{с}} + n_{\text{а}} \sum F_{\text{а}}\gamma_{\text{с}} ; (2.6)
I = n_{\text{м}}(I_{\text{м}} + F_{\text{м}}i_{\text{м}}^{2}) \frac{\gamma_{\text{с}}}{\gamma_{\text{м}}} + I_{\text{с}} + F_{\text{с}}i_{\text{с}}^{2} + n_{\text{а}} \sum (F_{\text{а}}i_{\text{а}}^{2})\gamma_{\text{с}} ; (2.7)
i_{\text{м}} = h - y^{*} - y\prime_{\text{м}} ; (2.8)
S = n_{\text{м}}F_{\text{м}}(h - y\prime_{\text{м}}) \frac{\gamma_{\text{с}}}{\gamma_{\text{м}}} + F_{\text{с}}y_{\text{с}} + n_{\text{а}} \sum (F_{\text{а}}y_{\text{а}})\gamma_{\text{с}} ; (2.12)
y_{\text{м}}^{*} — расстояние от точки 0* (рис. 3) до рассматриваемых волокон монолитного бетона;
y_{\text{с}}^{*} — то же, бетона сборных элементов;
Fа и y_{\text{а}}^{*} — площадь поперечного сечения арматуры на уровне рассматриваемого ряда и расстояние от точки 0* до центра тяжести сечения указанной арматуры;
yа — расстояние от нижней грани сечения конструкции до ц.т. сечения арматуры рассматриваемого ряда;
\gamma_{\text{м}} и \gamma_{\text{с}} — функции линейной ползучести бетонов, отражающие используемый вариант технической теории ползучести (см. п. 2.4 настоящих методических рекомендаций).
Верхние знаки в формулах (2.1) - (2.3) принимаются, если рассматриваемый ряд арматуры или рассматриваемые волокна бетона расположены выше точки 0* (см. рис. 3), нижние — если ниже. Положение точки 0* определяется по формуле (2.11).
Здесь и везде в дальнейшем сжимающим напряжениям присваивается знак плюс, растягивающим — минус.
Рис. 3. Напряженное состояние сечений от усадки бетонов
а — поперечное сечение; б — эпюры напряжений в бетонах; 1 — сборный элемент; 2 — монолитный бетон
2.2. На участках, где не образуются нормальные трещины, напряжения от нагрузок, приложенных до приобретения монолитным бетоном заданной прочности, определяются по формулам:
а) от предварительного обжатия сборных элементов (рис. 4)
Рис. 4. Напряженное состояние сечений с.о.к. и пролетных участков с.н.к. от предварительного обжатия сборного элемента
а — поперечное сечение; б — эпюры напряжений в бетонах; 1 — сборный элемент; 2 — монолитный бетон
\sigma_{\text{ап}} = n_{\text{а}} \frac{N_{1.\text{о}}}{F_{1.\text{п}}} [\frac{F_{I}}{F} \mp \frac{S_{I}}{I} y_{\text{а}}^{*} - \frac{e_{1.\text{н}}}{r_{1.\text{п}}^{2}} (\frac{S_{II}}{F} \pm \frac{I_{I}}{I} y_{\text{а}}^{*})] ; (2.13)
\sigma_{\text{мп}} = \frac{n_{\text{м}}}{\gamma_{\text{м}}} \cdot \frac{N_{1.\text{о}}}{F_{1.\text{п}}} [\frac{F_{I}}{F} \mp \frac{S_{I}}{I} y_{\text{м}}^{*} - \frac{e_{1.\text{н}}}{r_{1.\text{п}}^{2}} (\frac{S_{II}}{F} \pm \frac{I_{I}}{I} y_{\text{м}}^{*})] ; (2.14)
\sigma_{\text{сп}} = \frac{1}{\gamma_{\text{с}}} \{ \frac{N_{1.\text{о}}}{F_{1.\text{п}}} [\frac{F_{I}}{F} \mp \frac{S_{I}}{I} y_{\text{с}}^{*} - \frac{e_{1.\text{н}}}{r_{1.\text{п}}^{2}} (\frac{S_{II}}{F} \pm \frac{I_{I}}{I} y_{\text{с}}^{*})] - \sigma_{1.\text{н}}\phi_{\text{с}}\} ; (2.15)
б) от собственного веса бетонов и от внешних нагрузок (рис. 5)
Рис. 5. Напряженное состояние сечений с.о.к. и пролетных участков с.н.к. от собственного веса и внешних нагрузок, приложенных до приобретения монолитным бетоном заданной прочности
а — поперечное сечение; б — эпюры напряжений в бетонах; 1 — сборный элемент; 2 — монолитный бетон
\sigma_{\text{ап}} = n_{\text{а}} \frac{M_{1}}{I_{1.\text{п}}} (\frac{S_{I}}{F} \pm \frac{I_{I}}{I} y_{\text{а}}^{*}) ; (2.16)
\sigma_{\text{мп}} = \frac{n_{\text{м}}}{\gamma_{\text{м}}} \cdot \frac{M_{1}}{I_{1.\text{п}}} (\frac{S_{II}}{F} \pm \frac{I_{I}}{I} y_{\text{м}}^{*}) ; (2.17)
\sigma_{\text{сп}} = \frac{1}{\gamma_{\text{с}}} [\frac{M_{1}}{I_{1.\text{п}}} (\frac{S_{II}}{F} \pm \frac{I_{I}}{I} y_{\text{с}}^{*}) - \sigma_{1.\text{в}}\phi_{\text{с}}] . (2.18)
В этих формулах: F_{I} = F_{\text{с}}\phi_{\text{с}} ; S_{I} = F_{\text{с}}i_{\text{с}}\phi_{\text{с}} ; S_{II} = F_{\text{с}}i_{1}\phi_{\text{с}} ; I_{I} = (I_{\text{с}} - F_{\text{с}}i_{1}i_{\text{с}})\phi_{\text{с}} ;
\sigma_{1.\text{н}} — напряжения в бетоне сборных элементов (на рассматриваемом уровне) к моменту приобретения монолитным бетоном заданной прочности от предварительного обжатия;
\sigma_{1.\text{в}} — то же, от собственного веса бетонов и от длительно действующей части внешних нагрузок.
Верхние знаки в формулах (2.13) - (2.18) принимаются, если рассматриваемый ряд арматуры или рассматриваемые волокна бетона расположены выше точки 0* (см. рис. 3), нижние — если ниже.
2.3. На участках, где не образуются нормальные трещины, полные напряжения
а) от предварительного обжатия надопорных участков с.н.к. (рис. 6)
Рис. 6. Напряженное состояние сечений надопорных участков с.н.к. от предварительного обжатия указанных участков
а — поперечное сечение; б — эпюры напряжений в бетонах; 1 — сборный элемент; 2 — монолитный бетон
\sigma_{\text{а}}(t) = \sigma_{\text{ан}} + n_{\text{а}} \frac{N_{\text{о}}}{F_{\text{п}}} [\frac{F_{IV}}{F} \pm \frac{S_{III}}{I} y_{\text{а}}^{*} + \frac{e_{\text{н}}}{r_{\text{п}}^{2}} (\frac{S_{IV}}{F} \pm \frac{I_{IV}}{I} y_{\text{а}}^{*})] ; (2.19)
\sigma_{\text{м}}(t) = \sigma_{\text{мн}}(1 - \frac{\phi_{\text{м}}}{\gamma_{\text{м}}}) + \frac{n_{\text{м}}}{\gamma_{\text{м}}} \cdot \frac{N_{\text{о}}}{F_{\text{п}}} [\frac{F_{IV}}{F} \pm \frac{S_{III}}{I} y_{\text{м}}^{*} + \frac{e_{\text{н}}}{r_{\text{п}}^{2}} (\frac{S_{IV}}{F} \pm \frac{I_{IV}}{I} y_{\text{м}}^{*})] ; (2.20)
\sigma_{\text{с}}(t) = \sigma_{\text{сн}}(1 - \frac{\phi_{\text{с}}}{\gamma_{\text{с}}}) + \frac{N_{\text{о}}}{\gamma_{\text{с}}F_{\text{п}}} [\frac{F_{IV}}{F} \pm \frac{S_{III}}{I} y_{\text{с}}^{*} + \frac{e_{\text{н}}}{r_{\text{п}}^{2}} (\frac{S_{IV}}{F} \pm \frac{I_{IV}}{I} y_{\text{с}}^{*})] ; (2.21)
б) от внешних нагрузок (рис. 7)
Рис. 7. Напряженное состояние сечений от внешних нагрузок, приложенных после приобретения монолитным бетоном заданной прочности
а — поперечное сечение; б — эпюры напряжений в бетонах с.о.к. и на пролетных участках с.н.к.; в — то же, на надопорных участках с.н.к.; 1 — сборный элемент; 2 — монолитный бетон
\sigma_{\text{а}}(t) = \sigma_{\text{ав}} + n_{\text{а}} \frac{M_{\text{дл}}}{I_{\text{п}}} (\frac{S_{IV}}{F} \pm \frac{I_{IV}}{I} y_{\text{а}}^{*}) ; (2.22)
\sigma_{\text{м}}(t) = \sigma_{\text{мв}}(1 - \frac{\phi_{\text{м}}}{\gamma_{\text{м}}}) + \frac{n_{\text{м}}}{\gamma_{\text{м}}} \cdot \frac{M_{\text{дл}}}{I_{\text{п}}} (\frac{S_{IV}}{F} \pm \frac{I_{IV}}{I} y_{\text{м}}^{*}) ; (2.23)
\sigma_{\text{с}}(t) = \sigma_{\text{св}}(1 - \frac{\phi_{\text{с}}}{\gamma_{\text{с}}}) + \frac{M_{\text{дл}}}{\gamma_{\text{с}}I_{\text{п}}} (\frac{S_{IV}}{F} \pm \frac{I_{IV}}{I} y_{\text{с}}^{*}) . (2.24)
\sigma_{\text{ан}} — контролируемые напряжения арматуры на уровне рассматриваемого ряда (за вычетом первых потерь);
\sigma_{\text{мн}} и \sigma_{\text{сн}} — начальные напряжения обжатия монолитного бетона и бетона сборных элементов на рассматриваемом уровне;
\sigma_{\text{ав}} — начальные напряжения в арматуре на уровне рассматриваемого ряда от длительно действующей части внешних нагрузок;
\sigma_{\text{мв}} и \sigma_{\text{св}} — то же, в монолитном бетоне и бетоне сборных элементов на рассматриваемом уровне;
F_{IV} = n_{\text{м}}F_{\text{м}}\phi_{\text{м}} \frac{\gamma_{\text{с}}}{\gamma_{\text{м}}} + F_{\text{с}}\phi_{\text{с}} ; (2.25)
S_{IV} = n_{\text{м}}F_{\text{м}}i_{\text{мо}}\phi_{\text{м}} \frac{\gamma_{\text{с}}}{\gamma_{\text{м}}} - F_{\text{с}}i_{\text{со}}\phi_{\text{с}} ; (2.26)
S_{III} = n_{\text{м}}F_{\text{м}}i_{\text{м}}\phi_{\text{м}} \frac{\gamma_{\text{с}}}{\gamma_{\text{м}}} - F_{\text{с}}i_{\text{с}}\phi_{\text{с}} ; (2.27)
I_{IV} = n_{\text{м}}(I_{\text{м}} + F_{\text{м}}i_{\text{мо}}i_{\text{м}})\phi_{\text{м}} \frac{\gamma_{\text{с}}}{\gamma_{\text{м}}} + (I_{\text{с}} + F_{\text{с}}i_{\text{со}}i_{\text{с}})\phi_{\text{с}} . (2.28)
Верхние знаки в формулах (2.19) - (2.24) принимаются, если рассматриваемый ряд арматуры или рассматриваемые волокна бетона расположены выше точки 0* (см. рис. 3), нижние — если ниже.
2.4. Численные значения параметров \epsilon_{\text{му}} , \phi_{\text{м}} , \epsilon_{\text{су}} , \phi_{\text{с}} определяются в соответствии с настоящими методическими рекомендациями (раздел 8).
За начало отсчета времени при определении \epsilon_{\text{му}} , \phi_{\text{м}} , \epsilon_{\text{су}} , \phi_{\text{с}} в п. 2.1 и \phi_{\text{м}} , \phi_{\text{с}} в п. 2.2 принимается момент приобретения монолитным бетоном заданной прочности, за начало отсчета времени при определении \phi_{\text{м}} и \phi_{\text{с}} в п. 2.3 - момент нагружения после приобретения монолитным бетоном заданной прочности.
Численные значения коэффициентов \gamma_{\text{м}} и \gamma_{\text{с}} в зависимости, соответственно, от \phi_{\text{м}} и \phi_{\text{с}} и в зависимости от возраста бетона к началу отсчета времени \tau_{1} принимаются по табл. 1.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВИЗН
3.1 На участках, где не образуются нормальные трещины, кривизна от усадки бетонов определяется по формуле
\frac{1}{\rho_{\text{у}}} = \frac{M_{\text{у}}}{E_{\text{с}}I} . (3.1)
Значения Mу и I расшифрованы в п. 2.1 настоящих методических рекомендаций.
3.2. На участках, где не образуются нормальные трещины, кривизна от нагрузок, приложенных до приобретения монолитным бетоном заданной прочности, определяется по формулам:
от предварительного обжатия сборных элементов
\frac{1}{\rho_{\text{п}}} = - \frac{1}{\rho_{1.\text{о}}} \phi , (3.2)
где \frac{1}{\rho_{1.\text{о}}} — начальная (упруго-мгновенная) кривизна сборных элементов до приобретения монолитным бетоном заданной прочности [6], [3];
\phi = \frac{1}{I} (I_{I} + S_{I} \frac{r_{1.\text{п}}^{2}}{e_{1.\text{н}}}) ; (3.3)
от собственного веса бетонов и от длительно действующей части внешних нагрузок
\frac{1}{\rho_{\text{п}}} = \frac{1}{\rho_{1.\text{в}}} \phi , (3.4)
где \frac{1}{\rho_{1.\text{в}}} — начальная (упруго-мгновенная) кривизна сборных элементов до приобретения монолитным бетоном заданной прочности [6], [3];
\phi = \frac{I_{I}}{I} . (3.5)
Значения SI, II и I расшифрованы в пп. 2.1 и 2.2.
3.3. На участках, где не образуются нормальные трещины, полная кривизна
от предварительного обжатия надопорных участков с.н.к.
\frac{1}{\rho(t)} = \frac{1}{\rho_{\text{о}}} (1,18 + \phi) , (3.6)
\frac{1}{\rho_{\text{о}}} = \frac{N_{\text{о}}e_{\text{н}}}{E_{\text{с}}I_{\text{п}}} ; (3.7)
\phi = \frac{1}{I} (I_{IV} + S_{III} \frac{r_{\text{п}}^{2}}{e_{\text{н}}}) ; (3.8)
\frac{1}{\rho(t)} = \frac{1}{\rho_{\text{в}}} (1,18 + \phi) , (3.9)
\frac{1}{\rho_{\text{в}}} = \frac{M_{\text{дл}}}{E_{\text{с}}I_{\text{п}}} ; (3.10)
\phi = \frac{I_{IV}}{I} . (3.11)
Значения I, IIV и SIII расшифрованы в пп. 2.1 и 2.3.
3.4 При определении кривизн участков с нормальными трещинами следует предусматривать три случая:
с.о.к., пролетные участки с.н.к. — трещины образуются от нагрузок, приложенных до приобретения монолитным бетоном заданной прочности;
с.о.к., пролетные участки с.н.к. — трещины образуются от нагрузок, приложенных после приобретения монолитным бетоном заданной прочности;
надопорные участки с.н.к. — трещины образуются от нагрузок, приложенных после приобретения монолитным бетоном заданной прочности.
3.5 Для первого случая на участках, где образуются нормальные трещины, полная кривизна определяется по формуле
\frac{1}{\rho(t)} = \frac{1}{\rho} (1,18 + \phi) , (3.12)
\frac{1}{\rho} = \frac{M_{\text{дл}}}{E_{\text{с}}I_{\text{п}}} k_{\text{т}} ; (3.13)
\phi = \frac{I_{1.\text{о}.\text{т}}(1 + m_{\text{т}})(1 + \phi_{\text{с}}) - \sum I_{\text{т}}m_{1.\text{т}}}{I_{1.\text{о}.\text{т}}(1 + m_{\text{о}.\text{т}}) - \sum I_{\text{о}.\text{т}}m_{1.\text{т}}} \cdot \frac{\sum I_{\text{о}.\text{т}}}{\sum I_{\text{т}}} - 1 ; (3.14)
k_{\text{т}} = (1 + m_{\text{о}.\text{т}}) \frac{I_{\text{п}}}{\sum I_{\text{о}.\text{т}}} - m_{1.\text{т}} \frac{I_{\text{п}}}{I_{1.\text{о}.\text{т}}} ; (3.15)
m_{\text{о}.\text{т}} = \frac{1}{M_{\text{дл}}} (M_{1} - N_{1.\text{о}}e_{1.\text{о}} + C_{\text{о}}) ; (3.16)
m_{\text{т}} = \frac{1}{M_{\text{дл}}} (M_{1} - N_{1.\text{о}}e_{1} + C) ; (3.17)
m_{1.\text{т}} = \frac{1}{M_{\text{дл}}} [M_{1} - N_{1.\text{о}}(d_{1.\text{н}} - x_{1})] ; (3.18)
{}_{\text{о с}}^{C = E}{_{\text{м м м }1\text{м}}^{n[I + F(x + d - y}\prime_{\text{м о}}^{)(x - y}\prime_{\text{м а ам }1\text{м м о м}}^{)] + nF(x + d - a)(x - a)}} \frac{1}{\rho_{1}} ; (3.19)
C = E_{\text{с}}\{ \frac{n_{\text{м}}}{1 + \phi_{\text{м}}} [I_{\text{м}} + F_{\text{м}}(x_{1} + d_{\text{м}} - y\prime_{\text{м}})(x - y\prime_{\text{м}})] + n_{\text{а}}F_{\text{ам}}(x_{1} + d_{\text{м}} - a_{\text{м}})(x - a_{\text{м}})\} \frac{1}{\rho_{1}} ; (3.20)
e1.о и e1 — расстояния от точки приложения силы N1.о до н.о. соответственно в начальный момент времени и в рассматриваемый момент времени t (см. п. 3.8);
\sum I_{\text{о}.\text{т}} = I_{\text{о}.\text{т}.\text{с}} + n_{\text{м}}I_{\text{о}.\text{т}.\text{м}} + n_{\text{а}}I_{\text{о}.\text{т}.\text{а}} ; (3.21)
\sum I_{\text{т}} = I_{\text{т}.\text{с}} + n_{\text{м}}I_{\text{т}.\text{м}} \frac{1 + \phi_{\text{с}}}{1 + \phi_{\text{м}}} + n_{\text{а}}I_{\text{т}.\text{а}}(1 + \phi_{\text{с}}) ; (3.22)
Iо.т.с и Iт.с — моменты инерции площади сечения сжатой зоны бетона сборных элементов относительно н.о. соответственно в начальный момент времени и в рассматриваемый момент времени t (см. п. 3.8);
Iо.т.м и Iт.м — то же, сжатой зоны монолитного бетона;
I_{\text{о}.\text{т}.\text{а}} = F_{\text{ам}}(x_{\text{о}} - a_{\text{м}})^{2} + F_{\text{а}}\prime_{\text{с}}(x_{\text{о}} - d_{\text{м}} - a\prime_{\text{с}})^{2} + \frac{1}{\psi_{\text{о}}} F_{\text{ас}}(h_{\text{о}} - x_{\text{о}})^{2} ; (3.23)
I_{\text{т}.\text{а}} = F_{\text{ам}}(x - a_{\text{м}})^{2} + F_{\text{а}}\prime_{\text{с}}(x - d_{\text{м}} - a\prime_{\text{с}})^{2} + \frac{1}{\psi} F_{\text{ас}}(h_{\text{о}} - x)^{2} ; (3.24)
d1.н — расстояние от точки приложения силы N1.о до верхней грани сборного элемента;
I1.о.т — момент инерции площади приведенного сечения сборных элементов с трещинами относительно н.о. при высоте сжатой зоны x1 [3];
x1 — высота сжатой зоны сечения сборных элементов от нагрузок, приложенных до приобретения монолитным бетоном заданной прочности [6, 3];
\frac{1}{\rho_{1}} — начальная (упруго-мгновенная) кривизна сборных элементов к моменту приобретения монолитным бетоном заданной прочности [6, 3];
\psi_{\text{о}} и \psi — коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения деформаций растянутой арматуры на длине участка с трещинами соответственно в начальный момент времени и в рассматриваемый момент времени t (см. п. 3.8).
Высота сжатой зоны xо и x отыскивается из уравнений:
\frac{\sum S_{\text{о}.\text{т}}}{\sum I_{\text{о}.\text{т}}} = \frac{N_{1.\text{о}} + D_{\text{о}}}{M_{\text{дл}} + M_{1} - N_{1.\text{о}}e_{1.\text{о}} + C_{\text{о}}} (3.25)
\frac{\sum S_{\text{т}}}{\sum I_{\text{т}}} = \frac{N_{1.\text{о}} + D}{M_{\text{дл}} + M_{1} - N_{1.\text{о}}e_{1} + C} , (3.26)
D_{\text{о}} = E_{\text{с}}[n_{\text{м}}F_{\text{м}}(x_{1} + d_{\text{м}} - y\prime_{\text{м}}) + n_{\text{а}}F_{\text{ам}}(x_{1} + d_{\text{м}} - a_{\text{м}})] \frac{1}{\rho_{1}} ; (3.27)
D = E_{\text{с}}[\frac{n_{\text{м}}F_{\text{м}}}{1 + \phi_{\text{м}}} (x_{1} + d_{\text{м}} - y\prime_{\text{м}}) + n_{\text{а}}F_{\text{ам}}(x_{1} + d_{\text{м}} - a_{\text{м}})] \frac{1}{\rho_{1}} ; (3.28)
\sum S_{\text{о}.\text{т}} = S_{\text{о}.\text{т}.\text{с}} + n_{\text{м}}S_{\text{о}.\text{т}.\text{м}} + n_{\text{а}}S_{\text{о}.\text{т}.\text{а}} ; (3.29)
\sum S_{\text{т}} = S_{\text{т}.\text{с}} + n_{\text{м}}S_{\text{т}.\text{м}} \frac{1 + \phi_{\text{с}}}{1 + \phi_{\text{м}}} + n_{\text{а}}S_{\text{т}.\text{а}}(1 + \phi_{\text{с}}) ; (3.30)
Sо.т.с и Sт.с — статические моменты площади сечения сжатой зоны бетона сборных элементов относительно н.о. соответственно в начальный момент времени и в рассматриваемый момент времени t (см. п. 3.8);
Sо.т.м и Sт.м — то же, сжатой зоны монолитного бетона;
S_{\text{о}.\text{т}.\text{а}} = F_{\text{ам}}(x_{\text{о}} - a_{\text{м}}) + F_{\text{а}}\prime_{\text{с}}(x_{\text{о}} - d_{\text{м}} - a\prime_{\text{с}}) - \frac{1}{\psi_{\text{о}}} F_{\text{ас}}(h_{\text{о}} - x_{\text{о}}) ; (3.31)
S_{\text{т}.\text{а}} = F_{\text{ам}}(x - a_{\text{м}}) + F_{\text{а}}\prime_{\text{с}}(x - d_{\text{м}} - a\prime_{\text{с}}) - \frac{1}{\psi} F_{\text{ас}}(h_{\text{о}} - x) ; (3.32)
Численные значения \psi_{\text{о}} и \psi определяются по формулам
\psi_{\text{о}} = 1 - \frac{(F_{1} - b_{1}x_{1})n_{1}m_{1}}{F_{1} - b_{1}x_{1} + 2,2n_{\text{а}}F_{\text{ас}}} (3.33)
\psi = \psi_{\text{о}}[1 + (2,26 - 3,71\psi_{\text{о}} + 1,45\psi_{\text{о}}^{2}) \frac{\phi_{\text{с}}}{\phi_{\text{с}m}}] , (3.34)
F1 — площадь поперечного сечения сборных элементов высотой h1.о без учета арматуры и свесов сжатой полки;
n_{1} = \frac{M_{1} - (M_{1.\text{т}} - R_{\text{с}.\text{р}}W_{1.\text{т}})}{M_{1} - (M_{1.\text{т}} - R_{\text{с}.\text{р}}W_{1.\text{т}}) + M_{\text{дл}} \frac{h_{1.\text{о}}}{h_{\text{о}}}} ; (3.35)
m_{1} = 0,65 \sqrt{\frac{R_{\text{с}.\text{р}}W_{1.\text{т}}}{M_{1} - (M_{1.\text{т}} - R_{\text{с}.\text{р}}W_{1.\text{т}})}} ; (3.36)
M1.т — момент образования нормальных трещин в сборных элементах до приобретения монолитным бетоном заданной прочности [6, 3];
b1 и h1.о — ширина и рабочая высота поперечного сечения сборных элементов.
При отсутствии нагрузок, приложенных после приобретения монолитным бетоном заданной прочности (Mдл = 0), кривизна определяется по формуле
\frac{1}{\rho(t)} = \frac{1}{\rho_{1}} \phi , (3.37)
\phi = \frac{M_{1} - N_{1.\text{о}}e_{1} + C}{M_{1} - N_{1.\text{о}}(d_{1.\text{н}} - x_{1})} \cdot \frac{I_{1.\text{о}.\text{т}}}{\sum I_{\text{т}}} (1 + \phi_{\text{с}}) - 1 . (3.38)
Высота сжатой зоны x отыскивается из уравнения (3.26) при Mдл = 0, коэффициент \psi_{\text{о}} — по формуле (3.33) при n1 = 1.
3.6. Для второго случая на участках, где образуются трещины, полная кривизна определяется по формулам (3.12) и (3.13), где
\phi = \frac{I_{1.\text{п}}(1 + m_{\text{т}})(1 + \phi_{\text{с}}) - \sum I_{\text{т}}m_{1}}{I_{1.\text{п}}(1 + m_{\text{о}.\text{т}}) - \sum I_{\text{о}.\text{т}}m_{1}} \cdot \frac{\sum I_{\text{о}.\text{т}}}{\sum I_{\text{т}}} - 1 ; (3.39)
k_{\text{т}} = (1 + m_{\text{о}.\text{т}}) \frac{I_{\text{п}}}{I_{\text{о}.\text{т}}} - m_{1} \frac{I_{\text{п}}}{I_{1.\text{п}}} ; (3.40)
m_{1} = \frac{1}{M_{\text{дл}}} (M_{1} - N_{1.\text{о}}e_{1.\text{н}}) . (3.41)
Численные значения mо.т и mт определяются по формулам (3.16) и (3.17), высота сжатой зоны xо и x — из уравнений (3.25) и (3.26), где
{}_{\text{о с}}^{C = E}{_{{}^{\text{м}}[^{\text{м}} + \sigma_{1}^{\text{м}}[(n_{\text{м}}F_{\text{м}}(}^{nI + Fh - y}\prime_{{}^{\text{м}}x)_{\text{о}}(- ^{\text{о}}y\prime_{\text{м}}) +}^{x - y}\prime_{{}^{\text{м}})n]_{\text{а}}F_{\text{ам}}^{\text{а}}(x_{\text{о}}^{\text{ам}}(- a_{\text{м}})]^{\text{м}};)^{\text{о м}}}^{+ nFh - a(x - a)}} \frac{1}{\rho_{1}} + (3.42)
(3.43)D_{\text{о}} = E_{\text{с}}[n_{\text{м}}F_{\text{м}}(h - y\prime_{\text{м}}) + n_{\text{а}}F_{\text{ам}}(h - a_{\text{м}})] \frac{1}{\rho_{1}} + \sigma_{1}(n_{\text{м}}F_{\text{м}} + n_{\text{а}}F_{\text{ам}}) ; (3.44)
D = E_{\text{с}}[\frac{n_{\text{м}}F_{\text{м}}}{1 + \phi_{\text{м}}} (h - y\prime_{\text{м}}) + n_{\text{а}}F_{\text{ам}}(h - a_{\text{м}})] \frac{1}{\rho_{1}} + \sigma_{1}(\frac{n_{\text{м}}F_{\text{м}}}{1 + \phi_{\text{м}}} + n_{\text{а}}F_{\text{ам}}) ; (3.45)
\frac{1}{\rho_{1}} = \frac{1}{\rho_{1.\text{в}}} - \frac{1}{\rho_{1.\text{о}}} ; (3.46)
\sigma_{1} — напряжения в нижних волокнах сборных элементов от нагрузок, приложенных до приобретения монолитным бетоном заданной прочности; определяется по формулам теории сопротивления упругих материалов.
Значения 1/\rho_{1.\text{в}} и 1/\rho_{1.\text{о}} расшифрованы в пп. 3.3 и 3.2.
Численное значение \psi_{\text{о}} определяется по формуле
\psi_{\text{о}} = 1 - \frac{(F - bx_{\text{о}})m}{F - bx_{\text{о}} + 2,2n_{\text{а}}F_{\text{а}}} , (3.47)
где F — площадь поперечного сечения конструкции высотой hо, приведенного к бетону сборных элементов, без учета арматуры и свесов сжатой полки;
m = 0,65 \sqrt{\frac{R_{\text{с}.\text{р}}W_{\text{т}}}{M_{1} + M_{\text{дл}} - (M_{\text{т}} - R_{\text{с}.\text{р}}W_{\text{т}})}} ; (3.48)
Mт — момент образования нормальных трещин, определяемый по формуле (4.1).
Высота сжатой зоны xо отыскивается из уравнения (3.25) при \psi_{\text{о}} = 1 ; значение \psi см. в п. 3.5.
3.7. Для третьего случая на участках, где образуются трещины, полная кривизна определяется по формуле (3.12), где
\frac{1}{\rho} = \frac{M_{\text{дл}} - N_{\text{о}}e_{\text{о}}}{E_{\text{с}}I_{\text{п}}} k_{\text{т}} ; (3.49)
\phi = \frac{(M_{\text{дл}} - N_{\text{о}}e) \sum I_{\text{о}.\text{т}}}{(M_{\text{дл}} - N_{\text{о}}e_{\text{о}}) \sum I_{\text{т}}} (1 + \phi_{\text{с}}) - 1 ; (3.50)
k_{\text{т}} = \frac{I_{\text{п}}}{I_{\text{о}.\text{т}}} ; (3.51)
высота сжатой зоны xо и x — из уравнений
\frac{\sum S_{\text{о}.\text{т}}}{\sum I_{\text{о}.\text{т}}} + \frac{N_{\text{о}}}{M_{\text{дл}} - N_{\text{о}}e_{\text{о}}} = 0 (3.52)
\frac{\sum S_{\text{т}}}{\sum I_{\text{т}}} + \frac{N_{\text{о}}}{M_{\text{дл}} - N_{\text{о}}e} = 0 . (3.53)
eо и e — расстояния от точки приложения силы Nо до н.о. соответственно в начальный момент времени и в рассматриваемый момент времени t (см. п. 3.8).
Численное значение \psi_{\text{о}} определяется по формуле (3.47), где
m = 0,65 \sqrt{\frac{R_{\text{м}.\text{р}}W_{\text{т}}}{M_{\text{дл}} - (M_{\text{т}} - R_{\text{м}.\text{р}}W_{\text{т}})}} ; (3.54)
Mт — момент образования нормальных трещин, определяемый по формуле (4.4);
\psi — по формуле (3.34) с учетом замены \phi_{\text{с}} на \phi_{\text{м}} и \phi_{\text{с}m} на \phi_{\text{м}m} .
3.8. Численные значения параметров \epsilon_{\text{му}} , \phi_{\text{м}} , \epsilon_{\text{су}} и \phi_{\text{с}} определяются в соответствии с разделом 8 настоящих методических рекомендаций.
За начало отсчета времени при определении \epsilon_{\text{му}} , \phi_{\text{м}} , \epsilon_{\text{су}} , \phi_{\text{с}} в п. 3.1 и \phi_{\text{м}} , \phi_{\text{с}} в п. 3.2 принимается момент приобретения монолитным бетоном заданной прочности, за начало отсчета времени при определении \phi_{\text{м}} и \phi_{\text{с}} в пп. 3.3 и 3.5 - 3.7 - момент нагружения после приобретения монолитным бетоном заданной прочности.
Численные значения коэффициентов \gamma_{\text{м}} и \gamma_{\text{с}} в зависимости, соответственно, от \phi_{\text{м}} и \phi_{\text{с}} в зависимости от возраста бетона к началу отсчета времени \tau_{1} принимаются по табл. 2.1.
4. РАСЧЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТРЕЩИН
4.1 При определении момента образования нормальных трещин следует предусматривать два случая:
с.о.к. и пролетные участки с.н.к. — трещины образуются в предварительно напряженных сборных элементах;
надопорные участки с.н.к. — трещины образуются в монолитном бетоне.
4.2 Для первого случая расчет по образованию трещин производится из условия
M_{1} + M \leq M_{\text{т}} = N_{1.\text{о}}(e_{1.\text{н}} + k_{1} \frac{W_{1.\text{о}}}{F_{1.\text{п}}})k \frac{W_{\text{о}}}{W_{1.\text{о}}} + M_{1}(1 - k \frac{W_{\text{о}}}{W_{1.\text{о}}}) + \sigma_{\text{с}(\text{у} + \text{п})}W_{\text{о}} + R_{\text{с}.\text{р}}W_{.} , (4.1)
\sigma_{\text{с}(\text{у} + \text{п})} — напряжения в наиболее растянутых от внешних нагрузок волокнах сборных элементов, вызванные усадкой и ползучестью бетонов; определяются как алгебраическая сумма напряжений, вычисленных по формулам (2.3), (2.15) и (2.18);
k1 и k — коэффициенты, учитывающие возможность развития неупругих деформаций в сжатых бетонах.
Если сборные элементы попадают в сжатую зону конструкции и выполняется условие
\frac{M_{1}y_{1}\prime}{I_{1.\text{п}}} + \frac{My\prime_{\text{с}}}{I_{\text{п}}} \geq 0,7R_{\text{с}.\text{пр}} , (4.2)
где y_{1}\prime и y\prime_{\text{с}} — расстояния, соответственно, от ц.т. приведенных сечений сборных элементов и конструкции до сжатого края сечения элементов, величина k1 принимается равной 0,8; если сборные элементы не попадают в сжатую зону конструкции или попадают, но условие (4.2) не выполняется, величина k1 принимается равной единице.
\frac{n_{\text{м}}My\prime_{\text{м}}}{I_{\text{п}}} \geq 0,7R_{\text{м}.\text{пр}} , (4.3)
где y\prime_{\text{м}} — расстояние от ц.т. приведенного сечения конструкции до сжатого края указанного сечения, величина k принимается равной 0,8; если условие (4.3) не выполняется, величина k принимается равной единице.
4.3 Для второго случая расчет по образованию трещин производится из условия
M \leq M_{\text{т}} = N_{\text{о}}(e_{\text{н}} + k \frac{W_{\text{о}}}{F_{\text{п}}}) + \sigma_{\text{м}(\text{у} + \text{п})}W_{\text{о}} + R_{\text{м}.\text{р}}W_{\text{т}} , (4.4)
\sigma_{\text{м}(\text{у} + \text{п})} — напряжения в наиболее растянутых от внешних нагрузок волокнах монолитного бетона, вызванные усадкой и ползучестью бетонов; определяются как алгебраическая сумма напряжений, вычисленных по формулам (2.2), (2.14) и (2.17).
\frac{N_{1.\text{о}}}{F_{1.\text{п}}} + \frac{N_{1.\text{о}}e_{1.\text{н}}y_{1}}{I_{1.\text{п}}} + \frac{My_{\text{с}}}{I_{\text{п}}} \geq 0,7R_{\text{с}.\text{пр}} , (4.5)
где y1 и yс — расстояния, соответственно, от ц.т. приведенных сечений сборных элементов и конструкции до сжатого края надопорного сечения элементов, величина k принимается равной 0,8; если условие (4.5) не выполняется, величина k принимается равной единице.
5. РАСЧЕТ ПО РАСКРЫТИЮ ТРЕЩИН
5.1. Ширина раскрытия нормальных трещин определяется на уровне ц.т. сечения арматуры наиболее растянутого ряда.
5.2. При определении ширины раскрытия нормальных трещин следует предусматривать три случая — см. п. 3.4.
5.3 Для первого случая полная максимальная ширина раскрытия трещин определяется по формуле
a_{\text{т}} = a_{1.\text{т}} + 1,6C_{\text{дл}}\eta kk_{\text{а}} \frac{\sigma_{\text{а}}}{E_{\text{а}}} l_{\text{т}} , (5.1)
a1.т — максимальная ширина, раскрытия трещин в сборных элементах от нагрузок, приложенных до приобретения монолитным бетоном заданной прочности; определяется по формуле (138) [6] или по формуле (4) [4];
Cдл — коэффициент, учитывающий влияние ползучести бетонов на ширину раскрытия трещин после приобретения монолитным бетоном заданной прочности:
C_{\text{дл}} = \frac{\sum I_{\text{о}.\text{т}}}{\sum I_{\text{т}}} \cdot \frac{h_{\text{о}} - x}{h_{\text{о}} - x_{\text{о}}} (1 + \phi_{\text{с}}) ; (5.2)
\eta — коэффициент, принимаемый равным: при стержневой арматуре периодического профиля — 1, гладкой — 1,3; при проволочной арматуре периодического профиля — 1,2, гладкой — 1,4;
k = 1 - \frac{\Delta y}{h_{\text{о}} - x_{\text{о}}} ; (5.3)
k_{\text{а}} = \frac{F - bx_{\text{о}}}{F - bx_{\text{о}} + 2,2n_{\text{а}}F_{\text{ас}}} ; (5.4)
\sigma_{\text{а}} — приращение напряжений в арматуре Aс на уровне ц.т. сечения указанной арматуры от нагрузок, приложенных после приобретения монолитным бетоном заданной прочности:
$\sigma_{\text{а}} = \frac{M + C_{\text{о}} + D_{\text{о}}(0,2h_{\text{о}} — y\prime_{\text{м}}) + [M_{1} + N_{1.\text{о}}(h_{1.\text{о}} — d_{1.\text{н}})](1 — h_{\text{о}}/h_{1.\text{о}})}{F_{\text{ас}}z_{\text{о}}}$ (5.5)
lт — расстояние между трещинами:
l_{\text{т}} = \frac{2E_{\text{а}}F_{\text{ас}}}{\psi_{\text{о}}p_{\text{а}}k_{\text{сц}}E_{\text{с}}} ; (5.6)
\Delta y — расстояние от ц.т. сечения арматуры Aс до ц.т. сечения арматуры наиболее растянутого ряда;
pа — периметр поперечного сечения арматуры Aс;
kсц — коэффициент, определяемый по табл. 2 в зависимости от вида бетона сборных элементов, его марки и степени обжатия;
для тавровых и двутавровых сечений
. (5.7)Значения xо, x, \sum I_{\text{о}.\text{т}} , \sum I_{\text{т}} и \psi_{\text{о}} расшифрованы в п. 3.5 настоящих методических рекомендаций.
В табл. 2:
\sigma_{\delta} — сжимающие напряжения в бетоне сборных элементов на уровне ц.т. сечения арматуры наиболее растянутого ряда в стадии предварительного обжатия; определяются по формулам теории сопротивления упругих материалов;
Rо — передаточная прочность бетона сборных элементов.
5.4 Для второго случая полная максимальная ширина раскрытия трещин определяется по формуле
a_{\text{т}} = 3,4C_{\text{дл}}\eta kk_{\text{а}} \frac{\sigma_{\text{а}}F_{\text{ас}}}{p_{\text{а}}k_{\text{сц}}E_{\text{с}}} , (5.8)
\sigma_{\text{а}} = \frac{M_{1} + M - (M_{\text{т}} - R_{\text{с}.\text{р}}W_{\text{т}})}{F_{\text{ас}}z_{\text{о}}} . (5.9)
Значения Cдл, \eta , k, kа, pа, kсц и zо расшифрованы в п. 5.3; xо, x, \sum I_{\text{о}.\text{т}} и \sum I_{\text{т}} — в п. 3.5 настоящих методических рекомендаций.
Момент образования трещин Mт определяется по формуле (4.1).
5.5 Для третьего случая полная максимальная ширина раскрытия трещин определяется по формуле
a_{\text{т}} = 3,4C_{\text{дл}}\eta kk_{\text{а}} \frac{\sigma_{\text{а}}F_{\text{ам}}}{p_{\text{а}}k_{\text{сц}}E_{\text{м}}} , (5.10)
\sigma_{\text{а}} = \frac{M - (M_{\text{т}} - R_{\text{м}.\text{р}}W_{\text{т}})}{F_{\text{ам}}z_{\text{о}}} ; (5.11)
pа — периметр поперечного сечения арматуры Aм;
kсц — коэффициент, определяемый по табл. 2 в зависимости от вида монолитного бетона, его марки и степени обжатия.
Коэффициент k определяется по формуле (5.3), где \Delta y — расстояние от ц.т. сечения арматуры Aм до ц.т. сечения арматуры наиболее растянутого ряда, коэффициент kа — по формуле
k_{\text{а}} = \frac{F - bx_{\text{о}}}{F - bx_{\text{о}} + 2,2n_{\text{а}}F_{\text{ам}}} . (5.12)
Значения Cдл, \eta и zо расшифрованы в п. 5.3; xо; x, \sum I_{\text{о}.\text{т}} и \sum I_{\text{т}} — в п. 3.7 настоящих методических рекомендаций.
Момент образования трещин Mт определяется по формуле (4.2).
В табл. 2:
\sigma_{\text{б}} — сжимающие напряжения в монолитном бетоне на уровне ц.т. сечения арматуры наиболее растянутого ряда в стадии предварительного обжатия; определяются по формулам теории сопротивления упругих материалов;
Rо — передаточная прочность монолитного бетона.
5.6. Численные значения параметра \phi_{\text{с}} определяются в соответствии с настоящими методическими рекомендациями (раздел 8).
За начало отсчета времени при определении \phi_{\text{с}} принимается момент нагружения после приобретения монолитным бетоном заданной прочности.
6. РАСЧЕТ ПО ЗАКРЫТИЮ ТРЕЩИН
6.1. При расчете по закрытию нормальных трещин следует предусматривать два случая (см. п. 4.1).
6.2 Для первого случая расчет по закрытию трещин производится из условий:
\sigma_{1.\text{о}} + \frac{M_{1} + M - (M_{\text{т}} - R_{\text{с}.\text{р}}W_{\text{т}})}{F_{\text{ас}}z_{\text{о}}} \leq 0,8R_{\text{а}II} , (6.1)
\sigma_{1.\text{о}} — предварительное напряжение в арматуре Aс с учетом первых потерь,
\frac{N_{1.\text{о}}(e_{1.\text{н}} + W_{1.\text{о}}/F_{1.\text{п}}) - M_{1}}{W_{1.\text{о}}} - \frac{M_{1} + M_{\text{дл}}}{W_{\text{о}}} + \sigma_{\text{с}(\text{у} + \text{п})} \geq 10\text{кгс}/\text{см}2 . (6.2)
Первое условие обеспечивает от возникновения необратимых деформаций в предварительно напряженной пролетной арматуре от действий постоянных, длительных и кратковременных нагрузок, второе — надежное зажатие трещин при действии постоянных и длительных нагрузок.
Значение zо расшифровано в п. 5.3, \sigma_{\text{с}(\text{у} + \text{п})} — в п. 4.2.
6.3 Для второго случая расчет по закрытию трещин производится из условий:
\sigma_{\text{о}} + \frac{M - (M_{\text{т}} - R_{\text{м}.\text{р}}W_{\text{т}})}{F_{\text{ам}}z_{\text{о}}} \leq 0,8R_{\text{а}II} , (6.3)
\sigma_{\text{о}} — предварительное напряжение в арматуре Aм с учетом первых потерь,
\frac{N_{\text{о}}(e_{\text{н}} + W_{\text{о}}/F_{\text{п}}) - M_{\text{дл}}}{W_{\text{о}}} + \sigma_{\text{м}(\text{у} + \text{п})} \geq 10\text{кгс}/\text{см}2 . (6.4)
Первое условие обеспечивает от возникновения необратимых деформаций в предварительно напряженной надопорной арматуре от действия постоянных, длительных и кратковременных нагрузок, второе — надежное зажатие трещин от действия постоянных и длительных нагрузок.
Значение zо расшифровано в п. 5.3, \sigma_{\text{м}(\text{у} + \text{п})} — в п. 4.3.
7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В МНОГОПРОЛЕТНЫХ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛКАХ
7.1. Определение усилий от усадки бетонов и нагрузок, приложенных до замыкания системы, в конструкциях, на пролетных и надопорных участках которых от действия указанных нагрузок трещины не образуются, производится путем решения системы трехчленных уравнений вида (рис. 8,а)
, (7.1)\gamma — коэффициент, определяемый по табл. 1 в зависимости от величины \phi .
Рис. 8. Основные системы при расчете неразрезных балок
а — на действие внешних нагрузок; б — на смещение опор
Численные значения \phi определяются по формуле (3.11).
\Delta_{np}(t) = \frac{1}{\rho_{\text{у},n}} \cdot \frac{l_{n}}{2} + \frac{1}{\rho_{\text{у},n + 1}} \cdot \frac{l_{n + 1}}{2} , (7.2)
\frac{1}{\rho_{\text{у}}} — кривизна, определяемая по формуле (3.1).
При расчете на действие сил предварительного обжатия
\Delta_{np}(t) = \frac{1}{\rho_{\text{п},n}} \cdot \frac{l_{n}}{2} + \frac{1}{\rho_{\text{п},n + 1}} \cdot \frac{l_{n + 1}}{2} , (7.3)
\frac{1}{\rho_{\text{п}}} — кривизна, определяемая по формуле (3.2).
При расчете на действие собственного веса бетонов и длительно действующей части внешних нагрузок
\Delta_{np}(t) = \frac{\omega_{1,n}z_{1,n}\phi_{n}}{l_{n}(E_{\text{с}}I_{1.\text{п}})_{n}} + \frac{\omega_{1,n + 1}z_{1,n + 1}\phi_{n + 1}}{l_{n + 1}(E_{\text{с}}I_{1.\text{п}})_{n + 1}} , (7.4)
\omega_{1} — площадь эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок в соответствующем пролете основной системы (рис. 8,а);
z1 — расстояние от ц.т. указанной эпюры до оси соответствующей опоры.
Численные значения \phi определяются по формуле (3.5).
7.2. Определение полных усилий
(7.5)Mn-1, Mn и Mn+1 — начальные значения усилий, полученные в результате расчета балки как упругой системы.
При расчете на мгновенное смещение опор (рис. 8,б)
\Delta_{np}(t) = \Delta_{np} = \frac{y_{n + 1} - y_{n}}{l_{n + 1}} - \frac{y_{n} - y_{n - 1}}{l_{n}} . (7.6)
При расчете на действие внешних нагрузок
\Delta_{np}(t) = \frac{\omega_{n}z_{n}(1 + \phi_{n})}{l_{n}(E_{\text{с}}I_{\text{п}})_{n}} + \frac{\omega_{n + 1}z_{n + 1}(1 + \phi_{n + 1})}{l_{n + 1}(E_{\text{с}}I_{\text{п}})_{n + 1}} , (7.7)
\omega — площадь эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок в соответствующем пролете основной системы (рис. 8,а);
z — расстояние от ц.т. указанной эпюры до оси соответствующей опоры.
Численные значения \phi определяются по формуле (3.11), \gamma — по табл. 1.
7.3. Определение полных усилий от мгновенного смещения опор и нагрузок, приложенных до и после замыкания системы, в конструкциях, на пролетных и надопорных участках которых образуются трещины, производится методом последовательных приближений. В качестве первого приближения принимаются усилия, полученные в результате расчета балки как упругой системы. Затем каждый пролет балки разбивается на m одинаковых по длине участков (m >= 10). На каждом участке жесткость принимается постоянной, соответствующей изгибающему моменту в первом приближении в середине данного участка. Определение усилий во втором приближении производится путем решения системы трехчленных уравнений вида
. (7.8)При расчете на мгновенное смещение опор:
S_{n,n - 1} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} S_{n,n - 1,j} = S_{n,n + 1} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} S_{n,n + 1,j} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} k_{\text{т}j}\gamma_{j}[3(m - j)(2j - 1) + 3j - 2] ; (7.9)
S_{(n,n)}^{n} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} S_{(n,n),j}^{n} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} k_{\text{т}j}\gamma_{j}[3j(j - 1) + 1] ; (7.10)
S_{(n,n)}^{n + 1} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} S_{(n,n,j)}^{n + 1} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} k_{\text{т}j}\gamma_{j}[3(m - j)(m - j + 1) + 1] . (7.11)
Численные значения \Delta_{np}(t) определяются по формуле (7.6).
При расчете на действие нагрузок, приложенных до и после замыкания системы или только после замыкания системы, численные Sn,n-1; S_{(n,n)}^{n} ; S_{(n,n)}^{n + 1} и Sn,n+1 определяются по формулам (7.9) - (7.11), \Delta_{np}(t) — по формуле
\Delta_{np}(t) = \frac{l_{n}}{(E_{\text{с}}I_{\text{п}})_{n}} \sum_{j = 1}^{m} \Delta_{(np)j}^{n}(t) + \frac{l_{n + 1}}{(E_{\text{с}}I_{\text{п}})_{n + 1}} \sum_{j = 1}^{m} \Delta_{(npj)}^{n + 1}(t) , (7.12)
\Delta_{npj}(t) = \frac{k_{\text{т}j}(1 + \phi_{j})}{ml_{j}} \int_{l_{j}} \overline{M}M_{p}dx ; (7.13)
\overline{M} — изгибающий момент от единичного значения лишнего неизвестного;
Mр — то же, от заданных нагрузок в основной системе.
Для участков без трещин коэффициенты kтj принимаются равными единице.
Для участков с трещинами (см. п. 3.4 настоящих методических рекомендаций) для первого случая коэффициенты kтj определяются по формуле (3.15), для второго случая — по формуле (3.40), для третьего — по формуле (3.51).
Для участков без трещин численные значения \gamma_{j} определяются по табл. 1 в зависимости от величины \phi_{j} , определяемой по формуле (3.11).
Для участков с трещинами (см. п. 3.4) численные значения \gamma_{j} определяются по формуле
\gamma_{j} = 1 + \phi_{j} , (7.14)
где численные значения \phi_{j} для первого случая определяются по формуле (3.14), для второго случая — по формуле (3.39), для третьего — по формуле (3.50).
При расчете на действие нагрузок, приложенных только до замыкания системы
S_{n,n - 1} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} S_{n,n - 1,j} = S_{n,n + 1} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} S_{n,n + 1,j} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} k_{1\text{т}j}\gamma_{j}[3(m - j)(2j - 1) + 3j - 2] ; (7.15)
S_{(n,n)}^{n} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} S_{(n,n),j}^{n} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} k_{1\text{т}j}\gamma_{j}[3j(j - 1) + 1] ; (7.16)
S_{(n,n)}^{n + 1} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} S_{n,n,j} = \frac{1}{m^{3}} \sum_{j = 1}^{m} k_{1\text{т}j}\gamma_{j}[3(m - j)(m - j + 1) + 1] . (7.17)
Численные значения \Delta_{np}(t) определяются по формуле (7.12), где
\Delta_{npj}(t) = \frac{k_{1\text{т}j}\phi_{j}}{ml_{j}} \int_{l_{j}} \overline{M}M_{1p}dx ; (7.18)
M1р — изгибающий момент от заданных нагрузок в основной системе.
k_{1\text{т}j} = \frac{I_{\text{п}}}{I_{1.\text{п}}} . (7.19)
Численные значения \gamma_{j} определяются по табл. 1 в зависимости от величин \phi_{j} , определяемых по формуле (3.5).
k_{1\text{т}j} = \frac{I_{\text{п}}}{(I_{1.\text{о}.\text{т}})_{j}} . (7.20)
Численные значения \gamma_{j} определяются по формуле (7.14), \phi_{j} — по формуле (3.38).
По вычисленным во втором приближении усилиям определяются новые значения kтj, \phi_{j} и \gamma_{j} и производится расчет усилий в третьем приближении. Процесс итераций повторяется до тех пор, пока в дальнейшем уточнении расчета не будет необходимости.
При медленно сходящемся или расходящемся процессе итераций необходимо увеличить количество участков и повторить расчет.
7.4. После определения опорных моментов по формулам строительной механики вычисляются пролетные моменты и опорные реакции. При этом каждый пролет рассматривается как однопролетная свободно лежащая балка, нагруженная опорными моментами и заданной нагрузкой.
Полученные таким образом усилия используются в качестве внешних при определении напряжений в нормальных сечениях, при расчете по образованию, раскрытию и закрытию трещин, а также при вычислении кривизн конструкций, а по ним — прогибов и углов поворота.
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЗУЧЕСТИ И УСАДКИ БЕТОНА
8.1. Предельные значения числовых параметров ползучести \phi_{m} и усадки \epsilon_{ym} , соответствующих фактическим условиям эксплуатации конструкции, определяются по формулам:
\phi_{m} = C_{\text{н}}E_{\delta}\xi_{1}\xi_{2}\xi_{3} ; (8.1)
\epsilon_{ym} = \epsilon_{y\text{н}}\zeta_{1}\zeta_{2}\zeta_{3} , (8.2)
Cн и \epsilon_{y\text{н}} — нормативные значения меры ползучести и деформаций усадки; определяются в соответствии с пп. 8.3 и 8.4;
\xi_{i} и \zeta_{i} — коэффициенты, учитывающие влияние действительных условий работы бетона в железобетонных элементах; определяются согласно п. 8.5.
8.2. Определение промежуточных значений параметров \phi_{t} и \epsilon_{yt} , соответствующих заданному времени t, производится по данным табл. 3.
Примечания: 1. В числителе приведены значения для стержневых элементов с величиной открытой удельной поверхности 0,4 см-1 и более, в знаменателе — для элементов, у которых эта величина составляет 0,1 см-1 и менее (для промежуточных значений открытой удельной поверхности следует пользоваться линейной интерполяцией). 2. Открытую удельную поверхность стержневых элементов вычисляют как отношение открытого для влагопотерь периметра поперечного сечения к его площади.
8.3. Нормативные значения меры ползучести Cн (см2/кгс) и деформаций усадки \epsilon_{y\text{н}} определяются по формулам:
C_{\text{н}} = k_{\text{п}} \frac{B}{50 + R_{\tau_{1}}} ; (8.3)
\epsilon_{y\text{н}} = k_{y}B^{3/2} , (8.4)
R_{\tau_{1}} — кубиковая прочность бетона в момент нагружения, не превышающая проектной марки бетона по прочности на сжатие (кгс/см2);
B — удельное (по объему) суммарное количество воды затворения и вовлеченного воздуха в литрах на 1000 л уплотненной бетонной смеси;
kп и kу — безразмерные коэффициенты, зависящие от вида заполнителя бетона.
Значения коэффициентов в зависимости от вида заполнителя для бетона:
Примечание. При расчете по формулам (8.3) и (8.4) количество вовлеченного воздуха рекомендуется учитывать только при применении воздухововлекающих (газообразующих) добавок. Для бетонов, изготовленных с пластифицирующими добавками или без них, влияние вовлеченного воздуха в бетонной смеси можно не учитывать.
8.4. При отсутствии данных о дозировке составляющих бетонной смеси нормативные значения Cн (см2/кгс) и \epsilon_{y\text{н}} рекомендуется ориентировочно назначать по табл. 4 для тяжелых бетонов (в числителе) и для легких бетонов плотной структуры (в знаменателе).
Примечания: 1. Для бетонов, подвергнутых тепловлажностной обработке, нормативные значения Cн и \epsilon_{y\text{н}} по табл. 4 или формулам (8.3) и (8.4) следует уменьшить на 10%. 2. Нормативные значения Cн по формуле (8.3) или по табл. 4 следует, кроме того: а) для бетонов, изготовленных на пуццолановом портландцементе — увеличить на 35%; б) для бетонов, изготовленных на шлаковом портландцементе — увеличить на 25%, если элемент нагружен в условиях атмосферной влажности, или уменьшить на 35% при его нагружении во влагонасыщенной среде.
8.5. Числовые значения поправочных коэффициентов \xi_{i} и \zeta_{i} в формулах (8.1) и (8.2) принимаются для тяжелого и легкого бетона по табл. 5 в зависимости от возраста бетона в момент нагружения \tau_{1}>28\text{сут}. (для ползучести) или начала высыхания \tau_{\text{о}} (для усадки), а также от размеров поперечного сечения элемента и влажности окружающей среды.
8.6. Если силовые воздействия от внешней нагрузки или вынужденных деформаций прикладываются к элементу конструкции последовательно в разном возрасте, то числовые параметры \phi_{m} и \phi_{t} определяются с учетом возраста бетона к моменту приложения каждого из этих воздействий (согласно табл. 5).
8.7. Если воздействие усадки на напряженно-деформированное состояние элемента начинается по истечении некоторого периода времени после начала его высыхания, то числовые параметры \epsilon_{ym} и \epsilon_{yt} следует уменьшить на величину деформации, проявившуюся за этот период (согласно табл. 3).
Примечания: 1. При нагружении элемента в возрасте, большем чем 28 сут., прочность бетона R_{\tau_{1}} принимается равной его марочной прочности R. 2. Относительная влажность среды для эксплуатации конструкций на открытом воздухе принимается в зависимости от климатического района расположения сооружения согласно СНиП II-А.6-72 как средняя относительная влажность воздуха наиболее жаркого месяца. При отсутствии данных о районе расположения сооружения, а также для элементов типовых конструкций допускается принимать \xi_{3} = \zeta_{3} = 1 . 3. Для районов, относящихся по СНиП II-А.6-72 к IV климатической зоне (районы с сухим жарким климатом), относительную влажность воздуха рекомендуется устанавливать как среднемесячную влажность, соответствующую времени нагружения (начала высыхания) элемента конструкции. 4. Для массивных элементов с открытой удельной поверхностью 0,05 см-1 и менее, а также элементов, полностью гидроизолированных до начала нагружения (высыхания), независимо от влажности воздуха следует принимать \xi_{3} = \zeta_{3} = 1 . 5. Для элементов, находящихся в воде или насыщенной влагой среде, независимо от размеров поперечного сечения следует принимать \xi_{2} = \zeta_{2} = 1 .
Пример 1. Определить изгибающие моменты в четырехпролетном неразрезном ригеле перекрытия и проверить трещиностойкость его сечений. Длина каждого пролета 7,5 м, шаг ригелей — 6 м. Ригель состоит из сборных предварительно напряженных элементов, монолитного бетона и дополнительно укладываемых сборных ненапряженных железобетонных плит (см. рисунок).
Ригель междуэтажного перекрытия (к примеру 1)
а — сечение сборного преднапряженного элемента; б — пролетное сечение ригеля; в — опорное сечение перекрытия
Сборные элементы: бетон M500 пропаренный Fс = 1600 см2, yс = 27,5 см; y\prime_{\text{с}} = 32,5\text{см} ; hс = 60 см; dм = 10 см; Iс = 358300 см4; Eс = 3,25·105 кгс/см2; RпрII = 280 кгс/см2; RрII = 20 кгс/см2: напрягаемая арматура класса К-7, Fас = 11,33 см2; F_{\text{а}}\prime_{\text{с}} = 2,83\text{см}2 ; Eа = 1,8·106 кгс/см2; RаII = 13200 кгс/см2; nа = 5,54; aс = 7,5 см; \text{а́}_{\text{с}} = 5\text{см} .
Монолитный бетон M200 естественного твердения: Fм2 = 600 см2; yм2 = 17,5 см; y\prime_{\text{м}2} = 12,5\text{см} ; hм2 = 30 см; Iм2 = 46250 см4; Eм2 = 2,4·105 кгс/см2; RпрII = 115 кгс/см2; RрII = 11,5 кгс/см2; nм2 = 0,738.
Сборные плиты: бетон M200 пропаренный, Fм1 = 3225 см2; yм1 = 25,92 см; y\prime_{\text{м}1} = 4,08\text{см} ; hм1 = 30 см; Iм1 = 86130 см4; Eм1 = 2,15·105 кгс/см2; RпрII = 115 кгс/см2; RрII = 11,5 кгс/см2; nм1 = 0,662.
Надопорная арматура класса А-III; Fам = 40,72 см2; Eа = 2·106 кгс/см2; nа = 6,15; aм = 6 см.
Обжатие сборных элементов произведено в возрасте бетона 3 сут. при передаточной прочности R_{\text{о}} = 0,8\overline{R} = 400\text{кгс}/\text{см}2 . Укладка монолитного бетона осуществлена при возрасте бетона сборных элементов 45 сут, плит перекрытия — 30 сут. Временная нагрузка на перекрытие приложена в возрасте бетона сборных элементов 60 сут., плит перекрытия — 45 сут. и монолитного бетона — 15 сут.
Нагрузки равномерно распределенные: постоянная q1 = 1,8 тс/м; временная \rho = 9\text{тс}/\text{м} ; в т.ч. длительно действующая pдл = 6 тс/м. Постоянную нагрузку воспринимают сборные элементы ригеля, временную — вся конструкция.
Геометрические характеристики: приведенного сечения сборного элемента — F1.п = 1678 см2; y1.с = 27 см; i1 = 0,5 см; I1.п = 394920 см4; W1.о = 14630 см3; r_{1.\text{п}}^{2} = 235,4\text{см}2 ; приведенного сечения конструкции в пролете — Fп = 4255 см2; yк = 49,7 см; Iп = 1939240 см4; Wо = 39020 см3; Wт = 77250 см3; приведенного сечения конструкции у промежуточных опор — Fп = 4505 см2; yк = 19,5 см; Iп = 1987600 см4; Wо = 101876 см3; Wт = 160953 см3.
Характеристики усадки и ползучести бетонов находим по настоящим методическим рекомендациям (раздел 8):
\phi_{\text{с}} = 1,00 ; \epsilon_{\text{су}} = 16,2 \cdot 10^{- 5} ; \phi_{\text{м}1} = 2,50 ; \epsilon_{\text{м}1\text{у}} = 13,9 \cdot 10^{- 5} ; \phi_{\text{м}2} = 2,75 ; \epsilon_{\text{м}2\text{у}} = 20,2 \cdot 10^{- 5} .
По табл. 1 определяем:
\gamma_{\text{с}} = 2,18 ; \gamma_{\text{м}1} = 3,90 ; \gamma_{\text{м}2} = 3,85 .
По формулам раздела 2 находим вспомогательные геометрические параметры сечения конструкции в пролете:
S = 1600·27,5 + 1193,4(70 — 4,08) + 250,7(70 — 12,5) + 136,8·7,5 + 34,2·55 = 139991 см3;
y^{*} = \frac{139991}{3215,1} = 43,54\text{см} ;
iм1 = 70 — 43,54 — 4,08 = 22,38 см;
iм2 = 70 — 43,54 — 12,5 = 13,96 см;
i\prime_{\text{ас}} = 55 - 43,54 = 11,46\text{см} ;
FIV = 1193,4·2,5 + 250,7·2,75 + 1600·1 = 2983,5 + 689,4 + 1600 = 5272,9 см2;
SI = 1600·16,04·1 = 25664 см3;
SIII = 2983,5·22,38 + 689,4·13,96 — 1600·16,04 = 50731 см3;
SIV = 2983,5·16,22 + 689,4·7,8 — 1600·22,2 = 18250 см3;
II = (358300 — 1600·0,5·16,04)·1 = 345500 см4;
Численное значение \phi определяем по формуле (3.11):
\phi = \frac{2,219 \cdot 10^{6}}{1,65 \cdot 10^{6}} = 1,345 .
По табл. 1 при \tau_{1} = 45\text{сут}. и \phi = 1,345 имеем \gamma = 2,53 .
Усилие предварительного обжатия сборных элементов (при коэффициенте точности натяжения арматуры, равном 1) к моменту замыкания системы N1.о = 150000 кгс; эксцентриситет указанного усилия e1.н = 9,65 см. Максимальный изгибающий момент в сборных элементах от постоянных нагрузок M1 = 12,66 тс·м. Моменты образования трещин при замыкании системы:
в пролетных сечениях Mт = 67,84 тс·м;
в опорных сечениях Mт = 18,50 тс·м.
Определяем усилия в неразрезном ригеле как упругой системе. При действии длительно действующей части временной нагрузки опорные моменты равны:
на первых промежуточных опорах
M_{1} = M_{3} = - \frac{3}{28} p_{\text{дл}}l^{2} = - \frac{3}{28} 6,0 \cdot 7,5^{2} = - 36,16\text{тс} \cdot \text{м} ;
M_{2} = - \frac{p_{\text{дл}}l^{2}}{14} = - \frac{6,0 \cdot 7,5^{2}}{14} = - 24,11\text{тс} \cdot \text{м} .
Так как на всех трех опорах M > Mт, в зоне действия отрицательных моментов в ригеле возникают трещины. Для определения усилий в ригеле с учетом влияния ползучести бетонов используем метод последовательных приближений. Результаты расчета по упругой стадии принимаем в качестве первого приближения. Каждый пролет ригеля разбиваем на 30 участков lj = 0,25 м. В табл. 1 настоящего приложения приведены вспомогательные величины, необходимые для расчета ригеля методом последовательных приближений. В табл. 2 приведены параметры деформативности ригеля в зоне действия отрицательных моментов, вычисленные в соответствии с указаниями п. 3.7 настоящих методических рекомендаций. Последовательность определения этих параметров покажем для изгибающего момента M = -20 тс·м.
Вспомогательные величины для расчета ригеля методом последовательных приближений
Параметры деформативности ригеля при наличии трещин в приопорных сечениях
Расчет начинаем с определения \psi_{\text{о}} . Высоту сжатой зоны xо, входящую в формулу (3.47) настоящих методических рекомендаций, отыскиваем из уравнения (3.52) при \psi_{\text{о}} = 1 . Предположим сначала, что н.о. пересекает сборный элемент ригеля в пределах переменной ширины его сечения. Тогда:
S_{\text{о}.\text{т}.\text{с}} = 20 \cdot x_{\text{о}} \cdot 0,5 \cdot x_{\text{о}} + 2 \cdot 0,5 \cdot x_{\text{о}} \cdot \frac{x_{\text{о}}}{3} \cdot \frac{x_{\text{о}}}{3} = \frac{x_{\text{о}}^{3}}{9} + 10x_{\text{о}}^{2} ;
nаSо.т.а = 5,54·11,33(xо — 7,5) — 5,54·2,83(55 — xо) — 6,15·40,72(64 — xо) = 329xо — 17320.
С учетом этого уравнение (3.52) примет вид:
\sum S_{\text{о}.\text{т}} = \frac{1}{9} x_{\text{о}}^{3} + 10x_{\text{о}}^{2} + 329x_{\text{о}} - 17320 = 0 ,
Значения F и m определяем по формулам:
F = 1600 + 0,662·7,5(64 — 40)·2 + 0,738(15·20 + 30·4) = 2029 см2;
m = 1,3 \sqrt{\frac{11,5 \cdot 160963}{2000000}} = 0,6 ;
значения \psi_{\text{о}} и \psi — по формулам, соответственно (3.47) и (3.34) настоящих методических рекомендаций:
\psi_{\text{о}} = 1 - \frac{(2029 - 40 \cdot 26,05) \cdot 0,6}{2029 - 40 \cdot 26,05 + 2,2(5,54 \cdot 2,83 + 6,15 \cdot 40,72)} = 0,7 ;
\psi = 0,7[1 + (2,26 - 3,71 \cdot 0,7 + 1,45 \cdot 0,7^{2}) \frac{1,0}{1,0}] = 0,9 .
Определяем положение н.о. при вычисленных значениях \psi_{\text{о}} и \psi . При этом будем полагать, что xо < 30 см и 30 см < x < 40 см (см. рисунок). Тогда:
S_{\text{о}.\text{т}.\text{с}} = \frac{x_{\text{о}}^{3}}{9} + 10x_{\text{о}}^{2} ;
Sт.с = 20·30(x — 15) + 2·0,5·10·30(x — 20) + 0,5·40(x — 30)2 = 20x2 — 300x + 3000;
Уравнения (3.52) и (3.53) примут вид:
\sum S_{\text{о}.\text{т}} = \frac{x_{\text{о}}^{3}}{9} + 10x_{\text{о}}^{2} + 398,34x_{\text{о}} - 21769,24 = 0
\sum S_{\text{т}} = 20x^{2} + 371,4x - 32587,04 = 0 ,
откуда xо = 28,27 см и x = 32,15 см.
По формулам (3.21) и (3.22) настоящих методических рекомендаций вычисляем:
По формулам (3.51) и (3.50) находим:
k_{\text{т}} = \frac{1987600}{633000} = 3,14 ; \phi = \frac{633000}{895000} (1 + 1,0) - 1 = 0,42 .
Так как ригель полностью симметричен относительно средней опоры, при расчете будем рассматривать только левую половину ригеля, т.е. два левых пролета.
Значения изгибающих моментов в середине каждого участка в первом приближении (упругий расчет) приведены во втором столбце табл. 3. Из этих данных следует, что на участках 28 — 30 первого по пролета и 1, 2, 3, 30 второго пролета изгибающие моменты превышают моменты трещинообразования; на остальных участках трещины отсутствуют. Используя данные табл. 2 настоящего приложения, определяем (по интерполяции) параметры деформативности участков с трещинами — kтj, \phi_{j} и \gamma_{j} . Затем, используя данные табл. 1, определяем элементы перемещений для каждого участка. Так, для участка 2 второго пролета по формулам (7.9) - (7.11) настоящих методических рекомендаций имеем:
S11j = 3,210·1,386·2437 = 10842,36;
S12j = S21j = 3,210·1,386·256 = 1138,96;
6\Delta_{1pj}(t) = 3,210(1 + 0,386) \cdot 1,5172 = 6,750\text{тс} \cdot \text{м} ;
6\Delta_{2pj}(t) = 3,210(1 + 0,386) \cdot 0,0828 = 0,368\text{тс} \cdot \text{м} .
Вычисленные аналогичным образом элементы перемещений для всех остальных участков приведены в табл. 3.
Результаты расчета ригеля методом последовательных приближений
Примечания. 1. Сумма по всем участкам первого пролета в графах 6 - 82337,93 9 - 207,124. 2. Сумма по всем участкам второго пролета в графах 6 - 82347,23; 7 - 69926,83; 8 - 73361,89; 9 - 207,157; 10 - 199,645.
S_{1(1)}^{1} = \frac{82337,93}{27000} = 3,050 ; S_{1(1)}^{2} = \frac{82347,23}{27000} = 3,050 ;
S_{12} = S_{21} = \frac{69926,83}{27000} = 2,590 ; S_{(22)}^{2} = S_{(22)}^{3} = \frac{73361,89}{27000} = 2,717 ;
6\Delta_{1p}(t) = \frac{l_{1}}{E_{\text{с}}I_{\text{п}}} 207,124 + \frac{l_{2}}{E_{\text{с}}I_{\text{п}}} 207,157 = 414,281 \frac{l}{E_{\text{с}}I_{\text{п}}} ;
6\Delta_{2p}(t) = \frac{l_{2}}{E_{\text{с}}I_{\text{п}}} 199,645 + \frac{l_{3}}{E_{\text{с}}I_{\text{п}}} 199,645 = 399,29 \frac{l}{E_{\text{с}}I_{\text{п}}} .
Учитывая, что для всех пролетов ригеля величины l и EсIп одинаковы, составляем систему трехчленных уравнений вида (7.8):
2M1(t)(3,050 + 3,050) + M2(t)2,590 + 414,281 = 0;
M1(t)2,590 + 2M2(t)(2,717 + 2,717) + M3(t)2,590 + 399,29 = 0;
M2(t)2,590 + 2M3(t)(3,050 + 3,050) + 414,281 = 0,
M1(t) = M3(t) = -29,11 тс·м; M2(t) = -22,87 тс·м.
Затем в той же последовательности находим величины лишних неизвестных в третьем приближении:
M1(t) = M3(t) = -30,00 тс·м; M2(t) = -22,49 тс·м.
Так как в четвертом приближении получены практически такие же величины опорных моментов, в качестве окончательных принимаем значения, полученные в третьем приближении.
В последней колонке табл. 3 приведены величины изгибающих моментов по участкам после перераспределения усилий. Из этой таблицы видно, что наибольший положительный момент возникает в первом пролете на участке 13 (M = 28,52 тс·м). Величина момента MI на этом же участке от нагрузок, приложенных до замыкания ригеля, равна 12,30 тс·м (см. последний столбец табл. 1 настоящего приложения).
Для этого участка производим окончательный расчет по образованию трещин.
По формулам раздела 2 настоящих методических рекомендаций определяем напряжения, вызванные усадкой и ползучестью бетонов.
Усилия и напряжения в бетоне сборных элементов на уровне растянутого края сечения конструкции от усадки бетонов:
\sigma_{\text{су}} = \frac{1}{2,18} (\frac{154600}{3215,1} - \frac{84400}{1650000} \cdot 43,54 - 16,2 \cdot 10^{- 5} \cdot 3,25 \cdot 10^{5}) = - 3,12\text{кгс}/\text{см}2 .
Напряжения в бетоне сборных элементов на уровне растянутого края сечения конструкции к моменту приобретения монолитным бетоном заданной прочности от предварительного обжатия сборных элементов:
\sigma_{1.\text{н}} = \frac{150000}{1678} + \frac{150000 \cdot 9,65}{394920} \cdot 27,0 = 188,36\text{кгс}/\text{см}2 ;
то же, после приобретения монолитным бетоном заданной прочности — см. формулу (2.15) настоящих методических рекомендаций
Напряжения в бетоне сборных элементов на уровне растянутого края сечения конструкции к моменту приобретения монолитным бетоном заданной прочности от постоянных нагрузок:
\sigma_{1.\text{в}} = - \frac{12,30 \cdot 10^{5}}{394920} \cdot 27,0 = - 84,09\text{кгс}/\text{см}2 ;
то же, после приобретения монолитным бетоном заданной прочности — см. формулу (2.18) настоящих методических рекомендаций
\sigma_{\text{сп}} = \frac{1}{2,18} [\frac{12,30 \cdot 10^{5}}{394920} (\frac{800}{3215,1} - \frac{345500}{1650000} \cdot 43,54) + 84,09 \cdot 1,0] = 25,90\text{кгс}/\text{см}2 .
Начальные и полные значения напряжений в бетоне сборных элементов на уровне растянутого края сечения конструкции от внешних нагрузок, приложенных после замыкания конструкции:
\sigma_{\text{с}.\text{в}} = - \frac{28,52 \cdot 10^{5}}{1939240} \cdot 49,7 = - 73,09\text{кгс}/\text{см}2 ;
.Напряжения в бетоне сборных элементов на уровне растянутого края сечения конструкции, вызванные усадкой и ползучестью бетонов (см. п. 4.2 настоящих методических рекомендаций):
\sigma_{\text{с}(\text{у} + \text{п})} = - 3,12 - 23,32 + 25,90 - 75,23 + 73,09 = - 2,68\text{кгс}/\text{см}2 .
Расчет по образованию трещин производим по формуле (4.1). Проверяем условия (4.2) и (4.3):
\frac{n_{\text{м}1}My\prime_{\text{м}1}}{I_{\text{п}}} = \frac{0,662 \cdot 28,52 \cdot 10^{5}}{1939240} \cdot 20,3 = 19,8\text{кгс}/\text{см}2<0,7R_{\text{пр}II} = 0,7 \cdot 115 = 80,5\text{кгс}/\text{см}2 .
Так как оба условия не выполняются, принимаем k1 = k = 1. В результате
Изгибающие моменты в сечениях ригеля при действии различных видов нагрузок приведены в табл. 4.
Из этих данных видно, что во всех пролетных сечениях выполняется условие
Для опорных сечений ригеля ширину раскрытия трещин определяем по наибольшему значению опорного момента — на первой промежуточной опоре. Полная ширина раскрытия трещин равна [6]
aт1 — ширина раскрытия трещин от кратковременного действия всей нагрузки;
aт2 — то же, от кратковременного действия постоянной и длительной нагрузок;
aт3 — ширина раскрытия трещин от длительного действия постоянной и длительной нагрузок.
Все величины aтi вычисляем по формуле (5.10) настоящих методических рекомендаций.
При кратковременном действии всей нагрузки имеем:
Cдл = 1; \eta = 1 ; \Delta y = 0 ; k = 1; xо = 27,4 см (см. табл. 2);
F = 2029 см2; Fам = 40,72 см2; pа = 45,24 см; hо = 64 см.
По формуле (5.12) находим
k_{\text{а}} = \frac{2029 - 40 \cdot 27,4}{2029 - 40 \cdot 27,4 + 2,2 \cdot 6,15 \cdot 40,72} = 0,629 .
Так как для опорных сечений b\prime_{\text{п}} = b и Mт = RмрWт, по формулам (5.7) и (5.11) имеем:
z_{\text{о}} = 64 - 27,4 + \frac{2}{3} \cdot 27,4 = 54,87\text{см} ;
\sigma_{\text{а}} = \frac{48,08 \cdot 10^{5}}{40,72 \cdot 54,87} = 2150\text{кгс}/\text{см}2 .
При \sigma_{\delta} = 0 по табл. 5.1 имеем kсц = 0,51. Тогда
a_{\text{т}1} = 3,4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 0,629 \frac{2150 \cdot 40,72}{45,24 \cdot 0,51 \cdot 2,4 \cdot 10^{5}} = 0,0338\text{см} .
Аналогичным образом определяем величину aт2:
xо = 27,85 см; kа = 0,624; zо = 54,72 см; \sigma_{\text{а}} = 1350\text{кгс}/\text{см}2 ;
a_{\text{т}2} = 3,4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 0,624 \frac{1350 \cdot 40,72}{45,24 \cdot 0,51 \cdot 2,4 \cdot 10^{5}} = 0,0211\text{см} .
При длительном действии нагрузки xо = 27,85 см;
x = 32,09 см; \sum I_{\text{о}.\text{т}} = 615100\text{см}^{4} ; \sum I_{\text{т}} = 892900\text{см}^{4} (см. табл. 2).
По формуле (5.2) вычисляем:
C_{\text{дл}} = \frac{615100}{892900} \cdot \frac{64 - 32,09}{64 - 27,85} (1 + 1,0) = 1,22 ;
k_{\text{а}} = \frac{2029 - 40 \cdot 27,85}{2029 - 40 \cdot 27,85 + 2,2 \cdot 6,15 \cdot 40,72} = 0,624 ;
z_{\text{о}} = 64 - \frac{1}{3} \cdot 27,85 = 54,72\text{см} ;
\sigma_{\text{а}} = \frac{30 \cdot 10^{5}}{40,72 \cdot 54,72} = 1346\text{кгс}/\text{см}2 ;
a_{\text{т}3} = 3,4 \cdot 1,22 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 0,624 \frac{1346 \cdot 40,72}{45,24 \cdot 0,51 \cdot 2,4 \cdot 10^{5}} = 0,0256\text{см} .
Полная ширина раскрытия трещин:
aт = 0,0338 - 0,0211 + 0,0256 = 0,0383 см.
Пример 2. Определить прогиб в середине пролета сборно-монолитной конструкции, сечение которой показано на рисунке настоящего приложения.
Данные для расчета. Конструкция представляет собой свободнолежащую на двух опорах балку пролетом l = 10 м. К балке приложена равномерно распределенная нагрузка как до, так и после приобретения монолитным бетоном заданной прочности. Сборный элемент воспринимает нагрузку q1 = 1 тс/м; нагрузка на конструкцию qдл = 4 тс/м. Сборный элемент преднапряжен, N1.о = 150 тс, e1.н = 9,65 см. Остальные данные — по примеру 1 настоящего приложения.
Максимальные изгибающие моменты в середине пролета:
M_{1} = \frac{1 \cdot 10^{2}}{8} = 12,5\text{тс} \cdot \text{м} ;
M_{\text{дл}} = \frac{4 \cdot 10^{2}}{8} = 50,0\text{тс} \cdot \text{м} ;
Момент образования трещин равен 67,39 тс·м (см. пример 1), поэтому нормальные трещины в конструкции отсутствуют.
Кривизну от усадки бетонов определяем по формуле (3.1) настоящих методических рекомендаций:
\frac{1}{\rho_{\text{у}}} = \frac{84400}{3,25 \cdot 10^{5} \cdot 1650000} = 0,016 \cdot 10^{- 5}1/\text{см} .
Кривизну от длительного действия усилий предварительного обжатия сборных элементов находим по формулам (3.2) и (3.3):
\frac{1}{\rho_{1.\text{о}}} = \frac{150000 \cdot 9,65}{3,25 \cdot 10^{5} \cdot 394920} = 1,128 \cdot 10^{- 5}1/\text{см} ;
\phi = \frac{1}{1650000} (345500 + 25664 \frac{235,4}{9,65}) = 0,589 ;
\frac{1}{\rho_{\text{п}}} = - 1,128 \cdot 10^{- 5} \cdot 0,589 = - 0,664 \cdot 10^{- 5}1/\text{см} .
Кривизну от длительного действия нагрузки q1 вычисляем по формулам (3.4) и (3.5):
\frac{1}{\rho_{1.\text{в}}} = \frac{12,5 \cdot 10^{5}}{3,25 \cdot 10^{5} \cdot 394920} = 0,974 \cdot 10^{- 5}1/\text{см} ;
\phi = \frac{345500}{1650000} = 0,209 ;
\frac{1}{\rho_{\text{п}}} = 0,974 \cdot 10^{- 5} \cdot 0,209 = 0,204 \cdot 10^{- 5}1/\text{см} .
Кривизну сечений от длительного действия нагрузок, приложенных после приобретения монолитным бетоном заданной прочности, определяем по формулам (3.9) - (3.11):
\frac{1}{\rho_{\text{в}}} = \frac{50 \cdot 10^{5}}{3,25 \cdot 10^{5} \cdot 1939240} = 0,733 \cdot 10^{- 5}1/\text{см} ;
\phi = \frac{2219000}{1650000} = 1,345 ;
\frac{1}{\rho(t)} = 0,733 \cdot 10^{- 5}(1,18 + 1,345) = 1,848 \cdot 10^{- 5}1/\text{см} .
Полный прогиб конструкции в середине пролета
f(t) = 1000^{2}(\frac{1}{8} \cdot 0,016 - \frac{1}{8} \cdot 0,664 + \frac{5}{48} \cdot 0,204 + \frac{5}{48} \cdot 1,848) \cdot 10^{- 5} = 1,33\text{см} .
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
| Принятые сокращения: | ц.т. — центр тяжести; н.о. — нейтральная ось; с.о.к. — статически определимые конструкции; с.н.к. — статически неопределимые конструкции. |
|---|
ЛИТЕРАТУРА
1. Бондаренко В.М. Некоторые вопросы нелинейной теории железобетона. — Харьков: изд-во Харьковского университета, 1968, 323 с.
2. Инструкция по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из плотного силикатного бетона. СН 165-76. — М.: Стройиздат, 1977, 48 с.
3. Методические рекомендации по учету влияния ползучести бетона при расчете железобетонных стержней и стержневых систем/НИИСК Госстроя СССР. — Киев, 1981, 73 с.
4. Методические рекомендации по определению ширины раскрытия трещин в железобетонных элементах/НИИСК Госстроя СССР. — Киев, 1982, 32 с.
5. Проектирование и изготовление сборно-монолитных конструкций. — Киев: БудIвельник, 1982, 152 с.
6. Строительные нормы и правила, ч. II, гл. 21. «Бетонные и железобетонные конструкции. Нормы проектирования» (СНиП II-21-75). — М.: Стройиздат, 1976; 89 с.
7. Улицкий И.И., Чжан Чжун-яо, Голышев А.Б. Расчет железобетонных конструкций с учетом длительных процессов. — Киев: Госстройиздат УССР, 1960, 495 с.
| УДК 624.044:539.376 |
|---|